Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-38

Vista previa del material en texto

582	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Siempre que encontremos una función exponencial con un exponente negativo 
como y 5 22x, podemos recordar nuestras reglas de los exponentes para ver que
 = a1
2
b
x
 =
1
2x
 y = 2-x
Por lo tanto, la gráfica de y 5 22x es la gráfica de y = a1
2
b
x
 que se muestra en la 
Figura 9.14 de la página 581.
De manera similar, cuando encontramos una función como y = a1
2
b
-x
, pode-
mos utilizar las reglas de los exponentes para ver que
 = 2x
 = a2
1
b
x
 y = a1
2
b
-x
Por lo tanto, la gráfica de y = a1
2
b
-x
 es la gráfica de y 5 2x que se muestra en la 
Figura 9.13 de la página 581.
	2 	Resolver	problemas	de	aplicación	
con	funciones	exponenciales
Las funciones exponenciales se utilizan a menudo para describir el incremento y el decre-
mento de ciertas cantidades. Ilustramos las funciones exponenciales en los cinco ejemplos 
siguientes.
EJEMPLO  3  Aumento de centavos Jennifer Hewlett le dijo a su hijo que si 
hacía los quehaceres domésticos ella le daría 2 centavos la primera semana y du-
plicaría la cantidad cada semana, durante las 10 semanas siguientes. El número de 
centavos que recibiría su hijo en cualquier semana, w, puede determinarse mediante 
la función n(w)52w. Determina el número de centavos que Jennifer daría a su hijo 
en la semana 8.
Solución Al evaluar 28, determinamos que en la semana 8 Jennifer daría a su hijo 
256 centavos, o $2.56.
Resuelve ahora el ejercicio 29
EJEMPLO  4  Valor de un Jeep Ronald Yates se compró un Jeep Compass por 
$22,000. Supón que el valor del Jeep se deprecia a una tasa de 20% por año. Así, 
el valor del Jeep será 80% del valor del año anterior. Es decir, dentro de un año 
su valor será $22,000(0.80). Dentro de dos años su valor será $22,000(0.80)(0.80) 5 
$22,000(0.80)2, y así sucesivamente. Por lo tanto, la fórmula para determinar el valor 
del Jeep en un momento dado es
v(t)522,000(0.80)t
donde t es el tiempo en años. Determina el valor del Jeep a) dentro de un año, y b) 
dentro de 5 años.
Solución 
 a) Para determinar el valor que tendrá el Jeep dentro de un año, sustituye t por 1.
	 v(t) 5 22,000(0.80)t
	 v(1) 5 22,000(0.80)1 Sustituye t por 1.
	 5 17,600
Dentro de un año, el valor del Jeep será $17,600.
©
 IF
CA
R/
W
iki
pe
di
a
	 Sección	9.2	Funciones	exponenciales	 583
 b) Para determinar el valor que tendrá el Jeep dentro de 5 años, sustituye t por 5.
 = 7208.96
 = 22,000 10.32768 2
 v 15 2 = 22,000 10.80 2 5
 v 1 t 2 = 22,000 10.80 2 t
 Sustituye t por 5.
Dentro de cinco años, el valor del Jeep será $7208.96.
Resuelve ahora el ejercicio 45
Antes hemos utilizado la fórmula de interés compuesto para determinar el monto o 
saldo que acumulamos en una cuenta de ahorro o inversión.
EJEMPLO  5  Interés compuesto Nancy Johnson invierte $10,000 en un certi-
ficado de depósito (CD) con 5% de interés compuesto que capitalizará trimestral-
mente durante 6 años. Determina el valor del CD después de 6 años.
Solución Entiende	 	 Se nos da el capital inicial, p, que son $10,000. También se 
nos da la tasa de interés, r, que es 5%. Debido a que el interés se capitaliza cada tri-
mestre, el número de periodos de capitalización por año, n, es 4. El dinero se invierte 
durante 6 años, por lo tanto, t es 6.
Traduce Ahora sustituimos estos valores en la fórmula.
Realiza	los	cálculos 
 L 13,473.51
 L 10,000 11.3473512
 = 10,000 11.01252 24
 = 10,000 11 + 0.01252 24
 = 10,000 a1 +
0.05
4
b
41 62
 A = p a1 +
r
n
b
nt
 Obtenido con una calculadora.
Responde Después de 6 años, los $10,000 originales habrán crecido a casi $13,473.51.
Resuelve ahora el ejercicio 33
EJEMPLO  6  Datación con carbono 14 Los científicos utilizan la datación por 
carbono 14 para calcular la edad de los fósiles y objetos. La fórmula que se emplea 
en el datado con carbono es
A 5 A0  2
2t/5600
donde A0 representa la cantidad de carbono 14 cuando el fósil se formó, y A representa 
la cantidad de carbono 14 que contiene después de t años. Si 500 gramos de carbono 14 
estaban presentes cuando un organismo murió, ¿cuántos gramos se encuentran en el 
fósil 2000 años más tarde?
La cantidad acumulada, A, en una cuenta de interés compuesto puede determinarse utili-
zando la fórmula
A = p a1 +
r
n
b
nt
Donde p es el capital o el monto de la inversión inicial, r es la tasa de interés como un 
decimal, n es el número de periodos de capitalización por año y t es el tiempo en años.
Fórmula de interés compuesto
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	utilices	la	fórmula	de	
interés	compuesto	necesitas	
tener	cuidado	de	escribir	la	
tasa	de	interés	como	un	de-
cimal.	Por	ejemplo,	una	tasa	
de	interés	de	5%	significa	que	
r	5	0.05.	Una	tasa	de	interés	
de	2.75%	significa	que		r	5	
0.0275,	y	así	sucesivamente.
Cuando	escribas	n,	el	
número	de	periodos	de	
capitalización	por	año,	
aquí	están	los	valores	más	
comúnmente	utilizados:
semestral:	n	5	2
trimestral:	n	5	4
mensual:	n	5	12
584	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
EJEMPLO  7  Exportaciones a China La Figura 9.5 muestra el monto anual de 
las exportaciones de Estados Unidos a China para los años 2000 a 2007 en miles 
de millones de dólares.
FIGURA	 9.15	 	
Exportaciones a China
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Años después del año 2000
M
ile
s 
de
 m
ill
on
es
 d
e 
dó
la
re
s
10
20
30
40
50
60
70
Fuente: Departamento de Comercio de Estados Unidos.
Una función exponencial que se aproxima mucho a esta curva es f (t) 5 15.35(1.22)t.
En esta función, f (t) es el valor total de las exportaciones de Estados Unidos a China 
y t es el número de años desde el año 2000. Supongamos que esta tendencia continúa. 
Utiliza esta función para estimar el valor de las exportaciones a China en el año a) 2010 
y b) 2015. Redondea tus respuestas a los mil millones de dólares más cercanos.
Solución
 a) Entiende	 	 En esta función, t son los años desde el 2000. Así, el año 2010 está 
representado por t 5 10. Para estimar el valor de las exportaciones a China en el 
año 2010, tenemos que evaluar esta función para t 5 10.
Traduce	y	realiza	los	cálculos f (t) 5 15.37(1.22)t
	 f (10) 5 15.37(1.22)10 L 112.27
Responde	 	 Por lo tanto, si esta tendencia continúa, las exportaciones a China 
en el año 2010 serán de cerca de $112 mil millones de dólares.
 b) El año 2015 está representado por t 5 15 y tenemos que evaluar f (15).
	 f (t) 5 15.37(1.22)t
	 f (15) 5 15.37(1.22)15 L 303.44
Responde	 	 Por lo tanto, si esta tendencia continúa, las exportaciones a China 
en el año 2015 serán de cerca de $303 mil millones de dólares.
Resuelve ahora el ejercicio 47
Solución Entiende	 	 Cuando el fósil murió, tenía 500 gramos de carbono 14. Por 
lo tanto, A0 5 500. Para determinar cuántos gramos de carbono 14 estarán presentes 
después de 2000 años, sustituimos 2000 por t en la fórmula.
Traduce A 5 A0  2
2t5600
	 5 500(2)220005600
Realiza	los	cálculos	 L 500(0.7807092) Obtenido con una calculadora.
 L 390.35 gramos
Responde	 	 Después de 2000 años, en el fósil todavía estarían presentes 390.35 de los 
500 gramos de carbono 14 originales.
Resuelve ahora el ejercicio 39©
 W
iki
co
m
m
on
s
	 Sección	9.2	Funciones	exponenciales	 585
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.2 
Ejercicios de práctica
Llena	los	espacios	en	blanco	con	la	palabra,	frase	o	símbolo(s)	apropiados	de	la	siguiente	lista.
periodos de la base descenderá del exponente capital ascenderá tasa tiempo
 5. En la fórmula del interés compuesto A = p a1 +
r
n
b
nt
, p es 
el o monto de la inversión inicial.
 6. En la fórmula del interés compuesto A = p a1 +
r
n
b
nt
, n es 
el número de de capitalización por año.
 1. En una función exponencial, la variable está en la posición 
.
 2. En una función cuadrática, la variable está en la posición 
.
 3. Cuando graficamos funciones exponenciales de la forma y 5 ax, 
si a . 1, la gráfica de izquierda a derecha.
 4. Cuando graficamos funciones exponenciales de la forma 
y 5 ax, si 0 , a , 1, la gráficade izquier-
da a derecha.
Practica tus habilidades
Grafica	cada	función	exponencial.
7. .01.9.8
.21.11 13. 14.
.81.71.61.51
.22.12.02.91
.62.52.42.32 y = 3x + 2y = 3x - 1y = 2x - 1y = 2x + 1
y = a1
3
b
x - 1
y = a1
3
b
x + 1
y = 2x + 1y = 2x - 1
y = a1
4
b
-x
y = a1
3
b
-x
y = 4-xy = 3-x
y = a1
5
b
x
y = a1
4
b
x
y = 5xy = 4x
y = a1
3
b
x
y = a1
2
b
x
y = 3xy = 2x
Resolución de problemas
 27. Población de Estados Unidos La gráfica siguiente mues-
tra el crecimiento de la población de personas de 85 años y 
mayores en Estados Unidos, para los años de 1960 a 2000 
y la proyección hasta el año 2050. La función exponencial 
que aproxima a esta gráfica es
f (t) 5 0.592(1.042)t
En la función, f (t) es la población, en millones, de perso-
nas de 85 años y mayores, y t es el número de años desde 
1960. Suponiendo que esta tendencia continúa, utiliza esta 
función para estimar el número de personas de 85 años y 
mayores en Estados Unidos en los años a) 2060 y b) 2100.
0
1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050
Proyectado
N
ú
m
er
o
 (
m
il
lo
n
es
)
5
Población en Estados Unidos de personas mayores de 85 años
Año
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos
10
15
20
25
85 años y mayores
 
 28. Población mundial La población mundial ha crecido de 
forma exponencial desde alrededor del año 1650. La fun-
ción exponencial que se aproxima mucho a la población 
mundial desde el año 1650 y con proyección al año 2015 es
f 1 t 2 =
1
2
  12.718 20.0072t
En la función, f (t) es la población mundial, en miles de mi-
llones de personas y t es el número de años contados a partir 
del año 1650. Si esta tendencia continúa, estima la población 
mundial en los años a) 2010 y b) 2015.
 29. Duplicación Si inicia con $2 y cada día se duplica la cantidad 
del día anterior, durante 9 días; determina la cantidad el día 9.
 30. Duplicación Si tienes $2 y cada día duplicas la cantidad del 
día anterior durante 12 días, determina la cantidad en el día 12.
 31. Bacterias en una placa de Petri Se colocan cinco bacterias 
en una placa de Petri. La población se triplica diariamente. 
La fórmula para calcular el número de bacterias que hay en 
la placa el día t es
N(t) 5 5(3)t
donde t es el número de días, contados a partir de que se 
colocaron las cinco bacterias en la placa. ¿Cuántas bacterias 
habrá en la placa 2 días después de que se colocaron las cin-
co bacterias?
 32. Bacterias en una caja de Petri Consulta el ejercicio 31. 
¿Cuántas bacterias habrá en la caja 6 días después que se 
colocaron las cinco bacterias en la caja?