Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-35

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170	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Resolución de problemas
 49. Distancia Usando la fórmula de distancia
distancia  velocidad  tiempo, o d = vt 
 dibuja una gráfica de distancia contra tiempo para una velo-
cidad constante de 30 millas por hora.
 50. Interés simple Usando la fórmula de interés simple
interés = capital  tasa de interés  tiempo, o i  prt 
 realiza una gráfica de interés contra tiempo para un capital 
de $1000 y una tasa de interés de 3%.
 51. Ganancias de bicicletas Las ganancias de una fábrica de bici-
cletas pueden aproximarse por la función p(x) = 60x – 80,000, 
donde x es el número de bicicletas producidas y vendidas.
 a) Realiza una gráfica de ganancia contra el número de bici-
cletas vendidas (hasta 5000 bicicletas).
 b) Estima el número de bicicletas que debe vender la com-
pañía para cubrir los gastos.
 c) Estima el número de bicicletas que debe vender la com-
pañía para tener una ganancia de $150,000.
 52. Costo para operar un taxi A Raúl Lopez le cuesta operar un 
taxi $75 con 15¢ por milla, semanalmente. 
 a) Escribe una función que exprese el costo semanal de 
Raúl, c, en términos del número de millas, m.
 b) Realiza una gráfica que ilustre el costo semanal contra el nú-
mero de millas, hasta las 200 millas recorridas por semana.
 c) Si durante una semana, Raúl manejó el taxi 150 millas, 
¿cuál fue el costo?
 d) ¿Cuántas millas debería manejar Raúl para que el costo 
semanal fuera de $135?
 53. Salario más comisión El salario semanal de Jayne Haydack 
en Charter Network es de $500 más 15% por comisión en 
sus ventas semanales. 
 a) Escribe una función que exprese el salario semanal de 
Jayne, s, en términos de sus ventas semanales, x.
 b) Realiza una gráfica del salario de Jayne contra sus ventas 
semanales, hasta $5000 en ventas.
 c) ¿Cuál será el salario semanal de Jayne si sus ventas fue-
ron de $3000?
 d) Si el salario de Jayne esta semana fue de $1100, ¿de cuán-
to fueron sus ventas semanales?
 54. Salario más comisión Cristina Miller, una agente de bienes 
raíces, gana $100 semanales más 3% de comisión por cada 
propiedad que vende.
 a) Escribe una función que exprese su salario semanal, s, en 
términos de sus ventas, x.
 b) Realiza una gráfica de su salario contra sus ventas sema-
nales hasta los $100,000.
 c) Si Cristina vende una casa a la semana por $75,000, ¿cuál 
será su salario semanal?
Ejercicios de conceptos y escritura
 55. El peso de las niñas La siguiente gráfica muestra el peso, en 
kilogramos, de niñas (de hasta 36 meses de edad) contra al-
tura (o largo), en centímetros. La línea del centro es el peso 
promedio para todas las niñas de la altura dada, y las líneas 
delgadas representan los límites mayor y menor en el rango 
normal.
Crecimiento de niñas de: 0 a 36 meses
P
es
o 
(k
ilo
gr
am
os
)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Altura (centímetros)
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
Fuente: Centro Nacional de Estadísticas de Salud
 a) Explica por qué la línea roja representa una función.
 b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable 
dependiente?
 c) ¿La gráfica de peso contra altura es aproximadamente 
lineal?
 d) ¿Cuál es el peso en kilogramos de las niñas que en pro-
medio miden 85 centímetros de altura?
 e) ¿Cuál es la altura promedio en centímetros de las niñas 
que en promedio pesan 7 kilogramos?
 f) ¿Qué peso se considera normal para una niña que mide 
95 centímetros de altura?
 g) ¿Qué le pasa al rango normal cuando la altura incremen-
ta? ¿Es lo que esperarías que pasara? Explica.
©
 M
or
ga
n 
La
ne
 P
ho
to
gr
ap
hy
/S
hu
tte
rs
to
ck
	 Sección	3.3	Funciones	lineales:	gráficas	y	aplicaciones	 171
y =
3
5
 x -
1
2
-4x - 3.2y = 8
5x - 2y = 7�y = 2 (x + 3.2)
4{2 - 3[(1 - 4) - 5]} - 8. 1
3
 y - 3y = 6(y + 2).
ƒx - �a ƒ = �b ƒx - �a ƒ 6 �b
ƒx - �a ƒ 7 �b ƒx - 4 ƒ = ƒ2x - 2 ƒ .
 56. Interés compuesto La siguiente gráfica muestra el efecto del 
interés compuesto.
Crecimiento exponencial
($100 invertidos con
7% de interés anual)
D
ól
ar
es
0
400
800
1200
1600
0 10 20 30 40 50 60
Años
Crecimiento
lineal ($10 al
año guardados
en la alcancía)
 Si un niño pone $10 cada año en una alcancía, el ahorro cre-
cerá de manera lineal, como se muestra en la curva inferior. 
Si, al año 10 el niño invierte $100 con 7% de interés com-
puesto anual, estos $100 crecerán de manera exponencial.
 a) Explica por qué ambas gráficas representan funciones.
 b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable 
dependiente?
 c) Usando la curva de crecimiento lineal, determina cuánto 
tiempo tomaría ahorrar $600.
 d) Usando la curva de crecimiento exponencial, que co-
mienza a los 10 años, ¿en cuánto tiempo después de que 
la cuenta se abrió la cantidad alcanzaría los $600?
 e) Comenzando en el año 20, ¿cuánto tiempo sería necesario, 
creciendo a una taza lineal, para que el dinero se duplique?
 f) Comenzando en el año 20, ¿cuánto tiempo sería necesa-
rio, creciendo exponencialmente, para que el dinero se 
duplique? (El crecimiento exponencial se discutirá en el 
capítulo 9).
 57. ¿Cuándo, si ocurre, las intersecciones con el eje x y con el 
eje y de una gráfica serán las mismas? Explica.
 58. Escribe dos funciones lineales cuyas intersecciones con el 
eje x y con el eje y sean para ambas (0, 0). Explica.
 59. Escribe una función cuya gráfica no intersecte con el eje x 
pero sí con el eje y en (0, 4). Explica.
 60. Escribe una ecuación cuya gráfica no intersecte con el eje y 
pero sí con el eje x en 5. Explica.
Problemas de desafío
 61. Si las intersecciones con el eje x y con el eje y de una función 
lineal son 1 y 3, respectivamente, ¿cuáles serán sus nue-
vas intersecciones si la gráfica se mueve (o traslada) 3 uni- 
dades más?
 62. Si las intersecciones con el eje x y con el eje y de una ecua-
ción lineal son 1 y 3, respectivamente, ¿cuáles serán sus 
nuevas intersecciones si la gráfica se mueve (o traslada) 4 
unidades menos?
 Encuentra las intersecciones con x y y de la gráfica de cada ecuación utilizando tu calculadora graficadora.
 63. 64. 
 65. 66. 
Actividad de grupo
En los ejercicios 67 y 68, damos dos pares ordenados, localizados en una gráfica. a) Grafica los puntos y traza una línea que los una. b) 
Encuentra el cambio en y, o cambio vertical, entre los puntos. c) Encuentra el cambio en x, o cambio horizontal, entre los puntos. d) En-
cuentra la relación entre el cambio vertical y el horizontal entre estos dos puntos. ¿Sabes lo que esta relación representa? (Lo discutiremos 
mas adelante en la sección 3.4).
 67. (0, 2) y (4, 0) 68. (3, 5) y (1, 1)
Ejercicios de repaso acumulados
[1.4] 69. Evalúa [2.1] 70. Resuelve 
[2.6]	 	En los ejercicios 71-73, a) explica el procedimiento para resolver la ecuación o desigualdad para x (asumiendo que b > 0), y b) 
resuelve la ecuación o desigualdad.
 71. 72. 
 73. 74. Resuelve la ecuación 
172	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
3.4 La forma pendiente-intersección de una ecuación lineal
	 1 	 Entender	el	
	desplazamiento		
de	las	gráficas.
	 2 	 Determinar	la	pendiente	
de	una	recta.
	3 	 Reconocer	la	pendiente	
como	una	razón	de	
cambio.
	4 	 Escribir	ecuaciones	
lineales	en	la	forma	
pendiente-intersección.
	5 	 Graficar	ecuaciones	
lineales	por	medio	de	la	
pendiente	y	la	intersec-
ción	en	y.
	 6 	 Usar	la	forma	pendiente-
intersección	para	cons-
truir	modelos	a	partir	de	
gráficas.
	1 	Entender	el	desplazamiento	de	las	gráficas
Considera las tres ecuaciones
y  2x  3 
y  2x 
y  2x  3 
Observa las gráficas mostradas en las Figuras 3.43a y 3.43b. La gráfica y  2x se muestra en 
color azul en ambas figuras, e intersecta el eje y en el punto (0, 0). Observa que la gráfica 
y  2x  3 intersecta el eje y en el punto (0, 3) y en la gráfica y  2x  3 intersecta el eje 
y en el punto (0, 3). Observa incluso que las líneas son paralelas, esto es, las líneas no se 
intersectan.
�5
�6
�3
�4
�2
5
6
4
3
1
5 64321�4�5�6�3 �2 �1 x
y
y = 2x � 3 intersecta 
el eje y en (0, 3)
y = 2x � 3 intersecta 
el eje y en (0, �3)
y � 2x
y � 2x � 3
y � 2x � 3
�5
�6
�3
�2
5
6
4
3
1
2
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1 x
y y � 2x
La gráfica y = 2x � 3 es la gráfica de
y = 2x desplazada hacia arriba 3 unidades.
La gráfica y = 2x � 3 es la gráfica de
y = 2x desplazada hacia abajo 3 unidades.
(b)(a)
FiGura	 3.43
Las gráficas y = 2x  3 y y = 2x  3 son idénticas a y  2x, excepto por la intersección en 
el eje y. Decimos que las gráficas y  2x  3 y y  2x  3 son desplazamientos verticales 
de la gráfica y = 2x.
Después de ver las gráficas mostradas en la Figura 3.43, ¿podrías predecir cómo se 
vería la gráfica y = 2x  4? La gráfica y  2x  4 es paralela a y  2x e intersecta el eje 
y en el punto (0, 4). Decimos que la gráfica y  2x  4 es la gráfica y  2x desplazada o 
trasladada 4 unidades (ver Figura 3.44)
�5
�6
�3
�4
�2
5
6
4
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1 x
y
y = 2x � 4 intersecta 
el eje y en (0, 4)
y � 2x
y � 2x � 4
FiGura	 3.44
Comprendiendo 
el álgebra
En	general,	la	gráfica		
y  mx  b	será	paralela	a	la	
gráfica	y  mx	e	intersectará	
el	eje	y	en	(0,	b).
Observa en las ecuaciones y  2x, y  2x  3, y  2x  3, y y = 2x  4 que el coefi-
ciente de x es 2 y que las cuatro líneas son paralelas. Cuando las líneas son paralelas tienen 
la misma inclinación o pendiente.
	 Sección	3.4	La	forma	pendiente-intersección	de	una	ecuación	lineal	 173
	2 	Determinar	la	pendiente	de	una	recta
La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. La pendiente de una 
recta es un concepto importante en muchas áreas de las matemáticas.
Pendiente de una reta
• La pendiente de una recta, m, es la razón de cambio vertical, o elevación, al cambio 
horizontal, o desplazamiento, entre dos puntos cualesquiera de la recta.
• 
*La letra m se usa tradicionalmente para designar la pendiente. Se cree que la letra m proviene 
de la palabra francesa monter, que significa “subir”.
Comprendiendo 
el álgebra
La	pendiente	es	descrita	a	me-
nudo	con	la	frase	inclinación 
de una línea.
Por lo tanto, la pendiente de la recta que atraviesa estos dos puntos es 2. Examinando la 
recta que conecta estos dos puntos, podemos observar que por cada movimiento de la grá-
fica hacia arriba en 2 unidades, la gráfica se mueve hacia la derecha 1 unidad (Figura 3.46).
Hemos determinado que la pendiente de la gráfica de y  2x es 2. Si tuvieras que 
calcular la pendiente de las otras dos rectas en la Figura 3.43 de la página 172, encontrarás 
que las gráficas de y  2x  3 y y  2x  3 también tienen una pendiente de 2.
¿Podrías estimar cuál es la pendiente de las gráficas de las ecuaciones y  3x  2, 
y  3x, y y  3x  2? La pendiente de estas tres rectas es 3.
Ahora presentamos la fórmula para encontrar la pendiente de una recta que pasa 
por los dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en la recta. Observe la Figura 3.47. La elevación es la 
diferencia entre y2 y y1 y el desplazamiento es la diferencia entre x2 y x1.
5
7
6
4
3
2
1
5 64321�2 �1
y
x
Por encima 1
Arriba 2
y � 2x
FiGura	 3.46
Comprendiendo 
el álgebra
En	general,	la	pendiente	de	
una	ecuación	de	la	forma		
y  mx  b	es	m.
Punto 2 (x2, y2)
Punto 1
(x1, y1)
(x2, y1)
Elevación, y2 � y1
x2x1
y2
y1
Desplazamiento, x2 � x1
y
x
FiGura	 3.47
m* = pendiente =
cambio vertical
cambio horizontal
=
elevación
desplazamiento
m = pendiente =
cambio vertical
cambio horizontal
=
elevación
desplazamiento
=
4
2
= 2
5
7
6
4
3
2
1
5 64321�2 �1
y
x
(3, 6)
(1, 2)
(3, 2)
Cambio horizontal o desplazamiento 3 � 1 � 2
Cambio vertical o elevación 
6 � 2 � 4
y � 2x
(b)
5
7
6
4
3
2
1
5 64321�2 �1
y
x
y � 2x
(3, 6)
(a)
(1, 2)
FiGura	 3.45
Como ejemplo, considera la gráfica y  2x de nuestro análisis previo. Esta recta pasa 
por dos puntos (1, 2) y (3, 6)(ver Figura 3.45a). De la Figura 3.45b, podemos observar que 
el cambio vertical (o elevación) es 6  2, o 4 unidades. El cambio horizontal (o desplaza-
miento) es 3  1, o 2 unidades.