Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-17

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Sección	7.5	División	de	radicales	 457
7.5 División de radicales
	1 	 Racionalizar	
	denominadores.
	2 	 Racionalizar	un	
	denominador	mediante		
el	conjugado.
	3 	 Entender	cuándo	un	
radical	está	simplificado.
	4 	 Utilizar	la	racionalización	
del	denominador	en	un	
problema	de	adición.
	5 	 Dividir	expresiones	
radicales	con	índices	
diferentes.
	1 	Racionalizar	denominadores
Cuando el denominador de una fracción contiene radicales, por lo general se reescribe la 
fracción como una fracción equivalente en la cual el denominador no contenga radicales. 
El proceso que utilizamos para reescribir la fracción se conoce como racionalización del 
denominador. En esta sección usaremos la regla del cociente para radicales, presentada en 
la sección 7.3, para racionalizar denominadores. 
Para racionalizar un denominador
Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un radical, que producirá un 
radicando en el denominador que es una potencia perfecta para el índice.
Cuando el numerador y el denominador se multiplican por la misma expresión radi-
cal, en realidad se está multiplicando la fracción por 1, con lo cual no se modifica su valor. 
Recordemos también que vamos a suponer que todas las variables en los radicandos re-
presentarán números reales no negativos.
EJEMPLO  1  Simplifica. a) 
115
 b) 
x
413
 c) 
1112x
 d) 
23 16a413 b
Solución    Para simplificar cada expresión debemos racionalizar los denomina-
dores. Para ello, multiplicamos el numerador y el denominador por un radical que 
haga que el denominador se convierta en una potencia perfecta para el índice dado.
 a) 115
=
115
# 
 
 
1515
=
15125
=
15
5
 b) x
413
=
x
413
# 
 
 
1313
=
x13
4 # 3
=
x13
12
 c) Hay dos factores en el radicando, 2 y x. Como 22 o 4 es un cuadrado perfecto, y 
x2 también es un cuadrado perfecto, multiplicamos el numerador y el denomina-
dor por 12x .
 =
1112x
2x
 =
1112x24x2
 
1112x
=
1112x
#    
12x12x
 d) El numerador y el denominador carecen de factores comunes. Antes de raciona-
lizar el denominador, simplifiquemos el numerador.
 Regla del producto para radicales
 =
2a13 2a13 b
 
23 16a413 b
=
23 8a3 13 2a13 b
 Simplifica el numerador.
Ahora racionalicemos el denominador. Como el denominador es una raíz cúbica, 
necesitamos convertir el radicando en un cubo perfecto. En vista de que el deno-
minador contiene b y requerimos b3, necesitamos dos factores más de b, o b2. Por 
tanto, multiplicamos el numerador y el denominador por 23 b2 .
 =
2a23 2ab2
b
 =
2a23 2ab223 b3
 =
2a13 2a13 b
# 
 
 
23 b223 b2
Resuelve ahora el ejercicio 15
Comprendiendo 
el álgebra
Históricamente,	los	denomina-
dores	han	sido	racionalizados	
para	poder	obtener	más	fácil	
una	aproximación	decimal.	En	
el	ejemplo	1	inciso	a)	
se	demostró	que	
115
=
15
5
.
Una	aproximación	de	
115
	
necesitaría	una	división	
complicada	ya	que	implicaría	
que	dividieras	1	entre	una	
aproximación	de	15 	que	es	
2.236.
Sin	embargo,	aproximar	
15
5
	
necesita	que	dividas	2.236	
entre	5,	¡lo	cual	es	una	tarea	
mucha	más	fácil!
458	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
EJEMPLO  2  Simplifica. a) A5
7 b) A3  
x
2y2 c) A4  
32x9
 y6
3z2 
Solución    En cada inciso, utilizaremos la regla del cociente para reescribir el radi-
cal como un cociente de dos radicales.
 a) A5
7
=
1517
# 
 
 
1717
=
135149
=
135
7 
 b) A3  
x
2y2
=
13 x23 2y2 
El denominador es 23 2y2. Multiplicando el numerador y el denominador por 
la raíz cúbica de una expresión que haga que el radicando del denominador sea 23 23
 y3 . Como y2 # y = y3,2 # 22 = 23 multiplicamos el numerador y el 
denominador por 23 22
 y .
 =
13 4xy
2y
 =
23 x 23 4y23 23y3
 
13 x23 2y2
=
13 x23 2y2
#    
23 22y23 22y
 c) Después de usar la regla del cociente, simplificamos el numerador. 
 Regla del cociente para radicales
 Regla del producto para radicales
 =
2x2
 y24 2xy224 3z2
 =
24 16x8
 y4 24 2xy224 3z2
 A4  
32x9
 y6
3z2
=
24 32x9
 y624 3z2
 Simplificado el numerador. 
Ahora racionalicemos el denominador. Necesitamos multiplicar tanto el nume-
rador como el denominador por una raíz cuarta para producir un radicando que 
sea una cuarta potencia perfecta. Como el denominador tiene un factor de 3, 
necesitamos tres factores más de 3, o 33. Ya que hay dos factores de z, necesi-
tamos dos factores más de z, o z2. Por tanto, multiplicaremos el numerador y el
denominador por 24 33
 z2 .
 
=
2x2y24 54xy2z2
3z
=
2x2y24 54xy2z224 34z4
=
2x2y24 2xy2 24 27z224 3z2 24 33z2
=
2x2y24 2xy224 3z2
#    
24 33z224 33z2
 Regla del producto para radicales
Nota: no hay factores de 54 que sean cuartas potencias perfectas, y cada exponente 
del radicando es menor que el índice.
Resuelve ahora el ejercicio 53
y
	 Sección	7.5	División	de	radicales	 459
	2 	Racionalizar	un	denominador	mediante	el	conjugado
El denominador de algunas fracciones es una suma o resta que involucra radicales que no
pueden ser simplificados, por ejemplo una fracción como: 
13
4 + 13
. Para racionalizar el
denominador de esta fracción, multiplicamos el numerador y el denominador por 4 - 13. 
Las expresiones 4 + 13 y 4 - 13 son conjugados uno del otro. Otros ejemplos de con-
jugados se muestran a continuación. 
Expresión	radical Conjugado
Cuando una expresión radical se multiplica por su conjugado utilizando el método 
PIES, el resultado será una expresión más sencilla que no contiene raíces cuadradas. El 
siguiente ejemplo muestra el producto de una expresión radical y su conjugado.
EJEMPLO  3  Multiplica 16 + 13216 - 132.
Solución    Multiplica usando el método PIES.
 P I E S
 = 33
 = 36 - 3
 = 36 - 19
 = 36  - 613 + 613 - 19
 16 + 13216 - 132 = 6162 + 61-132 + 61 132 2+ 13 1-13
Resuelve ahora el ejercicio 57
En el ejemplo 3, se obtendría el mismo resultado usando la fórmula para el producto 
de la suma y resta de los mismos dos términos. El producto resulta de la resta de dos cua-
drados (a  b)(a  b)  a2  b2. En el ejemplo 3, si hacemos que a  6 y b = 13, usando 
la fórmula obtenemos lo siguiente. 
 = 33
 = 36 - 3
 16 + 13216 - 132 = 62 - 1 1322
pppppp
 1a + b21a - b2 = a2 - b2
Para racionalizar un denominador mediante el conjugado
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Simplifica 
utilizando la propiedad distributiva, el método PIES o el producto especial 
(a  b)(a  b)  a2  b2. 
Resolvamos ahora un ejemplo donde racionalizaremos un denominador usando su 
 conjugado.
9 + 12
813 - 151x + 1y
-6a - 1b
9 - 12
813 + 151x - 1y
-6a + 1b
Comprendiendo 
el álgebra
En	el	capítulo	5	discutimos	el	
producto.
(a		b)(a		b)		a2		b2
Observa	cómo	la	suma	de	
los	productos	tanto	externo	
como	interno,	ab		ab,	
siempre	es	0.	Este	mismo	
procedimiento	puede	utili-
zarse	cuando	multipliquemos	
una	expresión	radical	por	su	
conjugado.	Por	ejemplo,
 = 9 - 2 = 7
 13 + 12213- 122 = 32 - 11222
460	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
Una expresión radical está simplificada cuando se cumplen estas tres 
condiciones.
 1. No hay potencias perfectas que sean factores del radicando y todos los exponentes del 
radicando son menores que el índice.
 2. Ningún radicando tiene una fracción.
 3. Ningún denominador tiene radicales.
EJEMPLO  4  Simplifica. a) 
13
4 + 13
 b) 
615 - 12
 c) 
a - 1b
a + 1b
 
Solución    Racionalizamos el denominador de cada expresión multiplicando el 
numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
 a) 
 =
 13 
1 14 - 132
 13 
1
 o 4 - 13
 =
1314 - 132
16 - 3
 =
1314 - 132
14 + 13214 - 132
 
13
4 + 13
=
13
4 + 13
# 
 
 
4 - 13
4 - 13
 b) 
 = 21 15 + 122 o 215 + 212
 =
 6 
2 1 15 + 122
 3 
1
 =
61 15 + 122
5 - 2
 
615 - 12
=
615 - 12
# 
 
 
15 + 1215 + 12
 c) 
 =
a2 - 2a1b + b
a2 - b
 =
a2 - a1b - a1b + 2b2
a2 - b
 
a - 1b
a + 1b
=
a - 1b
a + 1b
# 
 
 
a - 1b
a - 1b
Recuerda que no se puede dividir entrea2 o b, ya que se trata de términos, no de 
factores.
Resuelve ahora el ejercicio 75 
Ahora que se ha demostrado cómo racionalizar denominadores, analicemos los cri-
terios que debe cumplir un radical para considerar que está simplificado.
	3 	Entender	cuándo	un	radical	está	simplificado
Después de simplificar una expresión radical, debemos comprobar para asegurar que se ha 
simplificado lo más posible. 
	 Sección	7.5	División	de	radicales	 461
EJEMPLO  5  Determina si las siguientes expresiones están simplificadas. Si no es 
así, explica por qué; si no están simplificadas, simplifícalas. 
 a) 248x5 b) A1
2
 c) 
116
 
Solución    
 a) Esta expresión no está simplificada, ya que 16 es un cuadrado perfecto que es 
factor de 48, y x4 es un cuadrado perfecto que es factor de x5. Simplificando el 
radical tenemos que: 248x5 = 216x4 # 3x = 216x4 # 13x = 4x213x
 b) Esta expresión no está simplificada, ya que el radicando contiene la fracción 
1
2
..
 Para simplificarla, utilizaremos primero la regla del cociente y luego racionaliza-
mos el denominador. A1
2
=
1112
# 
 
 
1212
=
12
2
 c) Esta expresión no está simplificada, ya que el denominador, 16 tiene un radi-
cal. Para simplificarla, racionalicemos el denominador.
116
=
116
# 
 
 
1616
=
16
6
Resuelve ahora el ejercicio 7  
	4 	Utilizar	la	racionalización	del	denominador	
en	un	problema	de	adición
Resolvamos ahora un problema de adición que requiere racionalizar el denominador. En 
este ejemplo se utilizan los métodos para sumar y restar radicales que analizamos en las 
secciones 7.3 y 7.4.
EJEMPLO  6  Simplifica 412 -
318
+ 132.
Solución    Empecemos por racionalizar el denominador y simplificar 132.
 Racionaliza el denominador.
 Regla del producto
 Escribe 
312116
 como 
3
4
 12. 
 Simplifica.
 
 =
2912
4
 = a4 -
3
4
+ 4b12
 = 412 -
3
4
12 + 412
 = 412 -
312116
+ 412
 41 12 -
318
+ 32 = 412 -
318
# 
 
 
1212
+ 116 12
Resuelve ahora el ejercicio 115 
	5 	Dividir	expresiones	radicales	con	índices	diferentes
Dividiremos ahora expresiones radicales donde los radicales tienen índices diferentes. 
Para resolver este tipo de problemas, escribe cada radical en forma exponencial; luego, 
utiliza las reglas de los exponentes con los exponentes racionales, como se explicó en la 
sección 7.2, para simplificar la expresión. El ejemplo 7 ilustra este procedimiento.
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	escribimos	en	forma	
simplificada	deben	cumplirse	
los	siguientes	puntos	con	
respecto	al	radicando:
	 •	 El	coeficiente	del	radi-
cando	no	tiene	factores	
de	potencia	perfectos.
	 •	 Los	exponentes	de	las	
variables	son	todos	
menores	que	el	índice	del	
radical.
462	 Capítulo	7	 	 Raíces,	radicales	y	números	complejos		
EJEMPLO  7  Simplifica. a) 
25 1m + n2723 1m + n24
 b) 
23 a5
 b42a2
 b
Solución    Empieza escribiendo el numerador y el denominador con exponentes 
racionales.
 a) Escribe con exponentes racionales.
 Regla del cociente para exponentes.
 = 215 m + n
 = 1m + n21>15
 = 1m + n217>52- 14>32
 
25 1m + n2723 1m + n24
=
1m + n27>5
1m + n24>3
 Escribe como un radical. 
 b) Escribe con exponentes racionales.
 Eleva el producto a una potencia.
 Regla del cociente para exponentes.
 Escribe las fracciones con denominador 6.
 Reescribe mediante las leyes de exponentes.
 = 26 a4
 b5
 = 1a4
 b521>6
 = a4>6
 b5>6
 = a2>3
 b5>6
 = a15>32- 1
 b14>32- 11>22
 =
a5>3
 b4>3
ab1>2
 
23 a5
 b42a2
 b
=
1a5
 b421>3
1a2
 b21>2
 Escribe como un radical. 
Resuelve ahora el ejercicio 133 
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.5 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
conjugado suma potencia producto racionalizando radicando denominador numerador
 1. El proceso que se utiliza para reescribir una fracción y lograr 
que ésta no tenga radicales en el denominador se conoce 
como el denominador.
 2. Cuando se usa el método PIES en el producto (a  b)(a  b), 
la de los productos externo e interno 
siempre sumarán 0.
 3. Para racionalizar el denominador de una fracción que con-
tenga una expresión radical, multiplica el numerador y el 
denominador de la fracción por un radical, de tal manera 
que se obtenga en el denominador un radicando que sea una 
 perfecta para el índice.
 4. Para racionalizar el denominador usando el conjugado, bas-
ta con multiplicar el numerador y el denominador por el
 del denominador.
 5. La expresión A1
2
 no se considera que esté simplificada 
 debido a que el contiene una fracción.
 6. La expresión 2225
 no se considera que esté simplificada 
 debido a que el contiene un radical.
Practica tus habilidades
Simplifica. Considera que todas las variables representan números reales positivos en este conjunto de ejercicios. 
 7. 8. 9. 10. 
 11. 12. 13. 14. 
 15. 16. 17. 18. 
 19. 20. 21. 22. 
 23. 24. 25. 26. A120x
4y3 
2n118n
9132y3
 A5m
8
 
2131a
1x1y
 
15x1x
61316
 
1191q
1y17
m113
p12
y1y
11z
17117
616
317
415
1111
112
	 Sección	7.5	División	de	radicales	 463
 27. 28. 29. 30. 
 31. 32. 
Simplifica.
 33. 34. 35. 36. 
 37. 38. 39. 40. 
 41. 42. 43. 44. 
 45. 46. 47. 48. 
 49. 50. 51. 52. 
 53. 54. 55. 56. 
Multiplica.
 57. 58. 59. 60. 
 61. 62. 63. 64. 
 65. 66. 
Simplifica mediante la racionalización del denominador.
 67. 68. 69. 70. 
 71. 72. 73. 74. 
 75. 76. 77. 78. 
 79. 80. 81. 82. 
 83. 84. 
Simplifica. Estos ejercicios son una combinación de los que ya se presentaron antes en esta sección.
 85. 86. 87. 88. 
 89. 90. 91. 92. 
 93. 94. 95. 96. 
 97. 98. 99. 100. 
 101. 102. 103. 104. 
 105. 106. 107. 108. 
Simplifica.
 109. 110. 111. 
 112. 113. 114. 
 A45y12
 z10
2x
 A48x6
 y5
3z3
 A5xy6
3z
 A20y4
 z3
3xy-4 A7pq4
2r
 A18x4
 y3
2z3
 6  
r4
 s9
2r5 A3  
14xy2
2z2 A3  
15x6
 y7
2z2A3  
3x2
2y2
 AA4  
2x3
4y2 A4  
5
3x3
314 a
 
5m14 2
 A3  
7c
9y2 A3  
1
2x
 A3  
4x
y
 
227 a4
x25 y4
1025 y3
 
1324 z3
524 z2
 
814 z
 
a14 8
114 4
114 2
223 a2
 
813 y
 
113 4
 
113 2
 151c - 41d2151c + 41d2 121x - 31y2121x + 31y2
1 1x - 1y21 1x + 1y21 1a - 1b21 1a + 1b2 13 + 117213 - 117212 - 110212 + 1102
16 - 17216 + 17218 + 12218 - 12212 + 17212 - 17214 + 15214 - 152
 
81y - 3 + 6
41x + 2 - 3
 
21xy - 1xy1x + 1y
2a3 + 2a71a
1c - 12d1c - 1d
12 - 21312 + 413
 
18x
x + 1y
 
41x1x - y
 
4151a - 3
3
6 + 1x
 
1117 - 18
 
15
215 - 16
 
612 + 13
 
512 - 7
 
3
5 - 17
 
1
2 + 13
413 - 1
112 + 1
91y + 9 - 1y
 A4  
2x7
 y12
 z4
3x9
23 16m2
 n23 2mn2
 
13 6x13 5xy
 A4  
2
9x
 
1ar1a - 21r
13 + 212 + 13
 A3  
32y12
 z10
2x
 A49x2
 y5
3z
 A4  
3y2
2xA 2xy4
50xy2 -  
71x198
1x1x + 61y
 
11a + 7
 
8x13 5y
 A28xy4
2x3
 y4
 
5
4 - 1y
 A24x3
 y6
5z
 A3  
1
16
1 17 + 1621 17 - 162
 A a
b
 A2
9A3  
a3
8A a2
25
 513 -
313
+ 2118 4A1
6
+ 124 
16
2
-
216
 15 -
215
 
113
+
13
3
 
112
+
12
2