Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-31

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Sección	8.4	 	 Expresar	ecuaciones	en	forma	cuadrática	 529
EJEMPLO  6  Resuelve 2p - !p - 10 = 0.
Solución Como !p = p1>2 podemos expresar la ecuación como:
2p - p1>2 - 10 = 0
Hacemos u = p1>2, entonces u2 = A p1>2B2 = p y la ecuación se transforma en
 2 A p1>2B2 - p1>2 - 10 = 0
 2p - p1>2 - 10 = 0
Si hacemos u = p1>2, esta ecuación está en la forma cuadrática.
u =
5
2
 2u = 5 u = -2
 2u - 5 = 0 o u + 2 = 0
12u - 52 1 u + 22 = 0
 2u2 - u - 10 = 0
A continuación, sustituimos u por p1>2.
p1>2 =
5
2
p1>2 = -2
Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.
p =
25
4
p = 4
A p1>2B 2
= a5
2
b
2
A p1>2B 2
= 1-22 2
Debemos comprobar las dos soluciones aparentes en la ecuación original.
Verifica	 p
25
4
p 4
2p - !p - 10 = 0 2p - !p - 10 = 0
2a25
4
b - Ä
25
4
- 10 0 2 142 - !4 - 10 0
25
2
-
5
2
- 10 0 8 - 2 - 10 0
Verdadero0 = 0 Falso-4 = 0
Como 4 no satisface la ecuación, es una solución extraña; la única solución es 
25
4
.
Resuelve ahora el ejercicio 25
CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.4 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
u 5 h 2 2 solución extraña v en la forma cuadrática u = !v (h 2 2)2 intersección con el eje x u 5 c2
	1.	Una ecuación que puede escribirse en la forma au2 1 bu 1 c 5 0 
para a  0, donde u es una expresión algebraica, es una ecua­
ción .
	2.	Las de una función son los puntos donde la 
gráfica cruza al eje x.
	3.	Siempre que resolvemos una ecuación elevando am­
bos lados de ésta a una potencia, podemos introducir una 
.
	4.	Para resolver la ecuación c4 1 c2 2 2 5 0, la mejor opción 
para u para obtener la ecuación en la forma cuadrática es 
.
	5.	 Para resolver la ecuación (h 2 2)2 1 (h 2 2) 2 42 5 0, la mejor 
opción para u para obtener la ecuación en la forma cuadrática 
es .
	6.	Para resolver la ecuación v - 3!v - 28 = 0, la mejor op­
ción para u para obtener la ecuación en la forma cuadrática es 
.
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	resolvemos	una	ecua-
ción	que	involucra	variables	
con	exponentes	racionales	
o	radicales,	con	frecuencia	
elevaremos	ambos	lados	de	la	
ecuación	a	una	potencia	con	
el	fin	de	eliminar	los	expo-
nentes	racionales	o	radicales.	
Cada	vez	que	hacemos	esto,	
es	posible	que	introduzcamos	
una	solución	extraña	o	falsa.	
Por	lo	tanto,	debemos	com-
probar	con	cuidado	nuestras	
respuestas	en	la	ecuación	
original.
530	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
Practica tus habilidades
Resuelve cada ecuación.
Determina todas las intersecciones con el eje x de cada función.
Determina todas las soluciones reales de cada ecuación.
Determina todas las soluciones de cada ecuación.
Ejercicios de conceptos y escritura
Resolución de problemas
	69.	 Resuelve la ecuación 
3
x2 -
3
x
= 60
a)	 Multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD.
b)	 Escribiendo la ecuación con exponentes negativos.
	70.	 Resuelve la ecuación 1 =
2
x
-
2
x2
a)	 Multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCD.
b)	 Escribiendo la ecuación con exponentes negativos.
	81.	 Da un procedimiento general para resolver una ecuación de 
la forma ax4 1 bxn 1 c 5 0.
	82.	 Da un procedimiento general para resolver una ecuación de 
la forma ax2n 1 bxn 1 c 5 0.
	83.	 Da un procedimiento general para resolver una ecuación de 
la forma ax22 1 bx21 1 c 5 0.
	84.	 Da un procedimiento general para resolver una ecuación de 
la forma a(x 2 r)2 1 b(x 2 r) 2 c 5 0
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
.66.56
.86.76 h 1x2 = x4 - 4x2 + 3f 1x2 = x4 - 29x2 + 100
g 1x2 = 1 x2 - 6x2 2
- 5 1x2 - 6x2 - 24g 1x2 = 1 x2 - 3x2 2
+ 2 1x2 - 3x2 - 24
f 1x2 = x1>2 + 6x1>4 - 7f 1x2 = x2>3 - x1>3 - 6
g 1x2 = 4x -2 + 12x -1 + 9p 1x2 = 4x -2 - 19x -1 - 5
k 1x2 = x + 7!x + 12h 1x2 = x + 14!x + 45
g 1x2 = x - 15!x + 56f 1x2 = x - 5!x + 6
7. .9.8
.21.11.01
.51.41.31
16. 17. 18.
.12.02.91
.32.22 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
.33.23.13
.63.53.43
.93.83.73
.14.04 42.
.54.44.34
.84.74.64
49. .15.05
.45.35.25
.65.55 x2>5 - 5x1>5 + 6 = 0c2>5 + 3c1>5 + 2 = 0
r2>3 - 7r1>3 + 10 = 0-2a - 5a1>2 + 3 = 0c2>3 - 4 = 0
b2>3 - 9b1>3 + 18 = 0x2>3 = 3x1>3 + 4x2>3 - 4x1>3 = -3
x2>3 - 5x1>3 + 6 = 0x -2 = 4x -1 + 126a-2 = a-1 + 12
x -2 + 9x -1 = 1010z-2 - 3z-1 - 1 = 02b-2 = 7b-1 - 3
5x -2 + 4x -1 - 1 = 012b-2 - 7b-1 + 1 = 0x -2 + 10x -1 + 25 = 0
a-2 + 4a-1 + 4 = 028 1x2 - 82 2
- 23 1x2 - 82 - 15 = 018 1x2 - 52 2
+ 27 1x2 - 52 + 10 = 0
1z2 - 62 2
+ 2 1z2 - 62 - 24 = 02 1b + 32 2 + 5 1b + 32 - 3 = 01a2 - 12 2
- 5 1a2 - 12 - 14 = 0
1x2 - 32 2
- 1x2 - 32 - 6 = 010 1z + 22 2 = 3 1z + 22 + 16 1a - 22 2 = -19 1a - 22 - 10
1x + 12 2 + 4 1x + 12 + 3 = 01x + 32 2 + 2 1x + 32 = 248x + 2!x = 1
9x + 3!x = 2x - 4 = -3!xx - !x = 6
x - 2!x = 8!x = 2x - 69b4 = 57b2 - 18
-c4 = 4c2 - 5a4 + a2 = 42z4 - 7z2 = 18
p4 - 8p2 = -12r4 - 8r2 = -159d4 - 13d2 + 4 = 0
4x4 - 17x2 + 4 = 0b4 + 7b2 + 12 = 0a4 - 7a2 + 12 = 0
x4 + 13x2 + 36 = 0x4 - 13x2 + 36 = 0x4 + 50x2 + 49 = 0
x4 + 13x2 + 36 = 0x4 - 5x2 + 4 = 0x4 - 10x2 + 9 = 0
.27.17
.47.37
75. 76.
.87.77 1 x2 + 3x - 22 2
- 10 1x2 + 3x - 22 + 16 = 01 x2 + 2x - 22 2
- 7 1x2 + 2x - 22 + 6 = 0
x6 - 28x3 + 27 = 0x6 - 9x3 + 8 = 0
3 1x - 42 -2 = 16 1x - 42 -1 + 124 - 1 x - 12 -1 = 3 1x - 12 -2
2 1 p + 32 + 5 =
3
p + 3
15 1r + 22 + 22 = - 
8
r + 2
.08.97 3x4 + 8x2 - 1 = 02n4 - 6n2 - 3 = 0
	 Section	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 531
Ejercicios de repaso acumulados
	[1.3]	 91.	Evalúa 
4
5
- a3
4
-
2
3
b .
	[2.1]	 92.	Resuelve 3(x 1 2) 2 2(3x 1 3) 5 23.
	[3.2]	 93.	Establece el dominio y el rango de y 5 (x 2 3)2.
	[7.3]	 94.	Simplifica "3 16x3y6.
	[7.4]	 95.	Suma !75 + !48.
8.5 Graficación de funciones cuadráticas
	1 	 Determinar	cuándo	una	
parábola	abre	hacia	arriba	
o	hacia	abajo.
	2 	 Determinar	el	eje	de	
simetría,	el	vértice	y	las	
intersecciones	con	el	eje	x	
de	una	parábola.
	3 	 Graficar	funciones	cuadrá-
ticas	por	medio	del	eje	de	
simetría,	el	vértice	y	las	
intersecciones.
	4 	 Resolver	problemas	de	
máximos	y	mínimos.
	5 	 Entender	el	desplazamien-
to	de	las	parábolas.
	6 	 Escribir	funciones	en	la	
forma	f(x)	5	a(x	2	h)2	1k.
En los capítulos 3 y 5 se comentaron brevemente las gráficas de las funciones cuadráti­
cas. En esta sección estudiaremos cómo graficar las funciones cuadráticas usando el eje 
de simetría, el vértice y las intersecciones. También utilizaremos las traslaciones para 
graficar funciones cuadráticas.
	1 	Determinar	cuándo	una	parábola	abre	hacia	arriba	
o	hacia	abajo
Comencemos con la definición de una función cuadrática.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola tiene una forma 
que se asemeja a la letra U, pero no es idéntica. Para una función cuadrática, el signo 
del coeficiente principal, a, determina si la parábola abre hacia arriba (ver Figura	8.7a) 
o hacia abajo (ver Figura	8.7b).
x
y
x
y
a � 0,
Parabola
que abre hacia arriba
a � 0,
Parabola
que abre hacia abajo
Vértice
Vértice
Eje de simetría Eje de simetría
f (x) � ax2 � bx � c
(a) (b)
FIguRA	 8.7
	 •	 Cuando	a	>	0,	la	parábola	abre	hacia	arriba.
	 •	 El	vértice	es	el	punto	más	bajo	en	la	curva.
	 •	 El	valor mínimo de la función	es	la	coorde-
nada	y	del	vértice.	
	 •	 Cuando	a	<	0,	la	parábola	abre	hacia	abajo.
	 •	 El	vértice	es	el	punto	más	alto	en	la	curva.
	 •	 El	valor máximo de la función	es	la	coor-
denada	y	del	vértice.
	 85.	Escribe una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que 
tenga como soluciones 62 y 61. Explica cómo obtuviste la 
respuesta.
	 86.	Detemina una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que 
tenga como soluciones 63 y 62i. Explica cómo obtuviste la 
respuesta.
	 87.	Determina una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que 
tenga como soluciones �!2 y �!5. Explica cómo obtuviste 
la respuesta.
	 88.	Determina una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 que 
tenga como soluciones 62i y 65i. Explica cómo obtuviste la 
respuesta.
	 89.	¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 
tenga exactamente una solución imaginaria? Explica.90.	¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 1 bx2 1 c 5 0 
tenga exactamente una solución real? Explica.
Una función	cuadrática es una función que se puede escribir en la forma
f (x) 5	ax2 1 bx 1 c para todos los números reales a, b y c, con a  0.
Función cuadrática
532	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	2 	Determinar	el	eje	de	simetría,	el	vértice	y	las	
intersecciones	con	el	eje	x	de	una	parábola
Las gráficas de funciones cuadráticas tendrán simetría con respecto a una línea vertical, 
denominada eje	de	simetría, que pasa por el vértice. Esto significa que si dobláramos el 
papel a lo largo de esta línea imaginaria, el lado derecho e izquierdo de la parábola coinci­
dirían (ver ambas gráficas en la Figura	8.7, de la página 531).
Ahora deduciremos la fórmula del eje de simetría y determinaremos las coorde­
nadas del vértice de una parábola, comenzando con una función cuadrática de la forma 
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c y completando el cuadrado de los primeros dos términos.
Factoriza = aax2 +
b
a
x b + c
f 1 x2 = ax2 + bx + c
Un medio del coeficiente de x es 
b
2a
, y su cuadrado es 
b2
4a2
. Suma y resta este término 
dentro del paréntesis. La suma de estos dos términos es cero.
f 1 x2 = a qx2 +
b
a
x +
b2
4a2
-
b2
4a2r + c
Ahora reescribe la función como se muestra:
Reemplazado el trinomio con el
cuadrado de un binomio.
Escribe fracciones con un
denominador común.
Reduce los dos últimos términos;
escribe primero con la variable .
= a ax - a -
b
2a
b b
2
+
4ac - b2
4a
= a ax +
b
2a
b
2
+
4ac - b2
4a
= a ax +
b
2a
b
2
-
b2
4a
+
4ac
4a
= a ax +
b
2a
b
2
-
b2
4a
+ c
f 1 x2 = a ax2 +
b
a
x +
b2
4a2
b - a q b2
4a2r + c
Ahora considera lo siguiente.
	 •	 La expresión ax - a -
b
2a
b b
2
 siempre será mayor o igual a cero.
	 •	 Si a  0, la parábola abrirá hacia arriba y la función tendrá un valor mínimo. Este 
valor mínimo ocurrirá cuando x = -
b
2a
.
	 •	 Si a  0, la parábola abrirá hacia abajo y la función tendrá un valor máximo. Este 
valor máximo ocurrirá cuando x = -
b
2a
.
	 •	 Por tanto, la coordenada del eje x del vértice puede determinarse usando la fórmu­
la x = -
b
2a
. Para determinar la coordenada del eje y del vértice, evalúa f a-
b
2a
b.
Encontramos que la coordenada del eje y del vértice es y =
4ac - b2
4a
.
	 Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 533
Debido a que el eje de simetría es la línea vertical que pasa a través del vértice, su ecuación 
se determina utilizando la misma fórmula que usamos para encontrar la coordenada x del 
vértice.
Recuerda que para determinar la intersección con el eje x de una función, hacemos 
y o f (x) 5 0 y resolvemos para x.
Como se mencionó en la sección 8.2, el discriminante b2 2 4ac puede usarse para 
determinar el número de intersecciones con el eje x. La tabla siguiente resume la infor­
mación acerca del discriminante.
Discriminante	
b2	2	4ac
Número	de		
intersecciones		
con	el	eje	x
Posibles	gráficas	de		
f(x)	5	ax2	1	bx	1	c
 0 Dos
y
x
y
x
5 0 Una
y
x
y
x
 0 Ninguna
y
x
y
x
La parábola representada por la función f (x) 5 ax2 1 bx 1 c tendrá como vértice
q-
b
2a
,
4ac - b2
4a
r
Ya que con frecuencia determinamos la coordenada y del vértice sustituyendo la coorde­
nada x del vértice en f (x), el vértice también puede designarse como
a -
b
2a
, f a -
b
2a
b b
Vértice de una parábola
Para una función cuadrática de la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c la ecuación del eje	de	
simetría de la parábola es
x = -
b
2a
Eje de simetría de una parábola
Para determinar la intersección con el eje x (si existe alguna) de una función cuadrática, 
resolvemos la ecuación ax2 1 bx 1 c 5 0 para x.
Esta ecuación puede resolverse por factorización, mediante la fórmula cuadrática o 
completando el cuadrado.
Eje de simetría de una parábola
534	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
	3 	Graficar	funciones	cuadráticas	por	medio	del	eje	
de	simetría,	el	vértice	y	las	intersecciones
Ahora trazaremos gráficas de funciones cuadráticas.
EJEMPLO  1  Considera la función cuadrática y 5 2x2 1 8x 2 12.
	 a) Determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
	 b) Determina la intersección con el eje y.
	 c) Determina el vértice.
	 d) Determina las intersecciones con el eje x, si las hay.
	 e) Traza la gráfica.
Solución   
	 a) Como a es 21, es decir menor que 0, la parábola abre hacia abajo.
	 b)	 Para determinar la intersección con el eje y, hacemos x 5 0 y resolvemos para y.
y 5 2(0)2 1 8(0) 2 12 5 212
La intersección con el eje y se da en el punto (0, 212).
	 c) Primero determina la coordenada del eje x y luego la coordenada del eje y del 
vértice. De la función, a 5 21, b 5 8 y c 5 212.
y =
4ac - b2
4a
=
4 1-12 1 -122 - 82
4 1-12 =
48 - 64
-4
= 4
x = -
b
2a
= -
8
2 1-12 = 4
El vértice está en (4, 4). La coordenada y del vértice podría haberse obtenido 
también sustituyendo x por 4 en la función, y determinando el valor de y corres­
pondiente, que es 4.
	 d) Para determinar las intersecciones con el eje x, hacemos y 5 0.
x = 6 o x = 2
x - 6 = 0 o x - 2 = 0
1x - 62 1 x - 22 = 0
o x2 - 8x + 12 = 0
 0 = -x2 + 8x - 12
Por lo tanto, las intersecciones con el eje x se dan en (2,0) y (6,0). Estos valores 
también podrían determinarse por medio de la fórmula cuadrática (o comple­
tando el cuadrado).
	 e) Utiliza toda esta información para trazar la gráfica (Figura	8.8).
Resuelve ahora el ejercicio 15
Observa que en el ejemplo 1 la ecuación es y 5 2x2 1 8x 2 12 y la intersección con 
el eje y es (0, 212). En general, para cualquier ecuación de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c 
la intersección con el eje y será (0, c).
Si al determinar las intersecciones con el eje x mediante la fórmula cuadrática 
obtienes valores irracionales, utiliza tu calculadora para estimar estos valores, y lue ­ 
go traza los valores decimales. Por ejemplo, si obtuvieras x =
2 � !10
2
, evaluarías 
2 + !10
2
 y 
2 - !10
2
 en tu calculadora para obtener 2.58 y 20.58, respectivamente 
redondeados a la centésima más cercana. Las intersecciones con el eje x se darían en 
(2.58, 0) y (20.58, 0).
�4
�13
�12
�11
�10
�9
�8
�7
�6
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
9876531 2�1 x
y
Eje de
simetría
Vértice (4, 4)
intersección 
con el eje y
FIguRA	 8.8
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	del	capítulo	3	que	y	
es	una	función	de	x,	y	se	escri-
be	como	y	5	f(x).	Por	lo	tanto,	
cuando	graficamos	la	función	
en	el	ejemplo	1,	podemos	
escribir	
f (x)	5	22x2	1	8x	2	12,	
o	su	equivalente	
y	5	2	2x2	1	8x	2	12.
	 Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 535
EJEMPLO  2  Considera la función cuadrática f (x) 5 2x2 1 6x 1 5.
	 a) Determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
	 b) Determina la intersección con el eje y. 	 c)	 Determina el vértice.
	 d) Determina las intersecciones con el eje x, si las hay. 	 e) Traza la gráfica.
Solución   
	 a) Como a es 2, es decir mayor que 0, la parábola abre hacia arriba.
	 b) Ya que f (x) es lo mismo que y, para determinar la intersección con el eje y, ha­
cemos x 5 0 y despejamos f (x) o y.
f 10 2 = 2 10 2 2 + 6 10 2 + 5 = 5
La intersección con el eje y es en el punto (0, 5).
	 c) Aquí a 5 2, b 5 6 y c 5 5.
y =
4ac - b2
4a
=
4 122 1 5 2 - 62
4 122 =
40 - 36
8
=
4
8
=
1
2
x = -
b
2a
= -
6
2 122 = -
6
4
= -
3
2
El vértice está en a- 3
2
,
1
2
b . La coordenada y del vértice también puede deter­
minarse evaluando f a- 3
2
b .
	 d) Para determina las intersecciones con el eje x, hacemos f (x)5 0.
0 5 2x2 1 6x 1 5
Este trinomio no puede factorizarse. Para determinar si esta ecuación tiene algu­
na solución real, evaluamos el discriminante.
b2 2 4ac 5 62 2 4(2)(5) 5 36 2 40 5 24
Como el discriminante es menor que 0, esta ecuación no tiene soluciones reales 
y la gráfica no intersecta el eje x. 
	 e) La gráfica se muestra en la Figura	8.9.
Resuelve ahora el ejercicio 39
	4 	Resolver	problemas	de	máximos	y	mínimos
Una parábola que abre hacia arriba tiene un valor	mínimo en su vértice, como se ilustraen 
la Figura 8.10a. Una parábola que abre hacia abajo tiene un valor	máximo en su vértice, 
como se ilustra en la Figura 8.10b. Si tienes una función de la forma f (x) 5 ax2 1 bx 1 c, el 
máximo o mínimo valor estará en -
b
2a
, y será 
4ac - b2
4a
. Existen muchos problemas de la 
vida real en los que se requiere determinar los valores máximo y mínimo.
�2
�1
8
7
6
5
4
3
2
1
54321�4�5 �3�2�1
y
x
(�w, q)
FIguRA	 8.9
x
y
x
y
a � 0, valor máximoa � 0, valor mínimo
4ac � b2
4a
y �
4ac � b2
4a
y �
b
2a
x � �
b
2a
x � �
4ac � b2
4a
b
2a�� , �
4ac � b2
4a
b
2a�� , �
(a) (b)
y � ax2 � bx � c
FIguRA	 8.10
536	 Capítulo	8	 	 Funciones	cuadráticas
EJEMPLO  3  Béisbol Mark DeRosa le pega con su bate a una bola a 3 pies del 
suelo. La altura de la bola respecto del suelo, f (t), en pies, en el instante t, en segun­
dos, puede calcularse mediante la función
f (t) 5 216t2 1 52t 1 3 
	 a) Determina la altura máxima que alcanza la bola de béisbol.
	 b) Determina el tiempo que tarda la bola en alcanzar su altura máxima.
	 c) Determina el tiempo que tarda la bola en chocar contra el suelo.
Solución   
	 a)	 Entiende La bola de béisbol seguirá la trayectoria de una parábola que abre ha­
cia abajo (a < 0). La bola se elevará hasta una altura máxima para luego caer hacia 
el suelo debido a la gravedad. Para determinar la altura máxima que alcanza la 
bola, usaremos la fórmula y =
4ac - b2
4a
.
Traduce 
Realiza	los	cálculos
= 45.25
=
-2896
-64
=
-192 - 2704
-64
=
41 -162 1 32 - 1522 2
4 1-162
y =
4ac - b2
4a
a = -16, b = 52, c = 3
Responde La bola de béisbol alcanza una altura máxima de 45.25 pies.
	 b) La bola de béisbol llega a su altura máxima en 
t = -
b
2a
= -
52
2 1-162 = -
52
-32
=
13
8
o 1
5
8
o 1.625 segundos
	 c)	 Entiende	y	traduce	 	 Cuando la bola de béisbol choca contra el suelo, su altura, y,
 respecto del suelo es 0. Por tanto, para determinar cuando golpea la bola el 
suelo, resolvemos la ecuación 
216t2 1 52t 1 3 5 0
Usaremos la fórmula cuadrática para resolverla.
Realiza	los	cálculos
L -0.06 segundo L 3.31 segundos
t L
-52 + 53.81
-32
o t L
-52 - 53.81
-32
L
-52 � 53.81
-32
=
-52 � !2896
-32
=
-52 � !2704 + 192
-32
=
-52 � "1 522 2 - 4 1-162 1 32
2 1-162
t =
-b � "b2 - 4ac
2a
©
 T
od
d 
Ta
ul
m
an
/S
hu
tte
rs
to
ck
	 Sección	8.5	 	 graficación	de	funciones	cuadráticas	 537
Responde	 	 El único valor aceptable es 3.31 segundos. La bola de béisbol choca 
contra el suelo en aproximadamente 3.31 segundos. Observa en el inciso b)	que 
el tiempo que tarda la bola en alcanzar su altura máxima, 1.625 segundos, no es 
exactamente la mitad del tiempo total que está en el aire, 3.31 segundos. La razón 
es que fue golpeada a una altura de 3 pies y no al nivel del suelo.
Resuelve ahora el ejercicio 93
EJEMPLO  4  Área	 de	 un	 rectángulo	 	 Considera el rectángulo siguiente, cuya 
longitud es x 1 3 y el ancho es 10 2 x.
10 � x
x � 3
	 a) Determina una ecuación para el área, A(x).
	 b) Determina el valor de x que proporciona el área más grande (máxima).
	 c) Determina el área máxima.
Solución   
	 a) El área se obtiene al multiplicar la longitud por el ancho. La función para el área es
= -x2 + 7x + 30
A1 x2 = 1 x + 32 1 10 - x2
	 b)	 Entiende	y	traduce	 	 La gráfica de la función es una parábola que abre hacia aba­
jo. Así, el valor máximo se alcanza en el vértice. Por lo tanto, el área máxima se 
da en x = -
b
2a
, en donde a 5 21 y b 5 7.
Realiza	los	cálculos	 	 x = -
b
2a
= -
7
2 1-12 =
7
2
= 3.5
Responde El área máxima se alcanza cuando x es 3.5 unidades.
	 c) Para determinar el área máxima, sustituye 3.5 por cada x en la ecuación que se 
obtuvo en el inciso a).
= 42.25
= -12.25 + 24.5 + 30
A 13.52 = - 13.52 2 + 7 13.52 + 30
A 1x2 = -x2 + 7x + 30
 
Observa que para este rectángulo la longitud es x 1 3 5 3.5 1 3 5 6.5 unidades, 
y el ancho es 10 2 x 5 10 2 3.5 5 6.5 unidades. En realidad, el rectángulo es un 
cuadrado, y su área es (6.5)(6.5) 5 42.25 unidades cuadradas. Por consiguiente, 
el área máxima es 42.25 unidades cuadradas.
Resuelve ahora el ejercicio 75
En el ejemplo 4 c), el área máxima pudo haberse determinado utilizando la fórmula 
y =
4ac - b2
4a
. Determina el área máxima ahora utilizando esta fórmula. Deberás obtener 
la misma respuesta, 42.25 unidades cuadradas.