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112	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
La intersección de dos conjuntos es el conjunto de elementos comunes a ambos con­
juntos. Para determinar el conjunto solución de una desigualdad que contenga la letra y, 
toma la intersección de los conjuntos solución de las dos desigualdades.
EJEMPLO  8  Resuelve x  5  8 y 2x  9  7.
Solución    Comienza por resolver cada desigualdad por separado.
x  5  8 y 2x  9  7
 x  3 2x  2
 x  1 
Ahora toma la intersección de los conjuntos {x|x  3} y {x|x  1}. Cuando encontra­
mos {x|x ≤ 3}  {x|x  1}, determinamos los valores de x comunes a ambos conjuntos. 
La Figura	2.10 ilustra que el conjunto solución es {x|1  x  3}. En notación de inter­
valo, la solución es (1,3].
5 6
9876
9876
987643210�3 �2 �1
543210�3 �2 �1
543210�3 �2 �1
x � 3
x � 1
Solución: 1 � x � 3
FiGura	 2.10
Resuelve ahora el ejercicio 57 
A veces podemos escribir una desigualdad compuesta que utiliza la letra y en una forma 
más corta.
3  x y x  5 se escribe 3  x  5,
1  x  3 y x  3  5 se escribe 1  x  3  5
EJEMPLO  9  Resuelve 1  x  3  5.
Solución    1  x  3  5 significa 1  x  3 y x  3  5. Resuelve cada des­
igualdad por separado.
1 < x  3 y x  3  5
 4  x x  2
Recuerda que 4  x significa x  4. La Figura	2.11 ilustra que el conjunto solu­
ción es {x|4  x  2}. En notación de intervalo, la solución es (4,2].
5 6
6
6
43210�6 �5 �4 �3 �2 �1
543210�6 �5 �4 �3 �2 �1
543210�5�6 �4 �3 �2 �1
�4 � x (o x � �4)
x � 2
Solución: �4 � x � 2
FiGura	 2.11
Resuelve ahora el ejercicio 35 
La desigualdad del Ejemplo 9, 1  x  3  5, puede resolverse de otra forma. 
Podríamos restar el número 3 a las tres partes de la desigualdad para aislar la variable de 
en medio y resolver.
 1  x  3  5
 1  3  x  3  3  5  3
 4  x  2
Observa que esta es la misma solución que se obtuvo en el ejemplo 9.
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	trabajamos	con	des-
igualdades	con	más	de	dos	
partes,	lo	que	hagamos	para	
una	parte	lo	debemos	hacer	
para	todas	las	partes.
	 Sección	2.5	Solución	de	desigualdades	lineales	 113
EJEMPLO  10  Resuelve la desigualdad 3  2t  7  8.
Solución    Queremos despejar la variable t. Comenzaremos por sumar 7 a las tres 
partes de la desigualdad.
 3  2t  7  8
 3  7  2t  7  7  8  7
 4  2t  15
Ahora divide las tres partes de la desigualdad entre 2.
 2 … t 6
15
2
 
4
 2
…
2t
 2
6
15
 2
La solución también puede ilustrarse en una recta numérica, escribirse en notación 
de intervalo o escribirse como un conjunto solución. A continuación mostramos cada 
forma.
5 987643
2
1 20�3 �2 �1
15
2
La respuesta en notación de intervalo es c2, 
15
2
b. El conjunto solución es 
e t ` 2 … t 6
15
2
f.
Resuelve ahora el ejercicio 41 
EJEMPLO  11  Resuelve la desigualdad -2 6
4 - 3x
5
6 8.
Solución    Multiplica las tres partes por 5 para eliminar el denominador.
 
 -14 6 -3x 6 36
-10 - 4 6 4 - 4 - 3x 6 40 - 4
 -10 6 4 - 3x 6 40
 -2 152 6 5 ¢4 - 3x
 5 
≤ 6 8 152
 -2 6
4 - 3x
5
6 8
 
 
 
 
Ahora divide las tres partes de la desigualdad entre 3. Recuerda que cuando mul­
tiplicamos o dividimos una desigualdad por un número negativo, la dirección del 
símbolo de desigualdad se invierte.
 
14
3
7 x 7 -12
 
-14
 -3
7
-3x
 -3
7
36
 -3
Aunque 
14
3
7 x 7 -12 es correcto, por lo general, escribimos desigualdades 
compuestas con el valor más pequeño a la izquierda. Por lo tanto, rescribiremos la 
solución como
-12 6 x 6
14
3
La solución también puede ilustrarse en una recta numérica, escribirse en notación 
de intervalo o escribirse como un conjunto solución. 
86420�8�10�16 �14 �12
�12
�6 �4 �2
14
3
La respuesta en notación de intervalo es a-12, 
14
3
b. El conjunto solución es 
ex ` -12 6 x 6
14
3
f .
Resuelve ahora el ejercicio 43  
 
114	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
Prevención de errores comunes
Debes tener cuidado al escribir la solución de una desigualdad compuesta. En el Ejemplo 
11 podemos cambiar la solución de 
14
3
7 x 7 -12 -12 6 x 6
14
3
a
Esto es correcto, ya que ambos dicen que x es mayor que 12 y menor que 
14
3
. Ob­
serva que el símbolo de la desigualdad en ambos casos apunta al número menor.
En el Ejemplo 11, si hubiéramos escrito la respuesta 
14
3
6 x 6 -12,, habríamos dado 
una solución incorrecta. Recuerda que la desigualdad 
14
3
6 x 6 -12 significa que 
14
3
6 x 
y x 12. No existe ningún número que sea al mismo tiempo mayor que 
14
3
 y menor que 
12. Además, al examinar la desigualdad 
14
3
6 x 6 -12, aparece como si dijéramos 
que 12 es un número mayor que 
14
3
, lo que obviamente es incorrecto.
También sería incorrecto escribir la respuesta como
-12 6 x 7
14
3
 o
14
3
6 x 7 -12
EJEMPLO  12  Cálculo	de	calificaciones	 En un curso de anatomía y fisiología, 
una calificación promedio mayor que o igual a 80 y menor que 90 tiene como resul­
tado una nota de B. Steve Reinquist recibió calificaciones de 85, 90, 68 y 70 en sus 
primeros cuatro exámenes. Para que Steve reciba una nota final de B en el curso, 
¿entre qué par de calificaciones debe estar su quinto (y último) examen?
Solución    Sea x  calificación en el último examen de Steve.
80  promedio de los cinco exámenes  90
 87 … x 6 137
 400 - 313 … 313 - 313 + x 6 450 - 313
 400 … 313 + x 6 450
 80 …
313 + x
5
6 90
 80 …
85 + 90 + 68 + 70 + x
5
6 90
Steve necesitaría una calificación mínima de 87 en su último examen para obtener 
una nota final de B. Si la calificación más alta que pudiera recibir en el examen es 
100, ¿podría lograr una nota final de A (promedio de 90 o más)? Explica.
Resuelve ahora el ejercicio 75 
	4 	Resolver	desigualdades	compuestas	que	incluyan	o
La solución de una desigualdad compuesta que utilice la letra o son todos los números 
que hacen cualquiera de las desigualdades verdadera. Considera la desigualdad compuesta
x  3 o x  5
¿Qué números satisfacen la desigualdad compuesta? Grafiquemos la solución de cada 
desigualdad mediante la recta numérica (ver Figura	2.12). Observa que todo número real 
satisface al menos una de las dos desigualdades. Por lo tanto, el conjunto solución de la 
desigualdad compuesta es el conjunto de todos los números reales, .
5 6
6
6
43210�6 �5 �4 �3 �2 �1
543210�6 �5 �4 �3 �2 �1
543210�5�6 �4 �3 �2 �1
x � 5
x � 3
Solución: �
FiGura	 2.12
©
 E
rik
 P
alm
er
/G
lo
wi
m
ag
es
	 Sección	2.5	Solución	de	desigualdades	lineales	 115
La unión de dos conjuntos es el conjunto de elementos que pertenecen a cualquiera 
de los conjuntos. Para encontrar el conjunto solución de la desigualdad que contenga la 
letra o, toma la unión de los conjuntos solución de las dos desigualdades que comprenden 
la desigualdad compuesta.
EJEMPLO  13  Resuelve r  2   6 o 4r  3  5.
Solución    Resuelve cada desigualdad por separado.
 r  2  6 o 4r  3  5
 r  4 4r  8
 r  2
Ahora grafica cada solución en rectas numéricas y después determina la unión (ver 
Figura	2.13). La unión es r  4 o r  2.
5
5
5
43210�7
�7
�7
�6 �5 �4 �3 �2 �1
43210�6 �5 �4 �3 �2 �1
43210�5�6 �4 �3 �2 �1
r � �4
r � 2
Solución; r � �4 o r � 2
FiGura	 2.13
	
Desigualdad
	
recta	numérica
Notación	
de	intervalo
	
Conjunto	solución
x 6
5
3 643210�6 �5 �4 �3 �2 �1
5
3 a - q , 
5
3
b ex ` x 6
5
3
f
-4 6 t …
5
3 654210�5�6 �4
�4
�3 �2 �1
5
3
 a -4, 
5
3
d e t ` -4 6 t …
5
3
f
El conjunto solución es {r|r  4}{r|r  2}, que podemos escribir como
{r|r  4 o r  2}. En notación de intervalo, la solución es (,4](2, ).
Resuelve ahora el ejercicio 59 
Consejo útil
Existen varias formas de escribir la solución de un problema de desigualdad. Asegúrate de 
indicar la solución de un problema de desigualdad en la forma solicitada por tu profesor. A 
continuación proporcionamos ejemplos de varias formas.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.5 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados dela siguiente lista.
dirección abierto cerrado intersección unión compuesto simple
 1.	Una desigualdad se forma uniendo dos 
desigualdades con la letra y u o. 
 2.	Un círculo en la recta numérica indica 
que el punto final no es parte de la solución. 
 3.	Un círculo en la recta numérica indica 
que el punto final es parte de la solución.
 4.	Para encontrar el conjunto solución de una desigualdad que 
contiene la letra y, se toma la de los con­
juntos solución de cada una de las desigualdades. 
 5.	Para encontrar el conjunto solución de una desigualdad que 
contiene la letra o, se toma la de los con­
juntos solución de cada una de las desigualdades. 
 6.	Siempre que se dividan o multipliquen los dos lados de una 
desigualdad por un número negativo, debes cambiar la 
 del símbolo de desigualdad. 
116	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
Practica tus habilidades
Expresa cada desigualdad a) usando una recta numérica, b) en notación de intervalo, y c) como un conjunto solución (usa la notación 
constructiva de conjuntos).
 7.	 8.	 9.	 10.	 
 11.	 12.	 13.	 14.	 
Resuelve cada desigualdad y grafica la solución en la recta numérica.
 15.	 16.	 17.	 
 18.	 19.	 20.	
 21.	 22.	 23.	
 24.	 25.	 26.	 
Resuelve las siguientes desigualdades y da la solución usando notación de intervalo.
 27.	 28.	 29.	 
 30.	 31.	 32.	 
 33.	 34.	 
Resuelve las siguientes desigualdades y da la solución usando notación de intervalo.
 35.	 36.	 37.	 
 38.	 39.	 40.	 
 41.	 42.	 
Resuelve cada una de las siguientes desigualdades y da el conjunto solución.
 43.	 44.	 45.	 
 46.	 47.	 48.	 
Resuelve cada una de las siguientes desigualdades e indica su conjunto solución.
 49.	 50.	 51.	 
 52.	 53.	 54.	 
Resuelve cada una de las desigualdades y da la solución en notación de intervalos.
 55.	 56.	 57.	 
 58.	 59.	 60.	 
 61.	 62.	 
Resolución de problemas
 63.	Paquetes	 de	 UPS	 La longitud más la circunferencia de un 
paquete no puede ser mayor a 130 pulgadas, para poder ser 
enviado sin recargo por United Parcel Service (UPS).
 a)	 Escribe una desigualdad que exprese esta información, 
usando l para expresar la longitud y g para la circunferencia. 
 b)	 UPS ha definido la circunferencia como el doble del an­
cho más el doble de la profundidad. Escribe una desigual­
dad expresando la longitud con l, el ancho con w y la 
profundidad con d, para indicar las dimensiones máxi­
mas permitidas para que un paquete pueda ser enviado 
sin pagar recargo. 
 c)	 Si la longitud de un paquete es de 40 pulgadas y su ancho 
es 20.5 pulgadas, encuentra la máxima profundidad per­
mitida del paquete.
-2 
7
8
… k 6 -1 
2
3
-7 6 x … -4x Ú - 
6
5
-3 6 q …
4
5
-4 6 x 6 3w … pt 7
3
4
x 7 -3
y
2
+
4
5
… 32y - 6y + 8 … 21-2y + 92-61d + 22 6 -9d + 31d - 12
5b - 6 Ú 31b + 32 + 2b15.3 7 31a - 1.4241x + 22 … 4x + 8
1.4x + 2.2 6 2.6x - 0.24.7x - 5.48 Ú 11.4412b - 5 … 8b + 7
3 - x 6 -42x + 3 7 4x + 8 7 10
4[x - 13x - 22] 7 31x + 52 - 15-3x + 1 6 3[1x + 22 - 2x] - 1
61x - 22
5
7
1012 - x2
3
t
3
- t + 7 … - 
4t
3
+ 8
h
2
-
5
6
6
7
8
+ h
v -
3
- v Ú -31v - 124 - 3x 6 5 + 2x + 174 +
4x
3
6 6
5
1
2
6 3x + 4 6 1314 … 2 - 3g 6 15
-12 6 3x - 5 … -14 … 2x - 4 6 7-16 6 5 - 3n … 13
-15 … -3z … 12-7 6 p - 6 … -5-2 … t + 3 6 4
-15 6
31x - 22
5
… 00 …
31u - 42
7
… 1-6 6
4 - 3x
2
6
2
3
-6 … -312x - 42 6 12
3
5
6
-x-5
3
6 25 …
3x + 1
2
6 11
o 
o o -2x + 5 6 -35x - 3 … 7x + 1 7 -4x + 1 6 3w 7 6w … -1
x 7 4x 6 2d … 8d 7 0c 7 -3c … 1 y 
y 
y 
o 
- 3q 6 112q - 11 … -7- 3k … 72k + 5 7 -1
x - 5 Ú 3-x + 3 6 0r - 1 6 -14 - r 6 -2x - 3 7 105 - 3x 6 -3
3x - 7 … -14x + 5 Ú 5-3a + 4 … -174a + 7 Ú 9-3s + 4 … -172s + 3 6 7
 7 y
 y 5
 y 
 3 o
 2 o
y 
 2 o
	 Sección	2.5	Solución	de	desigualdades	lineales	 117
 64.	Equipaje	de	mano	 Varias aerolíneas han limitado el tamaño 
del equipaje que los pasajeros pueden llevar abordo de vue­
los domésticos. La longitud, l, más el ancho w, más la profun­
didad d del equipaje de mano no deben exceder 45 pulgadas.
 a)	 Escribe una desigualdad que describa esta restricción, 
usando l, w y d como se describió antes. 
 b)	 Si el equipaje de Ryan McHenry mide 23 pulgadas de 
largo y 12 pulgadas de ancho, ¿qué profundidad máxima 
puede tener para poder ser llevado a bordo del avión?
En los ejercicios 65-78, establece una desigualdad que pueda usar-
se para resolver el problema. Resuelve el problema y encuentra el 
valor deseado.
 65.	Límite	de	peso	 Cal Worth, un conserje, debe mover un gran 
cargamento de libros desde el primer piso hasta el quinto piso. 
Un aviso en el elevador dice “peso máximo: 800 libras”. Si cada 
caja de libros pesa 70 libras, encuentra el máximo número de 
cajas que Cal puede colocar en el elevador si él no se sube.
 66.	Límite	 del	 elevador	 Si el conserje del Ejercicio 65 pesa 
195 libras y debe subir al elevador con las cajas de libros, 
encuentra el máximo número de cajas que puede colocar 
dentro del elevador.
 67.	Mensajes	de	texto	 El plan “Paquete 200 mensajes inalám­
bricos” de The Verizon incluye 200 mensajes de texto por 
mes por $5.00. Los mensajes adicionales cuestan $0.15 cada 
uno. Si Berma Williams usa este plan, ¿cuántos mensajes de 
texto puede comprar por $20?
 68.	Estacionamiento	público	 Un estacionamiento público en el 
centro de la ciudad de Austin, Texas, cobra $1.25 por la pri­
mera hora y $0.75 por cada hora o fracción adicional. ¿Cuál 
es el máximo periodo que puedes estacionarte si no deseas 
pagar más de $3.75?
 69.	Ganancias	 por	 un	 libro	 April Lemons está consideran­
do escribir y publicar su propio libro. Ella estima que su 
ecuación de ingresos es R  6.42x, y su ecuación de costo 
es C  10,025  1.09x, donde x es el número de libros que 
vende. Encuentra el número mínimo de libros que tiene 
que vender para obtener ganancias. Ver ejemplo 6.
 70.	Ganancias	 en	 una	 tintorería	 Peter Collinge va a abrir 
una tintorería. Estima que su ecuación de costos es 
C  8000  0.08x y su ecuación de ingresos es R  1.85x, 
donde x es el número de prendas que deben lavarse en seco 
en un año. Encuentra el número mínimo de prendas que de­
ben lavarse en seco al año para que Peter tenga ganancias. 
 71.	Envío	postal	de	sobres	grandes	 El costo de enviar por co­
rreo sobres grandes es de $0.83 para la primera onza y $0.17 
para cada onza adicional. ¿Cuál es el máximo peso que un 
sobre grande debe tener para que Joni Burnette pueda en­
viarlo por $2.70?
 72.	Correo	prepagado	de	primera	clase	 Las compañías pueden 
enviar paquetes por correo que pesen hasta 1 onza usando 
el servicio de correo prepagado de primera clase. La compa­
ñía debe comprar un permiso por volumen de $180 al año, 
y pagar $0.394 por pieza enviada. Sin dicho permiso, enviar 
cada pieza costaría $0.42. Determina el número mínimo de 
piezas que tendría que ser enviadas para que el correo pre­
pagado de primera clase le resulte económicamente viable. 
 73.	Comparando	 planes	 de	 pago	 Melissa Pfistner, acaba de 
aceptar un puesto de ventas en Ohio. Ella puede elegir entre 
dos planes de pago de salario. En el plan 1 el salario es de 
$300 a la semana más una comisión de 10% por ventas. En 
el plan 2, el salario es de $400 a la semana más una comisión 
de 8% por ventas. ¿Por qué cantidad semanal de ventas Me­
lissa ganaría más estando en el plan 1?
 74.	Empleo	en	el	colegio	 Para que Katie Hanenberg pueda con­
tinuar con su ayuda financiera para el colegio, no debe ganar 
más de $2000 en su empleo de 8 semanas durante el verano. 
Actualmente gana $90 a la semana como asistente de guar­
deria y está considerando también tomar un trabajo noctur­
no en un restaurante de comida rápida, donde ganaría $6.25 
por hora. ¿Cuál es el máximo número de horas que podría 
trabajar en el restaurante sin arriesgar su ayuda financiera?
 75.	Nota	 aprobatoria	 Para aprobar un curso,Corrina Schultz 
necesita una calificación promedio de 60 o mayor. Si las 
calificaciones de Corrina son 66, 72, 90, 49 y 59, encuentra 
la calificación mínima que ella puede obtener en su sexto y 
último examen para aprobar el curso. 
 76.	Calificación	mínima	 Para obtener una A en un curso, Ste­
phen Heasley debe obtener una calificación promedio de 
90 o mayor en cinco exámenes. Si en los primeros cuatro 
exámenes de Stephen sus calificaciones son 92, 87, 96 y 77, 
¿cuál es la mínima calificación que Stephen puede recibir en 
el quinto examen para obtener una A en el curso?
 77.	Promediando	 calificaciones	 Las calificaciones de Calisha 
Mahoney en sus primeros cuatro exámenes son 85, 92, 72 y 
75. Un promedio mayor que o igual a 80 y menor que 90 re­
sultaría en una calificación final B. ¿Qué rango de calificacio­
nes en el quinto y último examen de Calisha darían por resul­
tado una calificación final de B? Asume que la calificación 
máxima es de 100. 
 78.	Aire	limpio	 Para que el aire se considere “limpio”, el pro­
medio de las cantidades de tres contaminantes debe ser me­
nos de 3.2 partes por millón. Si las cantidades de dos de los 
contaminantes son 2.7 y 3.42 ppm, ¿qué cantidad del tercero 
daría como resultado aire limpio?
©
 A
lle
n 
R.
 A
ng
el
©
 G
lo
wi
m
ag
es
©
 A
lle
n 
R.
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