Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-45

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Sección	4.1	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	dos	variables	 223
En el ejemplo 6, podríamos haber eliminado primero la variable y multiplicando (ec. 1) 
por 3 y entonces sumar.
Algunas veces ambas ecuaciones se deben multiplicar por diferentes números para 
que una de las variables sea eliminada. Este procedimiento es ilustrado en el ejemplo 7.
EJEMPLO 7 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de 
suma.
4x  3y  7 (ec. 1)
 3x  7y  3 (ec. 2)
Solución Podemos eliminar la variable x multiplicando (ec. 1) por 3 y (ec. 2) por 4.
 12x  9y  21 (ec. 1) Multiplicada por 3
 12x  28y  12 (ec. 2) Multiplicada por 4
 Suma de ecuaciones
Podemos encontrar x sustituyendo en y en una de las ecuaciones originales y des-
pejar x. Un método más sencillo para despejar x es regresar a las ecuaciones origina-
les y eliminar la variable y multiplicando (ec. 1) por 7 y (ec. 2) por 3.
 28x  21y  49 (ec. 1) Multiplicada por 7
 9x  21y  9 (ec. 2) Multiplicada por 3
 Suma de ecuaciones
La solución es 
Resuelve ahora el ejercicio 67
En el ejemplo 7, la misma solución pudo obtenerse multiplicando la (ec. 1) por 3 y a la 
(ec. 2) por 4 y entonces sumar. Inténtalo ahora y observa.
EJEMPLO  8  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de suma.
 2x  y  11 (ec. 1)
 (ec. 2)
Solución Cuando un sistema de ecuaciones contiene una ecuación con fracciones, 
casi siempre lo mejor es eliminar las fracciones de la ecuación. En la (ec. 2), si multipli-
camos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, 18, obtenemos
 x  3y  18 (ec. 3)
Ahora, el sistema es
2x  y  11 (ec. 1) 
x  3y  18 (ec. 3) 
Éste es el mismo sistema de ecuaciones resuelto en el ejemplo 6. Por lo que la solu-
ción de este sistema es (3, 5), el mismo obtenido en el ejemplo 6.
Resuelve ahora el ejercicio 51
Comprendiendo 
el álgebra
	 •	 Si	una	ecuación	contiene	
fracciones,	quita	las		
fracciones	multiplicando		
ambos	lados	de	la	ecua-	
ción	por	el	MCD	de	las	
fracciones.
	 •	 Si	una	ecuación	contiene	
números	decimales,	quita	
el	número	decimal	mul-
tiplicando	ambos	lados	
de	la	ecuación	por	un	
número	de	base	10.
-37y = -33
y =
33
37
37x = 40
x =
40
37
 
33
37
 18 a 1
18
 xb + 18 a1
6
 yb = 18 112
 18 a 1
18
 x +
1
6
 yb = 18 112
1
18
 x +
1
6
 y = 1 
a40
37
,
33
37
b .
224	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
EJEMPLO  9  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de 
suma.
 0.2x  0.1y  1.1 (ec. 1)
 x  3y  18 (ec. 2)
Solución Cuando un sistema de ecuaciones contiene una ecuación con números 
decimales, casi siempre lo mejor es quitar, o eliminar, los números decimales de la 
ecuación. En (ec. 1), si multiplicamos ambos lados de la ecuación por 10, obtenemos
 10 (0.2x)  10 (0.1y)  10 (1.1) 
 2x  y  11 (ec. 3) 
Ahora el sistema es
 2x  y  11 (ec. 3) 
 x  3y  18 (ec. 2) 
Éste es el mismo sistema de ecuaciones que resolvimos en el ejemplo 6. Por lo tanto, 
la solución de este sistema es (3, 5), la misma que obtuvimos en el ejemplo 6.
Resuelve ahora el ejercicio 69
EJEMPLO  10  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de 
suma.
 x  3y  4 (ec. 1) 
 2x  6y  1 (ec. 2) 
Solución Comenzamos multiplicando (ec. 1) por 2.
 2x  6y  8 (ec. 1) Multiplicado por 2
 2x  6y  1 (ec. 2)
 0  9 Falso
Ya que 0  9 es una proposición falsa, este sistema no tiene solución. El sistema es 
inconsistente y las gráficas de estas ecuaciones son líneas paralelas.
Resuelve ahora el ejercicio 59
EJEMPLO  11  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de 
suma.
 y  2x  4
Solución Primero, reescribe cada ecuación en la forma estándar.
 (ec. 1)
(ec. 2) 
Ahora procede como en los ejemplos anteriores.
 2x  y  4 (ec. 1) Multiplicado por 2
 2x  y  4 (ec. 2)
 0  0 Verdadero
Como 0 = 0 es una proposición verdadera, el sistema es dependiente y tiene un número 
infinito de soluciones. Ambas ecuaciones representan la misma recta. Observa que si 
multiplicas ambos lados de la (ec. 1) por 2 obtienes a la (ec. 2).
Resuelve ahora el ejercicio 63
Hemos ilustrado tres métodos que se pueden utilizar para resolver un sistema de ecua-
ciones lineales: graficación, sustitución y el método de suma. Cuando necesitas una solución 
exacta, graficar pudiera no ser la mejor opción. De los dos métodos algebraicos, el método 
de suma puede ser el más fácil de usar si no hay coeficientes numéricos de 1 en el sistema.
Comprendiendo 
el álgebra
Si	cuando	se	resuelve	un	
sistema	de	ecuaciones	por	
cualquiera	de	los	métodos	de	
sustitución	o	suma,	obtienes	
una	ecuación	que	es	siempre
	 •	 falso,	como	5		6	o	
0		9,	el	sistema	es	
inconsistente	y	no	tiene	
solución.
	 •	 verdadero,	como	6		6	
o	0		0,	el	sistema	es	
dependiente	y	tiene	un	
número	infinito	de	solu-
ciones.
-2x + y = -4 
x -
1
2
 y = 2 
x -
1
2
 y = 2
	 Sección	4.1	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	dos	variables	 225
1
2
-6x + 3y + 12z = -4
2x - 2y + 6z = 11
4x + y - 3z = 1
3x + 3y + 4z = 5
2x - y + 2z = 8
x + 2y - z = -5
5x - 35 = 15y
y =
x
3
-
7
3
 2x - 3y = 12
x
3
+
y
4
= 1
 4x + 3y = 12
x
3
+
y
4
= 1
 2x - y = 7
x -
1
2
 y = 4
3y + 12 = -6x
x + y = -2
3x - y = -5
x + y = 1
3y = 12x + 9
y = 4x - 1
y = -3x - 12
y = 2x + 8
y = x + 5
y = -x + 3
y =
2
5
 x - 2
2x - 5y = 10
x = 2
5x + 3y = 13
x + 2y = 4
y = -2x - 1
4x = -6y + 12
2x + 3y = 6
y = 2x - 1
y = 2x + 4
y =
3
4
 x - 3
4x + 3y = 30
0.25x + 0.45y = 7.50
x + y = 25
2x - 2y = -4
3x - 3y = 9
6x - 9y = 12
2x = 3y + 4
3x - 2y = -  
5
2
y =
3
2
 x +
1
2
y = 2x - 2
y = -5x + 5
x - 3y = 16
 4x - y = 9
2y = 4x - 6
x -
1
2
 y = -2
 3y = 4x - 18
y = -  
1
3
 x - 1
1
4
 x - 2y = -6
x - y = 3
CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.1 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
solución única dependiente consistente inconsistente líneas que intersectan tríada ordenada
una variable dos variables líneas paralelas la misma línea par ordenado
 1. El objetivo del método de suma es obtener una ecuación 
que solamente contenga .
 2. Para un sistema con tres ecuaciones y tres variables, la solu-
ción tiene una .
 3. Un sistema de ecuaciones que contiene un número infinito 
de soluciones es un sistema .
 4. Un sistema de ecuaciones que no tiene solución es un siste-
ma .
 5. Un sistema de ecuaciones que tiene al menos una solución 
es un sistema .
 6. La de un sistema de dos ecuaciones li-
neales está localizada en el punto de intersección de las grá-
ficas de las ecuaciones.
 7. Las líneas que representan las ecuaciones en un sistema in-
consistente de ecuaciones lineales son .
 8. Las líneas que representan las ecuaciones en un sistema de-
pendiente de ecuaciones lineales son .
 9. Para un sistema lineal consistente con dos ecuaciones y dos 
variables, la solución es un .
 10. Las líneas que representan las ecuaciones en un sistema 
consistente de ecuaciones lineales son .
Practica tus habilidades
Determina cuáles de los siguientes pares o tríadas ordenados satisfacen el sistema de ecuaciones lineales.
 14. 
 
 a) (1, 2)
 b) (7, 0) 
 15. 
 
 
 a) (3, 1, 2)
 b) (1, 2, 2)
 16. 
 
 
 a) (2, 1, 2)
 b) f , 2, 1p
Escribe las ecuaciones en la forma pendiente-intersección. Sin graficar las ecuaciones, indica si el sistema de ecuaciones es consistente, incon-
sistente o dependiente. Además indica si el sistema tiene exactamente una solución, no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones.
 17. 
 
 18. 
 
 19. 
 
 20. 
 
 
Determina gráficamente la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones. Indica si el sistema es inconsistente o dependiente.
 25. 
 
 26. 
 
 27. 
 
 
 28. 
 
 29. 
 
 
 30. 
 
 31. 
 
 32. 
 
 11. 
 
 a) (0, 4)
 b) (3, 10) 
 12. 
 
 a) (6, 2) b)(4, 0) 
 13. 
 
 a) (5, 20)
 b) (18.75, 6.25) 
 21. 
 
 22. 
 
 23. 
 
 33. 
 
 34. 
 
 35. 
 
 36. 
 
 24. 
 
226	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
Resolución de problemas
Encuentra la solución por sustitución de los siguientes sistemas de ecuaciones.
 37. 
 
 38. 
 
 39. 
 
 40. 
 
 41. 
 
 42. 
 
 43. 
 
 44. 
 
 49. 
 
 50. 
 
 51. 
 
 52. 
 
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de suma.
 53. 
 
 54. 
 
 55. 
 
 56. 
 
 57. 
 
 58. 
 
 59. 
 
 60. 
 
 61. 
 
 62. 
 
 63. 
 
 64. 
 
 65. 
 
 66. 
 
 67. 
 
 68. 
 
 69. 
 
 70. 
 
 74. 
 
 75. 
 
 76. 
 
 77. Salarios En enero de 2010, Mary Bennett comenzó un nue-
vo trabajo con un salario anual de $38,000. Su jefe acordó au-
mentar su salario $1000 cada enero en los próximos años. Su 
salario está determinado por la ecuación y  30,000  1000t,
donde t es el número de años desde 2010 (ver la línea azul os-
curo en la gráfica).También en enero de 2010, Wynn Nguyen 
comenzó un nuevo trabajo con un salario anual de $45,500. 
Su jefe acordó aumentar su salario $500 cada enero en los 
próximos años. Su salario está determinado por la ecuación 
y  45,500  500t, donde t es el número de años desde 2010 
(ver la línea azul claro en la gráfica). Resuelve el sistema de 
ecuaciones para determinar el año en el que ambos salarios 
serán iguales. ¿Cuál será el salario en ese año?
 
SalariesSalarios
Sa
la
ri
os
 (
dó
la
re
s)
20122010 2014 2016 2018 2020
Año
y
52,000
50,000
48,000
46,000
44,000
42,000
40,000
38,000
36,000
 71. 
 
 72. 
 
 73. 
 
 45. 
 
 46. 
 
 47. 
 
 48. 
 
x = y
y = 3x - 16
y = x
x = 2y + 3
y = 2x + 6
3x - 2y = -7
y = -2x + 2
x - 3y = 1
10x - y = 1
x = 0.5y + 1.7
3x - 2y = 0.1
5x + 6y = 6.7
m +
1
2
 n = 4
m + 2n = 4
2a - b = 3
a + 3b = 5
1
5
 x +
1
8
 y = 1
1
2
 x +
1
3
 y = 3
1
4
 x +
2
3
 y = 6
1
2
 x -
1
3
 y = 2
s =
1
2
 t
6s + 3t = 4
x -
3
5
 y = -2
5x - 4y = -7
5x + 3y = -10
4x - 3y = 1
x - 2y = 6
-x + y = 4
x - y = 3
x + y = 7
2r + s = 6
4r - 3s = 2
-5m + n = -3
10m - 2n = 6
-4x + 10y = -1
2x - 5y = 6
2p + 5q = 7
7p - 3q = 4
3v - 6w = 1
2v - 3w = 8
-4c + 10d = 6
2c - 5d = 1
-5x + 3y = 7
2x - 7y = 3
a = 2b + 3
5a - 10b = 15
t = s + 1
5s - 3t = 7
2x = 5y - 3
3x - 4y = 5
2x = -5y - 1
5x + 4y = 6
3x + y = 6
2x - y = 8
0.60x + 0.25y = -1.1
0.15x - 0.40y = 0.65
-0.3x + 0.4y = -0.1
0.2x - 0.5y = -0.4
2x - 3y = 4
4x + 5y = 3
x - 3y =
1
3
2
3
 x - 4 =
1
2
 y
3x = 4y
1
3
 x = 4 -
1
4
 y
2
3
 x - y =
8
3
1
5
 x +
1
2
 y = 4
-1.5m - 0.3n = -6.0
2.1m - 0.6n = 8.4
-0.40x - 0.625y = -0.675
-0.25x + 0.10y = 1.05
1
4
 x -
1
9
 y =
2
3
1
2
 x -
1
3
 y = 1
b = 2a - 4
a -
1
2
 b = 2
y = -  
1
3
 x -
2
3
x + 3y = -2
y =
5
2
 x + 1
5x - 2y = -7
2x - 3y = 5
y =
2
3
 x - 1
	 Sección	4.1	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	dos	variables	 227
 78. Alquiler de camiones Hope Duncan planea mudarse y ne-
cesita rentar un camión de 24 pies por un día. Budget cobra 
$50 más 79 centavos por milla. Ryder cobra $40 más 99 cen-
tavos por milla. El costo de cada compañía se representa en 
el siguiente sistema de ecuaciones donde x es el número de 
millas conducidas y y, el costo total por la renta del camión 
por un día.
y  50  0.79x
y  40  0.99x
 Resuelve el sistema de ecuaciones para determinar el núme-
ro de millas para las que el costo de ambas compañías sea el 
mismo. ¿Cuál será el costo?
Ejercicios de conceptos y escritura
 85. Explica cómo puedes determinar, sin graficar o resolver, si 
un sistema de dos ecuaciones lineales es consistente, incon-
sistente o dependiente.
 86. ¿Cuál es el objetivo del proceso de resolver un sistema de ecua-
ciones lineales usando el método de suma (o eliminación)?
 87. Cuando resuelves un sistema lineal por suma, ¿cómo puedes 
decir si el sistema es dependiente?
 88. Cuando resuelves un sistema lineal por suma, ¿cómo puedes 
decir si el sistema es inconsistente?
 89. Explica cómo puedes decir que el siguiente sistema es de-
pendiente solo por observación.
 2x  3y  1
 4x  6y  2
 90. Explica cómo puedes decir que el siguiente sistema es in-
consistente solo por observación.
 x  3y  5
 2x  6y  13
 91. a) Escribe un sistema de ecuaciones que sería más fácil de 
resolver por sustitución.
 b) Explica por qué el método de sustitución sería el más fá-
cil de usar.
 c) Resuelve el sistema por sustitución.
 92. a) Escribe un sistema de ecuaciones que sería más fácil de 
resolver por el método de suma.
 b) Explica por qué el método de suma sería el más fácil de 
usar.
 c) Resuelve el sistema usando el método de suma.
 93. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales incluyen 
(4, 3) y (6, 11).
 a) ¿Cuántas otras soluciones tiene el sistema? Explica.
 b) Determina la pendiente de la recta que contiene (4, 3) y 
(6, 11). Determina la ecuación de la recta que contiene 
estos puntos. Luego determina la intersección con el eje y.
 c) ¿Esta recta representa una función?
 94. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales incluyen 
(5, 1) y (5, 4).
 a) ¿Cuántas otras soluciones tiene el sistema? Explica.
 b) Determina la pendiente de la recta que contiene (5, 1) 
y (5, 4). Determina la ecuación de la recta que con-
tiene estos puntos. ¿Esta gráfica tiene intersección con el 
eje y? Explica.
 c) ¿Esta recta representa una función?
 95. Construye un sistema de ecuaciones que sea dependiente. 
Explica cómo creaste tu sistema.
 96. Construye un sistema de ecuaciones que sea inconsistente. 
Explica cómo creaste tu sistema.
 97. Supón que graficas un sistema de dos ecuaciones lineales en 
tu calculadora graficadora, pero solo se muestra una recta 
en la pantalla. ¿Cuáles son las dos posibles explicaciones 
para esto?
 98. Supón que graficas un sistema de dos ecuaciones lineales en 
tu calculadora graficadora y obtienes lo siguiente.
 
 a) Observando la pantalla, ¿puedes asegurar que el sistema 
es inconsistente? Explica.
 b) ¿Qué puedes hacer en tu calculadora graficadora para 
determinar si el sistema es inconsistente?
En los ejercicios 79 y 80, a) crea un sistema de ecuaciones lineales que tenga la solución indicada, y b) explica cómo determinaste tu solución.
 79. (2, 5) 
 80. (3, 4) .
 81. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es (2, 3). 
Encuentra A y B.
 Ax  4y  8 
 3x  By  21 
 82. La solución del siguiente sistema de ecuaciones es (5, 3). 
Encuentra A y B.
3x  Ay  3 
 Bx  2y  16 
 83. Si (2, 6) y (1, 6) son dos soluciones de f(x)  mx  b, 
encuentra m y b.
 84. Si (3, 5) y (2, 10) son dos soluciones de f(x)  mx  b, 
encuentra m y b.
©
 R
on
 C
ha
pp
ie
 S
to
ck
/G
lo
wi
m
ag
es
228	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
x + 2
2
-
y + 4
3
= 4
x + y
2
=
1
2
+
x - y
3
1
4
 x -
1
2
 y = 6x + 12
5x
2
+ 3y =
9
2
+ y
3
a
= 3 # 1
a
= 3u2.u =
1
a
,
1
a
+
6
b
= 2
3
a
+
4
b
= -1
3
x
-
2
y
= -3
6
x
+
1
y
= -1
-ax + y = 4
 4ax + 3y = 19 ax = 2 - by
-ax + 2by - 1 = 0
ƒx - 6 ƒ = ƒ6 - x ƒ .
1
2
 1x - 72 =
3
4
 12x + 12.
1f>g2132.
g1x2 = x2 - 9.f1x2 = x + 3
A = pa1 +
r
n
b
nt
,
 99.
 
 100. 
 
Resuelve cada sistema de ecuaciones. (Pista: Si entonces 
 101. 
 
 102. 
 
Resolviendo para x y y, determina la solución de cada sistema de ecuaciones. En todas las ecuaciones a  0 y b  0. La solución contendrá 
a, b, o ambas.
 103. 
 
 104. 
Actividad de grupo
Discute y responde el ejercicio 105 en grupo.
 105. Tendencias En la siguiente gráfica, la línea azul claro in-
dica la tendencia a largo plazo en las muertes por arma de 
fuego, y la línea azul oscuro indica la tendencia a largo pla-
zo en las muertes por accidentes de vehículosde motor. Las 
líneas negras indican las tendencias a corto plazo en muer-
tes por arma de fuego y accidentes de vehículos de motor.
 
Tendencias de mortalidad
0
5
10
15
20
25
30
20102000199019801970
M
ue
rt
es
 a
nu
al
es
(p
or
 1
00
,0
00
 p
er
so
na
s)
Año
Arma de fuego
Vehículos de motor
Fuente: Scientific American
 a) Discutan la tendencia a largo plazo en las muertes por 
vehículos de motor.
 b) Discutan la tendencia a largo plazo en las muertes por 
arma de fuego.
 c) Discutan la tendencia a corto plazo en las muertes por 
vehículos de motor comparada con la tendencia a largo 
plazo en las muertes por vehículos de motor.
 d) Discutan la tendencia a corto plazo en las muertes por 
armas de fuego comparada con la tendencia a largo pla-
zo en las muertes por armas de fuego.
 e) Usando las tendencias a largo plazo, estimen cuándo el 
número de muertes por armas de fuego será igual al nú-
mero de muertes por accidentes automovilísticos.
 f) Repitan el inciso e) usando las tendencias a corto plazo.
 g) Determinen una función, M(t), que pueda ser usada 
para estimar el número de muertes por cada 100,000 
personas (a largo plazo) por vehículos de motor de 1965 
a 2010.
 h) Determinen una función, F(t), que pueda ser usada para 
estimar el número de muertes por cada 100,000 perso-
nas (a largo plazo) por armas de fuego de 1965 a 2010.
 i) Resuelvan el sistema de ecuaciones formado por los in-
cisos g) y h). ¿La solución coincide con la solución del 
inciso e)? Si no es así, expliquen por qué.
Ejercicios de repaso acumulados
[1.2] 106. Explica la diferencia entre un número racional y un 
 número irracional.
[1.2]	 107. a) ¿Todos los números racionales son números reales?
 b) ¿Todos los números irracionales son números reales?
[2.1] 108. Resuelve la ecuación 
[2.2] 109. Encuentra todos los números que cumplan con
[2.2] 110. Evalúa cuando p  500, r  0.04, 
n  2, y t  1.
[3.5] 111. ¿La siguiente relación es una función? Explica tu res-
puesta {(3, 4), (7, 2), (4, 5), (5, 0), (3, 1)}.
[3.6] 112. Sea y Encuentra 
Problemas de desafío
Resuelve cada sistema de ecuaciones.