Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-43

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608	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
[4.3] 106. Automóviles Dos automóviles parten del mismo 
punto en Alexandria, Virginia, y viajan en direccio-
nes opuestas. Uno viaja 5 millas por hora más rápido 
que el otro. Al cabo de 4 horas, los dos automóviles 
están separados por una distancia de 420 millas. De-
termina la velocidad de cada automóvil.
[4.5] 107. Resuelve el sistema de ecuaciones.
 3s = -5r + 1
 3r = -4s - 6
Ejercicios de conceptos y escritura
 95. En tu calculadora calculaste log 462 y obtuviste el valor 
1.6646. ¿Este valor puede ser correcto? Explica.
 96. En tu calculadora calculaste log 6250 y obtuviste el valor 
2.7589. ¿Este valor puede ser correcto? Explica.
 97. En tu calculadora calculaste log 0.163 y obtuviste el valor 
22.7878. ¿Este valor puede ser correcto? Explica.
 98. En tu calculadora calculaste log (21.23) y obtuviste el valor 
0.08991. ¿Este valor puede ser correcto? Explica.
 99. ¿Es log 
y
4x
= log y - log 4 + log x? Explica.
 100. ¿Es log 
5x2
3
= 21log 5 + log x2 - log 3? Explica.
Problemas de desafío
 101. Despeja I de la fórmula R 5 log I
 102. Despeja E de la fórmula log E 5 11.8 1 1.5m
 103. Despeja t de la fórmula R 5 26 2 41.9 log (t 1 1).
 104. Despeja x de la fórmula f 5 76 2 log x.
Actividad de grupo
 105. En la sección 9.7 introdujimos la fórmula	de	cambio	de	base, 
loga x =
logb x
logb a
, donde a y b son bases, y x es un número 
 positivo.
 a) Miembro 1 del grupo: Utiliza la fórmula de cambio de 
base para evaluar log3 45 (Sugerencia: Haz b 5 10).
 b) Miembro 2 del grupo: repite el inciso a) para log5 30.
 c) Miembro 3 del grupo: repite el inciso a) para log6 40.
 d) Como grupo, utilicen el hecho de que loga x =
logb x
logb a
, 
donde b 5 10, para graficar la ecuación y 5 log2 x para 
x . 0. Si tienen una calculadora graficadora, utilícenla.
Ejercicios de repaso acumulados
[5.8] 108. Despeja x en 3x3 1 3x2 2 36x 5 0.
[7.1] 109. Escribe 213x2 - y22 como valor absoluto.
[8.6] 110. Resuelve 1x - 521x + 421x - 22 … 0 y proporciona 
las soluciones en notación de intervalos.
9.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
	1 	 Resolver	ecuaciones	
exponenciales		
y	logarítmicas.
	2 	 Resolver	problemas	de	
aplicación.
	1 	Resolver	ecuaciones	exponenciales	y	logarítmicas
En esta sección, estudiaremos más a fondo las ecuaciones	exponenciales	y	ecuaciones	loga-
rítmicas. A continuación listamos algunas de las propiedades que se utilizarán en la reso-
lución de tales ecuaciones. 
Propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
a. Si entonces
b. Si entonces
c. Si entonces
d. Si entonces x = y 1x 7 0, y 7 02.logb x = logb y,
logb x = logb y 1x 7 0, y 7 02.x = y,
x = y.ax = ay,
ax = ay.x = y,
Propiedades 6a-6d.
	 Sección	9.6	Ecuaciones	exponenciales	y	logarítmicas	 609
EJEMPLO  1  Resuelve la ecuación 8x =
1
2
.
Solución Para resolver esta ecuación, vamos a escribir ambos lados de la ecua-
ción con la misma base, 2 y luego utilizamos la propiedad 6b.
Se escribe 8 como
Se escribe como 2-1.
1
2
 23x = 2-1
23.Se escribe Se escribe Se escribe Se escribe 8888 comocomocomocomo
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
1
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
1
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 2222----1111....
11111
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
1
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
1
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
1
Se escribe como Se escribe como 
1
Se escribe como 
1
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
1
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
2222
Se escribe como 
2
Se escribe como 
2
Se escribe como Se escribe como 
2
Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
2
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
2
Se escribe como Se escribe como 
2
Se escribe como 
2
Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como Se escribe como 
2
Se escribe como Se escribe como 
22223333.... 1232x =
1
2
 8x =
1
2
Utilizando la propiedad 6b, podemos escribir
 x = -  
1
3
 3x = -1
Resuelve ahora el ejercicio 7
Cuando ambos lados de la ecuación exponencial no se pueden escribir como una 
potencia de la misma base, con frecuencia empezamos tomando logaritmos de ambos la-
dos de la ecuación, como en el ejemplo 2. En los siguientes ejemplos redondearemos los 
logaritmos a cuatro cifras decimales.
EJEMPLO  2  Resuelve la ecuación 5n 5 28.
Solución Toma el logaritmo de ambos lados de la ecuación y despeja n.
 
 Regla de la potencia
 Divididos ambos lados entre log 5.
 L
1.4472
0.6990
L 2.0704
 n =
log 28
log 5
 n log 5 = log 28
5 gol n = log 28
Resuelve ahora el ejercicio 23
Algunas ecuaciones logarítmicas pueden resolverse expresándolas en forma expo-
nencial. Es	necesario	comprobar	las	ecuaciones	logarítmicas	para	ver	si	tienen	soluciones	
extrañas, si al verificar una solución se obtiene el logaritmo de un número negativo, la 
solución es extraña.
EJEMPLO  3  Resuelve la ecuación log2 1x + 323 = 4.
Solución Escribe la ecuación en forma exponencial.
 Escribe en forma exponencial.
 
 Toma la raíz cúbica de ambos lados.
 Despeja x.
Verifica 
 
 
 
 Escribe en la forma exponencial.
 Verdadero
Resuelve ahora el ejercicio 43
Comprendiendo 
el álgebra
Para	resolver	ecuaciones	
exponenciales	y	logarítmicas,	
recuerda	que	todo	lo	que	ha-
gas	en	un	lado	de	la	ecuación	
debes	hacerlo	para	el	otro.	
Así,	en	el	ejemplo	2,	hay	que	
tomar	el	logaritmo	común	de	
ambos	lados	de	la	ecuación.
61 = 16
 24 16
113 1623 = 16gol 2 16 4
gol 2 113 1623 4
gol 2 [1-3 + 13 162 + 3]3 4
gol 2 1x + 323 = 4
 x = -3 + 13 16
 x + 3 = 13 16
 1x + 323 = 16
 1x + 323 = 24
610	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
Otras ecuaciones logarítmicas pueden resolverse mediante las propiedades de los 
logaritmos dadas en las secciones anteriores.
EJEMPLO  4 Resuelve la ecuación log (3x 1 2) 1 log 9 5 log (x 1 5).
Solución    
 Regla del producto
 Propiedad 6d
 
 
 
 x = -  
1
2
62 x = -13
62 x + 18 = 5
72 x + 18 = x + 5
 13x + 22192 = 1x + 52
[ gol 13x + 22192] = log 1x + 52
 gol 13x + 22 + log 9 = log 1x + 52
Verifica que la solución sea -  
1
2
.
Resuelve ahora el ejercicio 51 
EJEMPLO  5 Resuelve la ecuación log x + log 1x + 12 = log 12.
Solución    
 Regla del producto.
 Propiedad 6d.
 
 
 
 
 
Verifica 
 
 
 
 
 log 12 = log 12 Verdadero
Por lo tanto, 24 es una solución extraña. La única solución es 3.
Resuelve ahora el ejercicio 65
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Antes demostramos cómo resolver ecuaciones de una variable usando una calculadora graficadora. Para resolver la ecuación 
log x 1 log (x 1 1) 2 log 12 (ver ejemplo 5) utilizando una TI-84 plus, podemos graficar
22, 10, 1, 21, 2, 1
El punto de intersección de estas gráficas se puede encontrar utilizando la función instersect en el menú CALC. La Figura 9.21 
muestra que la coordenada x del punto de intersección, 3, es la solución a la ecuación.
FIGURA	 9.21
 o
 log [132142] log 12
3 gol + log 4 log 12 gol 1-42 + log 1-32 log 12
 gol 3 + log 13 + 12 log 12 gol 1-42 + log 1-4 + 12 log 12
 gol x + log 1x + 12 = log 12 gol x + log 1x + 12 = log 12
x = 3x =-4
 x = 3 x = -4
 x - 3 = 0 x + 4 = 0
 1x + 421x - 32 = 0
 x2 + x - 12 = 0
 x2 + x = 12
 x1x + 12 = 12
 gol x1x + 12 = log 12
 gol x + log 1x + 12 = log 12
      
Y2 = log 1122
Y1 = log 1x2 + log 1x + 12
Alto.	 c	 c
Los logaritmos de números negativos 
no son números reales.
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda de la sección 9.3 
que el dominio de una fun-
ción logarítmica es (0, q). En 
otras palabras, no podemos 
tomar el logaritmo de cero o 
de un número negativo. Por lo 
tanto, debemos comprobar 
nuestros resultados después 
de resolver ecuaciones loga-
rítmicas para cerciorarnos de 
que el argumento del logarit-
mo es positivo.
	 Sección	9.6	Ecuaciones	exponenciales	y	logarítmicas	 611
EJEMPLO  6 Resuelve la ecuación log 15x - 32 - log 12x2 = 1.
Solución 
 
 Regla del cociente
 Escribe en forma exponencial.
 
 5x - 3 = 20x Multiplica ambos lados por 2x.
 Resta 5x en ambos lados.
 
Verifica
Como tenemos logaritmos de números negativos, 20.2 es una solución extraña. Por 
lo tanto, la ecuación no tiene solución. Su solución es el conjunto vacío, ¤.
Resuelve ahora el ejercicio 57
	2 	Resolver	problemas	de	aplicación
Ahora veremos un problema de aplicación que implica una ecuación exponencial.
EJEMPLO  7  Bacteria Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo y este 
número se duplica cada hora, entonces el número de bacterias al cabo de t horas 
puede calcularse mediante la fórmula
N 5 1000(2)t.
¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30,000 bacterias?
Solución 
 
 Sustituye N por 30,000.
 Divide ambos lados entre 1000.
Queremos determinar el valor de t. Para hacerlo utilizamos logaritmos. Co-
mienza tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación.
 
 Regla de la potencia
 Divide ambos lados entre log 2.
 
 
Será necesario que transcurran casi 4.91 horas para que el cultivo tenga 30,000 
bacterias.
Resuelve ahora el ejercicio 69
©
 O
liv
ie
r L
e 
Q
ue
in
ec
/S
hu
tte
rs
to
ck
03 = 122t
000,03 = 1000122t
 N = 1000122t
19.4 L t
 
1.4771
0.3010
L t
 
log 30
log 2
= t
03 gol = t log 2
03 gol = log 122t
gol  1-42 - log 1-0.42 = 1
gol  351-0.22 - 34 - log 321-0.224 = 1
log 15x - 32 - log 12x2 = 1
 x = -  
3
15
= -  
1
5
= -0.2
 -3 = 15x
 5x - 3 = 20x
 
5x - 3
2x
= 10
 a5x - 3
2x
b = 101
gol  a5x - 3
2x
b = 1
log 15x - 32 - log 12x2 = 1
612	 Capítulo	9	 	 Funciones	exponenciales	y	logarítmicas
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.6 
Ejercicios de práctica
Llena	los	espacios	en	blanco	con	la	palabra,	frase	o	símbolo(s)	apropiados	de	la	siguiente	lista.
 extrañas exponencial base logaritmo cociente suma producto diferencia
 1. Para resolver la ecuación 9x =
1
3
, escribe ambos lados con la 
misma , 3, y luego utiliza la propiedad 6b.
 2. Para resolver la ecuación 3x 5 41 toma el 
común de ambos lados.
 3. Es necesario comprobar las ecuaciones logarítmicas para ver 
si tienen soluciones .
 4. Para resolver la ecuación log3 (x 1 1) 5 2 primero escribe la 
ecuación en forma .
 5. Para resolver la ecuación log3 x 1 log3 (x 2 2) 5 1, primero re-
escribe el lado izquierdo de la ecuación como un solo logaritmo 
usando la regla del , para logaritmos.
 6. Para resolver la ecuación log3 x 2 log3 (x 2 2) 5 1, primero re-
escribe el lado izquierdo de la ecuación como un solo logaritmo 
usando la regla del , para logaritmos.
Practica tus habilidades
Resuelve	cada	ecuación	exponencial	sin	el	uso	de	una	calculadora.
 
 
Resuelve	cada	ecuación	exponencial.	Utiliza	una	calculadora	y	redondea	tus	respuestas	a	la	centésima	más	cercana.
 
 
Resuelve	cada	ecuación	 logarítmica.	Cuando	consideres	apropiado,	utiliza	una	calculadora.	Si	 la	respuesta	es	 irracional,	 redondea	 la	
respuesta	a	la	centésima	más	cercana.
23. 2.01 24. 64.26 25. 3.56 26.
27. 5.59 28. 5.42 29. 6.34 30.
23.23.23.23.23.
5x = 2x + 53x + 4 = 6x4x = 9x - 21.63x + 1 = 25
2.3x - 1 = 26.24x - 1 = 351.05x = 237x = 50
7. 3 8. 7 9. 4 10. 4
.31.21.11 2 14. 3
.71.61.51 4 18. 10
19. 3 .12.02 3 22.
7.7.7.7.7.
a1
2
b
x
= 1627x = 32x + 3
-164x = 44x + 123x - 2 = 128
3x - 6 = 812x + 2 = 64-  
1
2
25x =
1
5
-  
1
3
27x =
1
3
6-x =
1
216
7-x =
1
49
1
4
81x = 3
1
2
64x = 8
4x = 2563x = 812x = 1285x = 125
31. 6 32. 9 33. 5
34. 3 .63.53
37. 100 38. 10,000 39.
40. 19 .24.14
43. .54.44 92
46. 6 .84.74 6.36
.05.94 51. 4
52. 15 53. 2 54. 2
55. 0.87 56. 0.26 57. 30
58. 2.25 59. 5 60. 4
61. 4 62. 27 63. 2
64. 65.
43.43.43.43.43.
51.51.51.51.51.
57.57.57.57.
65.65.65.65. 3 66. 6
67. 9 68. ¤log x - 7 - log x + 3 = log 6log2 x + 3 - log2 x - 6 = log2 4
log7 1x + 62 - log7 1x - 32 = log7 4log5 1x + 32 + log5 1x - 22 = log5 6
5
3
log4 x + log4 16x - 72 = log4 5
log8 x = 4 log8 2 - log8 8log7 x =
3
2
 log7 9log x =
1
3
 log 64
2 log2 x = 4log x + log 1x - 32 = 1log 6000 - log 1x + 22 = 3.15
2 log x - log 9 = 2log 1x + 42 - log x = 1.22log 6 + log y = 0.72
log 1x + 42 - log x = log 1x + 12log n + log 13n - 52 = log 2log 1x - 52 + log 3 = log 12x2
log 12x + 12 + log 4 = log 17x + 821
3
log 2a = log 11 - a23
2
log 1r + 22 = log 13r - 12
log3 2x + log3 x = 4
4
5
log2 x + log2 5 = 2log 13x - 82 = 1
log 1x + 82 = 211, -5log2 1p - 322 = 60, -8log2 1r + 422 = 4
5, -1log3 1a - 222 = 2-6, 4log5 1x + 122 = 2log4 13x + 72 = 3
-1log2 15 - 3x2 = 3log x = 4log x = 2
1
49
log7 x = -2
1
16
log2 x = -4log81 x =
1
4
log125 x =
1
3
log81 x =
1
2
log36 x =
1
2
 (x 2 7) 2 log (x 1 3) 5 log 6
	 Sección	9.6	Ecuaciones	exponenciales	y	logarítmicas	 613
Resuelve	 cada	 problema.	 Redondea	 tu	 respuesta	 a	 la	 centésima	
más	cercana.
 69. Bacterias Si el número inicial de bacterias, en el cultivo del 
ejemplo 7, es 4500, ¿cuándo habrá en él 50,000 bacterias? 
Utiliza N 5 4500(2)t.
 70. Bacterias Si después de 4 horas en el cultivo del ejemplo 7, 
hay 2224 bacterias, ¿cuántas bacterias había al principio?
 71. Decaimiento radiactivo La cantidad, A, de material ra-
diactivo que queda al cabo de t años en una muestra de 
200 gramos, puede determinarse mediante la ecuación 
A 5 200(0.75)t. ¿Cuándo quedarán 80 gramos?
 72. Decaimiento radiactivo La cantidad, A, de material radiac-
tivo que queda al cabo de t años en una muestra de 70 gra-
mos, puede determinarse mediante la ecuación A 5 70(0.62)t. 
¿Cuándo quedarán 10 gramos?
 73. Cuenta de ahorros Paul Trapper invierte $2000 en una cuen-
ta de ahorros que genera interés a una tasa de 5% capitaliza-
ble anualmente. ¿Cuánto tiempo pasará para que los $2000 
se conviertan en $4600? Utiliza la fórmula de interés com-
puesto, A = pa1 +
r
n
b
nt
, que se analizó en la página 583.
 74. Cuenta de ahorros Si Tekar Werner invierte $600 en una 
cuenta de ahorros que genera interés a una tasa de 6% ca-
pitalizable semestralmente, ¿cuánto tiempo pasará para que 
los $600 se conviertan en $1800? 
 75. Cuenta en el mercado financiero Si Jacci White invierte 
$2500 en una cuenta en el mercado financiero que genera in-
terés a una tasa de 4% capitalizable trimestralmente, ¿cuán-
to tiempo pasará para que los $2500 se conviertan en $4000?
 76. Cuenta en una unión de crédito Charlotte Newsome in-
vierte $1000 en una cuenta de ahorro compartida en su unión 
de crédito. Si su dinero genera un interés a una tasa de 3% 
capitalizable mensualmente, ¿cuánto tiempo pasará para 
que los $1000 se conviertan en $1500? 
 77. Depreciación Una máquina comprada para el uso del nego-
cio puede ser depreciada para reducir el pago de impuestos. 
El valor que tiene la maquina al final de su vida útil se de-
nomina valor	 de	 desecho. Cuando la máquina se deprecia 
anualmente en un porcentaje fijo, su valor de desecho, S, es 
S 5 c(1 2 r)n, donde c es el costo original, r es la tasa anual 
de depreciación, dada en forma decimal, y n es la vida útil 
en años. Determina el valor de desecho de una máquina que 
cuesta $50,000, tiene una vida útil de 12 años y su tasa de 
depreciación anual es de 15%.
 78. Depreciación Si la máquina del ejercicio 77 cuesta $100,000, 
tiene una vida útil de 15 años y su tasade depreciación anual 
es de 8%, determine su valor de desecho.
 79. Ganancia de potencia de un amplificador La ganancia de 
potencia, P, de un amplificador se define como
P � 10 log q Psalida
Pentrada
r
 donde Psalida es la potencia de salida y Pentrada es la potencia 
de entrada, ambas en watts. Si un amplificador tiene una 
potencia de salida de 12.6 watts y una potencia de entrada 
de 0.146 watts, determina la ganancia de potencia.
 80. Terremoto Medida en la escala Richter, la magnitud, R, 
de un terremoto de intensidad I esta definida por R 5 log I, 
donde I es el número de veces que es más intenso el terre-
moto que el nivel mínimo de comparación.
 a) ¿Cuántas veces fue más intenso el terremoto de San Fran-
cisco en 1906, que midió 8.25 grados en la escala Richter, 
que el nivel mínimo de comparación?
 b) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto que mide 8.3 
grados en la escala Richter que uno que mide 4.7?
 81. Magnitud del sonido La escala de decibeles se utiliza para 
medir la magnitud del sonido. La magnitud d, en decibeles, 
de un sonido se define como d 5 10 log I, donde I es el 
número de veces que el sonido es mayor (o más intenso) 
respecto del mínimo de intensidad de sonido audible.
 a) El sonido del motor de un aeroplano tiene una intensidad 
de 120 decibeles. ¿Cuántas veces es más intenso ese sonido 
que el nivel mínimo de sonido audible?
 b) La intensidad de ruido en un concurrida calle de la ciudad 
es de 50 decibeles. ¿Cuántas veces es más intenso el sonido 
del motor de un aeroplano que el sonido de la calle de la 
ciudad?
Resolución de problemas
©
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R.
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