Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-15

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72	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.1 
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
condicional ¤	 términos semejantes identidad mínimo común denominador 
términos contradicción grado términos no semejantes aislar
	 1. Las partes que se suman en una expresión algebraica son 
llamadas de la expresión.
	 2. Los términos que tienen partes variables idénticas se llaman 
.
	 3. El objetivo de resolver ecuaciones es la 
variable en uno de los lados de la ecuación.
	 4. Podemos eliminar fracciones en una ecuación multiplican­
do ambos lados de la ecuación por el .
	 5. Una ecuación que siempre se satisface se conoce como 
.
	 6. Una ecuación que se satisface solo para valores específicos de 
las variables es conocida como una ecuación .
	 7. Una ecuación que nunca se satisface se conoce como 
.
	 8. El de un término es la suma de los expo­
nentes de los factores en el término.
	 9. El símbolo se usa para indicar que la solu­
ción establece una contradicción.
	 10. El símbolo se usa para indicar que la 
solución establece una identidad.
Practica tus habilidades
Indica para cada expresión su propiedad correspondiente.
 11.	 Si x  13, entonces 13  x. 12.	 Si m  2  3, entonces 3  m  2. 
 13.	 Si b  c y c  9, entonces b  9. 14.	 Si x  1  a y a  2y, entonces x  1  2y.
 15.	 a  c  a  c 16.	 Si r  4, entonces r  3  4  3. 
 17.	 Si x  8, entonces x  8  8  8. 18.	 Si 2x  4, entonces 3(2x)  3(4). 
 19.	 Si 5x  4, entonces 
1
5
 15x2 =
1
5
 142. 20.	 Si a  2  4, entonces a  2  2  4  2. 
 21.	 Si 
t
4
+
1
3
=
5
6
, entonces 12a t
4
+
1
3
b = 12a5
6
b . 22.	 Si x  3  x  y y x  y  z, entonces x  3  z.
 23.	 Si x  3  7, entonces x  4. 24.	 Si 5x  35, entonces x  7. 
Encuentra el grado de los siguientes términos.
 25.	 26.	 27.	 28.	 
 29.	 30.	 31.	 32.	 
 33.	 34.	 35.	 36.	 
 37.	 38.	 
Simplifica las siguientes expresiones. Si alguna no puede ser simplificada, especifícalo.
	39.	 40.	 41.	 
 42.	 43.	 44.	 
 45.	 46.	 47.	 
 48.	 49.	 50.	 
 51.	 52.	 
 53.	 54.	 
 55.	 56.	 
 57.	 58.	 
 59.	 60.	 
Resuelve las siguientes ecuaciones.
	61.	 62.	 63.	 
 64.	 	 65.	 66.	 
 67.	 68.	 69.	 
5y
3ab 6
-31t - 52 = 21t - 5271x - 12 = 31x + 22-61z - 12 = -51z + 22
8w + 7 = -3w - 154x - 8 = -412x - 32 + 45s - 3 = 2s + 6
4x - 5 = 21x + 527x - 6 - 5x = -85a - 1 = 14
p2
 q + 4pq - [-1pq + 4p2
 q2 + pq]- {[2rs - 31r + 2s2] - 212r2 - s2}
2{[3a - 12b - 5a2] - 312a - b2}5b - {7[213b - 22 - 14b + 92] - 2}
-2[3x - 12y - 12 - 5x] + y9x - [3x - 15x - 4y2] - 2y
31a + c2 - 41a + c2 - 34 - [613x + 22 - x] + 4
6n + 0.61n - 32 - 51n + 0.723ax +
1
2
b -
1
3
 x + 5
4.3 - 3.2x - 21x - 2212a1
6
+
d
4
b + 5d7x3
 y2 + 11y3
 x2
8pq - 9pq + p + qb + b2 - 4b + b2 + 3bw3 + w2 - w + 1
7y + 3x - 7 + 5x - 2y10.6c2 - 2.3c + 5.9c - 1.9c22a2 - 4ab + 5ab - 10b2
-2x2 - 5x + 7x - 33x2 + 4x + 57r + 3b - 11x + 12y
-2x4
 y7
 z83x5
 y6
 z
m4
 n65a2
 b4
 c18p2
 q3-5r
-3
1
2
 x4
 y
-6y25c3-2z
	 Sección	2.1	Solución	de	ecuaciones	lineales	 73
 70.	 71.	 72.	 
 73.	 74.	 75.	
 76.	 77.	 78.	
 79.	 80.	 81.	
 82.	 83.	 84.	
 85.	 86.	 87.	
 88.	 89.	 
 90.	 91.	 
 92.	 93.	
 94.	
Resuelve las siguientes ecuaciones. Si no es un valor entero, expresa tu respuesta como fracción.
 95.	 96.	 97.	
 98.	 99.	 100.	
 101.	 102.	 103.	
104.	 105.	 106.	
 107.	 108.	
Resuelve las siguientes ecuaciones. Redondea las respuestas a la centésima más cercana.
 109.	 110.	
 111.	 112.	
 113.	 114.	
 115.	 116.	
 117.	 118.	
Encuentra la solución para cada ejercicio. Luego indica si la ecuación es una condicional, una identidad o una contradicción.
 119.	 120. 
 121.	 122.	
 123.	 124.	
 125.	 126.	 
 127.	 128.	
Resolución de problemas
	129.	 Densidad	de	población La densidad de la población de Es­
tados Unidos se ha incrementado constantemente desde 
el año 2000. La densidad de población de Estados Unidos 
puede ser estimada usando la ecuación
P = 0.82t + 78.5
donde P es la densidad de población, medida en número de 
personas por milla cuadrada, y t es el número de años des­
de 2000. Usa t  1 para 2001, t  2 para 2002 y así sucesi­
vamente. Si la densidad de población continúa aumentando 
a la tasa actual,
	 a)	 determina la densidad de población de Estados Unidos 
en 2008.
	 b)	 ¿en qué año la densidad de la población de Estados 
Unidos alcanzará 100 personas por milla cuadrada?
 130.	 Bebés	durmiendo El Dr. Richard Ferber, un pediatra experto 
en sueño, ha desarrollado un método* para ayudar a niños 
con 6 meses de edad o mayores a dormir durante la noche. El 
a menudo llamado “Ferberizante” invita a los padres a espe­
rar por periodos cada vez más largos antes de entrar al cuarto 
del niño a consolarle el llanto. El tiempo sugerido depende de 
*Antes de intentar este método, los padres lo deben consultar con su pediatra.
412 - 3x2 = - [6x - 18 - 6x2]0.8z - 0.31z + 102 = 0.51z + 12
0.61z + 52 - 0.51z + 22 = 0.11z - 2326 x - 12 = -312 - x2 + 3x
7 - a1
2
 x + 4b = 3a -  
1
6
 x + 2b4 - a 2
3
 x + 2b = 2a -  
1
3
 x + 1b
-51c + 32 + 41c - 22 = 21c + 227 + 31x - 22 + 8x = 61x + 12 + 2x - 9
7x + 5 - 51x - 32 = 51x + 42 - 3x31y + 32 - 412y - 72 = -5y + 2
0.6114x - 80002 = -0.4120x + 12,0002 + 20.6x100017.34q + 14.782 = 10013.91 - 4.21q2
0.42x - x = 5.11x + 320.61500 - 2.4x2 = 3.612x - 40002
0.0512000 + 2x2 = 0.0412500 - 6x251z + 3.412 = -7.8912z - 42 - 5.67
6.1p - 4.513 - 2p2 = 15.74.7x - 3.61x - 12 = 4.9
0.21x - 302 = 1.6x0.4n + 4.7 = 5.1n
5
6
 m -
5
12
=
7
8
 m +
2
3
1
4
 1x + 32 =
1
3
 1x - 22 + 1
1
3
 x +
5
6
= 2x
1
2
=
4
5
 x -
1
4
x - 2 =
3
4
 1x + 42
4 -
3
4
 a = 7
1
2
 x + 2 =
1
8
 x - 1
1
2
 1x - 22 =
1
3
 1x + 22
1
4
 1x - 22 =
1
3
 12x + 623
4
 t +
7
8
 t = 39
1
2
 16r - 102 = 7
4x - 2
3
= -6
7m + 9
6
= 5
d
5
= -7
-316 - 4x2 = 4 - {5x - [6x - 14x - 13x + 222]}
- {41d + 32 - 5[3d - 212d + 72] - 8} = -10d - 63{[1x - 22 + 4x] - 1x - 32} = 4 - 1x - 122
4{2 - [31c + 12 - 21c + 12]} = -2c-z - 6z + 3 = 4 - [6 - z - 13 - 2z2]
2[3x - 14x - 62] = 51x - 623[6 - 1h + 22] - 6 = 41-h + 72
51x - 22 - 14x = x - 5312x - 42 + 31x + 12 = 951a + 32 - a = -14a - 62 + 1
-412z - 62 = -31z - 42 + z-413 - 4x2 - 21x - 12 = 12x-213w + 62 - 14w - 32 = 21
412x - 22 - 31x + 72 = -48 - 312a - 42 = 5 + 3a - 4a6 - 1n + 32 = 3n + 5 - 2n
5r - 13 - 6r = 31r + 52 - 16-31y - 12 + 2y = 41y - 328x + 21x - 42 = 8x + 12
p - 1p + 42 = 41p - 12 + 2p4x - 213x - 72 = 2x - 62 - 1x + 52 = 4x - 8
613 - q2 = -41q + 123x + 412 - x2 = 4x + 5412x - 42 = -21x + 32
74	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
Ejercicios de repaso acumulados
cuantas noches los padres han estado usando el método: para 
calcularlo, se utiliza la siguiente ecuación
W = 5n + 5
donde W es el tiempo de espera en minutos y n es el número 
de noches. Por ejemplo, en la primera noche, n  1, en la 
segunda noche, n  2, y así sucesivamente.
	 a)	 ¿Cuánto tiempo deben los padres esperar durante la 
primera noche?
	 b)	 ¿Cuánto tiempo deben los padres esperar durante la 
cuarta noche?
	 c)	 ¿En qué noche los padres deben esperar 30 minutos?
	 d)	 ¿En qué noche los padres deben esperar 40 minutos?
	131.		 Costos	 que	 se	 incrementan por	 el	 cuidado	 de	 la	 salud	 Se 
proyecta que el gasto por el cuidado de la salud en Esta­
dos Unidos crece de acuerdo con la siguiente ecuación 
C  0.2x  2.8, donde C representa la cantidad total gasta­
da en materia de salud en unidades de trillones de dólares 
y x representa los años transcurridos desde 2008. Usa x  1 
para 2009, x  2 para 2010 y así sucesivamente.
Fuente: Coalición Nacional por el Cuidado de la Salud
	 a)	 ¿Cuánto se gastó en materia de salud en Estados Uni­
dos en 2009?
	 b)	 ¿Si esta tendencia continua,en qué año el gasto en ma­
teria de salud alcanzará los 4 trillones?
	132.		 Envejecimiento	de	la	población Se estima que el porcentaje 
de la población americana que es mayor de 65 años crezca de 
acuerdo con la siguiente ecuación P = 1.5x + 38.7. En donde 
P representa el porcentaje de la población americana mayor 
de 65 años y x representa los años transcurridos desde 2008. 
Usa x = 1 para 2009, x = 2 para 2010 y así sucesivamente.
Fuente: Academia Nacional de Ciencias
	 a)	 ¿Cuál es el porcentaje de americanos mayores de 65 
años en 2009?
	 b)	 ¿En qué año se estima que el porcentaje de americanos 
mayores de 65 años alcanzará el 50%?
Resuelve cada ecuación para el símbolo dado. Asume que el símbolo 
que estás resolviendo representa la variable y que los demás símbolos 
representan números reales diferentes de cero. Ver el Ejemplo 11.
 133.	 Resuelve para 
 134.	 Resuelve para 
 135.	 Resuelve para 
 136.	 Resuelve para 
Ejercicios de conceptos y escritura
	137. Considera la ecuación 2x = 5. Proporciona tres ecuaciones 
equivalentes. Explica por qué son equivalentes.
	138.		 Considera la ecuación	x = 4. Proporciona tres ecuaciones 
equivalentes. Explica por qué son equivalentes.
	139. Construye una ecuación que lleve a una contradicción. 
Explica cómo creaste la contradicción.
	140. Construye una ecuación que lleve a una identidad. Explica 
cómo creaste la ecuación.
	141. Crea una ecuación con dos términos del lado izquierdo del 
signo igual y tres términos a la derecha del signo igual que 
sea equivalente a la siguiente ecuación 
1
2
 p + 3 = 6.
	142. Crea una ecuación con tres términos del lado izquierdo del 
signo igual y dos términos a la derecha del signo que sea 
equivalente a la siguiente ecuación 3m  1  m  5.
	143. Considera la ecuación 2(a  5)  n  4a  8. ¿Qué valor 
debe tomar n para que la solución sea 2? Explica cómo 
determinaste tu respuesta.
	144. Considera la ecuación 3(x 2)  5x  12  n. ¿Qué va­
lor debe tomar n para que la solución sea 6? Explica cómo 
determinaste tu respuesta.
[1.3] 145. a)	 	Explica cómo encontrar el valor absoluto de
 un número.
 b)	 Escribe la definición de valor absoluto.
 
[1.4]	 Evalúa.
 146.	 a)	 
 b)	 
 147.	 
 148.	 
©
 A
lle
n 
R.
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 C
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^1} + n2 =
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^1} + n2 =
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a -  
2
7
b
2
23-125
1-322
-32
n.
} .
^.
^.
	 Sección	2.2	Solución	de	problemas	y	uso	de	fórmulas	 75
2.2 Solución de problemas y uso de fórmulas
	 1 	 Uso	del	procedimiento	
para	la	solución	de	
problemas.
	2 	 Despejar	una	variable	de	
una	ecuación	o	fórmula.
	1 	Uso	del	procedimiento	para	la	solución	de	problemas
Una de las razones principales para estudiar matemáticas es que las podemos utilizar para 
resolver problemas de la vida diaria. Para resolver la mayoría de los problemas de aplicación 
matemática, necesitamos ser capaces de representar el problema mediante símbolos matemá­
ticos usando expresiones o ecuaciones, y cuando lo hacemos, creamos un modelo	matemático	
de la situación.
En esta sección, presentamos el procedimiento para la resolución de problemas y ana­
lizamos fórmulas. Una fórmula es una ecuación que representa el modelo matemático de una 
situación de la vida real. A lo largo del libro resolveremos problemas, en donde determinare­
mos una ecuación o una fórmula que representen o modelen situaciones de la vida cotidiana.
Puedes abordar cualquier problema usando el procedimiento de solución de proble­
mas de cinco pasos desarrollado por George Pólya, presentado en su libro How to Solve it. 
Guía para la resolución de problemas
	 1.		 Entiende	el	problema.	
 • Lee el problema con	detenimiento al menos dos veces. En la primera lectura ob­
tén una visión general del problema. En la segunda lectura, determina (a) exacta­
mente lo que se te pide calcular y (b) qué información proporciona el problema.
 • De ser posible, has un bosquejo para ilustrar el problema. Etiqueta la información 
obtenida.
 • Anota en forma de lista la información que te pueda ayudar en la solución del 
problema.
	 2.		 Traduce	el	problema	a	lenguaje	matemático.
 • A menudo esto implicará expresar el problema de manera algebraica.
 • En algunas ocasiones esto implicará utilizar una fórmula en particular, mientras 
que en otras debes generar tu propia ecuación. Puede ser necesario que consultes 
otras fuentes para el uso apropiado de las fórmulas.
	 3.		 Lleva	a	cabo	los	cálculos	matemáticos	necesarios	para	resolver	el	problema.
	 4.		 Verifica	la	respuesta	obtenida	en	el	paso	3.
 • Pregúntate: “¿Tiene sentido la respuesta?”, ”¿La respuesta es razonable?” Si la 
respuesta no lo es, verifica nuevamente tu método para la solución del problema y 
tus cálculos.
 • De ser posible verifica la solución en el problema original.
	 5.		 Responde	la	pregunta. Asegúrate de haber respondido la pregunta. Establece las res­
puestas con claridad. 
En los siguientes ejemplos se muestra cómo aplicar la guía para la resolución de pro­
blemas. Cuando sea necesario proporcionaremos los pasos en los ejemplos para ilustrar el 
método de los cinco pasos.
Como se indicó en el paso dos de la guía para la resolución de problemas –traduce 
el problema a lenguaje matemático–, en algunas ocasionas necesitaremos encontrar y usar 
una fórmula. En esta sección te mostraremos cómo hacerlo.
EJEMPLO  1  Préstamo	 personal	 Diane Basile hace un préstamo personal por 
$5000 con un interés simple de 4% a su hermano, Bob Basile, por un periodo de 5 
años. 
	 a) Al término de 5 años, ¿qué interés le pagará Bob a Diane?
	 b) Cuando Bob pague su deuda transcurridos 5 años, ¿cuánto dinero, en total, debe 
pagar a Diane?