Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-16

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450	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
 = 13 + 313 = 413
 13 + 127 = 13 + 1913
213 x + 8x + 413 x - 3 = 613 x + 8x - 3
 = 13 + 312 1o 312 + 132
 = 13 + 14 - 1212
 6 + 412 - 12 + 7 = 6 + 7 + 412 - 12
213 x + 8x + 413 x - 36 + 412 - 12 + 7
 = x4 23 xy2 - xy2  23 xy2
 23 x13
 y2 - 23 x4
 y8 = 23 x12 # 23 xy2 - 23 x3
 y6 # 23 xy2
 = x
 = x - x1y + x1y
 2x2 - 2x2
 y + x1y = x - 2x2 # 1y + x1y
23 x13
 y2 - 23 x4
 y82x2 - 2x2
 y + x1y
 = 3 + 313 3 - 713 3 = 3 - 413 3
 13 27 + 13 81 - 713 3 = 3 + 13 27 # 13 3 - 713 3
 = 615 - 415 + 215 = 415
 = 2 # 315 - 415 + 215
 2145 - 180 + 120 = 2 # 19 # 15 - 116 # 15 + 14 # 15
 = 1016 + 316 = 1316
 = 5 # 216 + 316
 5124 + 154 = 5 # 14 # 16 + 19 # 16
13 27 + 13 81 - 713 32145 - 180 + 1205124 + 154
= 1x4 - xy2223 xy2
23 xy2 .
EJEMPLO  1  Simplifica.
 a) b) 
Solución
 a) Coloca juntos los términos semejantes.
 b) 
Resuelve ahora el ejercicio 15
Como se mencionó en la sección 7.3, a veces es posible convertir radicales no seme-
jantes a radicales semejantes simplificando uno o más de ellos.
EJEMPLO  2  Simplifica 13 + 127 .
Solución  Como 13 y 127 son radicales no semejantes, no se pueden sumar como 
están ahora. Sin embargo, podemos simplificar 127 para obtener radicales semejantes.
Resuelve ahora el ejercicio 19
EJEMPLO  3  Simplifica.
 a) b) c) 
Solución
 a) 
 b) 
 c) 
Resuelve ahora el ejercicio 23
EJEMPLO  4  Simplifica. a) b) 
Solución
 a) 
 b) 
Ahora factoriza el factor común, 
Resuelve ahora el ejercicio 35
Para sumar o restar radicales
 1. Simplifica cada expresión radical.
 2. Combina (suma o resta) los radicales semejantes (si existen).
	 Sección	7.4	Suma,	resta	y	multiplicación	de	radicales	 451
 7 Z 5
 3 + 4 Z 125
 19 + 116 Z 19 + 16
 1n a + 1n b Z 1n a + b
1n a1n b
= An a
b
1n a # 1n b = 1n ab
 = 4x - 101x
 = 4x - 1100 1x
 = 216x2 - 1100x
 12x 1 18x - 1502 = 1 12x21 18x2 + 1 12x21-1502
12x 1 18x - 1502.
 = 2x4
 y524 4xy3
 = 24 16x16
 y20 24 4xy3
 = 24 64x17
 y23
 24 4x11
 y 24 16x6
 y22 = 24 4x11
 y # 16x6
 y22
 = 2x
 = 23 8x3
 13 2x 23 4x2 = 23 2x # 4x2
 = 4x413x
 = 216x813x
 = 248x9
 26x3 28x6 = 26x3 # 8x6
24 4x11
 y 24 16x6
 y22 13 2x 23 4x226x3 28x6
Consejo útil
La regla del producto y la regla del cociente para radicales que se presentaron en la sección 7.3 son
 
Con frecuencia los estudiantes suponen, erróneamente, que existen propiedades semejantes 
para la suma y la resta, pero esto no es así. Para comprobarlo, sea n una raíz cuadrada (índice 
2), a = 9 y b = 16.
	2 	Multiplicar	radicales
Para multiplicar radicales se utiliza la regla del producto que se indicó anteriormente. Des-
pués de la multiplicación, con frecuencia se simplifica el nuevo radical (ver ejemplos 5 y 6).
EJEMPLO  5  Multiplica y simplifica.
 a) b) c) 
Solución
 a) Regla del producto para radicales
 16x8 es un cuadrado perfecto.
 
 b) Regla del producto para radicales
 8x3 es un cubo perfecto.
 
 c) Regla del producto para radicales
 Las raíces cuartas perfectas más grandes 
 que son factores, son 16, x16 y y20.
 
Resuelve ahora el ejercicio 47
Como se indicó antes, cuando se simplifica un radical, los exponentes de las variables 
de los radicandos son menores que el índice.
EJEMPLO  6  Multiplica y simplifica 
Solución  Empieza por utilizar la propiedad distributiva.
Resuelve ahora el ejercicio 53
452	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	que	PIES	es	un	
acrónimo	para	Primeros,	
Interiores,	Exteriores,	Segun-
dos.	El	método	PIES	se	utiliza	
para	multiplicar	dos	binomios	
como	sigue:
	 	 	
También	usamos	el	método	
PIES	para	multiplicar	expresio-
nes	radicales	como:
SEIP
P I E S
P I E S
 = 27 - 1212
 = 27 - 41912
 = 27 - 4118
 = 24 - 2118 - 2118 + 3
 = 4162 - 2118 - 2118 + 3
 1216212162 + 121621-132 + 1-13212162 + 1-1321-132
1216 - 1322 = 1216 - 1321216 - 132
A 13 x - 23 2y2 B A 23 x2 - 13 8y B1216 - 1322
 = x - y1x - 1xy + y1y
y1y+1xy-y1x- = 2x2
p
1-1y21-y2
 
+
p
1-1y21 1x2
 
+
p
11x21-y2
 
+
p
1 1x21 1x2
1 1x - 1y21 1x - y2.
 A 13 x - 23 2y2 B A 23 x2 - 13 8y B = 1 13 x2A 23 x2 B + 1 13 x21-13 8y2 + A -23 2y2 B A 23 x2 B + A -23 2y2 B1-13 8y2
P I E S
 = 9 - 6 = 3
 = 9 - 136
 = 9 - 316 + 316 - 136
 13 + 16213 - 162 = 3132 + 31-162 + 1 162132 + 1 1621-162.
13 + 16213 - 162.
 = x - 213 xy - 23 2x2
 y2 + 2y13 2
 = 23 x3 - 23 8 13 xy - 23 2x2
 y2 + 23 8y3 13 2
 = 23 x3 - 13 8xy - 23 2x2
 y2 + 23 16y3
P I E S
11a + 1b 211c + 1d 2.
pppp
EJEMPLO  7 Multiplica 
Solución  Multiplicaremos utilizando el método PIES.
 
 
 
Resuelve ahora el ejercicio 63
EJEMPLO  8  Simplifica. a) b) 
Solución
 a) 
 Ahora multiplica los factores usando el método PIES.
 
 b) Multiplica los factores usando el método PIES 
En el ejemplo 6, observa que podría haberse obtenido el mismo resultado simplificando pri-
mero y 15018x y después multiplicando. Intenta resolver dicho ejemplo de esta manera.
A continuación multiplicaremos expresiones radicales con sumas o diferencias en los
radicales como A1a + 1b B A1c + 1d B . Utilizaremos el método PIES que se utilizó para 
multiplicar dos binomios. 
 
 
Resuelve ahora el ejercicio 99
EJEMPLO  9  Multiplica 
Solución  Podemos multiplicar mediante el método PIES.
Resuelve ahora el ejercicio 59
	 Sección	7.4	Suma,	resta	y	multiplicación	de	radicales	 453
= ƒx + 3 ƒ
= 21x + 322
f1x2 = 2x2 + 6x + 9
= x + 3
= 21x + 322
f1x2 = 2x2 + 6x + 9
f1x2 = 2x2 + 6x + 9
f1x2 = 2x2 + 6x + 9
 = 36 + 616
 1f # g2162 = 62 + 616
 1f # g21x2 = x2 + x1x
 = x2 + x1x
 = 2x6 + 2x4
 = 2x2 2x4 + 2x2 2x2
 = 2x2 A 2x4 + 2x2 B
 1f # g21x2 = f1x2 # g1x2
1f # g21x2 = f1x2 # g1x2.
g1x2 = 2x4 + 2x2 ,f1x2 = 23
3
3 3 3
3 3
3
3
3
3
3 3 3
3 3x2
 = 3
 = 9 - 6
 13 + 16213 - 162 = 32 - 1 1622
 1a + b21a - b2 = a2 - b2
En el ejemplo 9, observa que multiplicamos la suma y la diferencia de las mismas dos 
expresiones radicales. Recuerda de la sección 5.6 que (a  b) (a  b)  a2  b2. Si hacemos 
a  3 y b 16, podemos multiplicar como sigue.
Cuando multiplicamos la suma y la diferencia de las mismas dos expresiones radicales, po-
demos obtener la respuesta mediante la diferencia de los cuadrados de las dos expresiones 
radicales.
EJEMPLO  10  Si y determina a) (f  g)(x) y 
b) (f  g)(6).
Solución
 a) De la sección 3.6, sabemos que 
 
 Sustituidos los valores dados.
 Propiedad distributiva
 Regla del producto para radicales
 Radicales simplificados.
 b) Para calcular (f  g)(6), sustituye x por 6 en la respuesta que obtuviste en el inciso a). 
 Sustituye x por 6.
 
Resuelve ahora el ejercicio 77
Como se indicó antes en este capítulo, a menos de que se indique lo contrario, su-
ponemos que las expresiones variables en los radicandos representan números reales no 
negativos. En el ejemplo 11 demostramos cómo se debe usar el valor absoluto para los 
casos en los que el radicando puede representar cualquier número real.
EJEMPLO  11  Simplifica f (x) si
 a) suponiendo que x  3. 
 b) suponiendo que x puede ser cualquier número real. 
Solución
 a) 
 x2  6x  9 se factorizó como (x  3)2.
 Como x  3, x  3  0 no se necesitan 
 barras de valor absoluto.
 b) 
 x2  6x  9 se factorizó como (x  3)2.
 Como x puede ser cualquier número real, x  3 puede 
 ser negativo son necesarias barras de valor absoluto.
Resuelve ahora el ejercicio 105
454	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
f1x2 = 24 2x3 , g1x2 = 24 8x5 - 24 5x6f1x2 = 24 3x2 , g1x2 = 24 9x4 - 24 x7
f1x2 = 23 2x2 , g1x2 = 13 4x + 23 32x2f1x2 = 13 x , g1x2 = 23 x5 + 23 x4
f1x2 = 16x , g1x2 = 16x - 110xf1x2 = 1x, g1x2 = 1x - 13
113 4x - 13 2y2113 4x + 13 102113 4 - 13 62113 2 - 13 362113 9 + 13 22113 3 + 13 42
1213x - 1y21313x + 1y211y + 16z2112z - 18y21215 - 322
113 + 7221413 + 122113 - 1221516 + 321416 - 12
13 - 12214 - 18211 + 15218 + 152113 + 42113+ 52
131a - 51b2131a + 51b2117 - 1z2117 + 1z211x + y211x - y2
116 + x2116 - x219 - 15219 + 15218 + 15218 - 152
25 16x7y6 A25 2x6y9 - 25 10x3y7 B223 x4y5 A23 8x12y4 + 23 16xy9 B13y A227y2 - 1y B
13 y A213 y - 23 y8 B13 1112 + 18215 115 - 132
12 116 + 1182A23 2x3y4 B 224 8x4yz3 24 2x2y3z7
25 x24y30z9 25 x13y8z724 3x9y12 24 54x4y723 9x7y10 23 6x4y3
23 5ab2 23 25a4b1229m3n7 23mn413 3 13 54
13 4 13 1423 2272228
523 320x5y8 + 3x23 135x2y8
23 128x8y10 - 2x2y23 16x2y7x23 27x5y2 - x223 x2y2 + 423 x8y224r7s5 + 3r22r3s5 - 2rs2r5s3
5y24 48x5 - x24 3x5y4223 a4b2 + 4a23 ab23245x3 + 15x
13 27 - 513 8313 16 + 13 5413 108 + 13 32
413 5 - 513 403250a2 - 3272a2 - 8a1183227c2 - 22108c2 - 248c2
215x - 3120x - 4145x518 + 2150 - 31722500xy2 + y1320x
3240x2y + 2x1490y-4190 + 3140 + 211031250 + 41160
-6175 + 5112528 + 21823 + 212
81a + 413 b + 71a - 1213 b51x - 81y + 31x + 21y - 1x
9 + 414 a - 714 a + 5315 - 13 x + 615 + 313 x
315 a + 7 + 515 a - 2214 y - 914 y
613 7 - 813 7213 - 213 - 413 + 5
312 + 712 - 11615 - 215
413 - 1312 - 12
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.4 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
conmutativa distributiva menores semejantes PIES primeros mayores no semejantes
 1. Los radicales que tienen el mismo radicando e índice son 
radicales .
 2. Los radicales que difieren en el radicando o en el índice son 
radicales .
 3. La propiedad se usa para sumar o restar 
radicales semejantes de la misma forma en la que se suman 
o restan términos semejantes.
 4. Cuando un radical se simplifica, los exponentes de las varia-
bles en el radicando son que el índice.
 5. Cuando multiplicamos expresiones radicales que tienen 
sumas o restas de radicales, como 11a + 1b211c + 1d2, 
usamos el método .
 6. PIES es un acrónimo para , interiores, 
exteriores, segundos.
Practica tus habilidades
En este conjunto de ejercicios, supón que todas las variables representan números reales positivos. 
Simplifica.
 7. 8. 
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
 15. 16. 
 17. 18. 
Simplifica.
 19. 20. 21. 
 22. 23. 24. 
 25. 26. 27. 
 28. 29. 30. 
 31. 32. 33. 
 34. 35. 36. 
 37. 38. 39. 
 40. 
Simplifica.
 41. 42. 43. 
 44. 45. 46. 
 47. 48. 49. 
 50. 51. 52. 
 53. 54. 55. 
 56. 57. 58. 
 59. 60. 61. 
 62. 63. 64. 
 65. 66. 67. 
 68. 69. 70. 
 71. 72. 73. 
 74. 75. 76. 
En los ejercicios 77-82, f(x) y g(x) están dadas. Determina (f  g)(x).
 77. 78. 
 79. 80. 
 81. 82. 
	 Sección	7.4	Suma,	resta	y	multiplicación	de	radicales	 455
Simplifica. Estos ejercicios son una combinación de los que se presentaron antes en esta sección.
 83. 84. 85. 
 86. 87. 88. 
 89. 90. 91. 
 92. 93. 94. 
 95. 96. 97. 
 98. 99. 100. 
 101. 102. 
Simplifica las siguientes expresiones. En los ejercicios 105 y 106, supón que las variables pueden ser cualquier número real. Ver ejemplo 11.
 103. 104. 
 105. 106. 
Resolución de problemas
Determina el perímetro y el área de las siguientes figuras. Da tu respuesta en forma radical con los radicales simplificados (Sugerencia: ver 
la página 711 para las fórmulas que necesites).
 107. 
�45
�80
 108. 
�54 �96
�150
12�6
5
 109. 
�125
�45 �80
12�5
5
 110. 
�18
�40
�160
�18�8
 
 111. Marcas de derrape A veces los agentes de tránsito utilizan 
la fórmula s = 130FB para determinar la velocidad de un 
auto, s, en millas por hora, con base en las marcas de derrape 
que dejó sobre el camino. En la fórmula, la letra F representa 
“el factor del camino”, que se determina según el material y 
las condiciones de la superficie del camino, y la letra B re-
presenta la distancia de frenado, en pies. El oficial Jenkins 
investiga un accidente. Determina la velocidad del automóvil 
si las marcas de derrape son de 80 pies de longitud, y a) el 
camino era asfalto seco, cuyo factor de camino es de 0.85, y 
b) el camino era grava mojada, cuyo factor de camino es 0.52.
DIAL 911
POLICIA
 112. Manguera contra incendio La velocidad a la que fluye el agua 
R, en galones por minuto, a través de una manguera contra in-
cendios puede calcularse mediante la fórmula R = 28d21P ,
donde d es el diámetro de la boquilla de la manguera, en 
pulgadas, y P es la presión de salida, en libras por pulgada 
cuadrada. Si la boquilla de la manguera tiene un diámetro de 
2.5 pulgadas y la presión de salida es de 80 libras por pulgada 
cuadrada, determina la velocidad del flujo de agua. 
 113. Estatura de niñas La fórmula f1t2 = 31t + 19 puede usar-
se para calcular la estatura media f(t), en pulgadas, de niñas 
de edad t, en meses, donde 1  t  60. Calcula la estatura 
promedio de niñas de a) 36 meses y b) 40 meses.
 114. Desviación estándar En estadística, la desviación estándar 
de la población, s (se lee “sigma”), es una medida de la 
dispersión de un conjunto de datos respecto de su valor 
medio. Cuanto mayor sea la dispersión, mayor será la des-
viación estándar. Una fórmula que se utiliza para deter-
minar sigma es s = 1npq , donde n representa el tamaño 
de la muestra, p representa el porcentaje (o probabilidad) de 
que algo específico ocurra, y q el porcentaje (o probabili-
dad) de que no ocurra. En una muestra de 600 personas 
que compraron boletos para viajar en avión, el porcenta-
je que se presentó a su vuelo, p, fue 0.93, y el porcentaje 
que no lo hizo, q, fue 0.07. Utiliza esta información para 
 determinar s.
©
 M
ish
el
la/
Sh
ut
te
rs
to
ck
©
 R
ad
u 
Ra
zv
an
/S
hu
tte
rs
to
ck
f1b2 = 220b2 + 60b + 45h1r2 = 24r2 - 32r + 64
g1a2 = 13a + 7 13a + 7, a Ú -
7
3
f1x2 = 12x - 512x - 5, x Ú
5
2
24 4st2 A24 2s5t6 + 24 5s9t2 B23 3ab2 A23 4a4b3 - 23 8a5b4 B
113 a + 52A23 a2 - 6 BA23 x2 - 13 y B A13 x - 223 y2 B223 24a3y4 + 4a23 81y4
2b24 a4b + ab14 16b25 14x4y2 25 3x4y326 128ab17c9
23 x9y11z23 80x1114 2 14 40
115013313 81 + 413 2416 15 - 122
115 + 122112 + 12021312 - 42112 + 52417 + 2163 - 2128
1125 - 1201300118
456	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
g1x2 = 1x - 2.f1x2 = 1x g1x2 = -1x - 3.f1x2 = 1x
Prueba de mitad de capítulo: 7.1-7.4
Para saber tu comprensión de los temas que se han abordado hasta este momento, resuelve este breve examen. Las respuestas, y la 
sección en que se trató el tema por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repasa el tema de las preguntas que respondiste de 
forma incorrecta.
Ejercicios de conceptos y escritura
 115. A continuación se muestra la gráfica de f1x2 = 1x .
y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
765431 2�1
 a) Si g(x)  2, traza la gráfica de (f  g)(x).
 b) ¿Qué sucede si se suma 2 a la gráfica de f(x)?
 116. La gráfica de f1x2 = -1x es la siguiente.
y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
765431 2�1
 a) Si g(x)  3, traza la gráfica de (f  g)(x).
 b) ¿Qué sucede si se suma 3 a la gráfica de f(x)?
 121. ¿Puede ser 1a + 1b = 1a + b? Explica tu respuesta y 
proporciona un ejemplo que la apoye.
 122. Como 64  36  100, ¿puede ser 164 + 136 = 1100?? 
Explica tu respuesta.
 123. ¿La suma de dos radicales siempre dará por resultado un 
radical? Proporciona un ejemplo para apoyar tu respuesta.
 124. ¿La resta de dos radicales siempre dará por resultado un 
radical? Proporciona un ejemplo para apoyar tu respuesta.
Ejercicios de repaso acumulados
[1.2]	 125. ¿Qué es un número racional?
[1.3]	 126. ¿Qué es un número real?
 127. ¿Qué es un número irracional?
 128. ¿Cuál es la definición de a?
[2.2]	 129. Despeja m de la fórmula E =
1
2
mv2.
[2.5]	 130. Resuelve la desigualdad 4  2x 3  7 e indica la 
solución a) en la recta numérica; b) en notación de 
intervalo; c) en notación constructiva de conjuntos.
 
 117. Si te indican que y
 a) Traza la gráfica de (f  g)(x).
 b) ¿Cuál es el dominio de (f  g)(x)?
 118. Si te indican que y 
 a) Traza la gráfica de(f  g)(x).
 b) ¿Cuál es el dominio de (f  g)(x)?
 119. Realiza la gráfica de la función f1x2 = 2x2 . 120. Realiza la gráfica de la función f1x2 = 2x2 - 4.
g(16) si 
26 64a13b23c15232x4y9
8x-21x3 + 2x-1>22.
7x-5>2 # 2x3>2A24 a2b3c B 20
-491>2 + 813>4.
25 7a4b3
g(x) �
x
8
+ 4x - 7.
313a2 - 4b322
21-16.322
A3 -
27
64
1121
264x2 , x Ú 0
21x - 322
3b24 a5b + 2ab14 16ab
213a A227a2 - 514a B
1x + 15 B A2x - 3152
222 90x2y + 3x1490y
21x - 31y + 91x + 151y
220x5y122180x15y7
13 313 81
Determina la raíz que se indica.
 1. 2. 
Utiliza el valor absoluto para evaluar.
 3. 
 4. 
 5. Determina 
 6. Escribe en forma exponencial. 
 7. Evalúa 
Simplifica cada expresión.
 8. 9. 
 10. Multiplica 
Simplifica cada radical.
 11. 12. 
 13. 14. 
Simplifica. Considera que todas las variables representan números 
reales positivos.
 15. 
 16. 
 17. 
 18. 
 19. 
 20. Al simplificar las siguientes raíces cuadradas, ¿en qué in-
cisos la respuesta tiene un valor absoluto? Explica tu res-
puesta y simplifica los incisos a) y b).
 a) 
 b) .