Análise de Dados e Gráficos

Vista previa del material en texto

Sección	3.6	Álgebra	de	funciones	 201
 a) Elabora una gráfica de líneas que muestre el monto que 
gastó en impuestos federales, el monto que gastó en im-
puestos estatales y el total del monto gastado en el pago 
de estos dos impuestos de 2006 a 2010.
 b) Elabora una gráfica de barras que muestre la informa-
ción dada.
 c) Elabora una gráfica de líneas apiladas que muestre la in-
formación dada.
 66. Colegiatura universitaria La familia Olmert tiene gemelos, 
Justin y Kelly, que asisten a universidades distintas. La co-
legiatura de Justin y Kelly se muestra en la siguiente tabla 
para los años de 2006 a 2009.
 a) Elabora una gráfica de línea que muestre la información 
dada, incluyendo la colegiatura que se gasta en total en 
las universidades de Justin y de Kelly de 2006 a 2009.
 b) Elabora una gráfica de barras que muestre la informa-
ción dada.
 c) Elabora una gráfica de líneas apiladas que muestre la in-
formación dada.
2006 2007 2008 2009
Justin $12,000 $6000 $8000 $9000
Kelly $2000 $8000 $8000 $5000
 61. Venta de casas En muchas regiones del país, las casas se 
venden mejor durante el verano que en otras épocas del 
año. La siguiente gráfica muestra el total de ventas de casas 
en el poblado de Mineral Point de 2006 a 2010. La gráfica 
también muestra la venta de casas durante el verano, S, y 
durante otras épocas del año, Y.
5
0
10
2006 2007 2008
Año
2009
Verano
Otras épocas
Total
2010
15
20
25
30
35
Venta de casas
V
en
ta
 d
e 
ca
sa
s
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos
 a) Estima el número de casas vendidas durante el verano de 
2010.
 b) Estime el número de casas vendidas durante otras épocas 
en 2010.
 c) Estima Y(2009).
 d) Estima (S  Y)(2007).
 62. Ingreso Rod Sac deCrasse es dueño de un negocio que en 
verano arregla jardines y en invierno quita la nieve. La si-
guiente gráfica muestra el ingreso total, T, para los años 
2006 a 2010 dividido entre arreglar jardines, L, y quitar la 
nieve, S.
10
0
20
30
40
50
Arreglar jardines
Quitar la nieve
2006 2007 2008
Año
2009 2010
Ingreso
In
gr
es
o 
(e
n 
m
ile
s)
Total
 a) Estima el ingreso total para 2010.
 b) Estima L(2006).
 c) Estima S(2009).
 d) Estima (L + S)(2007).
 63. Ingreso La siguiente tabla muestra el ingreso del Sr. y la Sra. 
Abrams para los años de 2006 a 2010.
2006 2007 2008 2009 2010
Sr.	abrams $15,500 $17,000 $8000 $25,000 $20,000
Sra.	abrams $4500 $18,000 $28,000 $7000 $22,500
2006 2007 2008 2009 2010
Federal $4000 $5000 $3000 $6000 $6500
Estatal $1600 $2000 $0 $1700 $1200
2006 2007 2008 2009 2010
Casa $40 $50 $60 $50 $0
Celular $80 $50 $20 $50 $60
 a) Elabora una gráfica de línea que muestre el ingreso del 
Sr. Abrams, el ingreso de la Sra. Abrams y el ingreso to-
tal de 2006 a 2010. Ver ejemplo 3.
 b) Elabora una gráfica de barras que muestre la informa-
ción dada. Ver ejemplo 4.
 c) Elabora una gráfica de línea apilada que muestre la infor-
mación dada. Ver ejemplo 5.
 64. Facturas telefónicas La siguiente tabla muestra las facturas 
telefónicas de casa y del celular de Kelly López (redondea-
dos a los $10 más cercanos) de 2006 a 2010.
 a) Elabora una gráfica de línea que muestre las facturas 
telefónicas de la casa y del celular, además del total de 
facturas telefónicas de 2006 a 2010.
 b) Elabora una gráfica de barras que muestre la informa-
ción dada.
 c) Elabora una gráfica de líneas apiladas que muestre la in-
formación dada.
 65. Impuestos María Cisneros paga impuestos federales y esta-
tales. La siguiente tabla muestra el monto de impuestos que 
pagó al gobierno federal y al gobierno estatal de 2006 a 2010.
202	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
Ejercicios de conceptos y escritura
En los ejercicios 67-76, considera ƒ y g como dos funciones graficadas en el mismo plano cartesiano.
 67. ¿Qué restricción tiene la propiedad ƒ(x)g(x)  (ƒg)(x)? 
Explica.
 68. ¿Se cumple ƒ(x)  g(x)  (ƒ  g)(x) para todos los valores 
de x? Explica.
 69. ¿Se cumple (ƒ  g)(x)  (g  ƒ)(x) para todos los valores de 
x? Explica y da un ejemplo para apoyar tu respuesta.
 70. ¿Se cumple (ƒ  g)(x)  (g  ƒ)(x) para todos los valores de 
x? Explica y da un ejemplo para apoyar tu respuesta.
 71. Si (ƒ  g)(a)  0, ¿qué debe cumplirse en ƒ(a) y g(a)?
 72. Si para a, (ƒ  g)(a)  0, ¿qué debe cumplirse en ƒ(a) y g(a)?
 73. Si para a, (ƒ  g)(a)  0, ¿qué debe cumplirse en ƒ(a) y 
g(a)?
 74. Si para a, (ƒ  g)(a) < 0, ¿qué debe cumplirse en ƒ(a) y g(a)?
 75. Si para a, (ƒ  g)(a) < 0, ¿qué debe cumplirse en ƒ(a) y g(a)?
 76. Si para a, (ƒ  g)(a) < 0, ¿qué debe cumplirse en ƒ(a) y g(a)?
Actividad de grupo
 77. Calificaciones en el SAT La gráfica muestra las califica-
ciones promedio en matemáticas y en habilidades verbales 
y de lectura de estudiantes que presentaron el examen SAT 
de ingreso a la universidad de 2000 a 2006. Sean ƒ las cali-
ficaciones en matemáticas, g las calificaciones en habilidad 
verbal y de lectura y t el año. En grupo, elaboren una gráfica 
que represente (ƒ  g)(t).
Calificaciones del SAT, 2000 a 2006
500
2000 2001 2002 2003 2004 20062005
C
al
if
ic
ac
ió
n
Año
Matemáticas
Habilidad verbal y de lectura
505
510
515
520
525
Ejercicios de repaso acumulados
[1.5] 78. Evalúa (4)3.
[1.6] 79. Expresa 2,960,000 en notación científica. 
[2.2] 80. Despejar h de la fórmula . 
[2.3] 81. Lavadora El costo de una lavadora, incluyendo 6% de
 impuesto, es de $477. Determina el costo sin impuesto 
de una lavadora.
[3.1] 82. Grafica 
[3.3] 83. Grafica 
3.7 Graficar desigualdades lineales
	 1 	 Graficar	desigualdades	
lineales	con	dos	variables.
	1 	Graficar	desigualdades	lineales	con	dos	variables
2x  3y  2 3y  4x  9
x  2y  3 5x  2y  7
Desigualdades lineales con dos variables
Una desigualdad lineal con dos variables se puede escribir en una de las siguientes formas:
ax  by  c, ax  by  c, ax  by  c, ax  by  c
donde a, b y c son números reales, y a y b son diferentes de 0.
Ejemplos	de	desigualdades	lineales	con	dos	variables
Comprendiendo 
el álgebra
Los	siguientes	símbolos	son	
usados	en	desigualdades	
lineales:
	 •	 	es	menor	que
	 •	 	es	mayor	que
	 •	 	es	menor	o	igual	que
	 •	 	es	mayor	o	igual	que
A =
1
2
 bh
3x - 4y = 12.
y = ƒx ƒ - 2.
	 Sección	3.7	Graficar	desigualdades	lineales	 203
Considera la gráfica de la ecuación x  y  3 que se muestra en la Figura 3.70. La línea rec-
ta actúa como frontera entre los dos semiplanos y divide el plano en tres distintas regiones: 
la recta misma y los dos semiplanos, uno a cada lado de la recta. 
�4
�5
�3
�2
�1
3
4
5
2
1
54321�2�3�4�5 �1
y
x
Los puntos 
de este semiplano 
satisfacen la desigualdad 
x � y � 3.
Los puntos sobre la 
frontera satisfacen 
la ecuación 
x � y � 3.
Los puntos de este 
semiplano satisfacen 
la desigualdad 
x � y � 3.
x � y � 3
FiGura	 3.70
Cuando graficamos una desigualdad lineal, por lo general, se sombrea solo un lado 
de los dos semiplanos establecidos por la frontera. Si la desigualdad se escribe con el uso de 
 o , se dibuja una línea punteada, la cual indica que la frontera no es parte del conjunto 
solución. Si la desigualdad se escribe con el uso  o , se dibuja una línea sólida, la cual 
indica que la frontera forma parte del conjunto solución.
Para graficar una desigualdad lineal con dos variables
 1. Para obtener la ecuación de la frontera, reemplaza el símbolo de la desigualdad con un 
signo de igual.
 2. Traza la gráfica de la ecuación en el paso 1. Si la desigualdad contiene un símbolo 
 o , se traza una línea sólida. Si la desigualdad contiene un símbolo  o , se traza 
una línea punteada. 
 3. Selecciona un punto que no esté en la frontera y determina si este punto es una solución 
de la desigualdad original. Si el punto seleccionado es una solución, sombrea la región del 
lado de la línea que contiene este punto. Si el punto seleccionado no satisface la desigual-
dad, sombrea la región del lado de la línea que no contiene al punto.
Comprendiendoel álgebra
Si	una	desigualdad	lineal	
presenta
	 •		o	,	se	dibuja	una	línea	
punteada	como	frontera.
	 •		o	,	se	dibuja	una	línea	
sólida	como	frontera.
En el paso 3, estamos decidiendo cuál de los semiplanos contiene los puntos que 
satisfacen la desigualdad dada.
EJEMPLO  1 Grafica la desigualdad 
Solución  Primero, grafica la ecuación Como la desigualdad origi-
nal contiene un signo menor que, <, utilizamos una línea punteada al trazar la gráfica 
(ver Figura 3.71). La línea punteada indica que los puntos de esta línea no son so-
luciones de la desigualdad Selecciona un punto que no esté en la línea 
y determina si éste satisface la desigualdad. Con frecuencia, el punto más sencillo de 
utilizar es el origen (0, 0).
Punto	de	comprobación	(0,	0)
 
 0  3 Falso
�4
�5
�3
�2
�1
3
4
5
2
1
7654321�2�3 �1
y
x
FiGura	 3.71
 0 6
?
0 - 3
0 6
? 2
3
 102 - 3
y 6
2
3
 x - 3
y 6
2
3
 x - 3.
y =
2
3
x - 3.
y 6
2
3
x - 3.
204	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
y 6
2
3
 x - 3 y 6
2
3
 x - 3 y 6
2
3
 x - 3
0 6
? 2
3
 162 - 3 -3 6
? 2
3
 132 - 3 -4 6
? 2
3
 102 - 3
0 6
?
4 - 3 -3 6
?
2 - 3 -4 6
?
0 - 3
 3102 - 2102 6
?
-6
 3x - 2y 6 -6
y Ú -  
1
2
 x.
 1 Ú -  
3
2
1 Ú
?
-  
1
2
 132
y Ú -  
1
2
 x
y = -  
1
2
 x.
y Ú -  
1
2
 x.
�4
�5
�3
�2
�1
3
4
5
2
1
7654321�2�3 �1
y
x
A
C
B
(0, 0)
FiGura	 3.72
Punto	A Punto	B Punto	C
(6, 0) (3, 3) (0, 4)
0  1 Verdadero 3  1 Verdadero 4  3 Verdadero
Resuelve ahora el ejercicio 9
EJEMPLO  2  Grafica la desigualdad 
Solución  Primero, grafica la ecuación Como la desigualdad original con-
tiene , utilizamos una línea sólida que indica que los puntos de esta línea son soluciones 
de la desigualdad (ver Figura 3.73). Como el punto (0, 0) está sobre la línea, no podemos 
seleccionar este punto para comprobar la solución. De forma arbitraria elegimos (3, 1).
Punto	de	comprobación	(3,	1)
 
 
 Verdadero
Como el punto (3, 1) satisface la desigualdad, todo punto en el mismo semipla-
no como (3, 1) también satisfará la desigualdad Sombrea esta región del 
semiplano como se indica. Todo punto que se encuentre en la región sombreada, así 
como todo punto sobre la recta, satisface la desigualdad.
Resuelve ahora el ejercicio 19
EJEMPLO  3  Grafica la desigualdad 3x  2y  6.
Solución  Primero, grafica la ecuación 3x  2y  6. Como la desigualdad original 
contiene , utilizamos una línea punteada (ver Figura 3.74). Al sustituir el punto de 
comprobación (0, 0) en la desigualdad, obtenemos una proposición falsa. 
Punto	de	comprobación	(0,	0)
 0  6 Falso
Por lo tanto, la solución es el semiplano que no contiene el origen.
Resuelve ahora el ejercicio 17
y
x
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
5432�3�4�5 �2�1
(3, 1)
FiGura	 3.73
Como 0 no es menor que 3, el punto (0, 0) no satisface la desigualdad. La solución 
serán todos los puntos del semiplano que no contiene el punto (0, 0). Sombrea esta 
región del semiplano (ver Figura 3.72). Cada punto que esté en el área sombreada 
satisface la desigualdad dada. Verifiquemos con algunos puntos A, B y C.
�4
�5
�3
�2
�1
5
4
3
1
5431 2�3�4�5 �2�1
y
x
(0, 0)
FiGura	 3.74
	 Sección	3.7	Graficar	desigualdades	lineales	 205
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Graficaremos la desigualdad 3x  2y  6 como lo hicimos en el ejemplo 3. Primero, despejando y de la desigualdad, tenemos 
 Comenzamos introduciendo la ecuación de la frontera En la Figura 3.75a se muestra la pantalla de la 
calculadora TI-84 Plus.
Observa que el símbolo de la izquierda de Y1 indica que la región sombreada pasará por encima de la frontera establecida por 
la desigualdad al usar el símbolo . Para obtener este símbolo, utiliza la tecla de flecha izquierda hasta que el cursor esté en esta 
posición de la pantalla. Entonces presiona la tecla hasta que el símbolo aparezca. Después presiona la tecla , 
en la pantalla se mostrará la gráfica de la Figura 3.75b. Compara la Figura 3.75b y la Figura 3.74. Solo ten cuidado: observa que 
la pantalla no muestra la frontera con una línea punteada.
(a) (b)
FiGura	 3.75­
y =
3
2
 x + 3.y 7
3
2
 x + 3.
 GRAPH  ENTER 
x Ú 4x 7 1
y 6 xy 6 -2y Ú -  
3
2
 xy 6
2
3
 x
y 6
1
2
 xy Ú -  
1
2
 x-x - 2y 7 410 Ú 5x - 2y
3x - 4y … 122x + y 6 4y …
2
3
 x + 3y … -3x + 5
2x - 3y Ú 122x + 3y 7 6y 6 3x + 2y Ú
1
2
 x - 3
y … -x + 4y 7 2x - 1y Ú 3x - 1y 6 2x + 1
CONJUNTO DE EJERCICIOS 3.7 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
sólida punto de comprobación de frontera punteada semiplano
 1. Cuando se grafica una desigualdad, la línea 
divide el plano en dos semiplanos.
 2. Si la desigualdad lineal contiene < o >, se dibuja una línea 
 de frontera.
 3. Si se grafica una desigualdad que contiene  o , se dibuja 
una línea de frontera.
 4. Para determinar cuál semiplano sombrear, se escoge un 
 que no esté en la línea de frontera.
Practica tus habilidades
Grafica cada desigualdad.
 5. 6. 7. 8. 
 9. 10. 11. 12. 
 13. 14. 15. 16. 
 17. 18. 19. 20. 
 21. 22. 23. 24. 
 25. 26. 
206	 Capítulo	3	 	 Gráficas	y		funciones
y 6 x2 - 4y Ú x2y 6 ƒx ƒ
x = 80,C = x + Z 
s1n
,
9 -
5x
3
= -6.
 27. Carreras de autos de colección Patrick Cunningham lleva a 
algunos amigos y sus familias a las carreras de autos de co-
lección. Los boletos cuestan $8 para los niños y $15 para los 
adultos, pero Patrick solo tiene $175. x es el número de bo-
letos de niño comprados y y el número de boletos de adulto 
comprados.
 a) Escribe una desigualdad lineal donde el costo de los bo-
letos sea menor o igual que $175.
 b) ¿Patrick tiene suficiente dinero para comprar boletos 
para 8 niños y 6 adultos?
 c) ¿Patrick tiene suficiente dinero para comprar boletos 
para 10 niños y 6 adultos?
 28. Carga en una canoa John y Robyn Paerse utilizan una canoa 
para transportar botellones de agua y cajas con alimentos a 
víctimas de las inundaciones. Su canoa tiene un peso máxi-
mo de carga de 800 libras. John pesa 175 libras y Robyn 145 
libras. Cada botellón de agua pesa 8.5 libras y cada caja con 
alimentos, 12 libras. Sea x el número de botellones de agua 
y y el número de cajas con alimentos.
 a) Escribe una desigualdad lineal donde el peso total en la 
canoa, incluyendo a John y Robyn, sea menor o igual que 
800 libras.
 b) Contando a John y Robyn en la canoa, ¿podrán llevar 20 
botellones de agua y 20 cajas con alimento sin exceder el 
límite de carga?
 c) Contando a John y Robyn en la canoa, ¿podrán llevar 25 
botellones de agua y 25 cajas con alimento sin exceder el 
límite de carga? 
 29. a) Grafica ƒ(x)  2x  4.
 b) En la gráfica, sombrea la región limitada por ƒ(x), x  2, 
x  4 y el eje x.
 30. a) Grafica g(x)  x  4.
 b) En la gráfica, sombrea la región limitada por g(x), x  1 
y los ejes x y y.
Ejercicios de conceptos y escritura
 31. Cuando se grafica una desigualdad que contiene  o , 
¿por qué los puntos en la línea no son solución de la des-
igualdad?
 32. Cuando se grafica una desigualdad que contiene  o , ¿por 
qué los puntos en la línea sí son solución de la desigualdad?
 33. Al graficar una desigualdad lineal, ¿cuándo no puede utili-
zarse el punto (0, 0) como punto de comprobación?
 34. Cuando se grafica una desigualdad lineal con la forma 
y  ax  b, donde a y b son números reales, ¿la solución 
estará siempre sobre la linea? Explica.
Problemas de desafío
Grafica cada desigualdad.
 35. 36. 37. 
Ejercicios de repaso acumulados
[2.1] 38. Resuelve la ecuación 
[2.2] 39. Si encuentra C cuando Z = 1.96,
 σ = 3 y n = 25.
[2.3] 40. Ofertas musicales Una tienda de discos está a punto 
de cerrar sus puertas para siempre. La primera se-
mana, el precio de todos los artículos se ha reducido 
10%; la segunda semana se da un descuento adicional 
de $2. Si durante la segunda semana Bob Frieble 
 compra un CD por $12.15, determina el precio origi-
nal del CD.
[3.2] 41. ƒ(x) = x2  5; encuentra ƒ(3)[3.3]	 42. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto 
(8, 2) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 
2x  y  4.
[3.4]	 43. Determina la pendiente de la recta que pasa por 
(2, 7) y (2, 1).
©
 P
et
er
 A
lb
re
kt
se
n\
Sh
ut
te
rs
to
ck