Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-7

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Sección	1.3	 Propiedades	y	operaciones	con	números	reales	 21
EJEMPLO  8 Evalúa. a) 3  8 b) 6 4
Solución a) 3  8  3  (8)  5 b) 6 4  6  (4)  10
Resuelve ahora el ejercicio 79
EJEMPLO  9  Evalúa 8  (15).
Solución En este problema, restamos un número negativo. El procedimiento 
para restar es el mismo.
resta 15
negativo
suma 15
positivo
8-(–15)=8+15=23
Por lo tanto, 8  (15)  23.
Resuelve ahora el ejercicio 81
Al estudiar el ejemplo 9 y otros problemas, se puede observar el siguiente principio.
Resta de números negativos
a  (b)  a  b
Podemos utilizar este principio para evaluar problemas como 8  (15) y otros problemas 
en donde restamos una cantidad negativa.
EJEMPLO  10 Evalúa 4  (11).
Solución 4  (11)  4  11  7
Resuelve ahora el ejercicio 47
EJEMPLO  11 a) Resta 35 de 42 b) Resta -  
5
9
.-  
3
y
5
 
Solución 
 a) 42  35  77
 b) -  
5
9
- a -  
3
5
b = -  
5
9
+
3
5
= -  
25
45
+
27
45
=
2
45
 
Resuelve ahora el ejercicio 99
EJEMPLO  12  Temperaturas extremas La temperatura más alta registrada en 
Estados Unidos fue de 134 °F, que ocurrió en Greenland Ranch, California, en el 
Valle de la Muerte el 10 de julio de 1913. La temperatura más baja registrada en Es-
tados Unidos fue de 79.8 °F, que ocurrió en Prospect Creek Camp, Alaska, en las 
montañas Endicott el 23 de enero de 1971 (ver Figura 1.8). Determina la diferencia 
entre estas dos temperaturas.
Solución Para determinar la diferencia, restamos.
134°  (79.8°)  134°  79.8°  213.8°
Resuelve ahora el ejercicio 125
Con frecuencia la suma y la resta están combinadas en un mismo problema, como se 
verá en los ejemplos siguientes. A menos que haya paréntesis, si la expresión solo incluye 
sumas y restas, sumamos y restamos de izquierda a derecha. Cuando se utilizan paréntesis, 
primero se suma y se resta dentro de los paréntesis, después se suma y resta de izquierda 
a derecha.Figura	 1.8
134�
CA
AK
�79.8�
G
ra
do
s 
F
ah
re
nh
ei
t 
�90
�60
�30
30
60
90
120
150
22	 Capítulo	1	 	 Conceptos	básicos
Por la propiedad anterior, 5(0)  0 y (7.3)(0)  0.
EJEMPLO  17  Evalúa 9(5)(2.63)(0)(4).
Solución Si uno o más factores son 0, el producto es 0. Por lo tanto, 
9(5)(2.63)(0)(4)  0.
Resuelve ahora el ejercicio 101
EJEMPLO  16 Evalúa 4(2)(3)(1). 
Solución 4(2)(3)(1)  (8)(3)(1)  24(1)  24
Resuelve ahora el ejercicio 67
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista 
un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un núme-
ro par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación
Para cualquier número a,
a  0  0  a  0
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	se	multiplican	más	
de	dos	números	negativos,	el	
producto	será:
	 •	 negativo, si	hay	un	núme-
ro	impar	de	números	
negativos.
	 •	 positivo,	si	hay	un	
número	par	de	números	
negativos.
EJEMPLO  13 Evalúa 15  (37)  (5  9).
Solución 15  (37)  (5  9)  15  (37)  (4)
 = 15 37  4
 = 52  4  48
Resuelve ahora el ejercicio 85
EJEMPLO  14  Evalúa 2   3  + 4  (6   8 ).
Solución Inicia remplazando los números entre signos de valor absoluto con sus 
equivalentes numéricos, luego evalúa.
 2   3   4  (6   8 )  2  3  4  (6  8)
  2  3  4  (2)
  2  3  4  2
  1  4  2
  3  2  5
Resuelve ahora el ejercicio 59
	4 	Multiplicar	números	reales 
Multiplicación de dos números reales
 1. Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, 
multiplica sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
 2. Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, 
multiplica sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
EJEMPLO  15 Evalúa. a) (4.2)(1.6) b) 1-182a -  
1
2
b .
Solución 
 a) (4.2)(1.6)  6.72 Los números tienen signos diferentes. La respuesta es negativa. 
 b) 1-182a -  
1
2
b = 9 Los números tienen signos iguales. La respuesta es positiva. 
Resuelve ahora el ejercicio 65
Comprendiendo 
el álgebra
Observa	que:
()()		,	()()		
()()		,	()()		
	 Sección	1.3	 Propiedades	y	operaciones	con	números	reales	 23
EJEMPLO  18 Evalúa. a) 24 ÷ 4 b) 6.45 ÷ (0.4)
Solución
 a) 
-24
4
= -6 Los números tienen signos diferentes. La respuesta es negativa. 
 b) 
-6.45
-0.4
= 16.125 Los números tienen signos iguales. La respuesta es positiva. 
Resuelve ahora el ejercicio 71
EJEMPLO  19  Evalúa 
-3
8
, ` -2
5
` .
Solución  Como ` -2
5
` es igual a 
2
5
, escribimos
-3
8
, ` -2
5
` =
-3
8
,
2
5
Ahora invertimos el divisor y procedemos como en la multiplicación.
-3
8
,
2
5
=
-3
8
# 5
2
=
-3 # 5
8 # 2
=
-15
16
 o -  
15
16
Resuelve ahora el ejercicio 75
	5 	Dividir	números	reales
Las reglas para la división de números reales son similares a las de la multiplicación de 
números reales.
Dividir dos números reales
 1. Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divide 
sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
 2. Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y otro negativo, divide 
sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Comprendiendo 
el álgebra
Observa	que
 
1+2
1-2 = - ,  
1-2
1+2 = -
 
1-2
1-2 = + ,   
1+2
1+2 = +
Cuando el denominador de una fracción es un número negativo, generalmente se 
reescribe la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, se usa el lo siguiente.
Signo de una fracción
Para cualquier número a y cualquier número b distinto de cero.
a
-b
=
-a
b
= -  
a
b
Por lo tanto, cuando tenemos un cociente de 
1
-2
, lo reescribimos como -  
1
2
.
-1
2
 o 
	6 	Usar	las	propiedades	de	los	números	reales
Ya hemos discutido la propiedad del doble negativo y la propiedad del cero en la multi-
plicación. La Tabla 1.1 muestra otras propiedades básicas para las operaciones de suma y 
multiplicación de números reales.
Comprendiendo 
el álgebra
Una	fracción	negativa	puede	
tener	el	signo	menos	en	el	
denominador,	en	el	numera-
dor	o	en	frente	de	la	fracción.	
Es	decir,	
3
-4
=
-3
4
= -  
3
4
.
24	 Capítulo	1	 	 Conceptos	básicos
Observa que la propiedad conmutativa implica un cambio en el orden, y la propie-
dad asociativa implica un cambio en la agrupación.
La propiedad distributiva se aplica cuando hay más de dos números dentro de los 
paréntesis. 
a (b + c + d + Á + n) = ab + ac + ad + Á + an
EJEMPLO  20  Nombra la propiedad que se ilustra.
 a) 7  m  m  7 b) (a  6)  2b  a  (6  2b)
 c) 4s  5t  5t  4s d) 2v(w  3)  2v  w  2v  3
Solución 
 a) Propiedad conmutativa de la multiplicación; cambio de orden.
 b) Propiedad asociativa de la suma; cambio en la agrupación.
 c) Propiedad conmutativa de la suma; cambio de orden.
 d) Propiedad distributiva; 2v es distribuido.
Resuelve ahora el ejercicio 113
En el ejemplo 20 d) la expresión 2v  w  2v  3 puede simplificarse a 2vw  6v, 
mediante el uso de las propiedades de los números reales.
EJEMPLO  21  Nombra la propiedad que se ilustra.
a) 9  1 = 9 b) x  0  x
c) 4  (4)  0 d) 1(xy)  xy 
Solución 
a) Propiedad de la identidad de la multiplicación.
b) Propiedad de la identidad aditiva.
c) Propiedad del inverso aditivo.
d) Propiedad de la identidad de la multiplicación.
Resuelve ahora el ejercicio 115
Tabla 1.1
Para números reales a, b y c Suma Multiplicación 
Propiedad conmutativa a  b  b  a ab  ba
Propiedad asociativa (a  b)  c  a  (b  c) (ab)c  a(bc)
Propiedad de la identidad a  0  0  a  a 
el 0 se denomina elemento 
 de identidad aditiva 
a  1  1  a  a 
el 1 se denomina elemento 
 de identidad multiplicativa
Propiedad del inverso a  (a)  (a)  a  0 
a se denomina inverso 
 aditivo u opuesto de a 
a # 1
a
=
1
a
# a = 1
 1
a
 se denomina inverso multipli -
 cativo o recíproco de a, a  0 
Propiedad distributiva (de la 
 multiplicación sobre la suma) a(b  c)  ab ac
	 Sección	1.3	 Propiedades	y	operaciones	con	números	reales	 25
- ` - 7
19
`- ` 5
9
`- ƒ -p ƒ- ƒ -7 ƒ
- ƒ1 ƒƒ0 ƒƒ -8.61 ƒ` - 7
8
`
ƒ - 8 ƒƒ -7 ƒƒ1.9 ƒƒ5 ƒ
- ƒ -1 ƒ ƒ -5 ƒƒ19 ƒ ƒ -25 ƒƒ -1-42 ƒ -4-1-32 - ƒ -3 ƒ
5
12
- a -
7
8
b4
5
-
6
7
-12 - 1-42-9 - 1-52
2.18 - 3.14-12 + 1-102-2 + 97 + 1-42
` - 5
2
` , 3
5
, ƒ -3 ƒ , ` - 5
3
` , ` - 2
3
`1
3
, ` - 1
2
` , -2, ` 3
5
` , ` - 3
4
`
- ƒ9 ƒ - ƒ13 ƒƒ -7 ƒ - ƒ2 ƒ- ƒ -1 ƒ -1ƒ -p ƒ -3
-2.1, -2, -2.4, ƒ -2.8 ƒ , - ƒ2.9 ƒ-6.1, ƒ -6.3 ƒ , - ƒ -6.5 ƒ , 6.8, ƒ6.4 ƒ
p, -p, ƒ -3 ƒ , - ƒ -3 ƒ , -2, ƒ -2 ƒ-32, ƒ -7 ƒ , 15, - ƒ4 ƒ , 4
-8, -12, - ƒ9 ƒ , - ƒ20 ƒ , - ƒ -17 ƒ-1, -2, ƒ -3 ƒ , 4, - ƒ5 ƒ
ƒ -10 ƒ -5ƒ -8 ƒ -8ƒ -4 ƒ ƒ6 ƒƒ -9 ƒ ƒ9 ƒ
EJEMPLO  22  Escribe el inverso aditivo (u opuesto) y el inverso multiplicativo 
(o recíproco) de cada inciso.
a) 3 b) 
2
3
Solución 
a) El inverso aditivo es 3. El inverso multiplicativo es 
1
-3
= -
1
3
. 
b) El inverso aditivo es -
2
3
. El inverso multiplicativo es 
1
2
3
=
3
2
.
Resuelve ahora el ejercicio 121
CONJUNTO DE EJERCICIOS 1.3 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) indicados en la siguiente lista.
resta d negativo distributivo valor absoluto
reflexivo positivo inverso aditivo suma asociativo
Conmutativo c cualquier 0 c
 1. La suma de dos números positivos es un número 
.
 2. La suma de dos números negativos es un número 
.
 3. Para cualquier número real a, su es a.
 4. Para cualquier número real c, (c) = .
 5. Para sumar dos números con el mismo signo, 
 sus valores absolutos y conserva el signo en 
común.
 6. Para sumar dos números con diferentes signos, 
el valor absoluto más pequeño con el valor absoluto más gran-
de y conserva el signo del número con el valor absoluto más 
grande.
 7. El de un número es su distancia desde el 0 
en la recta numérica.
 8. El valor absoluto de número es siempre no 
negativo.
 9. La propiedad a(b  c)  ab  ac es la propiedad .
 10. La propiedad d + e = e + d es la propiedad 
de adición.
Practica tus habilidades
Evalúa cada expresión de valor absoluto.
 11. 12. 13. 14. 
 15. 16. 17. 18. 
 19. 20. 21. 22. 
Inserta , , o  en el área sombreada para hacer cada proposición verdadera.
 31. 32. 33. 34. 
 41. 42. 
Evalúa cada problema de suma y resta.
 43. 44. 45. 46. 
 47. 48. 49. 50. 
 27. 28. 29. 30. 
 35. 36. 
 37. 38. 
 39. 40. 
Ordena los valores del más pequeño al más grande.
 23. 24. 25. 26. 
26	 Capítulo	1	 	 Conceptos	básicos
-
3
5
-
22
9
x + 1-x2 = 0-1-x2 = x
1x + y2 = 11x + y23 + 1-32 = 0
4 # 1
4
= 15 + 0 = 5
-1-22 = 241x + y + 22 = 4x + 4y + 8
12x # 3y2 # 6y = 2x # 13y # 6y221xy2 = 12x2y
x1y + z2 = xy + xzx = 1 # x
x + 0 = x1x + 32 + 6 = x + 13 + 62
c # d = d # cb # 0 = 0
71v + w2 = 7v + 7wr + s = s + r
161-521-10210271321021-1932-
2
3
.-
1
2
c1-22 ` - 1
2
` d , ` - 1
4
`125 - ƒ32 ƒ21-7 - 42
1 ƒ -9 ƒ - 82 - 13 # ƒ -5 ƒa -
3
5
-
4
9
b - a -
2
3
ba3
8
-
4
7
b - a -
1
2
b
5 - ƒ -7 ƒ + 3 - ƒ -2 ƒ1- ƒ3 ƒ + ƒ5 ƒ2 - 11 - ƒ -9 ƒ2` -9
4
` , ` -4
9
`
- ` -24
5
` # ` 3
8
`- ƒ12 ƒ # ` -1
2
`14.221-121-9.6213.82
9 - 18 - 72 - 1-2 - 1211.32 - 2.762 - 1-3.85 + 4.282-14.4 - 1-9.62 - 15.8
1-3.2214.921-2.7323a -
2
3
b a -
7
2
b-
1
8
+ a -
1
16
b
7 - 1-112-12 - 1510 - 14
-4
9
, ƒ -4 ƒ` -7
6
` , ` -1
2
`` 3
8
` , 1-42a -
3
4
b , ƒ -16 ƒ
` - 1
2
` # ` -3
4
`-
7
9
,
-7
9
-4 , a -
1
4
b-66 , 1-62
-16 , 81-1.1213.4218.321-7.621-2.121-7.821-9.121-121-221-121221-32
-4a -
3
4
b a -
1
2
b-4a -
5
16
b1-921-32-5 # 8
4
5
- a3
4
-
2
3
ba3
5
+
3
4
b -
1
2
ƒ -4 ƒ - ƒ -4 ƒ - ƒ -4 - 4 ƒ
- ƒ -3 ƒ - ƒ7 ƒ + 16 + ƒ -2 ƒ2ƒ12 - 5 ƒ - ƒ5 - 12 ƒƒ17 - 12 ƒ - ƒ3 ƒ
ƒ11 - 4 ƒ - 109.9 - ƒ8.5 ƒ - ƒ17.6 ƒ- ƒ7.31 ƒ - 1-3.282 + 5.76
10 - 1-2.312 + 1-4.39279.33 - 1-16.052-14.21 - 1-13.222
 125. Cambio de temperatura El cambio de temperatura más inusual 
de acuerdo con el libro mundial de Récords Guiness sucedió de 
las 7:30 a.m. a las 7:32 a.m. el 22 de enero de 1943, en Spearfish, 
Dakota del Sur. Durante estos 2 minutos la temperatura cam-
bio de 4 °F a 45 °F. Determina el incremento de la temperatu-
ra en estos 2 minutos.
 126. Película Gold Durante la producción del documental Gold, el 
equipo de filmación percibió varios cambios en la temperatura. 
En una mina de oro en África del Sur localizada 3 millas por de-
bajo de la tierra, la temperatura era de 140 °F. En una montaña 
cerca de Cuzco, Perú, la temperatura era de 40 °F. Determina la 
diferencia en la temperatura de estos dos sitios de filmación.
Evalúa cada problema de multiplicación y división.
 63. 64. 65. 66. 
 67. 68. 69. 70. 
 71. 72. 73. 74. 
 75. 76. 77. 78. 
Evalúa.
 79. 80. 81. 
 82. 83. 84. 
 85. 86. 87. 
 88. 89. 90. 
 91. 92. 93. 
 94. 95. 96. 
 97. 98. 99. Resta 29 de 10
 100. Resta de 101. 102. 
Nombra cada propiedad ilustrada.
 103. 104. 
 105. 106. 
 107. 108. 
 109. 110. 
 111. 112. 
 113. 114. 
 115. 116. 
 117. 118. 
 119. 120. 
Escribe el inverso aditivo y el inverso multiplicativo de cada problema.
 121. 6 122. –13 123. 124. 
Resolución de problemas
 51. 52. 53. 
 54. 55. 56. 
 57. 58. 59. 
 60. 61. 62. 
 Fuente: Sitio Web History Channel
©
 S
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 L
ov
eg
ro
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tte
rs
to
ck
	 Sección	1.3	 Propiedades	y	operaciones	con	números	reales	 27
 127. Inmersión de un submarino Un submarino se sumergió 358.9 
pies. Después de un tiempo el submarino ascendió 210.7 pies. 
Encuentra la profundidad final del submarino desde su punto 
inicial (considera que la distancia en dirección hacia abajo es 
negativa).
 128. Cuenta bancaria Sharon Koch tiene un saldo de $32.64 en 
su cuenta bancaria y depositó un cheque por $99.38. ¿Cuál 
es su nuevo estado de cuenta?
 129. Temperaturas extremas La temperatura más baja registrada 
en Estados Unidos fue de 79.8 °F el 23 de enero de 1971, en 
Prospect Creek, Alaska. La temperatura más baja en los esta-
dos contiguos (todos los estados excepto Alaska y Hawái) fue 
de 69.7 °F el 20 de enero del 1954, en Roger Pass, Montana. 
Encuentra la diferencia entre estas temperaturas.
 130. Impuestos estimados En el 2010, Joanne Butler hizo cuatro 
pagos trimestrales estimados de impuestos sobre la renta de 
$3000 cada uno. Cuando completó sus formas de impuesto 
sobre la renta del año 2010, encontró que sus impuestos to-
tales eran de $10,125.
 a) ¿Tendrá Joanne derecho a un reembolso o tendrá que 
pagar más impuestos? Explica tu respuesta.
 b) ¿Cuánto recibirá de reembolso o cuánto deberá de im-
puestos?
 131. Precios de las acciones Ron Blackwood compró 100 accio-
nes de Home Depot a $30.30 por acción. Seis meses después 
Ron vendió las 100 acciones a un precio de $42.37 por ac-
ción. ¿Cuál fue la ganancia o pérdida de esta transacción?
 132. Contrato Samuel Pritchard firmó un contrato con una com-
pañía publicitaria por $60,000 pagado por adelantado para 
la venta de su libro Moon Spray. Cuando el libro sea publi-
cado y empiece a tener ganancias, la editorial automática-
mente deducirá su anticipo de las regalías del autor.
 a) Seis meses después del lanzamiento del libro, las regalías 
del autor fueron de $47,600 antes de deducirlo del an-
ticipo. Determina cuánto dinero recibirá de o deberá a la 
editorial.
 b) Después de un año, las regalías son de $87,500. Deter-
mina cuánto dinero recibirá de o deberá a la compañía 
publicitaria.
 133. Escribe tu propio problema realista que involucre restar un 
número positivo de un número negativo. Da la respuesta de tu 
problema.
 134. Escribe tu propio problema realista que involucre restar un 
número negativo de un número negativo. Da la respuesta de 
tu problema.
 135. Pequeñas empresas El promedio de inversionesdel primer 
año y el promedio de ingresos del primer año de pequeñas 
empresas se muestra en la gráfica de barras siguiente. Estima 
el promedio del primer año restando el promedio de gastos 
del primer año del promedio de ingresos del primer año.
20 30 40 50
52
60101040 30
28
20
Gastos
($1000)
Ingresos
($1000)
©
 S
hu
tte
rs
to
ck
 
Ejercicios de conceptos y escritura
 136. Da la definición del valor absoluto.
En los ejercicios 137-142, encuentra el número(s) desconocido(s). Explica cómo determinaste tu respuesta.
 137. Todos los números a tal que a = a
 138. Todos los números a tal que a  a
 139. Todos los números a tal que a  6
 140. Todos los números a tal que a  a
 141. Todos los números a tal que a  9
 142. Todos los números x tal que x  3  3  x 
 143. Explica cómo sumar dos números con el mismo signo.
 144. Explica cómo sumar dos números con diferentes signos.
 145. Explica cómo restar números reales.
 146. Explica por qué las reglas de la división y de la multiplica-
ción de números reales son similares.
 147. Escribe dos formas diferentes en que se puede representar
 la fracción 
a
-b
.
 148. a) Escribe la propiedad asociativa de multiplicación.
 b) Explica la propiedad. 
 149. a) Escribe la propiedad conmutativa de adición.
 b) Explica la propiedad 
 150. a) Escribe la propiedad distributiva de multiplicación so-
bre la de adición.
 b) Explica la propiedad.
 151. Usando un ejemplo, explica por qué la adición no es distri-
butiva sobre la de la multiplicación. Es decir, explica por 
qué a  (b  c)  (a  b)  (a  c).
Problemas de desafío
 152. Evalúa 1  2  3  4  …  99  100. (Consejo: agrupar en pares). 
 153. Evalúa 1  2  3  4  5  6  7  8  9  1 0 11  12  …  22  23  24. (Consejo: examina en grupos de tres números).
 154. Evalúa 
112 ƒ -2 ƒ 1-32 # ƒ4 ƒ # 1-52
ƒ -1 ƒ #
# #
1-22 # ƒ -3 ƒ # 142 # ƒ -5 ƒ
. 155. Evalúa 
1121-221321-42152Á 19721-982
1-121221-321421-52Á 1-9721982 .