Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-49

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EJEMPLO  7  Determina la ecuación de la circunferencia que se muestra 
en la Figura 10.16.
Solución    El centro es (3, 2) y el radio es 3.
 1x + 322 + 1y - 222 = 9
 [x - 1-32]2 + 1y - 222 = 32
 1x - h22 + 1y - k22 = r2
640	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Cómo utilizar tu calculadora graficadora 
Cuando usas tu calculadora, ingresas la función que deseas graficar a la derecha de y . Las circunferencias no son funcio­
nes porque no cumplen el criterio de la recta vertical. Para graficar la ecuación x2  y2  64, la cual es una circunferencia de 
radio 8, resolvemos la ecuación para y para obtener 
not pass the vertical line test. To graph the equation 
y = ;264 - x2. Después graficamos las dos funciones Y1 264 - x2 y 
Y2 = -264 - x2 en los mismos ejes para obtener la circunferencia. Estas gráficas se muestran en la Figura 10.13.
Debido a la distorsión que se da por las escalas diferentes en los ejes, la gráfica no parece ser una circunferencia. Cuando 
usas la característica Z Square de tu calculadora, la cual se encuentra en el menú ZOOM, la figura aparece como una circun­
ferencia (ver Figura 10.14).
�10, 10, 1, �10, 10, 1
Figura	 10.13
��15.2, �15.2, 1, �10, 10, 1
Figura	 10.14	
	6 	Graficar	circunferencias	con	centros	en	(h,	k)
La forma general de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r se puede derivar usando 
la fórmula de la distancia. Sea (h, k) el centro de la circunferencia y sea (x, y) cualquier punto 
en la circunferencia (ver Figura 10.15). Si el radio, r, representa la distancia entre un pun­
to, (x, y), en la circunferencia y su centro, (h, k), entonces, por la fórmula de la distancia
r = 21x - h22 + 1y - k22
Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para obtener la forma general de 
una circunferencia con centro en (h, k) y radio r.
r2  (x  h)2  (y  k)2
x
y
(x, y)
(h, k)
r
k
h
Figura	 10.15
Circunferencia con centro en (h, k) y radio r
(x  h)2  (y  k)2  r2
y
x
�3
�2
�1
7
6
5
4
3
2
1
1 2�3�8�7�6�5 �1
(�3, 5)
(�6, 2)
(�3, �1)
(�3, 2)
(0, 2)
Figura	 10.16
Resuelve ahora el ejercicio 77
EJEMPLO  8 
 a) Demuestra que la gráfica de la ecuación x2  y2  6x  2y  6  0 es una circun­
ferencia.
 b) Determina el centro y el radio de la circunferencia y después trázalo.
 c) Determina el área de la circunferencia.
Solución   
 a) Al completar el cuadrado podemos escribir esta ecuación en la forma general. 
Primero reescribimos la ecuación, colocando todos los términos que contengan 
x juntos y los términos que contengan y juntos.
x2  6x  y2  2y  6  0
	 Sección	10.1	 	 La	parábola	y	la	circunferencia	 641
Después reescribimos la ecuación con la constante en el lado derecho de la ecuación.
 x2  6x  y2  2y  6 Reescribe la ecuación.
Ahora completamos el cuadrado dos veces, una vez para cada variable.
 x2  6x  9  y2  2y  6  9 Completa el cuadrado en términos de x.
 x2  6x  9  y2  2y  1  6  9  1 Completa el cuadrado en términos de y.
 o
 1x + 322 + 1y - 122 = 42
 1x + 322 + 1y - 122 = 16
('')''*('')''* x2 + 6x + 9 + y2 - 2y + 1 = 16
 b) El centro de la circunferencia está en (3, 1) y el radio es 4. El dibujo de la circun­
ferencia esta en la Figura 10.17.
 c) El área es 
A = pr2 = p1422 = 16p L 50.3 square units unidades cuadradas
Resuelve ahora el ejercicio 101
x2 y2 6x 2y 6 0
3
2
1
4
5
6
3
2
y
x1
1
23456 2 1
Figura	 10.17
CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.1 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
distancia (0, 0) parábola circunferencia (k, h) (h, k) (x, y) punto medio
 1. La fórmula, punto medio = ax1 + x2
2
, 
y1 + y2
2
b , se conoce 
como la fórmula del .
 2. La fórmula d = 21x2 - x122 + 1y2 - y122, se conoce como 
la fórmula de la .
 3. La ecuación y  a(x  h)2  k es la ecuación de una 
. 
 4. La ecuación x2  y2  r2 es la ecuación de una circunferencia 
con centro en y radio r.
 5. La ecuación (x  h)2  (y  k)2  r es la ecuación de una 
circunferencia con centro en y radio r.
 6. Las cuatro secciones cónicas son la parábola, la 
, la elipse y la hipérbola.
Practica tus habilidades
Grafica cada ecuación.
En los ejercicios 27-40, a) escribe la ecuación en la forma y  a(x  h)2  k o x  a(y  k)2  h. b) Grafica la ecuación.
Determina la distancia entre cada par de puntos. Usa una calculadora donde sea apropiado y redondea tus respuestas a la centésima más 
cercana.
Comprendiendo 
el álgebra
El	área	de	una	circunferencia	es
A		p r2.
.8.7 9. 10.
.41.31.21.11
.81.71.61.51
.02.91 21. 22.
.62.52.42.32 y = - ax -
5
2
b
2
+
1
2
y = -2ax +
1
2
b
2
+ 6x = 31y + 122 + 5x = -51y + 322 - 6
x = -21y + 422 - 3x = -1y - 522 + 4x = -1y - 222 + 1x = 1y - 422 - 3
x = 1y - 122 + 1y = -31x - 522 + 3y = 21x + 122 - 3y = -1x + 322 + 4
y = -1x + 422 - 5y = -1x - 122 + 1y = 1x + 222 + 1y = 1x - 222 - 1
y = 1x + 322 - 4y = 1x + 322 + 2y = 1x - 222 - 3y = 1x - 222 + 3
27. a) 28. a) 29. a)
30. a) 31. a) 32. a)
.43.33 a) 35. a)
.73.63 a) 38. a)
.04.93 x = 3y2 - 12y - 36x = -y2 + 3y - 4
y = 21x -y = 2x2 - 4x - 4y = -1x - 222y = -x2 + 4x - 4x = -y2 - 2y + 5
x = -1y -x = -y2 + 6y - 9y = 1x + 122 - 8y = x2 + 2x - 7y = x2 + 7x + 10
x = 1y - 322 - 9x = y2 - 6yx = 1y + 222 - 4x = y2 + 4yy = 1x - 222 - 4y = x2 - 4x
y = 1x + 322 - 9y = x2 + 6xy = 1x - 122 - 1y = x2 - 2xy = 1x + 122 - 1y = x2 + 2x
41. y 5 42. y 4 43. y (8, 6) 9
44. (1, 11) y (4, 15) 5 45. y (4, 9) 13 46. y (2, 1) 101-4, -721-1, -32
1-1, 621-3, 221-7, 2215, -6215, -12
642	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
 103. Determina el área de la circunferencia del ejercicio 85.
Resolución de problemas
 104. Determina el área de la circunferencia del ejercicio 87.
Determina el punto medio del segmento de recta entre cada par de puntos.
Grafica cada ecuación.
En los ejercicios 95-102, a) usa el método de completar el cuadrado para escribir cada ecuación en la forma general, y b) traza la gráfica.
Escribe la ecuación de cada circunferencia con el centro y el radio que se dan.
 65. Centro (0, 0), radio 5 66. Centro (0, 0), radio 9 67. Centro (2, 0), radio 8
 68. Centro (3, 0) radio 7 69. Centro (0, 5), radio 2 70. Centro (0, 6) radio 10
 71. Centro (3, 4), radio 4 72. Centro (5, 2) radio 3 73. Centro (7, 6) radio 12
 74. Centro (6, 1) radio 15 75. Centro (1, 2), radio 15 76. Centro (7, 2) radio 113
Escribe la ecuación de cada circunferencia. Considera que el radio es un número entero positivo.
47. 48. (6, 7) y (11, 0) 49.
50. 51. 52.
53. 54. 17 L 2.651-12, -152110 L 3.16117, 132
1-1.6, 2.3215.2, -3.621-4.3, -1.721-1.6, 3.52A281
16
L 4.19a -  
3
2
, 6ba -  
1
4
, 2b
A125
4
L 5.59a 1
2
, 4b13, -12174 L 8.60190 L 9.4915, -221-4, -52
51. 52. 281.05 L 9.00234.33 L 5.86
y 
y 
y (0, 0)
y 
y (0, 0)
y 
y 
55. (1, 3) y (5, 7) (3, 5) 56. (0, 8) y (2, 1) 57. (0, 0)
58. (4, 9) y 59. 60.
61. 62. 63.
64. a -17 + 15
2 , 
8 + 13
2
b115, 1321-17, 82
a 13 + 12
2 , 
7
2
b112, 52113, 22a 9
4
, 
11
4
ba2, 
9
2
ba5
2
, 1ba 5
2
, -  
7
4
b12, -42a3, 
1
2
b
1-7, -621-6, -321-8, -92a 3
2
, 5b1-1, 42a5
2
, 2b11, -52
17, -321-7, 3214, -62
y 
y 
y (4, 6)
y 
y 
y 
y 
77. 78.
.08.97 1x + 522 + 1y + 322 = 4
8
2
4
6
8
6
4
2
86428 6 4 2
y
x
1
8
4
2
8
6
6
4
2
8428 6 4 2
y
x
1x + 422 + 1y - 622 = 4
8
4
2
8
6
6
4
2
8428 66 4 2
y
x
x2 + y2 = 16
8
2
8
6
6
2
828 66 2
y
x
.48.38.28.18
.88.78.68.58
.09.98 91. 92.
.49.39
91.91.91.91.
y = -249 - x2y = -24 - x2
y = 216 - x2y = 225 - x21x + 322 + 1y - 422 = 361x + 822 + 1y + 222 = 9
1x - 222 + 1y + 322 = 16x2 + 1y - 322 = 4x2 + 1y + 122 = 91x + 422 + y2 = 25
1x - 122 + y2 = 7x2 + y2 = 10x2 + y2 = 5x2 + y2 = 16
95. a) 96. a)
97. a) 98. a)
99. a) 100. a)
101.101.101.101.101. a) 102. a) ax -
1
2
b
2
+ ay +
3
2
b
2
= 22x2 + y2 - x + 3y -
3
2
= 01x - 422 + 1y + 122 = 22x2 + y2 - 8x + 2y + 13 = 0
1x + 222 + 1y - 322 = 42x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 01x + 322 + 1y - 122= 22x2 + y2 + 6x - 2y + 6 = 0
1x + 122 + 1y - 222 = 32x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 01x + 322 + 1y - 222 = 32x2 + y2 + 6x - 4y + 4 = 0
x2 + 1y + 222 = 22x2 + y2 + 4y = 01x + 422 + y2 = 12x2 + y2 + 8x + 15 = 0
	 Sección	10.1	 	 La	parábola	y	la	circunferencia	 643
En los ejercicios 105-108 determina, si las hay, las intersecciones 
con los ejes x y y de la gráfica de cada ecuación.
 105. x  y2  6y  7 106. x  y2  8y  12
 107. x  2(y  3)2  6 108. x  (y  2)2  8
 109. Si conoces el punto medio de un segmento de recta, ¿es po­
sible determinar la longitud del segmento de recta? Explica.
 110. Si conoces un extremo de un segmento de recta y la longi­
tud del segmento, ¿es posible determinar el otro extremo? 
Explica.
 111. Determina la longitud del segmento de recta cuyo punto 
medio es (4,6) y uno de sus extremos está en (7,2).
 112. Determina la longitud del segmento de recta cuyo punto 
medio está en (2, 4) y uno de sus extremos está en (3, 6).
 113. Determina la ecuación de una circunferencia con centro en 
(6, 2) que es tangente al eje x (esto es, la circunferencia 
toca al eje x en un solo punto).
 114. Determina la ecuación de una circunferencia con centro en 
(3, 5) que es tangente al eje y.
En los ejercicios 115 y 116 determina a) el radio de la circunferen-
cia cuyo diámetro está en la línea que se muestra, b) el centro de la 
circunferencia, y c) la ecuación de la circunferencia.
 115. 
x
y
(5, 4)
(9, 8)
 
 116. 
x
y
(4, 9)
(7, 12)
 
 117. Puntos de intersección ¿Cuál es el máximo número y el 
mínimo número de puntos de intersección posibles para las 
gráficas de y  a(x  h1)
2  k1 y x  a(y  k2)
2  h2? Expli­
ca tu respuesta.
 118. Triángulo inscrito Considera la figura siguiente.
2
1
10
8
7
6
5
4
3
1
5431 2345 2 1
y
x
 
 
 a) Determina el área del triángulo en gris.
 b) Cuando se inscribe un triángulo en una parábola, como 
en la figura, el área dentro de la parábola desde la base 
del triángulo es 
4
3
 del área del triángulo. Determina el 
área dentro de la parábola desde x  3 a x  3. 
 119. Rueda de la fortuna La rueda de la fortuna en el muelle 
Navy en Chicago tiene 150 pies de altura. El radio de la 
rueda es de 68.2 pies.
150 pies
y
Origen
Suelo
Espacio
x
68.2 pies
 a) ¿Cuánto espacio hay debajo de la rueda?
 b) ¿A qué altura del suelo está el centro de la rueda?
 c) Determina la ecuación de la rueda. Considera que el 
origen está en el suelo directamente debajo del centro 
de la rueda.
 120. Área sombreada Determina el área sombreada del cuadrado 
de la figura. La ecuación de la circunferencia es x2  y2  9.
5
4
5
4
2
1
542145 x
y
 121. Área sombreada Considera la siguiente figura. Escribe una 
ecuación para
 a) la circunferencia sombreada en azul,
 b) la circunferencia azul oscuro y
 c) la circunferencia gris.
 d) Determina el área sombreada.
5
6
4
3
2
1
5
6
4
3
2
1
5 64321456 3 2 1 x
y
644	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
 122. Puntos de intersección Considera las ecuaciones x2  y2  16 
y (x  2)2  (y  2)2  16. Considera el centro y el radio de 
cada circunferencia para determinar el número de puntos 
de intersección de las dos circunferencias.
 123. Circunferencias concéntricas Determina el área entre las dos 
circunferencias concéntricas cuyas ecuaciones se expresan 
como (x  2)2  (y  4)2  16 y (x  2)2  (y  4)2  64. Las 
circunferencias concéntricas son circunferencias que tienen 
el mismo centro.
 124. Túnel Un departamento de caminos planea construir un 
túnel semicircular de un solo sentido a través de una mon­
taña. El túnel debe ser lo suficientemente grade para que 
un camión de 8 pies de ancho y 10 de alto pase por el centro 
Ejercicios de conceptos y escritura
 125. Todas las parábolas de la forma y  a(x  h)2  k, a  0, 
¿serán funciones? Explica tu respuesta. ¿Cuál será el domi­
nio y el rango de y  a(x  h)2  k, a  0?
 126. Todas las parábolas de la forma x  a(y  k)2  h, a  0, 
¿serán funciones? Explica tu respuesta. ¿Cuál será el domi­
nio y el rango de x  a(y  k)2  h, a  0?
 127. ¿Cómo se comparan las gráficas de y  2(x  3)2  4 y 
y  2(x  3)2  4? 
 128. ¿Cuál es la definición de una circunferencia?
 129. ¿Es x2  y2  9 la ecuación de una circunferencia? Explica 
tu respuesta.
 130. ¿Es x2  y2  25 la ecuación de una circunferencia? Expli­
ca tu respuesta.
 131. ¿Es 2x2  3y2  6 la ecuación de una circunferencia? Expli­
ca tu respuesta.
 132. ¿Es x  y2  6y  3 la ecuación de una parábola? Explica 
tu respuesta.
 133. ¿Es x2  y2  6y  3 la ecuación de una parábola? Explica 
tu respuesta.
 134. ¿Es x  y  2 la ecuación de una parábola? Explica tu res­
puesta.
Comenta y responde el ejercicio 135 en grupo.
 135. Ecuación de una parábola La ecuación de una parábola se 
puede determinar si se conocen tres de sus puntos. Para ha­
cer esto, empieza con y  ax2  bx  c. Después sustituye 
las coordenadas en x y en y del primer punto en la ecuación. 
Esto dará como resultado una ecuación en a, b y c. Repite el 
procedimiento para los otros dos puntos. Este proceso ge­
nera un sistema de tres ecuaciones con tres variables. Des­
pués resuelve el sistema para a, b y c. Para determinar la 
ecuación de la parábola, sustituye los valores que obtuviste 
para a, b y c en la ecuación y  ax2  bx  c.
 Tres puntos en la parábola son (0, 12), (3, 3) y (2, 32).
 a) De manera individual, determina un sistema de ecua­
ciones con tres variables que se pueda usar para deter­
minar la ecuación de la parábola. Después compara tus 
respuestas. Si cada miembro del grupo no tiene el mis­
mo sistema, determina por qué.
 b) De manera individual, resuelve el sistema y determina 
los valores de a, b y c. Después compara tus respuestas.
 c) De manera individual, escribe la ecuación de la parábo­
la que pasa por (0, 12), (3, 3) y (2, 32). Después com­
para tus respuestas.
 d) De manera individual, escribe la ecuación en la forma 
y  a(x  h)2  k
Después compara tus respuestas.
 e) De manera individual, grafica la ecuación del inciso d). 
Después compara tus respuestas.
Ejercicios de repaso acumulados
Actividad de grupo
[1.5] 136. Simplifica 
6x-3
 y4
18x-2
 y3 .
[2.5] 137. Resuelve la desigualdad 4  3x  4  17. Escribe la 
solución en notación de intervalos.
[4.5] 138. Evalúa el determinante3 4 0 3
5 2 -1
3 6 4
3
[5.2] 139. a) Escribe expresiones que representen cada una de 
las cuatro áreas que se muestran en la figura.
a b
a
b
1
3 4
2
 b) Expresa como el cuadrado de un binomio el área 
total mostrada.
[10.1] 140. Grafica y  (x  4)2  1.
del túnel y que le sobre 1 pie directamente por encima de la 
esquina del camión cuando maneje por el centro del túnel 
(como se ve en la siguiente figura). Determina el radio mí­
nimo del túnel.
8 pies
1 pies
10 pies
	 Sección	10.2	 	 La	elipse	 645
10.2 La elipse
	 1 	 Graficar	elipses.
	2 	 Graficar	elipses	con	
centros	en	(h, k).
	1 	Graficar	elipses
La elipse
Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, cuya suma de las distancias desde dos 
puntos fijos es una constante. Los dos puntos fijos se llaman focos (cada uno es un foco) de 
la elipse.
En la Figura 10.18, F1 y F2 representan los dos focos de una elipse.
F1 F2
d1 d2 F1 F2
d1 d2
Elipse
Figura	 10.18
Figura	 10.19
Podemos construir una elipse usando un pedazo de cordón y dos tachuelas. Coloca 
las dos tachuelas bastante cerca una de la otra (Figura 10.19). Después fija los extremos 
del cordón a las tachuelas. Con un lápiz o pluma, tensa el cordón, y, manteniéndolo tenso, 
traza la elipse moviendo el lápiz alrededor de las tachuelas.
En la Figura 10.20, el segmento de recta desde a a a en el eje x es el eje más largo 
o el eje mayor y el segmento de recta de b a b es el eje más corto o el eje menor de la 
elipse. El eje mayor de una elipse también puede estar en el eje y. La Figura 10.20 también 
muestra el centro de la elipse y los dos vértices (los puntos rojos). Losvértices son los pun­
tos finales del eje mayor.
y
xa
b
b
a
Centro
Figura	 10.20
Elipse con centro en el origen
La forma general de una elipse con centro en el origen es
x2
a2 +
y2
b2 = 1
donde (a, 0) y (a, 0) son las intersecciones con el eje x y (0, b) y (0, b) son las intersec­
ciones con el eje y.
Observa que:
 • Las intersecciones con el eje x se obtienen de la constante en el denominador del 
término en x.
 • Las intersecciones con el eje y se obtienen de la constante en el denominador del 
término en y.
 • Si a2  b2, el eje mayor está sobre el eje x.
 • Si b2  a2, el eje mayor está sobre el eje y.
En el ejemplo 1, el eje mayor de la elipse está sobre el eje x.
EJEMPLO  1  Grafica 
x2
9
+
y2
4
= 1.
Solución    Podemos reescribir la ecuación como
x2
32
+
y2
22
= 1
Entonces, a  3 y las intersecciones con el eje x son 
(3, 0) y (3, 0). Como b  2, las intersecciones con 
el eje y son (0, 2) y (0, 2). La elipse se muestra en la 
Figura 10.21.
y
x
4
5
3
1
5
4
3
1
541 245 2 1
Resuelve ahora el ejercicio 15
Figura	 10.21
Una ecuación puede estar expresada de manera que no sea tan obvio que su gráfica 
es una elipse, como se ilustra en el ejemplo 2.
EJEMPLO  2  Grafica 20x2  9y2  180.
Solución    
 
x2
9
+
y2
20
= 1
 
20x2
180
+
9y2
180
= 1
 
20x2 + 9y2
180
=
180
180
02 x2 + 9y2 = 180
 Se dividieron ambos lados entre 180.
 Simplifica.
 Ecuación de la elipse.
Ahora se puede reconocer la ecuación como una elipse en forma general.
x2
a2
+
y2
b2
= 1
Como a2  9, a  3. Sabemos que b2  20; entonces b = 120 (o aproximadamente 
4.47).
x2
32
+
y2
112022 = 1
Las intersecciones con el eje x son (3, 0) y (3, 0). Las intersecciones con el eje y son 
(0, -120) y (0, 120). La gráfica se muestra en la Figura 10.22. Observa que el eje 
mayor está sobre el eje y.
Resuelve ahora el ejercicio 19
En el ejemplo 1, como a2  9, b2  4 y a2  b2, el eje mayor está sobre el eje x. En 
el ejemplo 2, como a2  9, b2  20 y b2  a2, el eje mayor está sobre el eje y. En el caso 
específico donde a2  b2, la figura es una circunferencia. Por lo tanto, la circunferencia es 
un caso especial de la elipse.
EJEMPLO  3  Escribe la ecuación de la elipse que se muestra en la Figura 10.23.
Figura	 10.22
Figura	 10.23
646	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Solución    Las intersecciones con el eje x se encuentran en ( , 0) y ( , 0); 
entonces, a  y a2  10. Las intersecciones con el eje y son (0, 12) y (0, 12); tal 
que, b  12 y b2  144.
Resuelve ahora el ejercicio 45