Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-52

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Sección	10.4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	no	lineales	y	sus	aplicaciones	 659
42 + (–3)2 = 25 3(4) + 4(–3) = 0
16 + 9 =? 25 12 – 12 =? 0
25 = 25 Verdadera 0 = 0 Verdadera
Verifica	(4, –3)
El procedimiento gráfico para resolver un sistema de ecuaciones puede ser impreciso por­
que tenemos que estimar el punto o puntos de intersección. Se puede obtener una respues­
ta exacta de manera algebraica.
Para resolver un sistema de ecuaciones de manera algebraica, frecuentemente resol­
vemos una o más de las ecuaciones para una de las variables y luego sustituimos.
EJEMPLO  1  Resuelve el sistema de ecuaciones anterior de manera algebraica 
usando el método de sustitución.
x2 + y2 = 25
3x + 4y = 0
Solución    Primero resolvemos la ecuación lineal 3x + 4y = 0 ya sea para x o para 
y. La resolveremos para y.
 y = - 
3x
4
 4y = -3x
 3x + 4y = 0
Ahora sustituimos y por Now we substitute for - 
3x
4
 en la ecuación x2 + y2 = 25 y resolvemos para la variable 
restante x.
 
 Sustituye y por Substitute for-
3x
4
.
 
 Multiplica ambos lados por 16.
 
 
 Se dividieron ambos lados entre 25.
 Propiedad de la raíz cuadrada.
Ahora determinamos el valor correspondiente de y para cada valor de x, al sustituir 
cada valor de x (uno a la vez) en la ecuación que se resolvió para y.
Las soluciones son (4, –3) y (–4, 3). Esto concuerda con la solución que se obtuvo 
gráficamente en la Figura 10.35 en la página 658.
Resuelve ahora el ejercicio 9
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda	que	la	gráfica	de	
una	ecuación	es	el	conjunto	
de	pares	ordenados	que	son	
soluciones	de	la	ecuación.	
Por	lo	tanto,	las	soluciones	
de	un	sistema	de	ecuaciones	
son	los	pares	ordenados	que	
corresponden	a	los	puntos	de	
intersección	de	las	gráficas		
de	las	ecuaciones	del	sistema.
x � 4 x � �4
y = - 
3x
4
 y = - 
3x
4
 = - 
3142
4
 = - 
31-42
4
 = -3 = 3
 x = ;116 = ;4
 x2 =
400
25
= 16
 25x2 = 400
 16x2 + 9x2 = 400
 16¢x2 +
9x2
16
≤ = 161252
 x2 +
9x2
16
= 25
x2 + a - 
3x
4
b
2
= 25
 x2 + y2 = 25
660	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Nuestro objetivo al usar sustitución es obtener una sola ecuación que contenga úni­
camente una variable.
Consejo útil
Consejo de estudio
En esta sección usaremos el método de sustitución y el método de la suma para resolver 
sistemas de ecuaciones no lineales. Si no recuerdas cómo usar ambos métodos para resol­ 
ver sistemas de ecuaciones lineales, ahora es un buen momento para repasar el capítulo 4.
En los ejemplos 1 y 2, resolveremos sistemas usando el método de sustitución, mientras 
que en los ejemplos 3 y 4, resolveremos sistemas usando el método de la suma.
Puedes escoger resolver un sistema por el método de sustitución si la suma de las dos 
ecuaciones no da como resultado una ecuación que se pueda resolver fácilmente, como es el 
caso de los sistemas en los ejemplos 1 y 2.
EJEMPLO  2  Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.
y = x2 – 3
x2 + y2 = 9
Solución    Como ambas ecuaciones contienen x2, resolveremos una de las ecuacio­
nes para x2. Escogemos resolver y = x2 – 3 para x2.
y = x2 – 3
 y + 3 = x2
Ahora sustituye x2 por y + 3 en la ecuación x2 + y2 = 9.
 x2 + y2 = 9
 y + 3 + y2 = 9 Sustituye x2 por y + 3.
 y2 + y + 3 = 9 Reescribe.
 y2 + y – 6 = 0
 (y + 3)(y – 2) = 0 Factoriza.
y + 3 = 0 o y – 2 = 0
y = –3 y = 2
Ahora determina los valores correspondientes de x sustituyendo los valores que ob­
tuviste para y.
Este sistema tiene tres soluciones: (0, 3), (15, 2) y (-15, 2).
Observa que la gráfica de la ecuación y  x2  3 es una parábola y la gráfica de 
la ecuación x2  y2  9 es una circunferencia. Las gráficas de ambas ecuaciones se 
muestran en la Figura 10.36.
Resuelve ahora el ejercicio 19
Consejo útil
A veces los estudiantes resuelven para una variable y creen que ya tienen la solución. Recuer­
da que la solución de un sistema de ecuaciones con dos variables, si existe, consiste en uno o 
más pares ordenados.
y
x
�5
�2
�1
5
4
2
1
541 2�5�4 �2�1
x2 � y2 � 9
y � x2 � 3
(�œ5, 2) (œ5, 2)
(0,�3)
Figura	 10.36
y � �3 y � 2
 y = x2 - 3 y = x2 - 3
-3 = x2 - 3 2 = x2 - 3
 0 = x2 5 = x2
 0 = x ;15 = x
	 Sección	10.4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	no	lineales	y	sus	aplicaciones	 661
	2 	Resolver	sistemas	de	ecuaciones	no	lineales	usando	
la	suma
Con frecuencia podemos resolver sistemas de ecuaciones de manera más sencilla usando 
el método de la suma. Al igual que con el método de sustitución, nuestro objetivo es obte­
ner una sola ecuación que contenga una única variable.
EJEMPLO  3  Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de la suma.
x2 + y2 = 9
2x2 – y2 = –6
Solución    Si sumamos las dos ecuaciones, obtendremos una ecuación con una 
sola variable.
x2 + y2 = 9
2x2 - y2 = -6
3x2 = 3
x2 = 1
x = ;1
Ahora resolvemos para la variable y sustituyendo x = ±1 en cualquiera de las ecua­
ciones originales.
Este sistema de ecuaciones tiene cuatro soluciones:
11, 2122, 11, -2122, 1-1, 2122, and y 1-1, -2122
Las gráficas de las ecuaciones del sistema se muestran en la Figura 10.37. Ob­
serva los cuatro puntos de intersección de las dos gráficas.
Resuelve ahora el ejercicio 25
Es posible que un sistema de ecuaciones no tenga solución (por lo tanto, las gráficas 
no se intersectan).
EJEMPLO  4  Resuelve el sistema de ecuaciones usando el método de la suma.
 x2 + 4y2 = 16 (ec. 1)
 x2 + y2 = 1 (ec. 2)
Solución    Multiplica (ec. 2) por 1 y suma la ecuación resultante a (ec. 1).
 
x2 + 4y2 = 16
-x2 - y2 = -1
3y2 = 15
y2 = 5
y = ;15
 (ec. 2) multiplicada por 1.
y
x
�5
�4
�2
�1
5
4
2
1
541 2�5�4 �2�1
x2 � y2 � 9
2x2 � y2 � �6
(�1, 2œ2) (1, 2œ2)
(�1, �2œ2) (1, �2œ2)
Figura	 10.37
x � 1 x � �1
x2 + y2 = 9 x2 + y2 = 9
12 + y2 = 9 1-122 + y2 = 9
 1 + y2 = 9 1 + y2 = 9
 y2 = 8 y2 = 8
 y = ;18 y = ;18
 = ;212 = ;212
662	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Como x es un número imaginario para ambos valores de y, este sistema de ecuacio­
nes no tiene solución real. Cuando resolvemos sistemas de ecuaciones no lineales, 
nos interesa determinar todas las soluciones que sean números reales.
Las gráficas de las ecuaciones se muestran en la Figura 10.38. Observa que las 
dos gráficas no se intersectan, por lo tanto, no hay solución real. Esto concuerda con 
la respuesta que obtuvimos algebraicamente.
Resuelve ahora el ejercicio 37
	3 	Resolver	aplicaciones
EJEMPLO  5  Jardín de flores Fred y Judy Vespucci quieren construir un jardín 
rectangular de flores detrás de su casa. Fred fue al vivero local y compró suficiente 
tierra para cubrir 150 metros cuadrados de terreno. Judy fue a la ferretería local y 
compró 50 metros de cerca para el perímetro del jardín. ¿Cómo deben construir el 
jardín para usar toda la tierra que él compró y toda la cerca que ella compró?
Solución    Entiende	y	traduce Empezamos trazando un bosquejo (ver 
Figura 10.39).
Sea x = longitud del jardín.
 Sea y = ancho del jardín.
Como A = xy y Fred compró tierra para cubrir 150 metros cuadrados, tenemos que
xy = 150
Como P = 2x + 2y y Judy compró 50 metros de cerca para el perímetro del jardín, 
tenemos que 
2x + 2y = 50
El sistema de ecuaciones es
 2x + 2y = 50
 xy = 150
realiza	los	cálculos Resolveremos el sistema por el método de sustitución. La ecua­
ción 2x + 2y = 50 es una ecuación lineal. Resolveremos esta ecuación para y.
 y =
50 - 2x
2
=
50
2
-
2x
2
= 25 - x
 2y = 50 - 2x
 2 x + 2y = 50
Ahora sustituye y por 25  x en la ecuación xy = 150. 
 x = 10 x = 15
 x - 10 = 0 or x - 15 = 0
 0 = 1x - 1021x - 152
 0 = x2 - 25x + 150
52 x - x2 = 150
 x125 - x2 = 150
 xy = 150
y
x
�4
�5
�3
5
4
3
5431 2�3�4�5 �2�1
x2 � 4y2 � 16
x2 � y2 � 1
Figura	 10.38
Ahora resuelve para x.
y x
Figura	 10.39
y 15 y 15
 x2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1
x2 + 11522 = 1 x2 + 1-1522 = 1
 x2 + 5 = 1 x2 + 5 = 1
 x2 = -4 x2 = -4
 x = ;1-4 x = ;1-4
 x = ;2i x = ;2i
o
	 Sección	10.4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	no	lineales	y	sus	aplicaciones	 663responde Si x  10, entonces y  25  10  15. Y si x  15, entonces y  25  15 
 10. Por lo tanto, en cualquier caso, las dimensiones del jardín de flores son de 10 
metros por 15 metros.
Resuelve ahora el ejercicio 41
EJEMPLO  6  Bicicletas La compañía Hike ‘n’ Bike produce y vende bicicletas. 
La ecuación de sus costos semanales es C  50x + 400, 0  x  160, y la ecuación de 
sus ingresos semanales es R  100x  0.3x2, 0  x  160, donde x es el número de bici­
cletas que se producen y se venden cada semana. Determina el número de bicicletas 
que se deben producir y vender para que Hike ‘n’ Bike llegue al punto de equilibrio.
Solución    Entiende	 y	 traduce Una compañía llega a su punto de equilibrio 
cuando sus costos son iguales a sus ingresos. Cuando sus costos son mayores que 
sus ingresos, la compañía tiene pérdidas. Cuando sus ingresos son mayores que sus 
costos, la compañía tiene ganancias.
El sistema de ecuaciones es
 C = 50x + 400
 R = 100x - 0.3x2
Para que Hike ‘n’ Bike llegue a su punto de equilibrio, sus costos deben ser iguales a 
sus ingresos. Entonces, escribimos
 C = R
 50x + 400 = 100x - 0.3x2
realiza	los	cálculos Al escribir esta ecuación cuadrática en la forma general, obtenemos
0.3x2 - 50x + 400 = 0, 0 … x … 160
Resolveremos esta ecuación usando la fórmula cuadrática.
 =
50 ; 12020
0.6
 =
-1-502 ; 21-5022 - 410.3214002
210.32
 x =
-b ; 2b2 - 4ac
2a
a = 0.3, b = -50, c = 400
x =
50 + 12020
0.6
L 158.2 o x =
50 - 12020
0.6
L 8.4
responde Los costos serán iguales a los ingresos y la compañía llegará al punto de 
equilibrio cuando se vendan aproximadamente 8 bicicletas o 158 bicicletas. La compa­
ñía tendrá una ganancia cuando se vendan entre 9 y 158 bicicletas. Cuando se vendan 
menos de 9 o más de 158 bicicletas, la compañía tendrá pérdidas (ver Figura 10.40).
Resuelve ahora el ejercicio 53
Número de
bicicletas
9000
8000
10000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
100 200 x
Región de ganancias
(cuando los ingresos exceden
los costos)
C
os
to
s 
o 
in
gr
es
os
 (
dó
la
re
s)
Ingresos:
R � 100x � 0.3x2
Costo:
C � 50x � 400
Figura	 10.40
CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.4 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
intersección sustitución 1 suma 2 3 no lineal no
 1. Un sistema de ecuaciones en el que al menos una de las ecua­
ciones es no lineal es un sistema de ecuaciones .
 2. La forma algebraica más sencilla de resolver el sistema de 
ecuaciones no lineales 
x2 + y2 = 100
6x + 8y = 0
 es usar el método de .
 3. La forma algebraica más sencilla de resolver el sistema de 
ecuaciones no lineales 
x2 + y2 = 25
4x2  y2 = 100
 es usar el método de .
 4. Si las gráficas de las ecuaciones en el sistema no lineal no se 
intersectan, el sistema tiene soluciones reales.
664	 Capítulo	10	 	 Secciones	cónicas
Practica tus habilidades
Determina todas las soluciones reales de cada sistema de ecuaciones usando el método de sustitución.
 5. Si las gráficas de las ecuaciones de un sistema de ecuaciones 
no lineal tienen tres puntos de intersección, el sistema tiene 
 soluciones reales.
 6. Gráficamente, la solución de un sistema de ecuaciones ocu­
rre en el punto o los puntos de de las grá­
ficas de las ecuaciones.
Determina todas las soluciones reales de cada sistema de ecuaciones usando el método de la suma.
Resolución de problemas
 41. Pista de baile Kris Hundley quiere construir una pista de 
baile en su gimnasio. La pista de baile debe tener un pe­
rímetro de 90 metros y un área de 500 metros cuadrados. 
Determina las dimensiones de la pista de baile.
 42. Región rectangular Ellen Dupree cerca un área rectangular 
que está a la orilla de un río, como se ve en la imagen. Si 20 
pies de cerca rodean un área de 48 pies cuadrados, determi­
na las dimensiones del área cercada.
x
x
y
 43. Jardín de vegetales James Cannon planea construir un jar­
dín de vegetales en su patio. El jardín debe tener un períme­
tro de 54 pies y un área de 170 pies cuadrados. Determina 
las dimensiones del jardín de vegetales.
 44. Región rectangular Se quiere cercar un área rectangular que 
está a la orilla de un río como en el ejercicio 42. Si 20 pies 
de cerca rodean un área de 50 pies cuadrados, determina las 
dimensiones del área cercada.
 45. Divisas La moneda de un país incluye un billete que tiene un 
área de 112 centímetros cuadrados con una diagonal de 1260 centimeters. centímetros. Determina la longitud y el ancho del 
billete.
.8.7 (3, 3) 10.
 x - 2y = 4
 x2 + y2 = 4
a -
12
5
, 
9
5
by = 3x + 9
1-3, 02 x2 + y2 = 9
1-3, -32 x - y = 0
 x2 + y2 = 18
1-3, 32 x + y = 0
13, -32 x2 + y2 = 18
15. (5, 0) .81.71.61
x2 + 2y2 = 9
x2 - 6y2 = 36
y = x2 - 6
x2 + y2 = 4
 x2 + y2 = 6
 x + y2 = 4
1-5, 02x2 - 3y2 = 25
x2 + 2y2 = 25
.31.21.11
(1, 5)
14.
 x2 - y2 = 4
 y - x = 2
y = x2 + 4
1-1, 52x2 + y = 6
a5
2
, 
3
2
bx + y = 4
x2 = y2 + 4
a5
2
, 
5
4
b3x + 2y = 10
1-4, 112y = x2 - 5
.22.12.02
 y - x = 3
 x2 + y2 = 1
1-14, -202 x - y = 6
12, -42 2x2 - y2 = -8
y = x2 - 4
x2 + y2 = 16
 y = x2 - 3
 x2 + y2 = 9
9.9.9.
19.19.19.
23. (2, 0) 24. (6, 0) 25. 26.
 x2 - 2y2 = 7
 x2 + y2 = 25
x2 - 2y2 = -2
x2 + y2 = 25
1-6, 02 x2 - y2 = 36
 x2 + y2 = 36
1-2, 02 2x2 + y2 = 8
 x2 - y2 = 4
.92.82.72 (3, 0) 30.
 -9x2 + y2 = 4
 x2 + 4y2 = 16
1-3, 02 2x2 - 9y2 = 18
 4x2 + 9y2 = 36
 x2 + y2 = 13
 3x2 + 2y2 = 30
 x2 + 4y2 = 10
 3x2 - y2 = 4
.43.33.23.13
 x2 + y2 = 34
 x2 - 2y2 = 7
 2x2 - 3y2 = -30
 x2 + y2 = 25
 3x2 + 4y2 = 39
 5x2 - 2y2 = -13
 x2 + 2y2 = 6
 2x2 - y2 = 7
.63.53 37.
25.25.25.25.
37.37.37.37.37. 38.
 9x2 - 4y2 = 36
 x2 + y2 = 1
16x2 + 9y2 = 144
x2 + y2 = 4
4x2 + 5y2 = 15
3x2 + 2y2 = 6
 16x2 - 4y2 = 64
 x2 + y2 = 9
.04.93
8x2 + 3y2 = -5
-4x2 + y2 = -15
 10y2 - 9x2 = 90
 x2 + 4y2 = 4 .13.82 ,
32. , 33. ,
5343 1-15, 2115, 22 115 -221-5, 32 1-5, -3215, 32 15, -32
1-3, 42, 1-3, 13, 42, 13, -421-1, 32, 1-1, -3211, 32, 11, -32
1-2, 12, 1-2, 12, 12, 12, -1212, 32, 12, -32, 1-2, 32, 1-2, -32