Álgebra de Funções

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Sección	3.6	Álgebra	de	funciones	 197
 b) Para cualquier año dado, el colesterol total es la suma de LBD y LAD, para 
ese año. Por ejemplo, para 2009, a fin de determinar el colesterol, sumamos 
235  35  270. La gráfica en la Figura 3.67 muestra LBD, LAD y el colesterol 
total de 2006 a 2010.
 c) Para determinar LBD y LAD o el colesterol total, sumamos los dos valores para 
2010.
(L + H)(2010)  L(2010)  H(2010)
 130  40  170
 d) Observando la gráfica que se dibujó en el inciso b), vemos que los años en que la 
LBD fue menor que 180 son 2008 y 2010.
Resuelve ahora el ejercicio 63a
EJEMPLO  4  Gráficas de barras
 a) Con los datos de la Tabla 3.2 de la página 196, dibuja una gráfica de barras que 
muestre la LBD, LAD y el colesterol total para los años 2006 a 2010.
 b) Si L representa la cantidad de LBD y H representa la cantidad de LAD, utiliza 
la gráfica que se dibujó en el inciso a) para determinar (L  H)(2007).
 c) Observa la gráfica que dibujaste en el inciso a) y determina los años en que el 
colesterol total fue menor que 220.
 d) Observa la gráfica que dibujaste en el inciso a) y estima el LAD en 2008.
Solución 
 a) Para obtener la gráfica de barras que muestre el colesterol total para cada año 
dado, sumamos la LAD a la LBD. Por ejemplo, para 2006 iniciamos dibujando 
una barra hasta 220, para representar la LBD. Directamente sobre esa barra agre-
gamos una segunda barra de 30 unidades, para representar la LAD. Esto eleva la 
barra total a 220  30 o 250 unidades. Utilizamos el mismo procedimiento para 
cada año desde 2006 a 2010. La gráfica de barras se muestra en la Figura 3.68.
0
50
100
150
200
250
300
2006 2007 2008 2009 2010
C
ol
es
te
ro
l (
m
g/
dL
)
Año
LBD
LBD, LAD y colesterol total
Total
LAD 
FiGura	 3.67
FiGura	 3.68
0
50
100
150
200
250
300
LBD, LAD y colesterol total
C
ol
es
te
ro
l (
m
g/
dL
)
2006 2007 2008 2009 2010
Año
LBD
LAD 
198	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
 b) Al observar la gráfica en la Figura 3.68, vemos que (L  H)(2007) o el colesterol 
total para 2007, es alrededor de 280.
 c) Al observar la gráfica, vemos que el colesterol total fue menor que 220 en 2008 
y 2010.
 d) Para 2008, la barra de LAD inicia cerca de 140 y termina en casi 210. La diferen-
cia de estas cantidades, 210  140  70, representa la cantidad de LAD en 2008. 
Por lo tanto, la LAD en 2008 fue alrededor de 70.
Resuelve ahora el ejercicio 63b
EJEMPLO  5  Gráfica de líneas apiladas
 a) Con los datos de la Tabla 3.2 de la página 196, dibuja una gráfica de líneas apila-
das (o acumuladas) que muestre la LBD, LAD y el colesterol total para los años 
2006 a 2010.
 b) Con la gráfica que se dibujó en el inciso a), determina en qué años el colesterol 
total fue mayor o igual a 200.
 c) Observa la gráfica que dibujaste en el inciso a) y estima la LAD en 2010.
 d) Con la gráfica que se dibujó en el inciso a), determina en qué años la LBD fue 
mayor o igual a 180 y el colesterol total fue menor o igual a 250.
Solución 
 a) Para obtener la gráfica de líneas apiladas, primero dibuja la línea que representa 
la LBD. Será la misma línea que se dibujó para representar la LBD en la Figura 
3.67 en la página 197. El área bajo esta línea de la gráfica (área azul en la Figu-
ra 3.69) representa la LBD. En seguida año por año sumamos la LAD a la LBD 
para crear una segunda línea en la gráfica. Por ejemplo, en el año 2006, la se-
gunda línea de la gráfica tiene un valor de 220  30 o 250. El área entre las dos 
líneas de la gráfica (área gris en la Figura 3.69) representa la LAD y el área total 
bajo la línea que se encuentra arriba en la gráfica representa el colesterol total.
100
0
150
200
250
300
LBD, LAD y colesterol total
C
ol
es
te
ro
l (
m
g/
dL
)
LBD
LAD 
2006 2007 2008 2009 2010
AñoFiGura	 3.69
 b) Al observar la gráfica, vemos que el colesterol total, indicado por la línea gris, 
fue mayor o igual que 200 en 2006, 2007, 2008 y 2009.
 c)	Al observar la gráfica en el área de LAD, podemos ver que en 2010 la LAD inicia 
alrededor de 130 y termina cerca de 170. Si restamos, obtenemos 170 – 130 = 40. 
Por lo tanto, la LAD en 2010 fue casi 40. Si representamos con H la cantidad de 
LAD, tenemos que H(2010)  40. 
 d) Como se observa en la gráfica, podemos determinar que el único año en el que 
la LBD fue mayor o igual a 180 y el colesterol total fue menor o igual a 250 fue 
2006.
Resuelve ahora el ejercicio 63c
	 Sección	3.6	Álgebra	de	funciones	 199
1g # f21-12
1f # g2122
2x3 - 5x2
x2 - 2x - 5x2 - 2x + 5x2 + 2x - 5
x2
2x - 5
f1x2 =
1
x - 3
f1x2 = x + 5, g1x2 = 3x - 2 f1x2 = x2 - x - 8, g1x2 = x2 + 1
f1x2 = -3x2 + x - 4, g1x2 = x3 + 3x2 f1x2 = 4x3 + 2x2 - x - 1, g1x2 = x3 - x2 + 2x + 6
f1x2 = 4x3 - 3x2 - x, g1x2 = 3x2 + 4 f1x2 = 3x2 - x + 2, g1x2 = 6 - 4x2
g162 # f162
fa3
5
b
ga 3
5
b
f1-12 # g1-12f132 # g132fa 1
4
b - ga1
4
b
1f # g21321f # g2102
 41. (ƒ  g)(0) 42. (ƒ  g)(0)
 43. 44. (ƒ  g)(1)
 45. (g  ƒ)(1) 46. (g  ƒ)(3)
 47. (g  ƒ)(4) 48. 
CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.6 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
dominio rango 
 todos los números reales 3 5 7 todos los números reales excepto el 3
En los ejercicios 1-6, considera ƒ(x)  x2 y g(x)  2x  5.
 1. (ƒ  g)(x) = .
 2. (ƒ  g)(2) = .
 3. (ƒ  g)(x) = .
 4. (ƒ  g)(2) = .
 5. (ƒ  g)(x) = .
 6. (ƒ  g)(x) = .
 7. El dominio de la función ƒ(x)  x  3 es .
 8. El dominio de la función es .
Practica tus habilidades
Para cada par de funciones, determina a) (ƒ  g)(x), b) (ƒ  g)(a), y c) (ƒ  g)(2).
 9. 10. 
 11. 12. 
 13. 14. 
Sea ƒ(x)  x2  4 y g(x)  5x  3. Determina lo siguiente.
15. ƒ(3)  g(3) 16. ƒ(5)  g(5) 17. ƒ(4)  g(4)
 18. 19. 20. 
 21. 22. ƒ(1)  g(1) 23. g(3)  ƒ(3)
 24. 25. g(0)  ƒ(0) 26. ƒ(2)  g(2)
Sea ƒ(x)  2x2  x y g(x)  x  6. Determina lo siguiente.
27. (ƒ  g)(x) 28. (ƒ  g)(a) 29. (ƒ  g)(1)
30. (ƒ  g)(3) 31. (ƒ  g)(2) 32. (ƒ  g)(1)
 33. 34. 35. (ƒ  g)(1)
36. (ƒ  g)(6) 37. (g  ƒ)(5) 38. (g  ƒ)(4)
 39. (g  ƒ)(x) 40. (g  ƒ)(r)
 
 
�2
�1
4
3
2
1
54321�3 �2 �1
y
x
g f
Resolución de problemas
Usando la gráfica de la derecha, determina el valor de lo siguiente.
200	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Usando la gráfica de la derecha, determina el valor de lo siguiente.
 49. (ƒ + g)(2) 50. (ƒ  g)(1)
 51.	 52. (g  ƒ)(3)
 53. (ƒ  g)(4) 54. (g  ƒ)(5)
 55. (g  ƒ)(2) 56.	
�3
�2
�1
2
1
54321�3 �2 �1
y
x
g
f
 57. Cuenta de retiro La siguiente gráfica muestra el monto de 
dinero con el que Sharon y Frank Dangman han contribuido 
en conjunto para una cuenta de retiro de 2006 a 2010.
0
Total
Sharon
Frank
Año
2006 2007 2008 2009 2010
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
M
on
to
 (
en
 d
ól
ar
es
)
Cuenta de retiro
 a) ¿En qué año Frank contribuyó con $1000?
 b) En 2010, estima cuanto más contribuyó Sharon a la cuen-
ta de retiro que lo que contribuyó Frank.
 c) Para este periodo de 5 años, estima el monto total con el 
que contribuyeron Sharon y Frank para la cuenta de retiro.
 d) Si el ingreso de Frank es una función F(x) y el ingreso de 
Sharon es una función S(x), estima (F + S)(2009).
 58. Empleos para universitarios Kelly Housman es una universita-
ria que trabaja como mesera los fines de semana y como tutora 
entre semana. La siguiente gráfica muestra su ingreso para los 
meses de agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.
$0
$200
$1800
Ingreso mensual
In
gr
es
o
Ingreso de tutora
Ingreso de mesera
Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
Mes
$400
$600
$800
$1000
$1200
$1400
$1600
Total
 a) ¿En qué mes Kelly ganó un total de poco más de $1600?
 b) Estima el ingreso de Kelly en septiembre por trabajar 
como mesera.
 c) Para este periodo de 5 meses, estima el ingreso total de Kelly.
 d) Si el ingreso por trabajar de tutora es una función T(x) 
y el ingresopor trabajar de mesera es una función W(x), 
estima (W + T)(Octubre).
 59. Estudiantes de una clase La siguiente gráfica de barras 
muestra el número total de estudiantes en la clase de Álge-
bra Intermedia del Dr. James Condor por semestre. La par-
te inferior de cada barra representa el número de estudian-
tes mujeres, F, y la parte superior de cada barra representa 
el número de estudiantes hombres, M.
0
5
Género de los estudiantes
N
úm
er
o 
de
 e
st
ud
ia
nt
es
Otoño Primavera Verano 
A
Verano 
B
Verano 
C
Semestre
10
15
20
25
30
35
40
Estudiantes hombres
Estudiantes mujeres
 a) ¿En qué semestre el Dr. Condor tuvo el mayor número 
de estudiantes de Álgebra Intermedia? ¿Cuántos estu-
diantes estuvieron en esa clase?
 b) ¿En qué semestre el Dr. Condor tuvo el menor número 
de estudiantes mujeres? ¿Cuántas estudiantes mujeres 
tuvo en clase ese semestre?
 c) Estima M (Verano A)
 d) Estima F (Primavera) 
 60. Población mundial La siguiente gráfica muestra el total de 
población mundial proyectada y la población de niños 
de 0-14 años de edad proyectada de 2002 a 2050. 
0
2
4
6
8
10
Población mundial
Po
bl
ac
ió
n 
(e
n 
bi
llo
ne
s)
2002 2010 2020 2030 2040
Año
2050
Mayores de 15
0-14
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos
 a) Estima la población mundial proyectada en 2050.
 b) Estima el número proyectado de niños entre 0-14 años de 
edad en 2050.
 c) Estima el número proyectado de personas mayores de 15 
años en 2050. 
 d) Estima la diferencia proyectada del total de población 
mundial entre 2002 y 2050. 
1g # f2102
1f # g2112