Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-22

Vista previa del material en texto

EJEMPLO  2  Corriendo	a	casa	 Para estar en forma para la próxima temporada 
de pista, Juan y Pedro Santiago corren a casa después de la escuela. Juan corre a una 
tasa de 6 mph y Pedro corre a una tasa de 4 mph. Cuando dejan al mismo tiempo la 
escuela, Juan llega a casa 
1
2
 hora antes que Pedro (ver Figura	2.7).
 a)	 ¿Cuánto tiempo le toma a Pedro llegar a casa?
 b)	 ¿A qué distancia viven Juan y Pedro de la escuela?
Solución    a)	 Entiende	 	 Juan y Pedro correrán la misma distancia. Sin embargo, 
Juan corre más rápido que Pedro, el tiempo de Juan será menor que el de Pedro por 
1
2
 hora.
Sea t  tiempo de Pedro para llegar a casa.
Entonces -
1
2
  tiempo de Juan para llegar a casa.
Escuela Casa
Pedro
4 mph
Juan
6 mph
Juan llega a casa
1/2 hora antes que Pedro.
FiGura	 2.7
Corredor Tasa Tiempo Distancia
Pedro 4 t 4t
Juan 6 t -
1
2
6a t -
1
2
b
Traduce	 	 Cuando los chicos están en casa ambos habrán corrido la misma distancia 
desde la escuela. De modo que
distancia de Pedro  distancia de Juan
 4t = 6a t -
1
2
b
realiza	los	cálculos 4t  6t 3
 2t  3
 t =
3
2
responde	 	 A Pedro le tomará 1 
1
2
 horas llegar a casa.
 b)	 La distancia puede determinarse usando la tasa y el tiempo de Pedro o de Juan. Se 
multiplicará la tasa de Pedro por el tiempo de Pedro para determinar la distancia.
d = rt = 4a3
2
b =
12
2
= 6 millas
 Por lo tanto, Juan y Pedro viven a 6 millas de la escuela.
Resuelve ahora el ejercicio 9 
Consejo útil
En el ejemplo 2, la respuesta habría cambiado si hubiésemos dicho que t representa el tiem­
po de Juan y que t +
1
2
 representa el tiempo de Pedro. Aunque esto conduciría a una tabla 
diferente y una ecuación diferente, la respuesta final todavía sería la misma. Trabaja con esta 
información y prueba.
EJEMPLO  3  Producción	de	refresco	 Una máquina llena botellas de refresco y 
coloca las tapas. La máquina puede trabajar a dos tasas distintas. A la tasa más rá­
pida, la máquina llena y coloca las tapas a 600 botellas más por hora que a la tasa más 
lenta. La máquina se enciende durante 4.8 horas a la tasa más lenta, luego se cambia 
a la tasa más rápida por otras 3.2 horas. Durante estas 8 horas se llenaron y colocaron 
las tapas a un total de 25,920 botellas. Determina ambas tasas.
98	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades
	 Sección	 	 2.4	Problemas	adicionales	de	aplicación	 99
Solución    Entiende Este problema utiliza un número de botellas, una cantidad, 
en lugar de una distancia; sin embargo, el problema se resuelve de una manera simi­
lar. Utilizaremos la fórmula, cantidad  tasa  tiempo. Nos dan dos distintas tasas y 
nos piden determinar dichas tasas. Usaremos el hecho de que la cantidad de botellas 
llenadas a la tasa más lenta más la cantidad de llenadas a la tasa más rápida es igual 
a la cantidad total de botellas llenadas.
Sea r  tasa más lenta.
Entonces r  600  tasa más rápida.
	 Tasa Tiempo Cantidad
Tasa más lenta r 4.8 4.8r
Tasa más rápida r  600 3.2 3.2(r  600)
Traduce cantidad de botellas llenadas 

 cantidad de botellas llenadas 
 25,920
 a la tasa más lenta a la tasa más rápida
 4.8r  3.2(r  600)  25,920
realiza	los	cálculos 4.8r + 3.2r + 1920 = 25,920
 8r + 1920 = 25,920
 8r = 24,000
 r = 3000
responde La tasa más lenta es 3000 botellas por hora. La tasa más rápida es 
r  600 o 3000  600  3600 botellas por hora.
Resuelve ahora el ejercicio 11   
	2 	Resolver	problemas	de	mezcla
Como lo hicimos en problemas de movimiento, usaremos tablas para ayudar a organizar 
la información en problemas de mezcla. Los ejemplos 4 y 5 son problemas de mezcla que 
implican dinero. 
EJEMPLO  4  Dos	inversiones	 Bettie Truitt vendió su bote por $15,000 y prestó 
una parte de este dinero a su amiga Kathy Testone. El préstamo fue por un año 
con una tasa de interés simple de 4.5%. Bettie puso el resto en una cuenta en la 
unión de crédito del mercado de valores que producía 3.75% de interés simple. Un 
año más tarde, Bettie ganó un total de $637.50 de las dos inversiones. Determina la 
cantidad que Bettie le prestó a Kathy.
Solución    Entiende	y	traduce Para resolver este problema usaremos la fórmula 
de interés simple, interés  capital  tasa  tiempo. Sabemos que parte de la inversión 
produjo 4.5% y el resto 3.75% de interés simple; se nos pide determinar la cantidad 
que Bettie prestó a Kathy.
Sea p  cantidad prestada a Kathy al 4.5%.
Entonces 15,000  p  cantidad invertida al 3.75%.
Observa que la suma de las dos cantidades es igual a la cantidad total invertida, 
$15,000. Determinaremos la cantidad prestada a Kathy con la ayuda de una tabla.
Comprendiendo 
el álgebra
Cualquier	problema	en	el	
que	dos	o	más	cantidades	se	
combinan	para	producir	una	
cantidad	diferente,	o	donde	
una	cantidad	simple	es	sepa-
rada	en	dos	o	más	cantidades	
diferentes,	puede	considerarse	
un	problema de mezcla.
inversión Capital Tasa Tiempo interés
Préstamo a Kathy p 0.045 1 0.045p
Mercado de valores 15,000  p 0.0375 1 0.0375(15,000  p)
Como el interés total cobrado es $637.50, escribimos:
 interés del préstamo a 4.5%  interés de la cuenta a 3.75%  interés total
 0.045p  0.0375(15,000  p)  637.50
realiza	los	cálculos 0.045p  0.0375(15,000  p)  637.50
 0.045p  562.50  0.0375p  637.50
 0.0075p  562.50  637.50
 0.0075p  75
 p  10,000
responde Por lo tanto, el préstamo fue de $10,000 y $15,000  p o 
$15,000  $10,000  $5,000, que fue lo invertido en la cuenta del mercado de valores.
Resuelve ahora el ejercicio 15 
EJEMPLO  5  Ventas	en	un	puesto	de	hot	dogs	 El puesto de hot dogs de Matt 
en Chicago vende hot dogs a $2.00 cada uno y tacos de bistec a $2.25 cada uno. Si la 
venta total del día fue $585.50 y se vendieron 278 productos, ¿cuánto vendió de cada 
producto?
Solución    Entiende	y	traduce Se nos pide determinar el número de hot dogs y 
de tacos de bistec vendidos.
 Sea x  número de hot dogs vendidos.
 Entonces 278  x  número de tacos de bistec vendidos.
Producto Costo	del	producto Número	de	productos Ventas	totales
Hot dogs 2.00 x 2.00x
Tacos de bistec 2.25 278  x 2.25(278  x)
 ventas totales de hot dogs  ventas totales de tacos de bistec  ventas totales
 2.00x  2.25(278  x)  585.50
realiza	los	cálculos 2.00x  625.50  2.25x  585.50
  0.25x  625.50  585.50
  0.25x  40
 
 x =
-40
-0.25
= 160
responde Por lo tanto, se vendieron 160 hot dogs y 278  160  118 tacos de bistec.
Resuelve ahora el ejercicio 17 
En el ejemplo 5 podríamos haber multiplicado ambos lados de la ecuación por 100 
para eliminar los números decimales y después resolver la ecuación.
El ejemplo 6 es un problema de mezcla que incluye la mezcla de dos soluciones.
EJEMPLO  6  Mezcla	de	medicina	 Tony Gambino, profesor de química, tiene so­
luciones de citrato de litio al 6% y al 15%. Desea obtener 0.5 litros de una solución 
de citrato de litio al 8%. ¿Qué cantidad de cada solución debe utilizar en la mezcla?
Solución    Entiende	y	traduce se nos pide determinar la cantidad a mezclar de 
cada solución.
 Sea x  número de litros de solución al 6%.
 Entonces 0.5  x  número de litros de solución al 15%.
La cantidad de citrato de litio en una solución se determina multiplicando el por­
centaje de citrato de litio en la solución por el volumen de la solución. Haremos un 
bosquejo del problema (ver Figura	2.8 de la página 101) y luego construiremos una 
tabla.
100	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades
	 Sección	2.4	 	 Problemas	adicionales	de	aplicación	 101
Comprendiendo 
el álgebra
La	concentración	de	una	so-
lución	hecha	por	una	mezcla	
de	soluciones	siempre	estará	
entre	las	concentraciones	de	
las	dos	soluciones	usadas	para	
preparar	dicha	solución.	Por	
ejemplo,	si	mezclas	una	solu-
ción	de	ácido	al	5%	con	una	
solución	de	ácido	al	10%,	la	
mezcla	resultante	tendrá	una	
concentración	entre	5	y	10%.
 0.06x  0.15(0.5  x)  0.08(0.5)
realiza	los	cálculos 0.06x  0.15(0.5  x)  0.08(0.5)
 0.06x  0.075  0.15x 0.04
 0.075  0.09x  0.04
  0.09x  0.035
 x =
-0.035
-0.09
L 0.39 
a la centésima 
más cercana
responde Tony debe mezclar 0.39 litros de la solución al 6% y 0.5  x o 0.5  0.39  0.11 
litros de la solución al 15% para obtener 0.5 litros de una solución al 8%.
Resuelve ahora el ejercicio 21 
Solución 1
Número de litros
Solución 2 Mezcla
x � �0.5 � x
Porcentaje de concentración 6% 15% 8%
0.5
FiGura	 2.8
Solución
Concentración	
de	la	solución	
Número	de	litros Cantidad	de	citrato	de	litio
1 0.06 x 0.06x
2 0.15 0.5  x 0.15(0.5  x)
Mezcla 0.08 0.5 0.08(0.5)
CONJUNTO DE EJERCICIOS 
Practica tus habilidades y Resolución de problemas
En los ejercicios 1-14 escribe la ecuación que puede ser usada para resolver los problemas de movimiento. Resuelve la ecuación y responde 
la pregunta que se te hace.
 1.	Escalando	 en	 las	 Rocallosas	 Dos amigos, Don O’Neal y 
Judy McElroy, fueron a escalar a las Montañas Rocallosas. 
Cuando estaban escalando llegaron al Lago Bear. Ellos se 
preguntaron cuál sería la distancia alrededor del lago y deci­
dieron averiguarlo. Don sabe que camina a 5 mph y Judy 
sabe que camina a 4.5 mph. Si ellos comienzan a caminar al 
mismo tiempo en direcciones opuestas alrededor del lago y 
se encuentran en 1.2 horas, ¿cuál es la distancia alrededor 
del lago?
 2.	Velocidad	de	copiado	 María Hannaseck tiene dos copiado­
ras donde produce volantes. Una copiadora tiene una tasa 
de 45 copias por minuto y la otra una tasa de 15 copias por 
minuto. Si Darrell inicia ambas copiadoras al mismo tiempo 
y las deja copiando por 10 minutos, ¿cuántos volantes pro­
ducen las fotocopiadoras? ©
 G
lo
wi
m
ag
es
cantidad de citra­
to de litio en la 
solución al 6%
cantidad de citra­
to de litio en la 
solución al 15%
cantidad de 
citrato de litio en 
la mezcla
 