Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-28

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Sección	2.6	Solución	de	ecuaciones	y	desigualdades	con	valor	absoluto	 123
Forma	de	la	ecuación	
o	desigualdad
	
La	solución	será:
Solución	en	la		
recta	numérica:
ƒax + b ƒ = c Dos números distintos, p y q qp
ƒax + b ƒ 6 c El conjunto de números entre dos 
números p  x  q
qp
ƒax + b ƒ 7 c El conjunto de números menores 
que un número o mayores que un 
segundo número, x  p o x  q
qp
	5 	Resolver	desigualdades	de	la	forma	x	<	a	o	x	>	a,	a	<	0
Considera la desigualdad ƒx ƒ 6 -3. Como x siempre tendrá un valor mayor o igual que 
0 para cualquier número real x, esta desigualdad nunca podrá ser verdadera y la solución 
es el conjunto vacío, .
EJEMPLO  9  Resuelve la desigualdad ƒ6x - 8 ƒ + 5 6 3.
Solución    Comienza restando 5 en ambos lados de la desigualdad.
 ƒ6x - 8 ƒ + 5 6 3
 ƒ6x - 8 ƒ 6 -2
Como 6x  8 siempre será mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta 
desigualdad nunca podrá ser verdadera. Por lo tanto, la solución es el conjunto vacío, .
Resuelve ahora el ejercicio 41
Ahora considera la desigualdad ƒx ƒ 7 -3. Como x siempre tendrá un valor mayor 
que o igual a 0 para cualquier número real x, esta desigualdad siempre será verdadera y la 
solución es el conjunto de todos los números reales, .
EJEMPLO  10  Resuelve la desigualdad ƒ5x + 3 ƒ + 4 Ú -9.
Solución    Comienza restando 4 en ambos lados de la desigualdad.
ƒ5x + 3 ƒ + 4 Ú -9
 ƒ5x + 3 ƒ Ú -13
Como ƒ5x + 3 ƒ siempre será mayor que o igual a 0 para cualquier número real x, esta 
desigualdad es verdadera para todos los números reales. Por lo tanto, la solución es 
el conjunto de todos los números reales, .
Resuelve ahora el ejercicio 59
	6 	Resolver	desigualdades	de	la	forma	x	<	0,	x	≤	0,	x	>	0	
o	x	≥	0
Para cada uno de los ejemplos de la parte superior de la página 124, es necesario recordar 
que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo.
Comprendiendo 
el álgebra
Cualquier	desigualdad	de	la	
forma	x		a,	donde	a	es	un	
número	negativo,	tendrá	como	
solución	el	conjunto	vacío,	.
Comprendiendo 
el álgebra
Cualquier	desigualdad	de	la	
forma	x		a,	donde	a	es	un	
número	negativo,	tiene	como	
conjunto	solución	.
Consejo útil
A continuación damos información general acerca de las ecuaciones y desigualdades con 
valor absoluto. Para números reales a, b y c, donde a  0 y c  0:
124	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades	
EJEMPLO  11  Resuelve cada desigualdad. a)	 x  2  0 b)	 3x  8  0
Solución   
 a)	 La desigualdad será verdadera para todo valor de x excepto 2. El conjunto 
solución es {x ƒx 6 -2 o x 7 -2}.
 b)	 Determina el número que hace al valor absoluto igual a 0 estableciendo que la 
expresión dentro del valor absoluto sea igual a 0 y resolver para x.
 3x - 8 = 0
 3x = 8
 x =
8
3
La desigualdad será verdadera solo cuando x =
8
3
. El conjunto solución es e 8
3
f .
Resuelve ahora el ejercicio 61 
	7 	Resolver	ecuaciones	de	la	forma	x	=	y
Ahora analicemos ecuaciones con valor absoluto en las que hay un valor absoluto en am­
bos lados de la ecuación. 
Cuando resolvemos una ecuación con valor absoluto con una expresión con valor 
absoluto en cada lado del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor ab­
soluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí o ser opuestas entre sí.
Desigualdad Conjunto	
solución
Explicación
ƒx - 5 ƒ 6 0 ¤ El valor absoluto de un número nunca puede ser  0.
ƒx - 5 ƒ … 0 {5} El valor absoluto de un número nunca puede ser 
 0, pero puede ser  0. Cuando x  5, tenemos
 ƒx - 5 ƒ … 0 
 ƒ5 - 5 ƒ … 0 
 0 … 0 Verdadero
ƒx - 5 ƒ 7 0 {x ƒ x Z 5} Sustituyendo cualquier número real para x, excepto 5, 
hacemos que x  5 sea positivo. Cuando x  5, tenemos
 x - 5 ƒ 7 0
 5 - 5 ƒ 7 0
 0 7 0 Falso
El valor absoluto de cualquier número es siempre  0.
Para resolver ecuaciones de la forma x = y
Si ƒx ƒ = ƒy ƒ, entonces x  y o x  y.
EJEMPLO  12  Resuelve la ecuación ƒz + 3 ƒ = ƒ2z - 7 ƒ .
Solución    Si hacemos que z  3 sea x y 2z  7 sea y, esta ecuación es de la forma
ƒx ƒ = ƒy ƒ . Utilizando el procedimiento anterior, obtenemos las dos ecuaciones
z + 3 = 2z - 7 z + 3 = -12z - 72
Ahora resuelve la ecuación.
 z + 3 = 2z - 7 z + 3 = -12z - 72o
 3 = z - 7  z + 3 = -2z + 7
01 = z  3z + 3 = 7
 3z = 4
 
 z =
4
3
Comprendiendo 
el álgebra
Si	x		y,	entonces	x		y	o	
x		y.
	 Sección	2.6	Solución	de	ecuaciones	y	desigualdades	con	valor	absoluto	 125
Verifica 
 
 
 
 Verdadero Verdadero
El conjunto solución es e10, 
4
3
f .
Resuelve ahora el ejercicio 63
EJEMPLO  13  Resuelve la ecuación 
Solución    o
 Falso
 
Como la ecuación 4x - 7 = -16 - 4x2 tiene como resultado una proposición falsa, 
la ecuación con valor absoluto tiene una única solución. La verificación mostrará que
el conjunto solución es e 13
8
f .
Resuelve ahora el ejercicio 69
Resumen de los procedimientos para resolver ecuaciones y desigualdades 
con valor absoluto
Para a  0,
Si x  a, entonces x  a o x = a.
Si x  a, entonces a  x  a.
Si x  a, entonces x  a o x  a.
Si x  y, entonces x  y o x  y.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.6 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
 
 
 1.	La gráfica de la solución para en la recta 
numérica es 
5 643210456 3 2 1
 2.	La gráfica de la solución para en la recta 
numérica es 
5 643210456 3 2 1
 3.	La gráfica de la solución para en la recta 
numérica es 
5 643210456 3 2 1
 4.	La gráfica de la solución para en la recta 
numérica es 
5 643210456 3 2 1
13
3
=
13
3
13 = 13
 ` 13
3
` ` - 13
3
` ƒ13 ƒ ƒ13 ƒ
 ` 13
3
` ` 8
3
-
21
3
` ƒ13 ƒ ƒ20 - 7 ƒ
 ` 4
3
+ 3 ` ` 2a4
3
b - 7 ` ƒ10 + 3 ƒ ƒ21102 - 7 ƒ
 z =
4
3
 ƒz + 3 ƒ = ƒ2z - 7 ƒ z = 10 ƒz + 3 ƒ = ƒ2z - 7 ƒ
 x =
13
8
 8x = 13 -7 = -6
 8x - 7 = 6 4x - 7 = -6 + 4x
 4x - 7 = 6 - 4x 4x - 7 = -16 - 4x2
ƒ4x - 7 ƒ = ƒ6 - 4x ƒ .
ƒx ƒ 7 -6ƒx ƒ 6 -6ƒx ƒ Ú 5ƒx ƒ 7 5ƒx ƒ … 5ƒx ƒ 6 5
ƒx ƒ = 5ƒx ƒ Ú 4ƒx ƒ 7 4ƒx ƒ … 4ƒx ƒ 6 4ƒx ƒ = 4
 5.	La gráfica de la solución para en la recta nu­
mérica es 
5 643210456 3 2 1
 6.	El conjunto solución para es {x|5  x  5}.
 7.	El conjunto solución para es {x|x  5 o x  5}.
 8.	El conjunto solución para es {5, 5}.
Practica tus habilidades
Encuentra el conjunto solución para cada ecuación.
	13.	 14.	 15.	 16.	
 17.	 18.	 19.	
 20.	 21.	 22.	
 23.	 24.	 25.	
 26.	 27.	 28.	
 29.	 30.	
Encuentra el conjunto solución para cada desigualdad.
 31.	 32.	 33.	
 34.	 35.	 36.	
 37.	 38.	 39.	
 40.	 41.	 42.	
	43.	 44.	 45.	
 46.	
Encuentra el conjunto solución para cada desigualdad.
 47.	 48.	 49.	
 50.	 51.	 52.	
	53.	 54.	 55.	
 56.	 57.	 58.	
	59.	 60.	 61.	
 62.	
Encuentra el conjunto solución para cada ecuación.
 63.	 64.	 65.	
 66.	 67.	 68.	
 69.	 70.	
Encuentra el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad.
 71.	 72.	 73.	
 74.	 75.	 76.	
 77.	 78.	 79.	
 80.	 81.	 82.	
 83.	 84.	 85.	
 9.	El conjunto solución para es {x|5  x  5}.
 10.	El conjunto solución para es {x|x  5 o x  5}.
 11.	El conjunto solución para es .
 12.	El conjunto solución para es .
126	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades
ƒ4.7 - 1.6z ƒ = 14.3ƒ4.5q + 31.5 ƒ = 0ƒ3 + y ƒ =
3
5
ƒx + 5 ƒ = 8ƒ l + 4 ƒ = 6ƒd ƒ = -  
5
6
ƒx ƒ = 0ƒc ƒ =
1
2
ƒb ƒ = 17ƒa ƒ = 7
` w + 4
3
` + 5 6 9ƒ4 - 2x ƒ - 3 = 7ƒ3n + 8 ƒ - 4 = -10
ƒ2.4x + 4 ƒ + 4.9 7 3.9ƒ4 + 3x ƒ … 9ƒ7 - 3b ƒ = ƒ5b + 15 ƒ
ƒ5 + 2x ƒ 7 0ƒ2x - 4 ƒ + 5 = 13ƒ5a - 1 ƒ = 9
ƒ2z - 7 ƒ + 5 7 8ƒ2w - 7 ƒ … 9ƒ9d + 7 ƒ … -9
ƒq + 6 ƒ 7 2ƒy ƒ … 8ƒh ƒ = 9
` 3
2
 r + 2 ` = ` 8 -
3
2
 r `` - 3
4
 m + 8 ` = ` 7 -
3
4
 m `
ƒ3x - 8 ƒ = ƒ3x + 8 ƒ` 2r
3
+
5
6
` = ` r
2
- 3 `ƒ5t - 10 ƒ = ƒ10 - 5t ƒ
ƒ6x ƒ = ƒ3x - 9 ƒƒ6n + 3 ƒ = ƒ4n - 13 ƒƒ3p - 5 ƒ = ƒ2p + 10 ƒ
ƒ2c - 8 ƒ 7 0
ƒ4 - 2x ƒ 7 0ƒ2.6 - x ƒ Ú 0ƒ7w + 3 ƒ - 12 Ú -12
` 4 -
3x
5
` Ú 9` x
2
+ 4 ` Ú 5ƒ3.7d + 6.9 ƒ - 2.17 -5.4
ƒ0.1x - 0.4 ƒ + 0.4 7 0.6ƒ2x - 1 ƒ Ú 12ƒ2h - 5 ƒ 7 3
` 6 + 2z
3
` 7 2ƒ7 - 3b ƒ 7 5ƒ2b - 7 ƒ 7 3
ƒx + 4 ƒ 7 5ƒa ƒ Ú 13ƒy ƒ 7 8
` 7x -
1
2
` 6 0
` x - 3
2
` - 4 … -2` k
4
-
3
8
` 6
7
16
` 1
2
 j + 4 ` 6 7
ƒ2x - 3 ƒ 6 -10ƒ2x - 6 ƒ + 5 … 1` 2x - 1
9
` …
5
9
ƒ3x - 7 ƒ + 8 6 14ƒ4 - 3x ƒ - 4 6 11ƒ2x + 3 ƒ - 5 … 10
ƒx - 3 ƒ - 7 6 -2ƒ5b - 15 ƒ 6 10ƒ7 - x ƒ 6 6
ƒq + 5 ƒ … 8ƒp ƒ … 9ƒw ƒ 6 1
ƒ2x + 3 ƒ - 5 = -8ƒx - 5 ƒ + 4 = 3
` 5x - 3
2
` + 5 = 9` x - 3
4
` + 8 = 8` 3z + 5
6
` - 2 = 7
` x - 3
4
` = 5ƒ61y + 42 ƒ = 24ƒ5 - 3x ƒ =
1
2
	 Sección	2.6	Solución	de	ecuaciones	y	desigualdades	con	valor	absoluto	 127
 86.	 ` 5t - 10
6
` 7
5
3 87.	 ` 3x - 2
4
` -
1
3
Ú - 
1
3 88.	 ` 2x - 4
5
` = 14
 89.	 ƒ2x - 8 ƒ = ` 1
2
 x + 3 ` 90.	 ` 1
3
 y + 3 ` = ` 2
3
 y - 1 ` 91.	 ƒ2 - 3x ƒ = ` 4 -
5
3
 x `
 92.	 ` -2u + 3
7
` … 5
Resolución de problemas
 93.	Grosor	del	vidrio Ciertos tipos de vidrio fabricados por in­
dustrias PPG, idealmente tienen un grosor de 0.089 pulga­
das. Sin embargo, debido a las limitaciones en el proceso 
de manufactura, el grosor puede variar hasta 0.004 pulgadas 
con respecto del ideal. Si t representa el grosor actual del 
vidrio, entonces el rango permitido del grosor puede ser re­
presentado usando la desigualdad |t  0.089|  0.004.
 Fuente: www.ppg.com
 a)	 Resuelve la desigualdad para t (usa la notación de intervalo).
 b)	 ¿Cuál es el grosor más pequeño permitido para el vidrio?
 c)	 ¿Cuál es el mayor grosor permitido para el vidrio?
 94.	Garantía	de	la	madera	terciada Cierta madera terciada fabri­
cada por Lafor International garantiza que tiene un grosor
 de 
5
8
 de pulgada con una tolerancia de más o menos 
1
56
 de
 pulgada. Si t representa el grosor real de la madera terciada, 
entonces el rango permitido puede representarse por medio
 de la desigualdad ` t -
5
8
` …
1
56
.
 Fuente: www.sticktrade.com
 a)	 Resuelve la desigualdad para t (usa la notación de intervalo).
 b)	 ¿Cuál es el grosor más pequeño permitido para la ma­
dera terciada?
 c)	 ¿Cuál es el mayor grosor permitido para la madera ter­
ciada?
 95.	Profundidad	de	un	submarino Un submarino está 160 pies 
por debajo del nivel del mar y tiene formaciones de roca por 
encima y por debajo de él, y no debe cambiar su profundi­
dad por más de 28 pies. Su distancia por debajo del nivel del 
mar, d, puede describirse por la desigualdad |d  160|  28.
 a)	 Resuelve la desigualdad para d. Escribe tu respuesta en 
notación de intervalo.
 b)	 ¿Entre qué distancias verticales, medidas desde el nivel 
del mar, se puede mover el submarino?
160 pies
28 pies
28 pies
 96.	Un	resorte	que	rebota Un resorte sujeto al techo está rebo­
tando hacia arriba y hacia abajo de modo que su distancia,
 d, con respecto al piso satisface la desigualdad ƒd - 4 ƒ …
1
2
 
 pies (ve la Figura).
 a)	 Resuelve esta desigualdad para d. Escribe tu respuesta 
en notación de intervalo.
 b)	 ¿Entre qué distancias, medidas con respecto al piso, os­
cilará el resorte?
pie
pie
4 pies
1
2
1
2
 97.	¿Cuántas soluciones hay para las siguientes desigualdades o 
ecuaciones si a  0 y k  0?
 a)	 |ax  b|  k
 b)	 |ax  b|  k
 c)	 |ax  b|  k
 98.	Considera que |x|  |y| y x  0 y y  0.
 a)	 ¿Cuál de los siguientes es verdadero: x < y, x > y o x  y?
 b)	 Da un ejemplo que apoye tu respuesta del inciso a).
 99.	¿Cuántas soluciones tiene |ax + b|  k, a  0 si
 a)	 k  0,
 b)	 k  0,
 c)	 k  0?
 100.	Considera que m y n (m  n) son dos soluciones distintas 
para la ecuación |ax  b|  c. Indica las soluciones, usando 
ambos símbolos de desigualdad y la recta numérica, para 
cada desigualdad.(Ver Consejo útil de la página 123.)
 a)	 |ax  b|  c
 b)	 |ax  b|  c
Ejercicios de conceptos y escritura
	101. ¿Para qué valor de x la desigualdad |ax  b|  0 será verda­
dera? Explica.
	102. ¿Para qué valor de x la desigualdad |ax  b|  0 no será 
verdadera? Explica.
	103. a) Explica cómo encontrar la solución para la ecuación 
|ax  b|  c (asumiendo que c  0 y a  0).
	 b) Resuelve esta ecuación para x.
	104.	 a) Explica cómo encontrar la solución para la desigualdad 
|ax  b|  0 (asumiendo que a > 0 y c  0).
	 b) Resuelve esta desigualdad para x.
	105.	 a) Explica cómo encontrar la solución de la desigualdad 
|ax  b|  0 (asumiendo que a > 0 y c  0).
	 b) Resuelve esta desigualdad para x.
	106.	 a) ¿Cuál es el primer paso para resolver la siguiente des­
igualdad 4|3x  5|  12?
	 b) Resuelve la desigualdad y da la solución en notación de 
intervalo.
Determina para qué valores de x la ecuación será verdadera. Explica tu respuesta.
 107.	 |x  4|  |4  x| 108.	 |x  4|  |x  4| 109.	 |x|  x 110.	 |x  2|  x  2
Resuelve. Explica cómo obtuviste la respuesta.
 111.	 |x  1|  2x  1 112.	 |3x  1|  x  3 113.	 |x  4|  (x  4)
Ejercicios de desafío
Resuelve tomando en consideración los posibles signos para x.
 114.	 |x|  x  8 115.	 x  |x|  8 116.	 |x|  x  8 117.	 x  |x|  8
Actividad de grupo
Evalúa.
[1.4] 119.	
1
3
+
1
4
,
2
5
 a1
3
b
2
 120.	 4(x  3y)  5xy cuando x  1, y  3
[2.4] 121.	 Natación Terry Chong cruza nadando un lago a una
 velocidad promedio de 2 millas por hora. Luego
 regresa, pero ahora con una velocidad promedio de 
1.6 millas por hora, ¿Cuál es el ancho del lago si en 
total nada 1.5 horas?
[2.5] 122. Encuentra el conjunto solución para la desigualdad
 7(x  3)  5(x  1)  20
Discute y responde el ejercicio 118 en grupo.
	118. Consideren la ecuación |x  y|  |y  x|.
	 a) Cada integrante del grupo tiene que seleccionar un va­
lor para x y un valor para y y determinar si la ecuación 
se cumple. Repitan para los otros dos valores de x y y.
	 b) Determinen para qué valores de x y y la ecuación es 
verdadera. Expliquen la respuesta.
	 c) Consideren |x  y|  |y  x|. ¿Bajo qué condición esta 
ecuación será verdadera?
Ejercicios de repaso acumulados
Resumen del capítulo 2
HEcHoS y concEPtoS iMPoRtantES EjEMPloS
Sección 2.1
Propiedades de la igualdad
Para todos los números reales a, b y c:
 1. a  a Propiedad reflexiva
 2. Si a  b, entonces b  a Propiedad simétrica
 3. Si a  b y b = a, entonces a  c Propiedad transitiva
9  9
Si x  10, entonces 10  x.
Si y  a  b y a  b = 4t, entonces y  4t.
Los términos	son las partes que aparecen sumadas en una expre­
sión algebraica.
El coeficiente es la parte numérica de un término que precede 
a la variable.
El grado	de	un	término con exponentes de números enteros po­
sitivos es la suma de los exponentes en las variables.
En la expresión 9x2 - 2x +
1
5
, los términos son 9x2, 2x y 
1
5
.
Términos	semejantes son términos que tienen las mismas varia­
bles con los mismos exponentes. Términos	no	semejantes son 
términos que no son los mismos término.
Simplificar	una	ecuación significa reducir (combinar) todos los 
términos semejantes. 3x2  12x  5  7x2  12x  1  10x2  4
Término Coeficiente
15x4y 15
Término Grado
17xy5 1 + 5 = 6
Términos	semejantes Términos	no	semejantes
2x, 7x 3x, 4y
9x2, 5x2 10x2, 2x10
128	 Capítulo	2	 	 Ecuaciones	y	desigualdades