Algebra-Intermedia-Octava2-páginas-54

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673
11 Sucesiones, series 
y el teorema del 
binomio
	11.1	 Sucesiones	y	series
	11.2	 Sucesiones	y	series	aritméticas
	11.3	 Sucesiones	y	series	geométricas
Prueba	de	mitad	de	capítulo:	
	secciones	11.1-11.3
	11.4	 Teorema	del	binomio
Resumen	del	capítulo	11
Ejercicios	de	repaso	del	capítulo	11
Prueba	de	práctica	del	capítulo	11
Prueba	de	repaso	acumulada
Objetivos de este capítulo
En	este	capítulo	analizaremos	las	sucesiones	y	las	series.	Una	suce-	
sión	es	una	lista	de	números	en	un	orden	específico	y	una	serie	es	la	
suma	de	los	números	en	una	sucesión.	En	este	libro	analizaremos	dos	
tipos	de	sucesiones	y	series:	aritmética	y	geométrica.	Las	sucesiones	y	
las	series	pueden	utilizarse	para	resolver	muchos	problemas	de	la	vida	
real,	como	se	muestra	en	este	capítulo.
En	este	capítulo,	introduciremos	el	símbolo	sumatoria,	Σ,	el	cual	se	
utiliza	con	frecuencia	en	estadística	y	otros	cursos	de	matemáticas.	
También	analizaremos	el	teorema	del	binomio	para	expandir	una	
expresión	de	la	forma	(a	+	b)n.
Si una pelota rebota	9	pies	cuando	
cae	desde	10	pies,	ésta	ha	recuperado	el	
90%	de	su	altura	inicial.	Teóricamente,	
cada	bote	tendrá	un	rebote	y	la	pelota	
	nunca	dejará	de	rebotar.	En	el	ejercicio	78	
de	la	página	687,	determinamos	la		
altura	de	una	pelota	de	ping-pong	
después	de	que	cae	de	una	mesa. ©
 Jo
na
th
an
 L
ar
se
n/
Sh
ut
te
rs
to
ck
674	 Capítulo	11	 	 Sucesiones,	series	y	el	teorema	del	binomio
Año 1 2 3 4 Á
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Salario $30,000 $32,000 $34,000 $36,000 Á
Año 1 2 3 4 Á
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Salario $30,000 $31,500 $33,075 $34,728.75 Á
a1 a2 a3 a4 a5 a6 Á
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
5 10 15 20 25 30 Á
5, 10, 15, 20, 25, 30, Á
↓
a1 , a2 , a3 , a4 , Á , an , Á
an = f1n2 = 5n
:ognaR 55, 10, 15, 20, 25, 30, 35, Á , 5n, Á 6
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Dominio: 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Á , n, Á 6
11.1 Sucesiones y series
	 1 	 Determinar	los	términos	
de	una	sucesión.
	2 	 Escribir	una	serie.
	 3 	 Determinar	sumas	
parciales.
	 4 	 Utilizar	la	notación	de	
suma,	Σ.
	1 	Determinar	los	términos	de	una	sucesión
Muchas veces vemos patrones en los números. Por ejemplo, supón que te ofrecen un tra-
bajo con un salario inicial de $30,000. Te dan dos opciones para tu aumento salarial anual. 
Una opción es un aumento de $2000 cada año. Con esta opción recibirías el salario que se 
muestra a continuación.
Cada año, el salario es $2000 mayor que el año anterior. Los tres puntos a la derecha de la 
lista de números indican que la lista continúa de la misma manera.
La segunda opción es un aumento de 5% cada año. El salario que recibirías con esta 
opción se muestra a continuación.
Con esta opción, el salario en cualquier año después del primer año es 5% mayor que el 
salario del año anterior.
Las dos listas de números que ilustran los salarios son ejemplos de sucesiones. Una 
sucesión de números es una lista de números con un orden específico. Considera la lista de 
números dados a continuación, la cual es una sucesión.
Cada número se denomina un término de la sucesión. El primer término es 5. Indicamos esto 
escribiendo a1 = 5. Como el segundo término es 10, indicamos a2 = 10, y así sucesivamente.
Los tres puntos, denominados elipsis, indican que la sucesión continúa indefinidamente y 
es una sucesión infinita.
Sucesión infinita
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de números naturales.
Considera la sucesión 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ...
 Números naturales
 
 Valor de la función
Observa que los términos de la sucesión 5, 10, 15, 20, … se determinan multiplicando cada 
número natural por 5. Para cualquier número natural n, el término correspondiente de la su-
cesión es 5 # n o 5n. El término general de una sucesión, an, que define la sucesión, es an = 5n.
Para determinar el término decimosegundo de la sucesión, sustituimos n por 12 en el tér-
mino general de la sucesión: a12 = 5 # 12 = 60. Así, el decimosegundo término de la sucesión 
es 60. Observa que los términos de la sucesión son los valores de la función, o los números 
en el rango de la función. La forma general de una función es:
Comprendiendo 
el álgebra
Una	sucesión	infinita	continúa	
por	siempre	y	nunca	termina
	 Sección	11.1	Sucesiones	y	series	 675
an = f1n2 = 2n
n an = 2n
1 a1 = 21 = 2
2 a2 = 22 = 4
3 a3 = 23 = 8
4 a4 = 24 = 16
5 a5 = 25 = 32
6 a6 = 26 = 64
o ooo
para
EJEMPLO 2 Dada
a) determina el 1er. término de la sucesión b) determina el 3er. término de la sucesión
c) determina el 5o. término de la sucesión d) determina el 10o. término de la sucesión
Solución
a) Cuando
b) Cuando
c) Cuando
d) Cuando
an =
2n + 3
n2
5, 
7
4
= 1.75, = 0.6875.
n = 10, a10 =
21102 + 3
102
=
23
100
= 0.23.
n = 5, a5 =
2152 + 3
52
=
13
25
= 0.52.
n = 3, a3 =
2132 + 3
32
=
9
9
= 1.
n = 1, a1 =
2112 + 3
12
=
5
1
= 5.
an =
2n + 3
n2
,
 a4 = 2142 + 3 = 11
 a3 = 2132 + 3 = 9
 a2 = 2122 + 3 = 7
 a1 = 2112 + 3 = 5
 an = 2n + 3
n = 1, 2, 3, 4.an = 2n + 3,
1,
11
16
Para la sucesión infinita 2, 4, 8, 16, 32, ..., 2n,... podemos escribir
La tabla de la izquierda muestra los primeros seis términos de esta sucesión.
Sucesión finita
Una sucesión finita es una función cuyo dominio incluye solamente los primeros n núme-
ros naturales. Una sucesión finita tiene solamente un número finito de términos.
EJEMPLO 1 Escribe la sucesión finita definida por 
Solución   
Por lo tanto, la sucesión es 5, 7, 9, 11.
Resuelve ahora el ejercicio 13
Como cada término de la sucesión del ejemplo 1 es mayor que el término anterior, 
ésta se denomina sucesión creciente.
 
 
 
 
 
Resuelve ahora el ejercicio 29
Observa en el ejemplo 2 que, como no hay restricción alguna sobre n, an es el término 
general de una sucesión infinita.
En el ejemplo 2, los primeros cuatro términos de la sucesión son 
Como cada término de la sucesión generada por será menor que el térmi-
no que le precede, la sucesión se denomina sucesión decreciente.
Ejemplos	de	sucesiones	finitas
5, 10, 15, 20 dominio es {1, 2, 3, 4}
2, 4, 8, 16, 32 dominio es {1, 2, 3, 4, 5}
Comprendiendo 
el álgebra
Una	sucesión	es	creciente	
cuando	cada	término	es	ma-
yor	que	el	término	anterior.
Comprendiendo 
el álgebra
Una	sucesión	es	decreciente	
cuando	cada	término	es	menor	
que	el	término	que	le	precede.
676	 Capítulo	11	 	 Sucesiones,	series	y	el	teorema	del	binomio
 a =4 1-12 14 24 = 4
 a =3 1-12 13 23 = -3
 a =2 1-12 12 22 = 2
 a =1 1-12 11 21 = -1
 a =n 1-12 1n 2n
Ejemplos
Sucesión finita
Serie finita
Sucesión infinita
Serie infinita
EJEMPLO 4
EJEMPLO 3
)b)a
Solución
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
+
1
256
=
255
256
1
2
, 
1
4
, 
1
8
, 
1
16
, 
1
32
, 
1
64
, 
1
128
, 
1
256
a1
2
b
1
, a1
2
b
2
, a1
2
b
3
, a1
2
b
4
, a1
2
b
5
, a1
2
b
6
, a1
2
b
7
, a1
2
b
8
an = a1
2
b
n
an = 1-22nan = a1
2
b
n
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 +
Á + an +
Á
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , Á , an , Á
a1 + a2 + a3 + a4 + a5
a1 , a2 , a3 , a4 , a5
 Determina los primeros cuatro términos de la sucesión cuyo término 
general es an = (1)n(n).
Solución   
Si escribimos la sucesión, obtenemos 1, 2, 3, 4, …, (1)n(n), … Observa que 
cada término en el que se alterna el signo, podemos llamarlo sucesión alternante.
Resuelve ahora el ejercicio 21
	2 	Escribir	una	serie
Series
Una serie es la suma expresada de los términos de una sucesión.
Una serie puede ser finita o infinita, dependiendo de si se basa en una sucesión finita o 
infinita.
 Escribe los primeros ocho términos de la sucesión dada mediante cada 
término general, después escribe las series que representan la suma de esa sucesión.
 
 a) Comenzamos con n = 1; así, los primeros ocho términos de la sucesión cuyo tér-
mino general es son
o
La serie que representa la suma de la sucesión es
Comprendiendo 
el álgebra
Alternar	significa	cambiar	los	
lugares	que	ocupan	respecti-
vamente	los	signos	+	y	.	En	
una	sucesión alternante,	los	
signos	en	los	términos	están	
alternados.
Comprendiendo 
elálgebra
Una	serie	se	obtiene	mediante	
la	suma	de	los	términos	de	su	
sucesión	correspondiente.
	 Sección	11.1	Sucesiones	y	series	 677
b)
-2 + 4 + 1-82 + 16 + 1-322 + 64 + 1-1282 + 256 = 170
-2, 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256
1-221, 1-222, 1-223, 1-224, 1-225, 1-226, 1-227, 1-228
a1 , a2 , a3 , Á , an , Á ,
EJEMPLO 5
Solución
Σ
n
i = 1
 ai = a1 + a2 + a3 +
Á + an
 =
195
12
 o 16 
1
4
 =
48
12
+
42
12
+
48
12
+
57
12
 = 4 +
7
2
+
12
3
+
19
4
 =
3 + 12
1
+
3 + 22
2
+
3 + 32
3
+
3 + 42
4
 s4 = a1 + a2 + a3 + a4
 s1 = a1 =
3 + 12
1
=
3 + 1
1
= 4
s4s1
an =
3 + n2
n
,
s = a1 + a2 + a3 + Á + an +
Á
 sn = a1 + a2 + a3 +
Á + an
 o
 s3 = a1 + a2 + a3
 s2 = a1 + a2
 s1 = a1
 b) De nuevo comenzamos con n = 1; así, los primeros ocho términos de la sucesión 
cuyo término general es an = (2)n son
o
La serie que representa la suma de esta sucesión es 
Resuelve ahora el ejercicio 45
	3 	Determinar	sumas	parciales
Suma parcial
Para una sucesión infinita con términos a1, a2, a3, ... an, ..., una suma parcial es la suma de un 
número finito de términos consecutivos de la sucesión, comenzando con el primer término.
 Primera suma parcial
 Segunda suma parcial
 Tercera suma parcial
 
 Enésima suma parcial
La suma de todos los términos de la sucesión infinita se denomina serie infinita y está dada 
por:
 Dada una sucesión infinita definida por determina las 
sumas parciales que se indican.
 
 
 
Resuelve ahora el ejercicio 35
	4 	Utilizar	la	notación	de	suma,	Σ
Cuando se conoce el término general de una sucesión, puede usarse la letra griega sigma, 
Σ, para escribir una serie. La suma de los primeros n términos de la sucesión cuyo enésimo 
término es an se representa por
donde i se denomina índice de la suma, o simplemente índice, n es el límite superior de la 
suma, y 1 es el límite inferior de la suma. En este ejemplo, usamos la i para el índice, sin 
embargo, puede usarse cualquier letra para el índice.
678	 Capítulo	11	 	 Sucesiones,	series	y	el	teorema	del	binomio
C
Σ
6
i = 1
 1i2 + 12
 = 55
 = 7 + 9 + 11 + 13 + 15
 Σ
5
i = 1
 12i + 52 = 12 # 1 + 52 + 12 # 2 + 52 + 12 # 3 + 52 + 12 # 4 + 52 + 12 # 5 + 52
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5
Σ
5
i = 1
 12i + 52,
Σ
5
i = 1
 12i + 52
 = 97
 = 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + 37
 Σ
6
i = 1
 1i2 + 12 = 1 1 2 + 12 + 1 2 2 + 12 + 1 3 2 + 12 + 1 4 2 + 12 + 1 5 2 + 12 + 1 6 2 + 12
EXAMPLE 7
Solution
135 Z 625, Σ
5
i = 1
 1xi2
2 Z ¢Σ
5
i = 1
 xi≤
2
.
 = 13 + 4 + 5 + 6 + 722 = 12522 = 625
 ¢Σ
5
i = 1
 xi≤
2
= 1x
 1
+ x
 2
+ x
 3
+ x
 4
+ x
 5
22
 = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 135
 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72
 Σ
5
i = 1
 1xi2
2 = 1x
 1
22 + 1x
 2
22 + 1x
 3
22 + 1x 4 2
2 + 1x 5 2
2
Σ
5
i = 1
 1xi2
2 = ¢Σ
5
i = 1
 xi≤
2
?
Σ
3
i = 1
 12i2 - 92.
Considera la sucesión 7, 9, 11, 13, ..., 2n 1 5, ... La suma de los primeros cinco térmi-
nos puede representarse por medio de la notación de suma.
Esta notación se lee “la suma desde i igual a 1 hasta 5 de 2i + 5”. 
Para evaluar la serie representada por
 1. Primero sustituye 1 en vez de i en 2i + 5 para obtener el valor 7.
 2. Luego, sustituye 2 en vez de i en 2i + 5 para obtener el valor 9.
 3. Sigue este procedimiento para i = 3, i = 4, i = 5. 
 4. Finalmente, suma estos valores para evaluar la serie. Los resultados se resumen del 
modo siguiente:
 
 
EJEMPLO 6 Desarrolla la serie y evalúala.
Solución   
Resuelve ahora el ejercicio 57
EJEMPLO 7 Considera el término general de una sucesión an = 2n2  9. Repre-
senta la tercera suma parcial, s3, en notación de suma.
Solución  La tercera suma parcial será la suma de los primeros tres términos, a1 + a2 + a3. 
Podemos representar la tercera suma parcial como 
Resuelve ahora el ejercicio 65
EJEMPLO 8 Para el siguiente conjunto de valores x1 = 3, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6 y
 x5 = 7, ¿se cumple que 
Solución   
Como 
Resuelve ahora el ejercicio 71
	 Sección	11.1	Sucesiones	y	series	 679
EXAMPLE 9
x =
©x
n
=
70 + 95 + 83 + 74 + 92
5
=
414
5
= 82.8
x =
©x
n
,
x
Σ
50
k = 1
1k2 + 32
Σ
50
k = 1
1k2 + 32
Σ
50
k = 1
1k2 + 32
11. 12. 13.
14. 15. 16.
.81.71 19.
20. 21. 22.
23. duodécimo término 24. sexto término 25. decimosexto término
26. decimocuarto término 27. octavo término 28. séptimo término
29. undécimo término 30. quinto término 31. noveno término
32. décimo término
33. 34. 35.
.83.73.63
39. .14.04
42. an =
n2
n + 4
an =
n2
2
an = 1-32nan = 1-12n
an =
n
n + 4
an =
n - 1
n + 2
an = 3n - 8
an = 2n + 1an = 2n + 5an = 3n - 1
an =
n1n + 62
n2 ,
an =
n2
2n + 7
,an = 1n - 121n + 42,an = n1n + 22,
an = 1-22n,an = 1-12n,an =
n
2
- 13,
an =
n
4
+ 8,an = 3n + 2,an = 2n + 7,
an = 3n - 1an = 1-22n + 1an = 1-122n
an = 1-12nan =
n - 3
n + 6
an =
n + 2
n + 1
an =
8
n2an =
9
n
an = 2n + 5
an = 4n - 1an = -7nan = 6n
Cuando un símbolo de suma se escribe sin límites superior e inferior, esto significa 
que debemos sumar todos los datos.
EJEMPLO 9 Una fórmula utilizada para determinar la media aritmética, (se lee
 x barra), de un conjunto de datos es donde n es el número de datos.
Las calificaciones de los cinco exámenes de Joan Sally son 70, 95, 83, 74 y 92. 
Determina la media aritmética de sus calificaciones.
Solución   
Resuelve ahora el ejercicio 75
CONJUNTO DE EJERCICIOS 11.1 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
finita serie mayor superior sucesión menor
constante infinita alternante índice inferior
 1. Una lista de números arreglada en un orden específico es una 
.
 2. Una sucesión es una función cuyo domi-
nio es el conjunto de números naturales.
 3. Una sucesión es una función cuyo domi-
nio incluye solamente los primeros n números naturales.
 4. En una sucesión creciente, cada término es 
que el término que le precede.
 5. En una sucesión decreciente, cada término es 
que el término que le precede.
 6. Una sucesión en la que cada término tiene el signo opuesto del 
término que le precede se denomina una sucesión .
 7. La suma de los términos en una sucesión es una .
 8. Considera la suma. . 1 es el límite .
 9. Considera la suma. . 50 es el límite .
 10. Considera la suma. . k es el límite .
Practica tus habilidades
Escribe los primeros cinco términos de la sucesión cuyo término enésimo se muestra.
 
Determina el término indicado de la sucesión, cuyo término enésimo se muestra.
Para cada sucesión, determina la primera y la tercera sumas parciales, s1 y s3 .
680	 Capítulo	11	 	 Sucesiones,	series	y	el	teorema	del	binomio
43. 2, 4, 8, 16, 32, 44. 7, 12, 17, 22, 27, 45. 7, 9, 11, 13, 15,
.84.74.64
.15.05.94
.45.35.25 , , , ,
55. 42, 38, 34, 30, 56.
57. .95.85
.16.06 62.
.46.36
65. quinta suma parcial 66. , cuarta suma parcial
67. tercera suma parcial 68. , tercera suma parcial
69. 70. 71. 72.
73. 74.
75. 15, 20, 25, 30, 35 76. 16, 22, 96, 18, 48 77. 72, 83, 4, 60, 18, 20 78. 12, 13, 9, 19, 23, 36, 70
79. Perímetro
1
2
3
n
, , , …,
2 264 n
x,
Σ
4
i = 1
 1xi
2 + 32Σ
5
i = 1
 1xi2
2
Σ
5
i = 1
 4xi¢Σ
5
i = 1
 xi≤
2
Σ
5
i = 1
 1xi + 52Σ
5
i = 1
 xi
an =
n2 + 7
n + 9
an =
n2
4
,
an = n2 + 5an = n + 10,
Σ
5
i = 2
 
i3
i + 1Σ
9
i = 4
 
i2 + i
i + 1
Σ
3
i = 1
i2
4Σ
4
i = 1
i2
3Σ
5
i = 1
 12i2 - 72
Σ
6
i = 1
 1i2 + 12Σ
4
i = 1
14i + 92Σ
5
i = 1
 13i - 12
7, -1, -9, -17, ÁÁ
Á-
1
24
1
12
-
1
6
1
3
1, - 
1
2
, 
1
4
, - 
1
8
, Á
1
4
, 
2
4
, 
3
4
, 
4
4
, Á
1, 
1
3
, 
1
9
, 
1
27
, Á-10, -20, -30, -40, Á-1, 1, -1, 1, -1, Á
2
3
, 
3
4
, 
4
5
, 
5
6
, 
6
7
, Á1, 
1
2
, 
1
3
, 
1
4
, 
1
5
, Á
1
2
, 
1
3
, 
1
4
, 
1
5
, Á
ÁÁÁ
80. Área
a)
b)
81. Escribe
a) como una suma de términos.
b) como una suma de términos.
c) Para un conjunto dado de valores de x desde hasta ¿se
cumplirá
82. Despeja de ©x.x =
©x
n
Σ
n
i = 1
 xi = Σ
n
j = 1
 xj ?
xn ,x1
Σ
n
j = 1
 xj
Σ
n
i = 1
 xi
83. Despeja de n.
84.¿Es Ilustra tu respuesta con un ejemplo.
85. ¿Es Ilustra tu respuesta con un ejemplo.
86. y Sean
Determina lo siguiente. Observa que
y
a)
b)
c)
d)
e) ¿Es ©x # ©y = ©xy?
©xy
©x # ©y
©y
©x
©xy = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .©y = y1 + y2 + y3
©x = x1 + x2 + x3 ,
y1 = 4, y2 = 1, y3 = 6.x1 = 3, x2 = 5, x3 = 2,
Σ
n
i = 1
 
xi
3
=
1
3
 Σ
n
i = 1
 xi ?
Σ
n
i = 1
 4xi = 4Σ
n
i = 1
 xi ?
x =
©x
n
 Determina las áreas de los cuatro rectángulos y luego es-
cribe las áreas en una sucesión.
 Determina el término general para el área del rectángulo 
enésimo en la sucesión. Utiliza an para el área.
 Escribe los tres términos siguientes de cada sucesión.
Desarrolla cada serie y luego evalúala.
Para el término general dado an, escribe una expresión utilizando Σ para representar la suma parcial indicada.
Resolución de problemas
En los ejercicios 79 y 80, considera los rectángulos siguientes. Para el rectángulo enésimo, el largo es 2n y el ancho es n.
 
 a) Determina los perímetros para los primeros cuatro rectángulos y luego escribe los perímetros en una sucesión. 
 b) Determina el término general para el perímetro del rectángulo enésimo en la sucesión. Utiliza pn para el perímetro.
Para el conjunto de valores x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 1 y x5 = 4, determina cada una de las sumas siguientes.
Determina la media aritmética, de los conjuntos de datos siguientes.