Análise de Resonâncias em Sistemas Elétricos

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Trabajo de Final de Grado
Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales (GETI)
Aplicación del análisis modal rápido
para el estudio de resonancias en
sistemas eléctricos
MEMORIA
14 de junio de 2021
Autor: Andreu Fàbregas Silvestre
Director: Luis Sainz Sapera
Codirector: Juan José Mesas García
Convocatoria: Junio 2021
Escola Tècnica Superior
d’Enginyeria Industrial de Barcelona
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 1
Resumen
Este Trabajo de Final de Grado consiste en el estudio y la programación de diferentes métodos
avanzados para analizar las resonancias en sistemas eléctricos con el fin de optimizar el tiempo
computacional necesario en la resolución de los cálculos, manteniendo la precisión necesaria en
los resultados. Para ello se han analizado diversos métodos presentados en diferentes artículos
científicos, y a partir de éstos se ha realizado un programa que permite calcularlos todos de
manera ordenada y comparar los resultados obtenidos con cada uno de ellos. En esta memoria
se exponen todos los estudios realizados, los resultados obtenidos y las conclusiones extraídas
de este proyecto.
En primer lugar, se presenta el concepto de resonancia. Se explica en qué consiste el fenómeno
de la resonancia eléctrica y cómo se calcula en circuitos simples. A continuación se desarrolla
el método de análisis modal, que se utiliza para determinar las frecuencias de resonancia en
circuitos eléctricos, partiendo del método de los nudos, además de obtener información rele-
vante a la hora de estudiar las resonancias como qué partes del circuito se ven más afectadas
por las resonancias. Se explica cual es el origen de este método, los cálculos que se realizan y
los resultados que se obtienen, además de aplicarlo en una red para mostrar su funcionamiento
con un ejemplo numérico.
A continuación se expone el método de análisis modal rápido, que es unmétodo avanzado para
el estudio de resonancias objeto de este proyecto. Se comenta la ventaja que presenta estemétodo
frente al método de análisis modal, que es principalmente la reducción del tiempo de cálculo
por parte del programa. Se presentan el método iterativo de potencia y el método iterativo de
potencia inversa, las variantes de este análisis, y se explican las diferentes opciones estudiadas
para resolver el proceso iterativo, además de la nomenclatura utilizada para referirse a cada una
de ellas. Para acabar la explicación se muestran los resultados que se obtienen haciendo uso de
un ejemplo y se comparan con los obtenidos mediante el análisis modal.
Finalmente se estudian diferentes redes IEEE con el fin de comparar el tiempo computacional
que se necesita para resolver los cálculos con cada uno de los métodos y variantes explicados.
Se calcula el tiempo medio de cálculo tras ejecutar el programa repetidamente y se analizan las
consecuencias que tienen sobre los resultados la variación de parámetros como las tolerancias
y el uso de diferentes funciones para calcular matrices inversas.
Tras realizar todo el análisis con los métodos explicados en diferentes redes, se concluye el tra-
bajo con la exposición de las conclusiones extraídas.
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Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 3
Índice
1. Prefacio 9
1.1. Origen del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Motivación del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Introducción 11
2.1. Objetivos del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Alcance del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Resonancias Eléctricas 13
3.1. Concepto de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Resonancias eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1. Fenómeno de resonancia eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2. Resonancia de un circuito RLC con conexión en serie . . . . . . . . . . . . 15
3.2.3. Resonancia de un circuito RLC con conexión en paralelo . . . . . . . . . . 16
4. Método Modal de análisis de resonancias 17
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2. Modos de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3. Ejemplo del análisis de resonancia por el método modal con MATLAB . . . . . . 19
5. Análisis modal rápido 23
5.1. Método iterativo de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.1. Criterios para seleccionar el vector propio inicial . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1.1. Primer criterio de selección del vector propio inicial (V EP1) . . . 25
5.1.1.2. Segundo criterio de selección del vector propio inicial (V EP2) . . 25
5.1.1.3. Tercer criterio de de selección del vector propio inicial (V EP3) . . 25
5.1.2. Criterios para determinar la convergencia de los resultados . . . . . . . . 26
5.1.2.1. Criterio de tolerancia con valores propios (TOLV AP ) . . . . . . . . 26
5.1.2.2. Criterio de tolerancia con vectores propios (TOLV EP ) . . . . . . . 26
5.1.2.3. Criterios de tolerancia mejorados (TOLMV AP y TOLMV EP ) . . . 27
5.1.3. Resumen de los criterios de selección del vector propio inicial y de la to-
lerancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Método iterativo de potencia inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.1. Criterios para la selección del desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1.1. Primer criterio de selección del desplazamiento (DESP1) . . . . . 29
5.2.1.2. Segundo criterio de selección del desplazamiento (DESP2) . . . . 29
5.2.1.2. Tercer criterio de selección del desplazamiento (DESP3) . . . . . 29
5.2.2. Criterios para seleccionar el vector propio inicial . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.3. Criterios para determinar la convergencia de los resultados . . . . . . . . 30
5.2.4. Resumen de los criterios de selección del vector propio inicial y de la to-
lerancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3. Presentación de todos los métodos programados con MATLAB . . . . . . . . . . 30
5.4. Ejemplo del análisis de resonancia por el método modal rápido con MATLAB . . 35
6. Análisis con diferentes redes IEEE y comparación del tiempo de cálculo 39
6.1. Análisis de la red IEEE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2. Análisis de la red IEEE5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
pàg. 4 Memoria
6.3. Análisis de la red IEEE13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3.1. Red IEEE13 con interruptor abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.2. Red IEEE13 con interruptor cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4. Análisis de la red IEEE14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5. Análisis de la red IEEE30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.6. Comparación de los tiempos computacionales obtenidos . . . . . . . . . . . . . . 71
6.7. Comparación de los tiempos para los diferentes cálculos de matrices inversas . . 72
6.8. Análisis del método de potencia inversa con desplazamiento . . . . . . . . . . . . 73
6.9. Estudio de la influencia de las tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Conclusiones 87
Agradecimientos 91
Bibliografía 93
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 5
Índice de figuras
3.1. Ejemplos de sistemas resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Máximos y mínimos de impedancias en circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Circuito RLC en serie . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4. Circuito RLC en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1. Red IEEE3 [6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2. Impedancias modales de la red IEEE3 obtenidas por el método modal . . . . . . 21
4.3. Factores de participación para cada modo crítico de la red IEEE3 . . . . . . . . . . 22
5.1. Convergencia del vector propio derecho con el método iterativo de potencia [9] . 24
5.2. Árbol de variantes para el método iterativo de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3. Árbol de variantes para el método iterativo de potencia inversa con desplazamiento 34
5.4. Resultados de impedancias modales e iteraciones de la red IEEE3 por el MP1 . . 35
5.5. Impedancias modales obtenidas con el análisis modal y con el MP1 . . . . . . . . 36
5.6. Errores relativos de los factores de participación de la red IEEE3 del método ite-
rativo de potencia MP1 respecto del método de análisis modal . . . . . . . . . . . 37
6.1. Resultados obtenidos con los métodos MP de la red IEEE3 . . . . . . . . . . . . . 40
6.2. Resultados obtenidos con los métodos MPID de la red IEEE3 . . . . . . . . . . . . 41
6.3. Tiempo medio de cálculo para cada método de la red IEEE3 . . . . . . . . . . . . 42
6.4. Red IEEE5 [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.5. Resultados obtenidos con los métodos MP de la red IEEE5 . . . . . . . . . . . . . 45
6.6. Resultados obtenidos con los métodos MPID de la red IEEE5 . . . . . . . . . . . . 46
6.7. Tiempo medio de cálculo para cada método de la red IEEE5 . . . . . . . . . . . . 47
6.8. Red IEEE13 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.9. Red IEEE13 con el interruptor abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.10. Resultados obtenidos con los métodos MP de la red IEEE13 (interruptor abierto) 51
6.11. Resultados obtenidos con los métodosMPID de la red IEEE13 (interruptor abierto) 52
6.12. Tiempomedio de cálculo para cadamétodo de la red IEEE13 con interruptor abierto 53
6.13. Red IEEE13 con el interruptor cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.14. Resultados obtenidos con los métodos MP de la red IEEE13 (interruptor cerrado) 54
6.15. Resultados obtenidos con losmétodosMPIDde la red IEEE13 (interruptor cerrado) 55
6.16. Tiempo medio de cálculo para cada método de la red IEEE13 con interruptor
cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.17. Red IEEE14 [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.18. Resultados obtenidos con los métodos MP de la red IEEE14 . . . . . . . . . . . . . 60
6.19. Resultados obtenidos con los métodos MPID de la red IEEE14 . . . . . . . . . . . 61
6.20. Tiempo medio de cálculo para cada método de la red IEEE14 . . . . . . . . . . . . 62
6.21. Red IEEE30 [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.22. Resultados obtenidos con los métodos MP de la red IEEE30 . . . . . . . . . . . . . 68
6.23. Resultados obtenidos con los métodos MPID de la red IEEE30 . . . . . . . . . . . 69
6.24. Tiempo medio de cálculo para cada método de la red IEEE30 . . . . . . . . . . . . 70
6.25. Tiempo medio de cálculo con cada método para las redes estudiadas . . . . . . . 71
6.26. Comparativa de tiempos con la inversa directa y con la descomposición LU . . . 72
6.27. Tiempo computacional en función de la tolerancia ∆V AP . . . . . . . . . . . . . . 74
6.28. Error cometido en los resultados de impedancias modales para ∆V AP = 1 · 10−10 75
6.29. Error cometido en los factores de participación para ∆V AP = 1 · 10−10 . . . . . . 75
6.30. Error cometido en las impedancias modales para ∆V AP = 1 . . . . . . . . . . . . 76
6.31. Error cometido en los factores de participación para ∆V AP = 1 . . . . . . . . . . . 77
6.32. Error cometido en las frecuencias de resonancia para ∆V AP = 1 . . . . . . . . . . 78
pàg. 6 Memoria
6.33. Error cometido en los factores de participación para ∆V AP = 1 · 10−4 . . . . . . . 78
6.34. Error cometido en los resultados para la tolerancia ∆V AP = 1 · 10−4 . . . . . . . . 79
6.35. Error cometido en los resultados para ∆V AP = 1 · 10−5 . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.36. Error cometido en los factores de participación para ∆V AP = 1 · 10−5 . . . . . . . 80
6.37. Tiempo computacional en función de la tolerancia δV AP . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.38. Error cometido en los resultados de impedancias modales para δV AP = 1 . . . . . 82
6.39. Error cometido en el valor de las frecuencias de resonancia para δV AP = 1 . . . . 83
6.40. Error cometido en los factores de participación para δV AP = 1 . . . . . . . . . . . 83
6.41. Error cometido en las impedancias modales para δV AP = 0, 01 . . . . . . . . . . . 84
6.42. Error cometido en los factores de participación para δV AP = 0, 01 . . . . . . . . . 85
6.43. Error cometido en las impedancias modales para δV AP = 1 · 10−3 . . . . . . . . . 85
6.44. Error cometido en los factores de participación para δV AP = 1 · 10−3 . . . . . . . 86
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 7
Índice de tablas
4.1. Datos en el archivo .txt de la red IEEE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. Datos obtenidos de la red IEEE3 por el método modal . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1. Resumen de los criterios del método de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Resumen de los criterios del método de potencia inversa con desplazamiento . . 30
5.3. Nomenclatura para los diferentes métodos analizados y criterios utilizados . . . 31
6.1. Datos en el archivo .txt de la red IEEE5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2. Datos de la red IEEE13 [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3. Datos en el archivo .txt de la red IEEE13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4. Datos de la potencia consumida en cada bus de la red IEEE14 [14] . . . . . . . . . 57
6.5. Datos de los generadores de la red IEEE14 [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.6. Datos de las líneas de la red IEEE14 [14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.7. Datos en el archivo .txt de la red IEEE14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.8. Datos de la potencia consumida en cada bus de la red IEEE30 [15] . . . . . . . . . 64
6.9. Datos de las líneas de la red IEEE30 [15] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.10. Datos en el archivo .txt de la red IEEE30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 9
1. Prefacio
1.1. Origen del proyecto
El origen de este proyecto radica en el estudio de las resonancias en sistemas eléctricos. Con el
desarrollo de la electrónica de potencia iniciado a mediados del siglo XX se ha incrementado
la contaminación armónica en las redes debido a la introducción de cargas no lineales. La re-
sonancia es un fenómeno peligroso en los circuitos con presencia de armónicos, ya que si las
frecuencias de estas resonancias coinciden con las frecuencias de las corrientes inyectadas en
la red por los dispositivos no lineales se pueden dañar e incluso destruir los componentes que
conforman el circuito, debido a la amplificación de las distorsiones armónicas de corriente y/o
de tensión. Por este motivo resulta de gran importancia el estudio y la detección de las resonan-
cias. Además, la creciente presencia de convertidores en las redes eléctricas ha hecho aparecer
un nuevo fenómeno, la inestabilidad del sistema debido a la interacción de dichos convertidores
con la red tradicional. En general, este fenómeno es debido a la presencia de resonancias poco
amortiguadas, por lo que la caracterización de las resonancias ha vuelto a cobrar relevancia en
el estudiode las redes.
Actualmente se disponen de pocos recursos para analizar de forma eficiente este fenómeno. El
más utilizado es el barrido frecuencial, pero este no proporciona una información detallada del
problema y no ofrece una sencilla interpretación del mismo. Frente a estos inconvenientes, re-
cientemente ha surgido el método modal de análisis. El problema de este método es el tiempo
computacional que se tarda en resolver los cálculos, sobretodo para redes de un tamaño consi-
derable. La publicación de diversos artículos científicos sobre un nuevo método de cálculo para
poder resolver estos problemas de forma más rápida, el método de análisis modal rápido, dan
origen a este proyecto. La intención es la de estudiar y programar, a partir de esta información,
diferentes variantes y comparar el tiempo de cálculo computacional que se tarda en resolver los
cálculos con cada una de ellas, con el fin de encontrar la manera más eficiente de resolver el
problema.
1.2. Motivación del proyecto
La motivación de este trabajo es la de profundizar en los conocimientos sobre electrotecnia ad-
quiridos en el grado de ingeniería industrial, así como aplicarlos en un caso de estudio práctico.
Con este proyecto se pretende conocer la importancia que tiene actualmente el estudio del fe-
nómeno de resonancia eléctrica, analizar en qué consiste, cuándo se produce y cómo se puede
determinar la frecuencia a la que se produce dicha resonancia.
Por otra parte, otra motivación para realizar este trabajo es la de tener que desarrollar un pro-
grama informático. Actualmente en la ingeniería, la programación es un campo con mucha im-
portancia, por lo que es necesario tener buenos conocimientos sobre el mismo. Con este trabajo
se busca mejorar las habilidades de programación adquiridas en el grado y aprender nuevas
técnicas.
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 11
2. Introducción
2.1. Objetivos del proyecto
Los objetivos de este Trabajo de Final de Grado son los de estudiar, programar y analizar dife-
rentes métodos avanzados para determinar las resonancias y sus efectos en los circuitos eléctri-
cos, con la intención de reducir el tiempo computacional necesario para obtener los resultados
que permitan determinar las frecuencias a las que suceden dichas resonancias. El objetivo final
es, por tanto, encontrar el método más eficiente para el estudio de las resonancias eléctricas en
cualquier red, manteniendo siempre un compromiso entre rapidez y precisión en los resultados
obtenidos.
Además del objetivo principal, este trabajo pretende explicar de forma resumida el concepto de
resonancia eléctrica, sus efectos y por qué es importante analizar este fenómeno en los circuitos
eléctricos. También se espera presentar de forma clara y concisa el método de análisis modal, y
explicar de lamisma forma losmétodos de análisismodal rápidos estudiados y desarrollados en
este proyecto. Se busca analizar elmáximode variantes diferentes de dichosmétodos para poder
comparar el tiempo computacional con cada una de ellas, encontrar la más rápida y descartar
aquellas que no ofrezcan resultados correctos o aceptables, por lo que es importante tener todas
las variantes descritas de forma clara y ordenada.
En referencia al programa informático desarrollado para resolver los cálculos, el objetivo es que
el programa sea cómodo de usar, con una estructura modular bien definida y ordenada y con
una buena visualización de los resultados obtenidos. El programa tiene que permitir analizar
cualquier sistema eléctrico sin acoplamientos ni fuentes controladas, por lo que todas las fun-
ciones se deben programar para una red en general.
Finalmente, a parte de los objetivos propios del proyecto, con este trabajo también se pretende
profundizar en los conocimientos adquiridos en el grado y aplicarlos en un estudio práctico. En
concreto, se espera aprender más en detalle el fenómeno de la resonancia eléctrica, tanto en los
conceptos teóricos como en el análisis práctico.
2.2. Alcance del proyecto
El alcance de este proyecto es encontrar el método más eficiente para el análisis de resonancias
eléctricas en cualquier circuito sin acoplamientos ni fuentes controladas. Para ello es necesa-
rio presentar en primer lugar el concepto de resonancia eléctrica y explicar como se calcula en
determinados circuitos sencillos. Una vez introducido este concepto se describe el método de
análisis modal, el primer método estudiado para el análisis de resonancias. Se explican en de-
talle los cálculos que se realizan para resolver el problema y los resultados que se obtienen con
este método.
En segundo lugar se presentan los métodos de análisis modal rápido, que son aquellos a par-
tir de los cuales se pretende reducir el tiempo computacional de cálculo en comparación con
el método modal de análisis. Para ello se analizan el método iterativo de potencia y el método
iterativo de potencia inversa, con diferentes criterios para resolver los procesos iterativos. Com-
binando los diferentes métodos y criterios se obtienen todas las variantes con las que realizar
pàg. 12 Memoria
el estudio de las resonancias, se explica la nomenclatura utilizada para referirse a cada una de
ellas y se compara la diferencia en la obtención de resultados con los obtenidos haciendo uso del
método de análisis modal. Tras este análisis se descartan aquellos métodos cuya implementa-
ción no proporcione resultados correctos y que deberían ser objeto de un estudio más detallado
y profundo para su correcta aplicación (ver futuros estudios en el apartado de conclusiones).
Para resolver los cálculos se ha realizado la programación de todos los métodos estudiados. El
programa permite estudiar una red sin acoplamientos ni fuentes de tensión controladas de cual-
quier dimensión, introduciendo los datos de la misma, además del rango de frecuencias que se
desea analizar. La implementación del programa se ha hecho de forma modular, programando
todas las variantes en diferentes funciones siguiendo un orden y con una estructura clara para
poder analizar y comparar todos los resultados obtenidos, además de poder comparar también
el tiempo computacional necesario para resolver los cálculos con el método modal de análisis y
con las distintas variantes del método de análisis modal rápido.
Finalmente, se analizan diferentes redes IEEE para comprobar las prestaciones de los méto-
dos estudiados y determinar la manera más eficiente para obtener los resultados requeridos,
es decir, con qué variante el tiempo computacional para resolver los cálculos es más bajo man-
teniendo una precisión aceptable. Para ello se obtiene una muestra de tiempos ejecutando el
programa repetidamente con cada una de las variantes, se compara el tiempo medio de cada
una, los resultados obtenidos y se selecciona la mejor opción. Con ésta se estudia la influencia
de la tolerancia en el tiempo computacional y en la precisión, que se verifica comparando los
resultados con los obtenidos mediante el método modal de análisis tradicional.
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 13
3. Resonancias Eléctricas
3.1. Concepto de resonancia
La resonancia es un fenómeno físico que se produce en un sistema cuando, al aplicarle una
excitación externa periódica, la frecuencia de ésta coincide con la frecuencia propia del sistema.
Este efecto provoca un incremento de amplitud en la oscilación del sistema mayor al que se
produciría si se aplicara la misma excitación con cualquier otra frecuencia no resonante, de
manera que el sistema puede desestabilizarse e incluso llegar a la ruptura.
Un ejemplo muy común de este fenómeno es la resonancia acústica. Se puede observar de for-
ma simple colocando dos diapasones que emitan un sonido a la misma frecuencia uno en frente
del otro. Como se observa en la figura figura 3.1a, al golpear el diapasón A, el sonido que emite
provoca la vibración del otro diapasón B, el cual entra en resonanciay emite el mismo sonido
de forma espontánea. Otro ejemplo clásico es el de resonancia mecánica. En un péndulo mecá-
nico como en el de la figura 3.1b, la energía mecánica se va convirtiendo en energía cinética y
potencial de forma cíclica. La frecuencia natural de oscilación de este sistema tan solo depende
de la masa y la longitud del péndulo (en ausencia de otras fuerzas que no sea la gravitatoria).
(a) Resonancia acústica [1] (b) Resonancia mecánica [2]
Figura 3.1: Ejemplos de sistemas resonantes
Este último ejemplo es análogo a la resonancia eléctrica. En un circuito con elementos inductivos
y capacitivos, la descarga de los capacitivos proporciona una corriente eléctrica en los inductivos
que genera un campo magnético, y el campo magnético creado por los elementos inductivos
genera una corriente que carga los capacitivos. De esta forma la energía se va transformando de
forma cíclica pasando de los elementos capacitivos a los inductivos, de la mismamanera que en
el ejemplo del péndulo la energía se iba alternando en energía potencial y cinética. La frecuencia
natural en el caso de la resonancia eléctrica depende, en ausencia de elementos disipativos como
resistencias, de los valores de las inductancias y los condensadores.
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3.2. Resonancias eléctricas
En este capítulo se presentará brevemente el concepto de resonancia eléctrica y se analizaran
dos de las resonancias más habituales: la resonancia serie y la resonancia paralelo.
3.2.1. Fenómeno de resonancia eléctrica
La resonancia se produce cuando los fasores de la tensión soportada por una carga U y el de
la intensidad de entrada I se encuentran en fase, lo que es equivalente a decir que el factor de
potencia cosϕ es igual a uno y a decir que el comportamiento del circuito es puramente resistivo
[3]. Esto significa que los valores de la impedancia y admitancia equivalentes del circuito son
valores reales. Dado que las reactancias inductivas y capacitivas dependen de la frecuencia, al
imponer que la parte imaginaria sea cero se obtiene una ecuación a partir de la cual se puede
calcular la frecuencia de resonancia del circuito.
El fenómeno de la resonancia (parte imaginaria de la impedancia o de la admitancia equiva-
lente) suele ir asociado a mínimos y máximos de dichas impedancias y admitancias. Esto, tal
como se ilustra en la figura 3.2, puede provocar que aparezcan valores de tensión y de corriente
elevados. En general, los valores máximos de la impedancia suelen ser peligrosos en circuitos
alimentados por fuentes de corriente ya que se pueden provocar sobretensiones, y los valores
máximos de admitancias (mínimos de impedancias) suelen ser peligrosos en circuitos alimen-
tados por fuentes de tensión ya que pueden provocar sobrecorrientes. Por estemotivo, el estudio
de las resonancias es un aspecto importante de la ingeniería eléctrica con el objetivo de poder
predecirlas, es decir, determinar las frecuencias a las que se producirán y con ello evitarlas o
proponer soluciones para mitigar las sobretensiones y sobrecorrientes en los circuitos eléctri-
cos.
(a) Circuito alimentado con una fuente de corriente (b) Circuito alimentado con una fuente de tensión
Figura 3.2: Máximos y mínimos de impedancias en circuitos eléctricos
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 15
3.2.2. Resonancia de un circuito RLC con conexión en serie
Tal como se ha explicado en el apartado 3.2.1, la resonancia en un circuito eléctrico RLC en serie
la resonancia se puede estudiar a partir de la impedancia equivalente imponiendo que su parte
imaginaria sea nula. En el caso de que el circuito esté alimentado con una fuente de tensión
sinusoidal como el de la figura 3.3 la resonancia puede provocar valores de corriente muy ele-
vados dado que la impedancia es mínima. En un circuito ideal, es decir, sin resistencia eléctrica,
este valor de corriente sería infinito. En la realidad todos los circuitos presentan una cierta re-
sistencia, pero en la mayoría de ellos es de un valor muy pequeño, por lo que en consecuencia
la intensidad puede llegar a ser muy elevada.
A continuación se analizará el el circuito de la figura 3.3 para determinar la frecuencia de reso-
nancia. Se puede calcular la impedancia equivalente de forma directa (ecuación 3.1):
Figura 3.3: Circuito RLC en serie
Zeq = R + j XL − j XC . (3.1)
Se observa que la parte imaginaria de esta impedancia equivalente será nula cuando XL = XC ,
y así se obtiene la expresión de la frecuencia de resonancia de este circuito (ecuación 3.2):
2πfrL =
1
2πfrC
fr =
1
2π
√
LC
. (3.2)
Si se alimenta el circuito con una fuente de tensión sinusoidal u(t) =
√
2Ucos(2πft) la intensi-
dad que circula por el circuito será la siguiente (ecuación 3.3):
I =
U
R + j(XL −XC)
. (3.3)
En el caso de que la frecuencia de la fuente sea igual a la frecuencia de resonancia calculada en
3.2 la corriente consumida será la mostrada en la ecuación 3.4, que corresponde a la máxima
posible, ya que el valor de la impedancia equivalente es el mínimo.
I =
U
R . (3.4)
pàg. 16 Memoria
3.2.3. Resonancia de un circuito RLC con conexión en paralelo
Enun circuito RLCparalelo la resonancia se puede estudiar a partir de la admitancia equivalente
imponiendo que su parte imaginaria sea nula. Esto, tal y como se ha explicado anteriormente,
lleva a un valormínimo de la admitancia (es decir, el máximo de la impedancia) demanera que,
en el caso de que el circuito se alimente con una fuente de corriente sinusoidal como el de la
figura 3.4, la resonancia puede provocar valores máximos de tensión dado que la impedancia es
máxima. Analizando el circuito de la figura 3.4 se obtiene el valor de la admitancia equivalente
siguiente (ecuación 3.5):
Figura 3.4: Circuito RLC en paralelo
Yeq =
1
R1 + j XL
+
1
R2 − j XC
. (3.5)
Extrayendo la parte imaginaria de la admitancia se obtiene la expresión 3.6, y igualándola a cero
se puede calcular la frecuencia de resonancia de este circuito (ecuación 3.7):
XL
R2
1 + X2
L
− XC
R2
2 + X2
C
(3.6)
2πfrL
R2
1 + (2πfrL)2
−
1
2πfrC
L
R2
2 + ( 1
2πfrC
)2
= 0
fr =
1
2π
√
LC
√
CR2
2 − L
CR2
1 − L
. (3.7)
Si se alimenta el circuito con una fuente de corriente sinusoidal I(t) =
√
2Icos(2πft) la ten-
sión que soporta la carga será la mostrada en 3.8, donde Y eq corresponde a la expresión de la
admitancia equivalente encontrada en 3.5:
U =
I
Y eq
. (3.8)
En el caso de que la frecuencia de la fuente sea igual a la frecuencia de resonancia calculada
en 3.7, este valor de tensión será el máximo posible, ya que corresponde al valor mínimo de la
admitancia equivalente.
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 17
4. Método Modal de análisis de resonancias
4.1. Introducción
Amediados del siglo XX se desarrolló la electrónica de potencia, lo que conllevó un gran avance
en el uso de la energía eléctrica, pero también provocó un gran incremento en la contaminación
armónica, debido a la introducción de cargas no lineales en la red. Las resonancias juegan un
papel fundamental en los circuitos eléctricos con presencia de armónicos, ya que si la frecuencia
de esos armónicos coincide con la frecuencia de resonancia de la red se pueden llegar a provocar
valores elevados de las distorsiones armónicas de tensión y/o corriente, lo que puede provocar
el mal funcionamiento de las instalaciones e incluso llegar a destruirlas. Por este motivo resulta
de gran importancia el estudio de las resonancias eléctricas.
En los apartados 3.2.2 y 3.2.3 se han obtenido los valores de frecuencia de resonancia para los dos
ejemplos típicos analizados. Para estos circuitos simples se pueden encontrar analíticamente las
frecuencias resonantes de forma sencilla, pero en redes más complejas no es posible determinar
de forma directa los valores de estas frecuencias.
Actualmente los métodos para el análisis de este efecto son muy limitados. La herramienta más
usual para estudiar las frecuencias deresonancia, aunque no permite obtener toda la informa-
ción necesaria para una resolución efectiva, es el análisis de escaneo (o barrido) frecuencial [4].
Este método consiste en determinar el valor de las impedancias o las admitancias evaluándolas
en un rango de frecuencias, y a partir de los resultados obtenidos encontrar los valoresmáximos
y mínimos de dichas impedancias o admitancias, con la ayuda de una representación gráfica de
estos valores de la frecuencia. Los puntos en los que se producen estos máximos y mínimos
corresponden a las frecuencias de resonancia.
Para ello, este análisis parte del método de los nudos, del cual se obtiene el sistema matricial
mostrado en la ecuación 4.1, donde Ibf corresponde al vector intensidades de excitación de cada
nudo, Ybf a la matriz de admitancias de cada nudo y Vbf al vector tensiones de nudo.
Ibf = Ybf · Vbf . (4.1)
Dado que en el método de los nudos las excitaciones son corrientes, el análisis de escaneo fre-
cuencial se centra en el estudio de resonancias en paralelo, es decir, se estudian los mínimos de
la matriz de admitancias o los máximos de la inversa de dicha matriz de admitancias (la matriz
de impedancias del sistema). El sistema se evalúa para distintos valores de frecuencia y a partir
de los resultados obtenidos se analizan las frecuencias resonantes. Pero, dado que los nudos del
sistema están relacionados a partir de todos los términos de la matriz de admitancias, el análi-
sis de resonancias se complica, y no se puede obtener de forma directa información relevante,
como los nudos afectados o la influencia de los componentes en el sistema. Una alternativa para
poder superar estas limitaciones del escaneo frecuencial es realizar el análisis modal [5]. Este
es el método que se presenta en el punto 4.2.
pàg. 18 Memoria
4.2. Modos de resonancia
El análisis modal permite estudiar las resonancias en paralelo de las redes eléctricas. Estas reso-
nancias ocurren cuando los valores de la matriz de impedancias son muy elevados. Dado que
Zbf = Y−1bf el caso extremo para el que los elementos de la matriz de impedancias son infinitos se
da cuando la matriz de admitancias es singular, lo que ocurre cuando al menos un valor propio
de la matriz es nulo o próximo a cero. El métodomodal se basa, por tanto, en la diagonalización
de la matriz de admitancias para analizar los valores propios y así, para la frecuencia en la que
alguno tienda a cero, detectar la resonancia.
En general, es conocido que los n vectores propios vi (i = 1,..,n) de un operador matemático
lineal A son los vectores no nulos que cuando son transformados por el operador dan lugar a
un múltiplo escalar de sí mismos,
T · vi = λi · vi (i = 1, .., n), (4.2)
siendo el escalar λi el valor propio del operador matemático.
Se puede extender el planteamiento anterior (ecuación 4.2) a partir de la expresión de los n
vectores propios vi de A representados en columna en la matriz V y la matriz diagonal D de
los valores propios según se muestra en la ecuación 4.3:
A · V = V ·D, (4.3)
lo cual permite obtener la matriz diagonal de valores propios:
V −1 ·A · V = D. (4.4)
Apartir de la ecuación 4.4, se diagonaliza lamatriz de admitancias del sistema delmétodo de los
nudos para analizar los valores propios, obteniendo la descomposiciónmostrada en la ecuación
4.5 (se han eliminado los subíndices f para facilitar la comprensión).
T · Ib = (L · Yb · T ) · T · Vb. (4.5)
Las matrices L y T (4.6) están formadas por el vector propio izquierdo y derecho correspon-
dientes a cada modo colocados en columnas y filas, respectivamente. Estas matrices cumplen
la propiedad T = L−1, y dado que la matriz de admitancias es simétrica, también se cumple
T = L−1 = LT .
L =
[
L1 L2 · · · Ln
]
=

L11 L12 · · · L1n
L21 L22 · · · L2n
...
... . . . ...
Ln1 Ln2 · · · Lnn
 ; T =

T1
T2
...
Tn
 =

T11 T12 · · · T1n
T21 T22 · · · T2n
...
... . . . ...
Tn1 Tn2 · · · Tnn
 . (4.6)
La ecuación se reescribe (4.7) definiendo el vector de intensidades modales Jb = T · Ib, el de
tensiones modalesUb = T ·Vb y la matriz de valores propios (mostrada en 4.8) Λb = T · Yb · L:
Jb = Λb · Ub (4.7)
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 19
Λb =

λ1 0 0 0
0 λ2 0 0
0 0
. . . 0
0 0 0 λn
 . (4.8)
Las resonancias se reflejan en los máximos de la matriz de impedancias Zm = Λ−1b , es decir, en
los máximos de las impedancias modales Zmi = λ−1i . De esta forma, en el dominio modal, se
pueden analizar las resonancias de forma más sencilla, ya que los modos están desacoplados.
Los valores propios a los que corresponden las frecuencias de resonancia se denominan modos
críticos. Este método permite también analizar los nudos de la red en los que las resonancias de
los modos críticos van a tener una mayor influencia. Se define el concepto de factor de partici-
pación de cada nodo i para el modo crítico k (4.9):
PFki = Lik · Tki, (4.9)
donde k es el modo crítico a estudio y i el nudo que se ve afectado. De esta manera se puede
ilustrar el efecto que tiene la resonancia para el modo crítico en todos los nudos de la red, y así
determinar cuál es el nudo más afectado.
4.3. Ejemplo del análisis de resonancia por el método modal con MATLAB
En este apartado semuestra el análisis de resonancia para un circuito con tres nudosmediante el
método de análisis modal programado con MATLAB. La red a estudio corresponde a la IEEE3
[6], representada en la figura 4.1. Las líneas se modelan con una impedancia longitudinal entre
los dos nudos y con un condensador a cada lado conectado del nudo a tierra. En la tabla 4.1 se
muestra el archivo .txt con los datos que lee el programa, donde se muestran todas las ramas
que componen la red, y se pueden observar los nudos entre los que se encuentra cada una y el
valor de las impedancias.
Figura 4.1: Red IEEE3 [6]
pàg. 20 Memoria
Tabla 4.1: Datos en el archivo .txt de la red IEEE3
La primera rama contiene los datos de la carga conectada en el nudo 2. En la figura 4.1 se dan
los valores de P2 y Q2 correspondientes a la carga, por lo que es necesario calcular el valor de
la impedancia en pu. Para ello se ha supuesto que el valor de la tensión en el nudo 2 es de 1 pu
y se ha utilizado un valor de potencia base Sb=1000 MVA.
S2 =
P2 + jQ2
Sb
Z2 =
U2
2
S∗2
. (4.10)
Las ramas 2 y 3 contienen el valor de la impedancia de cortocircuito de los generadores. Para
esta red se ha supuesto que la caída de tensión cuando la carga trabaja en condiciones nominales
es de un 10%, por lo que el valor de la Xcc es de 0,1. También se ha supuesto que el valor de la
resistencia de la red es del orden de Xcc/10.
Las ramas 4, 7 y 10 contienen el valor de las impedancias longitudinales de las líneas que se
muestran en la figura 4.1, y las ramas restantes contienen el valor de las ramas transversales de
las líneas constituidas por condensadores conectados a tierra. Las ramas 5 y 6 contienen el valor
de la XC para la conexión entre los nudos 1 y 2, las ramas 8 y 9 la XC para la que se encuentra
entre los nudos 1 y 3 y las ramas 11 y 12 para la entre los nudos 2 y 3.
Una vez programado el cálculo descrito en el apartado 4.2 y evaluándolo para un barrido de
frecuencias, se obtienen las impedancias modales de cada modo representadas en la figura 4.2.
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 21
Figura 4.2: Impedancias modales de la red IEEE3 obtenidas por el método modal
Se puede observar que a una cierta frecuencia aparecen unos picos de impedancia; este valor
de frecuencia es el correspondiente a la frecuencia de resonancia. En esta red los tres modos
presentan un pico, por lo que todos los modos son críticos. En el cuadro 4.2 se muestran los
valores de frecuencia de resonancia correspondientes a cada modo crítico, además del valor de
la admitancia y la impedancia obtenidos.
Tabla 4.2: Datos obtenidos de la red IEEE3 por el método modal
A continuación sehan representado los factores de participación para cadamodo crítico (figura
4.3). A nivel armónico, la frecuencia de resonancia más interesante es la de 579 Hz, ya que
corresponde a un armónico de k = 579/50 = 11,58, el cual puede llegar a estar inyectado por
las cargas no lineales. Las otras frecuencias son bastante elevadas (armónicos superiores a 40)
para los cuales las corrientes armónicas inyectadas suelen ser prácticamente nulas. Por tanto, se
estudia elmodo crítico 1 (figura 4.3a). En estemodo se puede observar que la resonancia influye
de forma significativa a los tres nudos, por lo que todas las cargas conectadas a este circuito se
verían afectadas por la resonancia a la frecuencia de 579 Hz.
pàg. 22 Memoria
(a) Factores de participación para el modo 1 (b) Factores de participación para el modo 2
(c) Factores de participación para el modo 3
Figura 4.3: Factores de participación para cada modo crítico de la red IEEE3
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 23
5. Análisis modal rápido
El problema que presenta el método modal explicado en el punto 4 es el tiempo computacional
que necesita el programa para resolver los cálculos. Al aumentar el tamaño de la red, es decir,
aumentar el número de nodos, aumenta el tamaño de la matriz de admitancias y, en consecuen-
cia, el tiempo computacional invertido en diagonalizar y evaluar todos los valores propios de la
matriz para todo el rango de frecuencias se incrementa considerablemente.
El objetivo de este Trabajo de Final de Grado es el de estudiar, implementar y comparar diferen-
tes métodos de análisis que permitan determinar los modos críticos de la matriz de admitancias
superando el problema anterior. Para ello se parte del procedimiento conocido como el método
de análisis modal rápido [7], [8], el cual se va a presentar a continuación.
Al diagonalizar la matriz de admitancias se calculan todos los valores propios correspondientes
a todos los modos, pero, en realidad, para analizar las resonancias tan solo es necesario cono-
cer el modo de la matriz de admitancias Yb con el valor propio de módulo mínimo, o el valor
propio de la matriz de impedancias Zb con módulo máximo, es decir, el modo crítico a una
frecuencia determinada. En este capítulo se van a introducir dos procesos iterativos que per-
miten obtener estos valores: el método iterativo de potencia y el método iterativo de potencia
inversa. Estos procedimientos permitirán, en determinadas circunstancias, realizar el análisis de
frecuencias de resonancias en circuitos con un gran número de nodos de forma más rápida que
con el análisis modal, ya que no es necesario diagonalizar la matriz de admitancias para obtener
todos los valores propios. En los siguientes subapartados se desarrollarán estos dos métodos y
se presentarán diversas variantes basadas en estos procesos.
5.1. Método iterativo de potencia
El método iterativo de potencia (MP) permite, dada una matriz cuadrada con vectores propios
linealmente independientes, calcular el valor propio más grande mediante un proceso iterativo
[7], [8]. Dada una matriz cuadrada A de orden n, al diagonalizarla se obtiene el conjunto de
valores propios {λ1, λ2, ..., λn} tales que |λ1| > |λ2| ≥ ... ≥ |λn|, y el conjunto de los vectores
propios asociados a cada valor propio {v1, v2,..., vn }. Asumiendo que estos vectores propios
son linealmente independientes, se puede generar un vector propio aleatorio x0 tal y como se
muestra en la ecuación 5.1.
x0 =
n∑
i=1
aivi, (5.1)
donde ai es el peso del vector propio vi. El método iterativo de potencia consiste en partir de
un valor propio inicial y, aplicando la definición de valor propio (ecuación 4.2), desarrollar el
cálculo mostrado en la ecuación 5.2.
xk = Akx0 = Ak
n∑
i=1
aivi =
n∑
i=1
aiA
kvi =
n∑
i=1
aiλ
k
i vi = λk1 · (a1v1 +
n∑
i=2
λki
λk1
aivi). (5.2)
Demanera que, para una k suficientemente grande, el método converge a λk1a1v1, ya que el ratio
λi
λ1
con i=2,3,...,n siempre es menor que 1 [7],[8]. Notar que cuanto más pequeño sea este ratio
más rápida será la convergencia.
pàg. 24 Memoria
Por tanto, según la ecuación 5.2, partiendo de un vector propio aleatorio x0 se puede realizar el
proceso iterativo para determinar el vector propio asociado al valor propio de mayor módulo
|λ1| de la matriz de impedancias Zb tal y como se muestra en la ecuación 5.3, donde k es el
número de iteraciones.
yk =
xk
||xk||
, xk = Zb yk−1 k = 1, 2, 3... (5.3)
A partir del vector obtenido en cada iteración se calcula el valor propio asociado a este vector
de la siguiente forma (ecuación 5.4):
λk = yTk xk. (5.4)
A medida que k tiende a infinito, el vector xk tiende a alinearse según la dirección del vector
propio unitario derecho asociado al valor propio de máximo módulo λ1, y por tanto el valor
propio calculado λk tenderá a éste valor [7], [8]. En la figura 5.1 se ilustra como partiendo
del vector x0 = [0, 1] la solución tiende al vector propio derecho v1 = [1, 1]. La convergencia del
método será proporcional al ratio |λ2λ1 |
k, donde λ2 es el segundo valor propio conmayormódulo.
Dependiendo de la magnitud de este valor, el resultado convergerá de forma más rápida.
Figura 5.1: Convergencia del vector propio derecho con el método iterativo de potencia [9]
Tal como se ha visto, el método iterativo proporciona, además del valor propio de máximo mó-
dulo, su vector propio unitario por la derecha. No obstante, para poder determinar los factores
de participación (ecuación 4.9) son necesarios los vectores propios por la derecha y por la iz-
quierda. Para su obtención se deben de considerar que siendo la matriz A simétrica (ecuación
5.5) y normal (ecuación 5.6),
A = AT (5.5)
A ·AH = AH ·A, (5.6)
sus vectores propios unitarios (cuyas respectivas componentes demayor módulo tienen ángulo
nulo) por la derecha en formato columna son idénticos a sus vectores propios por la izquierda
en formato fila (4.6). El superíndiceH de la ecuación 5.6 indica la matriz transpuesta y compleja
conjugada (matriz hermítica compleja).
Así, las matrices Yb son normales por construcción, por lo que el vector propio por la derecha
unitario que sale del método iterativo solo se le debe de aplicar 5.7,
xk = xk · e−βkmax , (5.7)
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 25
y el vector propio por la izquierda será el transpuesto de xk, donde βkmax es el ángulo de la
componente con valor máximo de xk. Una vez determinados los vectores propios derecho e
izquierdo se pueden calcular los factores de participación aplicando la ecuación 4.9.
5.1.1. Criterios para seleccionar el vector propio inicial
Como se ha explicado, para iniciar el proceso iterativo es necesario seleccionar un vector propio
inicial. La elección de este vector influirá en la velocidad de convergencia del método ya que,
cuanto más cerca se encuentre del vector propio que se está buscando, menor será el número
de iteraciones necesarias para llegar al resultado final. En este punto se mostraran las diferentes
posibilidades que se han estudiado para la elección del vector propio inicial [8].
5.1.1.1. Primer criterio de seleccióndel vector propio inicial (V EP1) El
El primer criterio que se ha considerado es el de inicializar con un vector propio generado de
forma aleatoria. Evidentemente, esta elección no es la más eficiente ya que, aunque existe la
posibilidad de que se encuentre muy próximo al vector propio que se está buscando, la pro-
babilidad de que ocurra es remota. Por lo tanto, no se puede garantizar que la calidad de este
método sea la que se pretende.
5.1.1.2. Segundo criterio de seleccióndel vector propio inicial (V EP2) El
El segundo caso analizado ha sido el de empezar todas las iteraciones con un vector propio uni-
tario cuyas componentes tengan la misma magnitud. Este vector se genera a partir de la nor-
malización de un vector con todas las componentes iguales a 1 [8]. Por ejemplo, para una red
formada por tres nudos estevector propio inicial sería 1√
3
[1, 1, 1]. De forma general, para una
red con n nudos el vector propio inicial se construye con un vector de dimensión n tal y como
se muestra en la ecuación 5.8.
x0 =
1√
n
[1, 1, ..., 1]. (5.8)
5.1.1.3. Tercer criterio dede seleccióndel vector propio inicial (V EP3) Fi-
Finalmente, una tercera opción estudiada es la de iniciar el proceso iterativo a la frecuencia k a
partir del vector propio obtenido en el cálculo con la frecuencia k − 1. Es de suponer que los va-
lores propios conmayormódulo de la matriz de impedancias para dos frecuencias consecutivas
y sus vectores propios asociados se encuentren muy próximos, por lo que escogiendo el vector
propio inicial igual al calculado para la frecuencia anterior se parte de un valor muy cercano a
la solución, demanera que el programa realiza menos iteraciones y convergemás rápido. Como
para la primera frecuencia no se tiene ningún vector propio calculado anteriormente, para este
primer cálculo es necesario seleccionar un vector propio inicial con una de las otras dos opcio-
nes explicadas anteriormente. Dado que la opción de generarlo de forma aleatoria no es muy
fiable, para la primera frecuencia el vector propio inicial se determinará como se ha mostrado
en la ecuación 5.8.
pàg. 26 Memoria
5.1.2. Criterios para determinar la convergencia de los resultados
En cualquier proceso iterativo es imprescindible definir un criterio para determinar en qué mo-
mento se ha alcanzado la solución buscada y detener las iteraciones. En este punto se presenta-
rán los diferentes criterios que se han analizado para establecer el momento en el que el método
iterativo ha convergido y por tanto se ha obtenido la solución buscada [8].
5.1.2.1. Criterio de tolerancia con valores propios (TOLV AP ) La
La convergencia del método iterativo de potencia se puede determinar mediante la diferencia
(en valor absoluto) de los valores valores propios calculados en dos iteraciones consecutivas.
Esta diferencia se conoce como error. Si el error es igual a cero significa que el resultado obte-
nido con la última iteración no ha variado respecto a la anterior y, por tanto, que se ha llegado
a la solución. Dado que al programar un proceso iterativo es prácticamente imposible obtener
un resultado de esta diferencia exactamente igual a cero, es necesario definir una tolerancia a
partir de la cual se puede considerar que el error es nulo. En la ecuación 5.9 se muestra el cálcu-
lo del error que se realiza en cada iteración k para determinar la convergencia, donde εV APk es
el error relativo entre λk y λk−1, que son los valores propios obtenidos en las dos iteraciones
consecutivas k y k − 1, y ∆V AP la tolerancia impuesta. De esta manera, cuando en una iteración
k se obtiene un valor del error inferior a la tolerancia impuesta se detiene el proceso iterativo y
se considera que el valor propio λk es la solución buscada.
εV APk =
|λk − λk−1|
λk−1
< ∆V AP . (5.9)
La elección de la tolerancia ∆V AP es un compromiso entre la rapidez y la precisión del método.
Para el estudio realizado se ha elegido, después de analizar numéricamente varios ejemplos,
una tolerancia ∆V AP = 1 · 10−10.
5.1.2.2. Criterio de tolerancia con vectores propios (TOLV EP ) El
El segundo criterio para detener el proceso iterativo estudiado ha sido el de determinar el error
en cada iteración a partir de los vectores propios. En este caso el error se determina mediante
la diferencia de normas infinito de los vectores propios obtenidos en dos iteraciones consecu-
tivas. De la misma manera que con los valores propios, se determina un valor de tolerancia a
partir del cual se puede considerar la convergencia del método. En la ecuación 5.10 se muestra
el cálculo que se realiza en cada iteración k, donde εV EPk es el error relativo, ∆V EP la tolerancia
y ||vk||∞ la norma infinito del vector propio, que se calcula tal y como se muestra en la ecuación
5.11, donde v1,v2,...,vn son las componentes del vector v.
εV EPk =
| ||vk||∞ − ||vk−1||∞|
||vk−1||∞
< ∆V EP (5.10)
||v||∞ = max(|v1|, |v2|, ..., |vn|). (5.11)
De la misma manera que con el criterio anterior, cuando para una frecuencia k el valor de este
error es inferior a la tolerancia, se detiene el proceso iterativo y se considera que el valor propio
λk asociado al vector propio vk es la solución buscada.
La elección de la tolerancia ∆V EP es un compromiso entre la rapidez y la precisión del método.
Para el estudio realizado se ha elegido, tras analizar numéricamente diversos ejemplos, una
tolerancia ∆V EP = 1 · 10−10.
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 27
5.1.2.3. Criterios de toleranciamejorados (TOLMV AP y TOLMV EP ) Fi-
Finalmente se ha implementado un criterio adicional para determinar la convergencia de los
resultados con el objetivo de mejorar las prestaciones de los comentados anteriormente. Este
criterio consiste en la aceleración de la convergencia mediante la incorporación de una nueva
condición, que es la de comparar los errores εV APk (ecuación 5.9) y εV EPk (ecuación 5.10) calcu-
lados en dos iteraciones consecutivas [8]. De esta manera, si la diferencia (en valor absoluto) de
ambos errores es inferior a un ciertomargen δV AP y δV EP , respectivamente, se puede considerar
que el programa ha convergido y detener el proceso iterativo. En la ecuación 5.12 se muestra el
cálculo que se realiza en cada iteración k, condición que se añade a la del error calculado a partir
de los valores propios, y en la ecuación 5.13 la que se añade a la del cálculo del error mediante
los vectores propios.
ξV APk = |εV APk − εV APk−1 | < δV AP (5.12)
ξV EPk = |εV EPk − εV EPk−1 | < δV EP . (5.13)
La elección de las tolerancias δV AP y δV EP es un compromiso entre la rapidez y la precisión
del método. Para el estudio realizado se ha elegido unas tolerancias δV AP = δV EP = 1 · 10−6,
después de analizar numéricamente diversos ejemplos. El proceso numérico considerando este
criterio de tolerancia mejorado finalizará en el momento en que se verifique una de las dos
condiciones mostradas en 5.9 y en 5.12 para el caso del control por los valores propios y una de
las dos mostradas en 5.10 y 5.13 en el caso del control por los vectores propios.
5.1.3. Resumen de los criterios de selección del vector propio inicial y de la tolerancia
Como se ha visto, se tienen tres criterios para seleccionar el vector propio con el que iniciar el
método iterativo y cuatro criterios para determinar la convergencia y detener las iteraciones.
En la tabla 5.1 se muestran los acrónimos que se han utilizado para referirse a cada uno de los
criterios con el número de ecuación asociado.
Tabla 5.1: Resumen de los criterios del método de potencia
VEP inicial
Selección del VEP inicial de forma aleatoria V EP1 -
Selección del VEP inicial con todas las componentes iguales V EP2 5.8
Selección del VEP inicial el obtenido en la frecuencia anterior V EP3 -
Convergencia
Error calculado mediante la diferencia de VAPs TOLV AP 5.9
Error calculado mediante la diferencia de VEPs TOLV EP 5.10
Diferencia de VAPs con aceleración de la convergencia TOLMV AP 5.9+5.12
Diferencia de VEPs con aceleración de la convergencia TOLMV EP 5.10+5.13
Recordar que para todos los criterios de convergencia se han impuesto unos valores de tolerancia
para el estudio ∆V AP = ∆V EP = 1 · 10−10 y δV AP = δV EP = 1 · 10−6. Además, se ha limitado
el número de iteraciones a 300, de manera que en el caso de que el programa no convergiera
al llegar a este número de iteraciones se detiene el proceso iterativo y se toma como solución
el último valor propio obtenido. Este límite se ha fijado a partir de la experiencia numérica
adquirida después de analizar varios ejemplos. Dicho número máximo de iteraciones se podría
relajar más, con lo que se ganaría rapidez pero se podría perder precisión final.
pàg. 28 Memoria
5.2. Método iterativo de potencia inversa
Como se ha visto en el apartado 5.1, con el método iterativo de potencia se encuentra elvalor
propio de mayor módulo. Dado que, partiendo de la matriz de admitancias Yb interesa encon-
trar el valor propio demínimomódulo, se puede realizar el método iterativo de potencia inversa
(MPI), el cual permite obtener el valor propio más pequeño [7]. Como los valores propios de
una matriz son los recíprocos de los de la matriz inversa, se puede aplicar el proceso iterativo
mostrado en la ecuación 5.14 y calcular el valor propiomás pequeño de lamatriz de admitancias
invirtiendo el resultado obtenido (ecuación 5.15).
yk =
xk
||xk||
, xk = Y−1b yk−1 k = 1, 2, 3... (5.14)
λk = yTk xk
µk = λ−1k . (5.15)
La convergencia de este método es la misma que la del método iterativo de potencia (ecuación
5.2). Se cumple la ecuación 5.16, demanera que cuando k tiende a infinito, el valor de λ−1k tiende
al valor propio de módulo mínimo correspondiente a la matriz de admitancias, µn, que es el
complementario al valor propio de módulo máximo de la matriz de impedancias λ1.
ĺım
k→∞
λk =
1
µn
. (5.16)
Este método se puede mejorar con la técnica del desplazamiento, obteniéndose el método itera-
tivo de potencia inversa con desplazamiento (MPID), [7], que será la variante analizada en este
trabajo. Este procedimiento consiste en buscar el valor propio λσ de la matriz de admitancias Yb
más próximo a un valor σ, que puede ser real o complejo. Para ello se aplica el método iterativo
de potencia inversa a la matriz de admitancias desplazada Yb,σ que se obtiene tal y como se
muestra en la ecuación 5.17,
Yb,σ = Yb − σI, (5.17)
donde I es la matriz identidad. De esta manera se obtiene el valor propio mínimo de la matriz
desplazada, λσ,min, y a partir de éste se puede calcular el valor propio λσ (ecuación 5.18):
λσ = λσ,min + σ. (5.18)
Este procedimiento presenta, por tanto, la ventaja de poder seleccionar el valor propio que se
quiere determinar. Escogiendo un valor de desplazamiento apropiado, el método convergerá
hacia el valor propio más cercano a este desplazamiento. Además, con este procedimiento se
puede llegar a resolver el problema de forma más rápida ya que, si el desplazamiento está pró-
ximo al valor propio, la convergencia puede ser muy rápida.
De la misma manera que con el método iterativo de potencia, el método iterativo de potencia
inversa solo proporciona el vector propio unitario por la derecha. Para disponer también del
vector propio por la izquierda, y así poder determinar los factores de participación según la
ecuación 4.9, se realiza el mismo procedimiento descrito en el capítulo 5.1.
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 29
5.2.1. Criterios para la selección del desplazamiento
Como se ha mencionado, el método iterativo de potencia inversa con desplazamiento permite
dirigir el resultado del método hacia un valor propio concreto y escogiendo un desplazamiento
adecuado la convergencia a este valor propio puede ser más rápida. Por este motivo se han
estudiado diferentes opciones para determinar qué valor de desplazamiento puede dar mejores
resultados. A continuación se presentan las posibilidades que se han analizado.
5.2.1.1. Primer criterio de seleccióndel desplazamiento (DESP1) La
La primera opción consiste en seleccionar un valor de desplazamiento nulo, σ = 0. Con este va-
lor el método siempre se dirigirá al valor propio más próximo a cero, es decir, se obtiene el valor
propio mínimo que se está buscando. Esto es lo mismo que se realiza con el método de potencia
inversa sin desplazamiento.
5.2.1.2. Segundo criterio de seleccióndel desplazamiento (DESP2) La
La segunda opción es la de utilizar el cociente de Rayleigh para seleccionar el desplazamien-
to (teorema 10.2 en [10]). Si x es un vector propio de una matriz A, entonces el valor propio
asociado se puede obtener con el cociente de Rayleigh, que es el mostrado en la ecuación 5.19.
λ =
Ax · x
x · x
. (5.19)
Por tanto, se puede utilizar este cociente para determinar el desplazamiento, calculándolo me-
diante la matriz de admitancias Yb y el vector propio de la frecuencia estudiada. Este valor de
desplazamiento se encontrará cercano al valor propio que se está buscando, de manera que el
programa convergerá con menos iteraciones.
5.2.1.2. Tercer criterio de seleccióndel desplazamiento (DESP3) La
La tercera opción es la de seleccionar como desplazamiento el valor propio obtenido en el cálcu-
lo de la frecuencia anterior. Dado que los valores propios calculados para dos frecuencias con-
secutivas suelen estar muy próximos, al utilizar como desplazamiento el valor propio obtenido
en la frecuencia anterior se estará cerca del valor propio que se está buscando, por lo que el
método “seguirá” al valor propio de la frecuencia anterior y obtendrá la solución de manera
más rápida. Para la primera frecuencia se toma como desplazamiento el DESP1.
5.2.2. Criterios para seleccionar el vector propio inicial
Como se ha visto en el punto 5.2, para el método iterativo de potencia inversa con desplaza-
miento también es necesario seleccionar un vector propio inicial, de la misma manera que con
el proceso iterativo de potencia, para empezar con el proceso iterativo.
Las alternativas que se han estudiado son las mismas a las explicadas en el punto 5.1.1. Éstas
son las correspondientes al criterio V EP1 de inicializar con un vector propio aleatorio, el criterio
V EP2 de seleccionar un vector propio inicial con todas sus componentes iguales (ecuación 5.8)
y el criterio V EP3 de seleccionar para el cálculo con la primera frecuencia el vector propio de
V EP2 y para el resto seleccionar como vector propio inicial el obtenido en la frecuencia anterior.
pàg. 30 Memoria
5.2.3. Criterios para determinar la convergencia de los resultados
De la misma manera que con el método iterativo de potencia, en el caso del de potencia inversa
también es necesario seleccionar un criterio para determinar cuando el programa ha llegado
a la solución y detener el proceso iterativo. Las alternativas para este método son las mismas
a las explicadas pare el método iterativo de potencia en el punto 5.1.2, que corresponden al
cálculo del error relativo mediante la diferencia de valores propios (TOLV AP ), el cálculo del
error relativo con la diferencia de vectores propios (TOLV EP ) y la mejora de estos dos criterios
con la aceleración de la convergencia (TOLMV AP y TOLMV EP ). De la misma forma que en el
método iterativo de potencia, a todos los criterios se les ha impuesto unos valores de tolerancia
∆V AP = ∆V EP = 1·10−10 y δV AP = δV EP = 1·10−6, además de la limitación de 300 iteraciones.
5.2.4. Resumen de los criterios de selección del vector propio inicial y de la tolerancia
Como se ha visto, para el método iterativo de potencia inversa con desplazamiento se tienen los
mismos tres criterios para seleccionar el vector propio con el que iniciar el método iterativo y
cuatro criterios para determinar la convergencia que son los mismos que para el método itera-
tivo de potencia. Además de estos criterios, este método presenta también tres opciones para
la selección del desplazamiento. En la tabla 5.2 se muestran los acrónimos que se han utilizado
para referirse a cada uno de los criterios con el número de ecuación asociado.
Tabla 5.2: Resumen de los criterios del método de potencia inversa con desplazamiento
VEP inicial
Selección del VEP inicial de forma aleatoria V EP1 -
Selección del VEP inicial con todas las componentes iguales V EP2 5.8
Selección del VEP inicial el obtenido en la frecuencia anterior V EP3 -
Convergencia
Error calculado mediante la diferencia de VAPs TOLV AP 5.9
Error calculado mediante la diferencia de VEPs TOLV EP 5.10
Diferencia de VAPs con aceleración de la convergencia TOLMV AP 5.9+5.12
Diferencia de VEPs con aceleración de la convergencia TOLMV EP 5.10+5.13
Desplazamiento
Desplazamiento nulo DESP1 -
Desplazamiento con el coeficiente de Rayleigh DESP2 5.19
Desplazamiento con el VAP de la frecuencia anterior DESP3 -
5.3. Presentación de todos los métodos programados con MATLABEl origen de este trabajo aparece en la búsqueda de unmétodo que permita analizar las frecuen-
cias de resonancia en una red de grandes dimensiones y extraer toda la información relevante
de la manera más eficiente posible. Para ello se han presentado los dos procedimientos en los
que se basa este proyecto: el método iterativo de potencia y el método iterativo de potencia in-
versa. Estos son los dos métodos a partir de los cuales se parte con el fin de conseguir el objetivo
propuesto, y en los apartados anteriores se han descrito las diferentes alternativas estudiadas
en cada uno de ellos para intentar mejorar la rapidez de convergencia. Es evidente que todos
estos procesos son complejos, y no resulta nada trivial analizarlos todos y programarlos de for-
ma ordenada para obtener los resultados esperados, además de poderlos comparar tanto con
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 31
el método de análisis modal como entre ellos y todas sus variantes para determinar cuál puede
ser el más rápido en obtener los resultados deseados y así poder estudiar las resonancias de los
circuitos de una forma más eficiente.
En este apartado se presentarán todas las funciones que tiene el programa hecho con MATLAB
para obtener las impedancias modales mediante todos los métodos descritos anteriormente.
Para ello se muestra la tabla 5.3, donde aparece la nomenclatura utilizada con la que se hará
referencia a todas las variantes implementadas. Como se ha comentado, las siglas MP y MPID
hacen referencia al método iterativo de potencia y al método iterativo de potencia inversa con
desplazamiento, respectivamente, y cada variante tiene asignada un número de programa, que
corresponde a una alternativa utilizada para el criterio de selección del vector propio inicial y
el criterio para determinar el fin de las iteraciones (ver variantes resumidas en las tablas 5.1 y
5.2).
Tabla 5.3: Nomenclatura para los diferentes métodos analizados y criterios utilizados
Se puede observar que se tienen un total de 16 variantes distintas al combinar los diferentes
criterios de selección del vector propio inicial y el criterio para determinar la convergencia, y
cada una de ellas se ha implementado en el programa mediante una función:
MP: ocho funciones numeradas del 1 al 8.
MPID: ocho funciones numeradas del 1 al 8.
Las funciones con un número impar utilizan el vector propio inicial generado a partir de la
pàg. 32 Memoria
ecuación 5.8 (V EP2), y las funciones con número par utilizan el criterio de selección del vec-
tor propio inicial de utilizar el vector propio obtenido con el cálculo de la frecuencia anterior
(V EP3). Cada una de estas funciones utiliza un criterio de convergencia distinto:
Funciones 1 y 2: criterio de convergencia TOLV AP .
Funciones 3 y 4: criterio de convergencia TOLMV AP .
Funciones 5 y 6: criterio de convergencia TOLV EP .
Funciones 7 y 8: criterio de convergencia TOLMV EP .
A parte de las funciones implementadas, el programa ofrece otras variantes en función de la se-
lección del desplazamiento en el MPID y del procedimiento para realizarla inversa de la matriz
de admitancias para ambos métodos MP y MPID:
Selección del desplazamiento: permite introducir un valor de desplazamiento para el caso
del método de potencia inversa. Esto dará la opción de tener tres variantes más para todos
los procedimientos MPID descritos anteriormente:
• DESP1: poner un desplazamiento σ = 0.
• DESP2: Utilizar el cociente de Rayleigh (ecuación 5.19).
• DESP3: usar como desplazamiento el valor obtenido en la frecuencia anterior (con
σ = 0 para la primera frecuencia).
Procedimiento de la inversa: dado que en ambos método es necesario calcular la inversa
de la matriz de admitancias Yb, se han añadido dos procedimientos distintos para realizar
este cálculo:
• Inversa directa: Se calcula la matriz aplicando directamente la función inversa a la
matriz de admitancias (función inv(*) o equivalente en MATLAB).
• Descomposición LU [11]: este procedimiento consiste en descomponer una matriz
rectangular A en dos matrices tales que A = L·U, donde L es una matriz triangular
inferior y U una matriz triangular superior. De esta manera la resolución del sistema
matricial A·x = b se reduce a resolver los dos sistemas de ecuaciones triangulares
mostrados en 5.20.
Ly = b, Ux = y. (5.20)
Esta factorización A = L·U se consigue haciendo uso del método de eliminación de
Gauss, que consiste en reducir la matriz original a una triangular superior median-
te unas permutaciones y unas transformaciones definidas por matrices elementales
triangulares inferiores (ecuación 5.21):
Ln−1Pn−1 · · · L1P1A = U. (5.21)
Haciendo 5.22 y 5.23, se obtiene la factorización PA = LU .
P = Pn−1 · · · P1 (5.22)
L = P (Ln−1Pn−1 · · · L2P2L1P1)
−1. (5.23)
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 33
MATLAB incorpora la función lu(*) para obtener estas matrices L y U, de manera
que aplicándola a la matriz de admitancias Yb se puede calcular el vector propio xk
en cada iteración haciendo uso de este procedimiento.
Considerando las opciones presentadas en la tabla 5.3 y las variantes comentadas, el progra-
ma ofrece finalmente 64 variantes posibles. A continuación se ha representado un esquema en
forma de árbol (separado el método iterativo de potencia en la figura 5.2 y el método iterativo
de potencia inversa con desplazamiento en el figura 5.3) para ilustrar todas las posibilidades
presentadas.
Figura 5.2: Árbol de variantes para el método iterativo de potencia
pàg. 34 Memoria
Figura 5.3: Árbol de variantes para el método iterativo de potencia inversa con desplazamiento
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 35
5.4. Ejemplo del análisis de resonancia por el método modal rápido con MATLAB
En este punto se pretende comparar la diferencia en la obtención de los resultados mediante el
método de análisis modal (capítulo 4) con los resultados obtenidos mediante el análisis modal
rápido (capítulo 5). Para ello se realizará el estudio de la red IEEE3 mostrada en la figura 4.1
con el método iterativo de potencia MP1 (tabla 5.3) y se comparará con el estudio realizado en
el apartado 4.3 con el método de análisis modal. Dado que la información que se obtiene con
todas las variantes de los métodos de potencia y de potencia inversa con desplazamiento es la
misma, las conclusiones que se extraerán de esta comparación se pueden extender al resto de
métodos rápidos. En el próximo capítulo 6 se estudiarán las prestaciones individuales de cada
una de las variantes propuestas para analizar en detalle cuál puede ofrecer más ventajas.
En la figura 5.4 se han representado las impedancias modales en función de la frecuencia (curva
azul, eje de ordenadas izquierdo) y el númerode iteraciones que ha realizado elmétodo iterativo
para calcular cada una de ellas (curva verde, eje de ordenadas derecho).
Figura 5.4: Resultados de impedancias modales e iteraciones de la red IEEE3 por el MP1
Analizando la curva de impedancias obtenida, se puede observar que el resultado corresponde
a la envolvente de las curvas de las impedancias modales obtenidas mediante el análisis modal
(figura 4.2). Por tanto, esta curva resultante de los métodos MP y MPID proporciona las impe-
dancias modales máximas (los modos críticos) para cada frecuencia, y los picos corresponden
a las frecuencias de resonancia que, como se puede observar, son las mismas a las obtenidas con
el análisis modal. En la figura 5.5 se ha superpuesto la curva obtenida con el método iterativo de
potencia (línea discontinua) sobre el gráfico de impedancias modales obtenido con el análisis
modal para comprobar este resultado.
pàg. 36 Memoria
Figura 5.5: Impedancias modales obtenidas con el análisis modal y con el MP1
Respecto al número de iteraciones realizadas en cada frecuencia (curva verde en la figura 5.4),
se puede observar que para valores deimpedancia modal elevados el número de iteraciones es
muy bajo y viceversa. Esto es debido a que elmétodo iterativo de potencia tienemayor dificultad
para la convergencia de resultados cuando el valor propio de lamatriz de admitancias Yb esmuy
grande (es decir, para impedancias modales muy pequeñas), ya que esto provoca que el ratio
λ2
λ1
sea elevado y, por tanto, se tarde más tiempo en llegar a la solución (ver ecuación 5.2). En el
gráfico se puede ver como alrededor de las frecuencias de 15550 Hz y 2300 Hz la impedancia
modal es muy próxima a cero, y es necesario detener el proceso iterativo con el númeromáximo
de 300 iteraciones impuesto.
A continuación se ha calculado el error relativo cometido en el cálculo de los factores de parti-
cipación para cada modo con el método iterativo de potencia MP1 respecto a los resultados ob-
tenidos con el método modal (representados en la figura 4.3) para comprobar que se obtienen
los mismos resultados. Para el cálculo se utiliza la fórmula mostrada a continuación (ecuación
5.24):
%Error =
|PFDiag − PFMP1 |
|PFDiag|
· 100, (5.24)
donde PFDiag son los valores de factores de participación obtenidos con el método modal y
PFMP1 los obtenidos con el método iterativo de potencia. En el siguiente gráfico (figura 5.6)
se ha representado el error relativo obtenido para cada modo crítico. Se puede observar que
son muy pequeños (el más alto es de un 5, 17 · 10−8 %), por lo que se puede considerar que
todos los resultados obtenidos con el método iterativo de potencia son iguales a los calculados
con el método de análisis modal. Se ha comprobado que esto es cierto para todos los métodos
propuestos en el apartado 5.3 aplicando la ecuación 5.24 a cada uno de ellos (figuras 5.2 y 5.3).
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 37
Figura 5.6: Errores relativos de los factores de participación de la red IEEE3 del método iterativo
de potencia MP1 respecto del método de análisis modal
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 39
6. Análisis con diferentes redes IEEE y comparación del tiempo de
cálculo
En este capítulo se presentarán diferentes redes IEEE que se analizarán haciendo uso de las
técnicas explicadas en el punto 5, con el fin de comparar el tiempo de cálculo computacional
invertido para obtener los resultados con cada una de las variantes explicadas y con el método
de análisis modal visto en el punto 4.
Para todas las redes se ha utilizado en todos losmétodos el procedimiento de la descomposición
LU para el cálculo de matrices inversas, ya que este cálculo es más rápido que el de hacer la
inversa directamente. Esto se ha verificado y se demostrará en el punto 6.7, donde se ha realizado
la comparación de los resultados obtenidos con ambosmétodos de cálculo. Para las variantes del
método de potencia inversa con desplazamiento se ha seleccionado un valor de desplazamiento
σ = 0 (rama DESP1 en la figura 5.3), ya que con las otras opciones se ha comprobado que
el programa no localiza todas las resonancias. Esto se analizará en detalle en el apartado 6.8.
Finalmente, en el apartado 6.9 se realizará un estudio para ver el efecto que tiene la selección de
diferentes valores de tolerancia en los resultados.
6.1. Análisis de la red IEEE3
La red que se estudia en este punto es la misma que se ha utilizado para ejemplificar el método
de análisis modal (punto 4.3) y el método de análisis modal rápido (punto 5.4). El esquema de
esta red se puede ver en la figura 4.1 y los datos en la tabla 4.1.
En las figuras 6.1 y 6.2 se han representado, para los métodos MP y MPID respectivamente, las
impedancias modales (curva azul, eje de ordenadas derecho) y el número de iteraciones (curva
verde, eje de ordenadas izquierdo) en función de la frecuencia. Los resultados obtenidos son
los mismos que los explicados en el punto 5.4. Como se puede observar, con las variantes MP5
(figura 6.1e), MP6 (figura 6.1f), MPID5 (figura 6.1e) yMPID6 (figura 6.2f), en las que el criterio
de convergencia seleccionado es el del cálculo del error como la diferencia de normas de los
VEPs obtenidos en dos iteraciones consecutivas, el programa realiza el máximo impuesto de
300 iteraciones en todas las frecuencias, es decir, el proceso iterativo nunca converge. Esto es
debido a que el vector propio asociado a un valor propio no es único: si un vector v es un VEP,
entonces k·v también lo es, donde k es una constante real o compleja [7]. Esto provoca que los
valores de los vectores obtenidos en cada iteración oscilen, y por lo tanto el error calculado nunca
disminuye ya que, aunque se alcance la solución, la diferencia de normas es siempre constante.
Por este motivo el programa nunca converge y en todas las frecuencias se tiene que detener el
proceso iterativo con el máximo de iteraciones impuesto. Por esta razón las variantes MP5, MP6,
MPID5 y MPID6 han sido descartadas y no se tendrán en cuenta en los estudios realizados a
partir de este punto.
Con los métodos MP7, MP8, MPID7 y MPID8, que también calculan el error con los vectores
propios, esto no ocurre debido a que el criterio de convergencia mejorado incorpora la segunda
condición de parada correspondiente a la diferencia de errores, la cual provoca el fin de las
iteraciones, lo que mejora el tiempo de cálculo tal y como se verá en el estudio de los tiempos
de ejecución con las diferentes redes.
pàg. 40 Memoria
(a) Resultados con el MP1 (b) Resultados con el MP2
(c) Resultados con el MP3 (d) Resultados con el MP4
(e) Resultados con el MP5 (f) Resultados con el MP6
(g) Resultados con el MP7 (h) Resultados con el MP8
Figura 6.1: Resultados obtenidos con los métodos MP de la red IEEE3
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 41
(a) Resultados con el MPID1 (b) Resultados con el MPID2
(c) Resultados con el MPID3 (d) Resultados con el MPID4
(e) Resultados con el MPID5 (f) Resultados con el MPID6
(g) Resultados con el MPID7 (h) Resultados con el MPID8
Figura 6.2: Resultados obtenidos con los métodos MPID de la red IEEE3
pàg. 42 Memoria
Acontinuación se hamedido el tiempo que tarda el programa en obtener los resultados con cada
una de las variantes, haciendo uso de la función tic-toc de MATLAB. Para ello se ha ejecutado
cada variante 1000 veces, guardando el tiempo de cálculo de cada método en cada una de ellas,
y se ha calculado el tiempo medio. En la figura 6.3 se muestran los resultados obtenidos para
cada método.
Figura 6.3: Tiempo medio de cálculo para cada método de la red IEEE3
Como se puede observar, el método más lento es el método modal, que tiene un tiempo medio
de cálculo igual a 0,6589 segundos. Las tres variantes más rápidas son el MP4, con un tiempo
medio de 0,2171 segundos, el MPID4, con una media de 0,2208 segundos y el MPID8, con una
media de 0,3739 segundos.
Estos resultados concuerdan con el número de iteraciones realizadas en cada frecuencia: las
variantes que tienen un tiempo medio de cálculo más elevado presentan un mayor número
de iteraciones realizadas. Tomando como ejemplo el MP1, se puede observar en la figura 6.1a
como la curva de número de iteraciones es más elevada en comparación con la de la figura 6.1d,
correspondiente al MP4.
Aplicación del análisis modal rápido para el estudio de resonancias en sistemas eléctricos pàg. 43
6.2. Análisis de la red IEEE5
En este punto se presenta la red IEEE5 [12], la cual se muestra en la figura 6.4.
Figura 6.4: Red IEEE5 [12]
A partir de los datos mostrados en la figura se puede calcular la impedancia de cada carga con
la ecuación 6.2, donde Ucarga =1 pu para todas las cargas y Sb = 5000 MVA.
Scarga =
Scarga(cosϕcarga + j
√
1− cos2ϕcarga)
Sb
Zcarga =
U2
carga
S∗carga
. (6.1)
La impedancia de los transformadores se calcula mediante la ecuación 6.2, donde ecc permite
calcular la impedancia en pu en la base del TR.
Xc = ecc ·
Sb
Stransf
. (6.2)
Para calcular la impedancia de los condensadores