Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-14

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Sección	7.1	Raíces	y	radicales	 431
 = 2x - 3y
 24x2 - 12xy + 9y2 = 212x - 3y22
249x6 = 317x322 = 7x3
281p4 = 319p222 = 9p2
264x2 = 218x22 = 8x
Solución   
 a) Escribe 64x2 como (8x)2. 
 b) Escribe 81p4 como (9p2)2. 
 c) Escribe 49x6 como (7x3)2. 
 d) Escribe 4x2  12xy  9y2 como (2x  3y)2.
 
Resuelve ahora el ejercicio 67
Solo nos preocupamos de agregar signos de valor absoluto cuando se trabaja con 
raíces cuadradas (y otras raíces pares), pero no cuando el índice es impar.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.1 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
impar índice principal cúbica racional radical
cuadrada radicando par irracional negativa
 1. El símbolo 1 se denomina como el signo .
 2. En la expresión radical 13 5 el 3 es el .
 3. En la expresión radical 13 5 el 5 es el .
 4. Cuando decimos “raíz ” nos referimos a una 
expresión radical con un índice de 2.
 5. Cuando decimos “raíz ” nos referimos a una 
expresión radical con un índice de 3.
 6. La raíz cuadrada de a, escrita como 1a, es el 
número positivo b, tal que b2 = a.
 7. La raíz cuadrada de a, escrita como 1a, es la 
opuesta de la raíz cuadrada principal de a.
 8. Un número se puede escribir como un núme-
ro decimal finito o periódico.
 9. La raíz de un número negativo no es un nú-
mero real.
Practica tus habilidades
Evalúa si cada expresión radical es un número real. Utiliza una calculadora para redondear los números irracionales hasta la centésima 
más cercana. Si la expresión no es un número real, indícalo.
 11. a) b) c) d) 
 12. a) b) c) d) 
 13. 14. 15. 16. 
 17. 18. 19. 20. 
 21. 22. 23. 24. 
 25. 26. 27. 28. 
 29. 30. 31. 32. 
 33. 34. 35. 36. 
 37. 38. 
Utiliza el valor absoluto para evaluar.
 39. 40. 41. 42. 
 43. 44. 45. 46. 
 47. 48. 49. 50. 
 10. La raíz de un número negativo es un nú-
mero negativo.
 B a -  
101
319
b
2
 B a12
13
b
221-0.1922210.0622
21-201.52221235.232221-1192221192
23221-32221-722272
 15 93-14 18.2
14 -8.9 A3 -  
8
27
 A3  
8
27A 4
49
 A3 -  
1
8A3  
1
8A -  
1
25A 1
25
153.91-45.3145.31-36
1121 13 -34314 -8116 -64
16 6415 1-15 -1 15 -1
-13 -125 13 -1253 125 13 -64
-1-161-16-1161116
-1-91-9-1 199
432	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
t1x2 = 24 2x3 - 3x2 + 6x , t122 f1x2 = 23 -2x2 + x - 6, f1-32 k1c2 = 14 16c - 5, k162
h1x2 = 23 9x2 + 4, h142 p1x2 = 13 8x + 9, p122g1x2 = 164 - 8x , g1-32
f1a2 = 114a - 36, f142t1a2 = 1-15a - 9, t1-62q1b2 = 19b + 34, q1-12
q1x2 = 176 - 3x , q142f1c2 = 17c + 1, f152f1x2 = 15x - 6, f122
216b2 - 40bc + 25c224x2 + 4xy + y2 29a2 - 6a + 1 2x2 + 4x + 4
 2121z8 216c6 2100a4225a2
 24x2 + 20xy + 25y229a2 + 12ab + 4b2 2x2 - 12x + 362a2 - 8a + 16
2x200 2z322y222x10
319y4 - 2z322 316a3 - 5b422 317y2 - 3y22 313x2 - 122
217a - 11b22 21x - 322 21a + 102221x - 822
g1252 si 
t1182 si 
m1362 si m1x2 =
x
3
+ 14x + 10.
t1x2 =
x
2
+ 12x - 4.
g1x2 = x2 + 1x - 13.
f1x2 = x + 1x + 7.f181 si Determina Determina
Determina
Determina
Determina
Determina
2 k182 si 
r1452 si 
215x - 322 Z 5x - 3.
212x + 122 Z 2x + 1.
r1x2 =
x
9
+ Ax
5
+ 13.
k1x2 = x2 + Ax
2
- 21.
f1x2 = 1x f1x2 = 2x2 f1x2 = 1x - 5 f1x2 = 1x + 5
V = 64.4h .
{x ƒx … 5}.
{x ƒx Ú 8}.
f1x2 = 1x - 2.g1x2 = 1x + 1.
g1x2 = -1x .f1x2 = 1
1
x + 1.
u = A H
0.026
Escribe como un valor absoluto.
 51. 52. 53. 54. 
 55. 56. 57. 58. 
Utiliza el valor absoluto para simplificar. Tal vez necesites factorizar primero.
 59. 60. 61. 62. 
 63. 64. 65. 66. 
Simplifica. Supón que todas las variables representan valores positivos y que el radicando es no negativo.
 67. 68. 69. 70. 
 71. 72. 73. 74. 
Determina el valor indicado en cada función. Utiliza tu calculadora para aproximar los números irracionales. Redondéalos a la milésima 
más cercana.
 75. 76. 77. 
 78. 79. 80. 
 81. 82. 83. 
 84. 85. 86. 
Resolución de problemas
 87. 
 88. 
 89. 
 90. 
 91. 
 92. 
 93. Selecciona un valor para x, de modo que 
 94. Selecciona un valor para x, de modo que 
Considera los dominios de las funciones de los ejercicios 95 a 98, y relaciona cada función con su gráfica correspondiente.
 95. 
 a) 
x
y
�2
2
4
2 864�2
 96. 
 b) 
x
y
�2
4
2 4�2�6 �4
 97. 
 c) 
x
y
�2
2
4
2 4�2�4
 98. 
 d) 
x
y
�2
2
4
2 864�2
 99. Grafica 100. Grafica 
 101. Grafica 102. Grafica 
 103. Proporciona una función radical cuyo dominio sea 
 104. Proporciona una función radical cuyo dominio sea 
 105. Velocidad de un objeto La velocidad V, que alcanza un objeto, en 
pies por segundo, después de que ha caído cierta distancia h, 
en pies, puede determinarse mediante la fórmula 
Una grúa de percusión cuenta con un gran mazo que se usa 
como martillo para enterrar pilotes en una superficie suave, a 
fin de que sirvan de soporte para edificios u otras estructuras.
¿A qué velocidad golpeará el mazo al pilote si cae desde 
una altura de
 a) 20 pies? 
 b) 40 pies? 
106. Oleaje El instituto de oceanografía Scripps en La Jolla, Ca-
lifornia, desarrolló una fórmula para relacionar la velocidad 
del viento u, en nudos, con la altura H, en pies, de las olas 
que se producen en ciertas áreas del océano. Esta fórmula es
H
 Si las olas que produce una tormenta alcanzan una altura de 
15 pies, ¿cuál es la velocidad del viento?
	 Sección	7.1	Raíces	y	radicales	 433
23 a3 = a?
 2a2 = a?
2a2 = ƒa ƒ?
213x - 822 = 3x - 8?
212x - 622 = 2x - 6?
 
21x + 322 = x + 3?
 
21x - 122 = x - 1?
14 -16.
 -14 16
14 16
2a2
2a2
2a2
2a2
1-81
f1x2 = 1x + 5,
f1x2 = -1x ,
13 x - 216 x + 1
.
1x + 513 x + 5
.
2n xm
1n x
1n a # 1n b = 1n ab ,
1n a1n b
= An a
b
,
8x4 + 10x2 - 3
3x3 - 18x2 + 24x
9ax - 3bx + 12ay - 4by
x3 -
8
27
 y3
Ejercicios de conceptos y escritura
 107. Explica por qué no es un número real.
 108. Una expresión radical con índice impar y un número real 
como radicando, ¿siempre será un número real? Explica tu 
respuesta. 
 109. Una expresión radical con índice par y un número real 
como radicando, ¿siempre será un número real? Explica tu 
respuesta.
 110. a) ¿A qué es igual ? 
 b) ¿A qué es igual si sabemos que a  0? 
 111. a) Evalúa para a  1.3 
 b) Evalúa para a = 1.3 
 112. a) Evalúa 
 b) Evalúa 
 c) Evalúa 
 113. ¿Para qué valores de x, será Explica 
cómo determinaste tu respuesta
 114. ¿Para qué valores de x, será Explica 
cómo determinaste tu respuesta. 
 115. ¿Para qué valores de x, será Ex-
plica cómo determinaste tu respuesta. 
 116. ¿Para qué valores de x, será Ex-
plica cómo determinaste tu respuesta.
 117. a) ¿Para qué valores de a es 
 b) ¿Para qué valores de a es 
 c) ¿Para qué valores de a es 
 118. ¿En qué circunstancias la expresión no es número 
real? 
 119. Explica por qué la expresión 2n xm es número real para cual -
quier número real x.
 120. ¿En qué circunstancias la expresión no es número 
real? 
 121. Determina el dominio de Explica cómo determi-
naste tu respuesta. 
 122. Determina el dominio de Explica cómo determi-
naste tu respuesta.
 123. Si ¿puede f (x) ser
 a) mayor que 0? 
 b) igual a 0? 
 c) menor que 0? 
 Explica tus respuestas.
 124. Si ¿puede f (x) ser
 a) mayor que 0? 
 b) igual a 0? 
 c) menor que 0? 
 Explica tus respuestas.
Actividad de grupo
En esta actividad determinarán las condiciones en que ciertas propiedades de los radicales son verdaderas. Estudiarán estas propiedades 
más adelante en este capítulo. Analicen y respondan en grupo los ejercicios siguientes.
 125. La propiedad denominada propiedad de 
multiplicación para radicales, es verdadera para ciertos núme-
ros reales a y b. Por medio de sustitución de valores para a y b, 
determina enqué condiciones esta propiedad es verdadera.
 126. La propiedad denominada propiedad de divi-
sión para radicales, es verdadera para ciertos números rea-
les a y b. Por medio de sustitución de valores para a y b, 
determina en qué condiciones esta propiedad es verdadera.
Ejercicios de repaso acumulados
Factoriza.
[5.4] 127. 
[5.5] 128. 
 129. 
[5.6] 130. 
434	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
Forma exponencial de
Cuando a es un número no negativo, n puede ser cualquier índice.
Cuando a es un número negativo, n debe ser un número impar.
13 551>3 =
13 5
1n a = a1>n
1n a
)d)c
a2>3 = 1 13 a22 = 23 a2 .
2n am
5rs1>2 = 5r1s110x2
 y21>7 = 27 10x2
 y
y1>4 = 14 y1-821>3 = 13 -8 = -291>2 = 19 = 3
5rs1>2110x2
 y21>7y1>41-821>391>2
A8  
5x7
2z11
= ¢ 5x7
2z11 ≤
1>827 -4x2
 y5 = 1-4x2
 y521>713 15ab = 115ab21>3
17 = 71>2
A8  
5x7
2z11
27 -4x2
 y513 15ab17
7.2 Exponentes racionales
	 1 	 Convertir	una	expresión	
radical	en	una	expresión	
exponencial.
	 2 	 Simplificar	expresiones	
radicales.
	 3 	 Aplicar	las	reglas	de	
los	exponentes	a	los	
	exponentes	racionales		
y	a	los	exponentes	
	negativos.
	 4 	 Factorizar	expresiones	con	
exponentes	racionales.
	1 	Convertir	una	expresión	radical	en	una	expresión	
	exponencial
Hasta ahora, no hemos tratado las expresiones exponenciales con exponentes racionales 
como 51/3, x3/4 y 27-4/3. En esta sección, discutiremos la relación entre dichas expresiones 
y las expresiones radicales.
Considera x  51/3. Ahora eleva al cubo ambos lados de esta ecuación y simplifica 
usando las reglas de los exponentes.
 x  51/3 
 x3  (51/3)3  5(1/3)  3  51  5 
Por lo tanto, 51/3 es un número cuyo cubo es 5. Recuerda que también es un número 
cuyo cubo es 5. Por lo tanto, podemos concluir que 
La siguiente regla muestra que una expresión radical se puede reescribir como una expre-
sión con exponente racional.
A menos que se indique lo contrario, en el resto de este capítulo supondremos que todas las va-
riables en el radicando representan números reales no negativos, y que el radicando es un nú-
mero no negativo. Esto nos permitirá escribir muchas respuestas sin signos de valor absoluto.
EJEMPLO  1  Escribe cada expresión en forma exponencial (con exponentes 
 racionales).
	 a) 	 	 b) 	 	 c) 	 	 d) 	 	
Solución
 a) Recuerda que el índice de cualquier raíz cuadrada es 2.
 b) c) 	 	 	 d) 
Resuelve ahora el ejercicio 19
Las expresiones exponenciales pueden convertirse en expresiones radicales invirtiendo el 
proceso.
EJEMPLO  2 Escribe cada expresión en forma radical (sin exponentes racionales).
 a) 	 b) 	 	 	 c) 	 	 	 d) 	 	 	 e) 	 	
Solución
 a) b) 	 	 	 	 c) 	 	
 d) 	 	 	 e) 	 	
Resuelve ahora el ejercicio 33
	2 	Simplificar	expresiones	radicales
Podemos ampliar la regla anterior, de modo que los radicales de la forma puedan es-
cribirse como expresiones exponenciales. Considera a2/3. Podemos escribir a2/3 como (a1/3)2 o 
(a2)1/3. Esto sugiere que 
	 Sección	7.2	Exponentes	racionales	 435
Esta regla muestra la relación entre las expresiones radicales y las expresiones exponen-
ciales con exponentes racionales.
Cuando cambiamos una expresión radical a una forma exponencial
Forma exponencial de 2n am
Para cualquier número a no negativo, y enteros m y n,
Potencia
 Índice
Ejemplos
 
 
De acuerdo con esta regla, para valores no negativos de las variables podemos escribir
 
EJEMPLO  3  Escribe cada expresión en forma exponencial 
(con exponentes racionales) y después simplifica.
 a) 	 b) 	 	 	 c) 	 	
Solución   
 a) 	 b) 	 	 c) 
Resuelve ahora el ejercicio 45 
Cuando cambiamos una expresión exponencial con un exponente racional a una 
expresión radical
Ejemplos
 
 
 
Observa que puedes seleccionar, por ejemplo, escribir 62>3 como 1 1622.262 33 o
x2/3=�x2
El denominador del exponente 
se convierte en el índice del radical.
El numerador del exponente se 
convierte en la potencia del radicando.
3
1n am = A1n a Bm = am/n
11x212 = x12>66
6
= x211y215 = y15>3
= y52x12 = x12>4 34 = x3
1 1x2121 1y2152x12
1 1p23
3
= 2p32x5 = 1 1x25
 1 1723 = 73>4
44
4
4 1 1x23 = x3>44 1 1p23 = p3>2
 228 = 28>55 2z2 = z2>33 2y3 = y3>2
 z10>3 33= 2z10 o 1 1z210 x9>5 55= 2x9 o 1 1x29
 y3>10 10 10= 2y3 o 1 2y23 72>3 33= 272 o 1 1722
 51>3 3= 15 x1>2 = 1x
2x4=x4/ 3
La potencia del radicando se convierte
en el numerador del exponente racional.
El índice del radical se convierte en
el denominador del exponente racional.
3
436	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
13ab25>4x2>5
1215 z25 = z5>15 = z1>3 or 13 z
24 1xy220 = 1xy220>4 = 1xy25
 = 7
 = 149
 = 491>2
 26 14923 = 493>6
 = 8
 = 1223
 43>2 = 1 1423
1 215 z2524 1xy22026 1492343>2
13ab25>4 = 24 13ab25 114 3ab25x2>5 = 25 x2 115 x22
Si n es un índice par y a es un número real negativo, 2n an = ƒa ƒ y no a. Por ejemplo, 26 1-526 = ƒ -5 ƒ = 5. Debido a que estamos suponiendo, excepto cuando se indique lo 
contrario, que las variables en los radicandos representan números reales no negativos, po-
demos escribir 26 x6 = x y no |x|. Esta suposición también nos permite escribir 2x2 = x y 
1 14 z24 = z.
Ejemplos
 
 
3 	Aplicar	las	reglas	de	los	exponentes	a	los	exponentes	
racionales	y	a	los	exponentes	negativos
En la sección 1.5 se analizaron y discutieron las reglas de los exponentes. En esa sección 
utilizamos como exponentes solo números enteros. No obstante, las reglas siguen siendo 
válidas cuando los exponentes son números racionales. Demos un repaso a dichas reglas.
Forma exponencial de 2n an
Para cualquier número real a no negativo,2n an =  1n a2n = an>n = a
EJEMPLO  4  Escribe cada expresión en forma radical (sin exponentes racionales).
 a) b) 
Solución   
 a) b) o
Resuelve ahora el ejercicio 35
EJEMPLO  5  Simplifica.
 a) b) 	 c) 	 	 	 d) 	 	
Solución   
 a) Algunas veces una expresión con un exponente racional puede simplificarse con 
más facilidad escribiéndola como un radical, como se ilustra.
 Escrito como un radical.
 
 
 b) A veces una expresión radical puede simplificarse con más facilidad escribiéndo-
la con exponentes racionales, como se ilustra en los incisos b) a d). 
 Escrito con un exponente racional.
 Exponente reducido.
 Escrito como un radical.
 Simplificado.
 c) 
 d) 
Resuelve ahora el ejercicio 51
Veamos ahora la expresión 25 x5 . Al escribirla en forma exponencial, se obtiene 
x5/5 = x1 = x. Esto nos lleva a la siguiente regla.
 1 15 z25 = z 26 1xy26 = xy
 24 y4 = y 232 = 3
o
	 Sección	7.2	Exponentes	racionales	 437
Ahora utilizaremos estas reglas para resolver algunos problemas donde los exponen-
tes son números racionales.
EJEMPLO  6  Evalúa.	 	 a) 	 	 	 	 	 b) 	 	 	 	 	 c) 	 	
Solución   
 a) Comienza por usar la regla de los exponentes negativos. 
 Regla del exponente negativo
 Escrito el denominador como un radical.
 Simplificado el denominador.
 
 b) 
 c) 
Resuelve ahora el ejercicio 81
Observa que podríamos haber resuelto el ejemplo 6 a) como sigue:
Sin embargo, por lo general es más fácil evaluar la raíz antes de aplicar la potencia.
Considera la expresión (16)3/4; esta expresión puede reescribirse como 1 14 -1623. 
Ya que 1 14 -1623 no es un número real, la expresión (16)3/4 no es un número real.
En el capítulo 1 se mencionó que
Utilizaremos esto en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO  7  Evalúa. a) b) 
Solución   
Reglas de los exponentes
Para todos los números reales a y b y todos los números racionales m y n,
Regla del producto 
Regla del cociente 
Regla del exponente negativo 
Regla del exponente cero 
Elevar una potencia a una potencia 
Elevar un producto a una potencia 
Elevar un cociente a una potencia 
 a) b) 
Resuelve ahora el ejercicio 83
 a a
b
b
m
=
am
bm, b Z 0
 1ab2m = am
 bm
 1am2n = am . n
 
 a0 = 1, a Z 0
 a-m =
1
am , a Z 0
 
am
an = am - n, a Z 0
 am � an = am
 
+ n
 =
14
 =
1
22
 =
1
1 13 822
 8-2>3 =
1
82>3
8-2>3 =
1
82>3 =
123 82
=
113 64
=
1
4
1-322-6>5 =
1
1-3226>5 =
1
1 15 -3226 =
1
1-226 =
1
64
1-272-5>3 =
1
1-2725>3 =
1
1 13 -2725 =
1
1-325 = -  
1
243
a a
b
b
-n
= ab
a
b
n
a27
8
b
-1>3
a 9
25
b
-1>2
a27
8
b
-1>3
= a 8
27
b
1>3
= A3  
8
27
=
2
3
a 9
25
b
-1>2
= a25
9
b
1>2
= A25
9
=
5
3
1-322-6>51-272-5>38-2>3
438	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
 = 112 x
 = x1>12
 = 1x1>321>4
 24 13 x = 24 x1>3
 = a10
 b15
 c5
 = 1a2
 b3
 c25
 A 24 a2
 b3
 c B 20
= 1a2
 b3
 c220>4
 = 13 7y
 = 17y21>3
 215 17y25 = 17y25>15
24 13 xA 24 a2
 b3
 c B 202F 17y25
)c
 =
91>8
 z1>8
x1>2
 = 91>8
 x-1>2
 z1>8
 = 91>8
 x-4>8
 z1>8
 = 91>8
 x-411>82
 z1>8
 = 19x-4
 z21>8
 ¢9x-4
 z2>5
z-3>5 ≤
1>8
= 19x-4
 z12>52- 1-3>5221>8
 = 7.68x5>6 + 3.2x1>12
 = 13.2212.421x11>32+ 11>222 + 3.2x11>32- 11>42
2.3 x1>312.4x1>2 + x-1>42 = 13.2x1>3212.4x1>22 + 13.2x1>321x-1>42
 =
y2
61>2
 x
  ¢ o
y2
x16
≤
 = 6-1>2
 x-1
 y2
16x2
 y-42-1>2
= 6-1>2
 x21-1>22
 y-41-1>22
 =
1
a1>6
 = a-1>6
 a1>2 
� a-2>3 = a11>22- 12>32
¢9x-4
 z2>5
z-3>5 ≤1>83.2x1>3 12.4x1>2 + x-1>4 216x2
 y-42-1>2a1>2 a�
-2>3
1-2521>2 = 1-25
-251>2 = -12521>2 = -125 = -5
EJEMPLO  9  Simplifica. a) b) c) 
Solución   
 a) Escribe como un exponente racional.
 Simplifica el exponente.
 Escribe como un radical.
 b) Escribe como un exponente racional.
 Eleva el producto a una potencia. 
 c) Escribe 13 x como x1/3.
 Escribe como un exponente racional.
 Eleva la potencia a una potencia.
 Escribe como un radical. 
Resuelve ahora el ejercicio 53  
Consejo útil
¿En qué difieren las expresiones 251/2 y (25)1/2?
Recuerda que x 2 significa (x 2). El mismo principio se aplica aquí.
, el cual no es un número real.
EJEMPLO  8  Simplifica cada expresión y escribe la respuesta sin exponentes 
negativos.
 a) b) 	 	 d) 	
Solución   
 a) Regla del producto
 Determina el MCD y resta los exponentes.
 Regla del exponente negativo 
 b) Eleva el producto a una potencia.
 Multiplica los exponentes.
 Regla del exponente negativo
 c) Comienza aplicando la propiedad distributiva. 
 Propiedad distributiva
 Regla del producto
 
 d) Regla del cociente
 Resta los exponentes.
 Eleva el producto a una potencia.
 Multiplica los exponentes.
 Simplifica los exponentes.
 Regla del exponente negativo
Resuelve ahora el ejercicio 105
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	se	usan	las	reglas	de	
los	exponentes,	hay	muchas	
formas	distintas	de	simplificar	
expresiones	exponenciales.	
Siempre	que	uses	las	reglas	
correctamente,	deberás	llegar	
a	la	expresión	simplificada	
correcta.
	 Sección	7.2	Exponentes	racionales	 439
Cómo utilizar tu calculadora
Determinación	de	raíces	o	expresiones	con	exponentes	racionales	en	una	calculadora	graficadora	o	una	calculadora	
científica
En general hay muchas formas de evaluar una expresión como 845–3/5 en una calculadora.*
Calculadora	científica
Para evaluar 845–3/5, presiona
Respuesta obtenida
845 3 5 0.0175342011 1yx ±
–/ , =
Calculadora	graficadora
Para evaluar 845–3/5, presiona las siguientes teclas.
Respuesta obtenida
845 3 5 .01753420081 1,¿ ENTER1-2
*La secuencia de teclas que se utiliza varía según el modelo de la calculadora. Para calculadoras con modo REAL y 
COMPLEJO se asume que la calculadora está en modo REAL para obtener estos resultados. Lee el manual de tu calcula-
dora para aprender a evaluar expresiones exponenciales con ella.
	4 	Factorizar	expresiones	con	exponentes	racionales
Para factorizar una expresión con exponentes racionales, factoriza el término con el expo-
nente más pequeño.
EJEMPLO  10 Factoriza x 2/5  x –3/5.
Solución    El más pequeño de los dos exponentes es –3/5. Por lo tanto, factoriza-
remos x –3/5 en ambos términos. Para determinar el nuevo exponente en la variable 
que tenía el exponente más grande, restamos el exponente que se factorizó del ex-
ponente original.
Exponente 
factorizado
Exponente 
original
 =
x2/5+x–3/5=x–3/5ax2/5–(–3/5)+1b
=x–3/5(x1+1)
=x–3/5(x+1)
x+1
x3/5
Podemos comprobar nuestra factorización por medio de la multiplicación.
 x 3/5(x  1)  x 3/5  x  x 3/5  1
  x (3/5)  1 + x 3/5
 x 2/5  x –3/5
Como obtuvimos la expresión original, la factorización es correcta.
Resuelve ahora el ejercicio 135 
440	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
Practica tus habilidades
Escribe cada expresión en forma exponencial. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 7. 8. 9. 10. 
 11. 12. 13. 14. 
 15. 16. 17. 18. 
 19. 20. 21. 22. 
 23. 24. 25. 26. 
Escribe cada expresión en forma radical. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 27. 28. 29. 30. 
 31. 32. 33. 34. 
 35. 36. 37. 38. 
 39. 40. 
Simplifica cada expresión radical, cambiándola a forma exponencial. Cuando sea apropiado, escribe la respuesta en forma radical cuando 
sea apropiado. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 41. 42. * 43. 44. 
 45. 46. 47. 48. 
 49. 50. 51. 52. 
 53. 54. 55. 56. 
 57. 58. 59. 60. 
 61. 62. 
Evalúa, si es posible. Si la expresión no es un número real, indícalo.
 63. 64. 65. 66. 
 67. 68. 69. 70. 
 71. 72. 73. 74. 
 75. 76. 77. 78. 
 79. 80. 81. 82. 
 83. 84. 85. 86. 
 87. 88. 89. 90. 
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.2 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
multiplican denominador numerador suman índice potencia dividir función
 1. Cuando se cambia una expresión radical, 1n xm, a una expre-
sión exponencial, el exponente del radicando, m, se convier-
te en el del exponente racional.
 2. Cuando se cambia una expresión radical, 1n xm, a una expre-
sión exponencial, el índice del radical, n, se convierte en el 
 del exponente racional.
 3. Cuando se cambia una expresión exponencial con un expo-
nente racional, xm / n, a una expresión radical, el denomina-
dor, n, se convierte en el del radical.
 4. Cuando se cambia una expresión exponencial con un expo-
nente racional, xm / n, a una expresión radical, el numerador, 
m, se convierte en la del radicando.
 5. Para simplificar la expresión x2/3  x1/4, se 
los exponentes.
 6. Para simplificar la expresión (x2/3)1/4, se 
los exponentes.
16-1>2 - 256-3>4343-1>3 + 16-1>249-1>2 + 36-1>21211>2 + 1691>2
- a25
49
b
-1>2
1-10023>21-8123>4 a64
27
b
-1>3
 64-2>3 16-3>249-1>264-1>3
 1-6421>3-641>31-8121>2-811>2
a 1
32
b
1>5
a1
8
b
1>3
 a100
49
b
1>2
 a25
9
b
1>2
1-6421>41-4921>2272>3642>3
811>4641>31001>291>2
 25 14 ab 325 a9
 24 13 7y33 23 x2
 y 23 14 b 214 y
 213 a21xA 29 a2
 bc4 B 31 18 xyz24
 A 24 a4
 bc3 B 40A 23 xy2 B 1524 16.83241 119.322
212 z426 y3 28 b426 y2
24 x1223 x923 b62a2
 17x2 - 2y32-1>6
 1b3 - d2-1>3
18x2 + 9y27>316a + 5b21>5 18x3
 y227>4111b2
 c23>5
 185a325>2 124x321>2 y17>6185>3
191>2a2>3a1>3a1>2
A4  
3a8
11b5 A5  
2x6
11y7 29 3x + 5z4 16 3a + 8b
26 y11
 z24 x9
 z5
 23 x4
 y 24 a3
 b
 2ab51 13 y2141 1x2924 97
25 91123 71023 x1123 z5
 13 y 2952b32x5
	 Sección	7.2	Exponentes	racionales	 441
Simplifica. Escribe la respuesta en forma exponencial sin exponentes negativos. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 91. 92. 93. 94. 
 95. 96. 97. 98. 
 99. 100. 101. 102. 
 103. 104. 105. 106. 
 107. 108. 109. 110. 
Multiplica. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 111. 112. 113. 
 114. 115. 116. 
Utiliza una calculadora para evaluar cada expresión. Redondea la respuesta al centésimo más cercano.
 117. 118. 119. 120. 
 121.122. 123. 124. 
 125. ¿En qué condiciones se cumplirá nan = ( n a)n = a11
 126. Elige valores para a y b para demostrar que (a2  b2)1/2 no es 
igual que a  b.
 127. Elige valores para a y b para demostrar que (a1/2  b1/2)2 no 
es igual que a  b.
 128. Elige valores para a y b para demostrar que (a3  b3)1/3 no es 
igual que a  b.
 129. Elige valores para a y b para demostrar que (a1/3  b1/3)3 no 
es igual que a  b.
 130. Determina si 23 1x = 213 x , x Ú 0.
Factoriza. Escribe la respuesta sin exponentes negativos. Supón que todas las variables representan números reales positivos.
 131. x3/2  x1/2 132. x1/4  x5/4 133. y1/3  y7/3
 134. x1/2  x1/2 135. y2/5  y8/5 136. a6/5  a4/5
En los ejercicios 137 a 142, utiliza una calculadora donde sea apropiado.
 137. Crecimiento de bacterias La función B(t)  210  2t sirve 
para aproximar el número de bacterias que hay en un culti-
vo después de t horas.
 a) El número inicial de bacterias se determinó cuando 
t = 0. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
 b) ¿Cuántas bacterias hay después de 1 
2
 hora?
 138. Datación por carbono Los científicos emplean un método 
denominado “datación por carbono” para determinar la an-
tigüedad de fósiles, huesos y otros objetos. La fórmula que se 
usa es P  P02
–t/5600, donde P0 representa la cantidad original de 
carbono 14 (C14) presente en un objeto y P representa la can-
tidad de C14 que hay en él después de t años. Si en un hueso de 
un animal recientemente desenterrado están presentes 10 mg 
de C14, ¿cuántos mg estarán presentes dentro de 5000 años?
 139. Velocidad metabólica en reposo La velocidad metabó-
lica en reposo (VMR) de una persona es el número de 
calorías que una persona quema en un día de descanso. La 
VMR de una persona se puede estimar usando R(x)  70x3/4 
donde R(x) se mide en calorías por día y x es la masa 
de una persona en kilogramos. Si Ken Machol tiene una 
masa de 102 kg, estima su VMR a la caloría más cercana.
 Fuente: www.bodybuilding.com 
 140. Velocidad metabólica en reposo Si Martin Alexander tiene 
una masa de 82 kg, estima su VMR a la caloría más cercana 
(ver ejercicio 139).
 141. Determina el dominio de f (x)  (x  7)1/2(x  3)1/2.
 142. Determina el dominio de f (x)  (x  4)1/2(x  3)1/2.
©
 L
uc
 U
ba
gh
s/
Sh
ut
te
rs
to
ck
1
2
 x-2110x4>3 - 38x-1>22-6x5>31-2x1>2 + 3x1>32-9z3>21z3>2 - z-3>22
5x-11x-4 + 4x-1>22-3a-4>915a1>9 - a224z-1>212z4 - z1>22
 ¢250a-3>4
 b5
2a-2
 b2 ≤
2>3
¢x3>4
 y-3
x1>2
 y2
≤
4
¢ 27z1>4
 y3
3z1>4 ≤
1>2
¢ a4
4a-2>5 ≤
-3
 ¢x-1>3
x-2 ≤
2
 ¢22x3>7
2x1>2 ≤
2
¢ 54
2x4 ≤
1>3
 a 3
24x
b
1>3
1x-4>521>3 4x5>33x-7>2x-1>2
 x-2>55y-1>3
60y-2
x4
x-1>219-1>3201a-1>32-1>2
 1x1>22-2
 x-6>5x1>2
x1>3 x6 # x1 2 x4 # x1 2
8060-3>2 1000-1>238.23>2 932>3
 14 1096 15 402.83 13 168 1180
Resolución de problemas
442	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
Ejercicios de conceptos y escritura
Ejercicios de repaso acumulados
	[3.2]	 		 153. Determina cuáles de las siguientes relaciones tam-
bién son funciones.
 a) y
x
 b) y
x
	 c) y
x
 
.	
[6.3]	 		 154. Simplifica 
a-2 + ab-1
ab-2 - a-2
 b-1.
	[6.4]	 		 155. Resuelve la ecuación 
3x - 2
x + 4
=
2x + 1
3x - 2
.
	[6.5]	 		 156. Pilota un avión Amy Mayfiel puede pilotar su avión 
en un trayecto de 500 millas con el viento en contra, en 
el mismo tiempo que le toma pilotarlo en un trayec-
to de 560 millas con el viento a favor. Si el viento 
sopla a 25 millas por hora, determina la velocidad 
del avión con viento en calma.
 145. a) ¿En qué condiciones nan1 es un número real?
 b) Cuando nan1 es un número real, ¿cómo puede expresarse 
con exponentes racionales?
 146. a) ¿En qué condiciones nan1 es un número real?
 b) ¿En qué condiciones nan1 es un número real?
 c) Cuando nan1 es un número real, ¿cómo puede expresarse 
con exponentes racionales?
 147. a) ¿En qué condiciones nan1 es un número real?
 b) Cuando n es un número par y a  0, ¿a qué es igual nan1 ?
 c) Cuando n es un número impar, ¿a qué es igual nan1 ?
 d) Cuando n es un número par y a es cualquier número 
real, ¿a qué es igual nan1 ?
 148. a) Explica la diferencia entre 161/2 y (16)1/2.
 b) Evalúa cada expresión del inciso a), si esto es posible.
 149. a) ¿Es (xy)1/2  xy1/2? Explica.
 b) ¿Es 1xy2-1>2 =
x1>2
y-1>2? Explica.
 150. a) ¿Es 6 (3y3)  (3y)6/31 ? Explica.
 b) ¿Es (ab)4  (ab)21 ? Explica.
 151. Evalúa (a12 )12 . Explica cómo determinaste tu respuesta.
 152. a) Evalúa en tu calculadora 3.
 b) Explica por qué el valor que indicaste en el inciso a) 
tiene sentido o no.
Determina el índice que debe colocarse en el área sombreada para que la expresión sea verdadera.
 143. 144. 
1 	 Entender	potencias	
perfectas.
	2 	 Simplificar	radicales	
mediante	la	regla	del	
producto	para	radicales.
	 3 	 Simplificar	radicales	
mediante	la	regla	del	
cociente	para	radicales.
	1 	Entender	potencias	perfectas
En esta sección simplificaremos expresiones radicales. Empezaremos con una explicación 
de potencias perfectas.
7.3 Simplificación de radicales
Potencia perfecta, cuadrado perfecto, cubo perfecto
 • Una potencia perfecta es un número o expresión que puede ser escrito como una expre-
sión elevada a una potencia, la cual es un número entero mayor a 1.
 • Un número o expresión es un cuadrado perfecto si se puede escribir como el cuadrado 
de una expresión. Un cuadrado perfecto es una segunda potencia perfecta.
 • Un número o expresión es un cubo perfecto si se puede escribir como el cubo de una 
expresión. Un cubo perfecto es una tercera potencia perfecta.
Los ejemplos de cuadrados perfectos se ilustran a continuación.
Cuadrados perfectos
Cuadrado de un número
 
Las variables con exponentes también pueden ser cuadrados perfectos, como se ilus-
tra a continuación.
Cuadrados perfectos
Cuadrado de una expresión
 
Observa que todos los exponentes de las variables de los cuadrados perfectos son múltiplos de 2.
1, 4, 9, 16, 25, 36, Á
p p p p p p 
12, 22, 32, 42, 52, 62, Á
x2, x4, x6, x8, x10, Á
p p p p p 
1x22, 1x222, 1x322, 1x422, 1x522, Á
3    4 2       1x = x1>244     4 3    5 2       13 z = z1>120