Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-46

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Sección	4.2	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	tres	variables	 229
4.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales 
con tres variables
	 1 	 Solución	de	sistemas	de	
ecuaciones	lineales	con	
tres	variables.
	 2 	 Aprende	la	interpretación	
geométrica	de	un	sistema	
de	ecuaciones	con	tres	
variables.
	 3 	 Reconocer	sistemas	
inconsistentes	y	depen-	
dientes.
	1 	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	tres	variables
La ecuación 2x  3y  4z  8 es un ejemplo de una ecuación lineal con tres variables. La 
solución de una ecuación lineal con tres variables es una tríada ordenada de la forma 
(x, y, z). Una solución de la ecuación dada es (1, 2, 3). Comprueba ahora para verificar 
que (1, 2, 3) es la solución de la ecuación.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables, podemos usar cual-
quiera de los métodos de sustitución o suma, ambos analizados en la sección 4.1.
EJEMPLO  1  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución.
 x  3
 3x + 4y  7
 2x  3y  5z  19
Solución Ya que sabemos que x  3, sustituimos x por 3 en la ecuación 
3x  4y  7 y despejamos y.
 3x  4y  7
 3(3)  4y  7
 9  4y  7
 4y  16
 y  4
Ahora sustituimos x  3 y y  4 en la última ecuación y despejamos z.
 2x  3y  5z  19
 2(3)  3(4)  5z  19
 6  12  5z  19
 6  5z  19
 5z  25
 z  5
Verifica	 x  3, y  4, z  5. La solución debe comprobarse en las tres ecuaciones 
originales.
 x  3 3x  4y  7 2x  3y  5z  19
 3  3 Verdadero 
 7  7 Verdadero 19  19 Verdadero
La solución es la tríada ordenada (3, 4, 5). Recuerda que una tríada ordenada en-
lista el valor de x primero, el valor de y segundo y el valor de z tercero. 
Resuelve ahora el ejercicio 5
No todos los sistemas de ecuaciones lineales de tres variables pueden ser resuel-
tos fácilmente por sustitución. Podemos también encontrar la solución por el método de 
suma, como se ilustra en el ejemplo 2.
EJEMPLO 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de suma.
 3x  2y  z  4 (ec. 1)
 2x  3y  2z  7 (ec. 2)
 x  4y  z  10 (ec. 3)
-21-32 - 3142 + 5152 19 31-32 + 4142 7
230	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	resolvemos	un	sis-
tema	de	ecuaciones	con	tres	
variables	usando	el	método	
de	suma,	nuestro	primer	paso	
es	escribir	dos	nuevas	ecuacio-
nes	en	donde	haya	las	mismas	
dos	variables.	Hacemos	esto	
eliminando	una	de	las	tres	
variables.	Podemos	resolver	
entonces	este	nuevo	sistema	
de	la	misma	forma	en	la	que	
resolvimos	los	sistemas	en	la	
sección	4.1.
Ahora, usa (ec. 1) y (ec. 2) para eliminar z y llama a esta nueva ecuación (ec. 5). 
Observa que si multiplicamos (ec. 1) por 2 y después sumamos (ec. 1) y (ec. 2), se 
podría eliminar z en (ec. 5).
 
(ec. 1) Multiplicado por 2
(ec. 2)
Suma de ecuaciones, (ec. 5)
Tenemos ahora un sistema de dos ecuaciones con dos variables, (ec. 4), y (ec. 5). 
Podemos resolver este sistema usando el método de suma.
 (ec. 4)
 (ec. 5)
 Suma de ecuaciones
 
Posteriormente sustituimos y  1 en cualquiera de las dos ecuaciones que contienen 
solo dos variables [(ec. 4) o (ec. 5)] y despejamos x.
 (ec. 4)
 Sustituye y por 1 en (ec. 4)
 
 
 
Por último, sustituimos x  2 y y  1 en cualquiera de las ecuaciones originales y 
despejamos z.
 (ec. 1).
 Sustituye x por 2 y y por 1 en (ec. 1).
 
 
 
La solución es la tríada ordenada (2, 1, 4). Comprueba esta solución en las tres 
ecuaciones originales.
Resuelve ahora el ejercicio 17  
EJEMPLO  3  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
 (ec. 1)
 (ec. 2)
 (ec. 3)
Solución Nuestro primer paso es usar el método de suma para escribir dos nue-
vas ecuaciones donde cada una tenga las mismas dos variables. Hacemos esto para 
eliminar una de las tres variables x, y o z. Aquí eliminaremos la variable z. Usa 
(ec. 1) y (ec. 3) para eliminar z y llama a esta nueva ecuación (ec. 4).
 
(ec. 1)
(ec. 3)
Suma de ecuaciones, (ec. 4)
-6x - 4y - 2z = -8
 2x - 3y + 2z = -7
-4x - 7y = -15
 
 x - 5z = -11
 x + 2y = 14
 2x - 3y + 2z = -1
 z = -4
 8 + z = 4
 6 + 2 + z = 4
 3122 + 2112 + z = 4
 3x + 2y + z = 4 
 x = 2
 4x = 8
 4x + 6 = 14
 4x + 6112 = 14
 4x + 6y = 14 
 y = 1
 -y = -1
 -4x - 7y = -15
 4x + 6y = 14
3x + 2y + z = 4
 x + 4y - z = 10
4x + 6y = 14
 
	 Sección	4.2	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	tres	variables	 231
4x - 6y + 4z = -2
3x + 6y = 42
7x + 4z =   40
 
7x + 4z = 40
-7x + 35z = 77
39z = 117
z = 3
 
x - 5z = -11 
 7x + 4z = 04 
 -11 = -11 14 = 14 -1 = -1
 4 - 15 -11 4 + 10 14 8 - 15 + 6 -1
 4 - 5132 -11 4 + 2152 14142 - 3152 + 2132 -1
 x - 5z = -11 x + 2y = 14 2x - 3y + 2z = -1
 y = 5
 2y = 10
 4 + 2y = 14
 x + 2y = 14 
 x = 4
 x - 15 = -11
 x - 5132 = -11
 x - 5z = -11 
Comprendiendo 
el álgebra
En	un	sistema	de	ecuaciones	
lineales	con	tres	variables,	
cada	ecuación	es	representada	
por	un	plano	en	un	sistema	de	
coordenadas	tridimensional.	
Una	solución	para	el	sistema	
es	la	tríada	ordenada	(x,	y,	z),	
que	está	representada	por	un	
punto	en	la	intersección	de	
los	tres	planos.
Solución La tercera ecuación solo tiene las variables x y z. Por lo tanto, usa el méto-
do de suma para escribir una nueva ecuación que también solo tenga las variables x y z. 
Usamos (ec. 1) y (ec. 2). Multiplicaremos (ec. 1) por 2 y (ec. 2) por 3, así podemos eliminar 
la variable y cuando sumemos las ecuaciones. Llamaremos a esta nueva ecuación (ec. 4).
 (ec. 1) Multiplicado por 2
 (ec. 2) Multiplicado por 3
 Suma de ecuaciones, (ec. 4)
Tenemos ahora dos ecuaciones que contienen solo las variables x y z.
 (ec. 4)
 (ec. 3)
Eliminemos ahora la variable x.
 (ec. 4)
 (ec. 3) Multiplicada por 7
 Suma de ecuaciones
Ahora despejamos x usando una de las ecuaciones que contienen solo las variables 
x y z. Sustituimos z por 3 en (ec. 3).
 (ec. 3)
 Sustituye z por 3 en (ec. 3).
 
 
Al final, despejamos y usando cualquiera de las ecuaciones originales que contenga y.
 (ec. 2)
 Sustituye x por 4 en (ec. 2).
 
 
La solución es la tríada ordenada (4, 5, 3).
Verifica (ec.	1)	 (ec.	2)	 (ec.	3)
 
 
 
 
 Verdadero Verdadero Verdadero
Resuelve ahora el ejercicio 13
	2 	Aprende	la	interpretación	geométrica	de	un	sistema	
de	ecuaciones	lineales	con	tres	variables
La solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables ocurre en el punto de 
intersección de dos rectas que representan las ecuaciones en el sistema. Las rectas son di-
bujadas en el sistema de coordenadas cartesianas de dos dimensiones.
La solución a un sistema de ecuaciones lineales con tres variables ocurre en el punto 
de intersección de tres planos que representan las ecuaciones en el sistema. (Ver ejercicio 
47 de la página 235). Los planos están dibujados en un sistema de coordenadas tridimensio-
nal en donde el eje x, el eje y y el eje z son todos perpendiculares entre sí (ver Figura 4.5).
En el ejemplo 3, la solución al sistema fue la tríada ordenada (4, 5, 3). El punto re-
presentado por esta tríada ordenada se muestra en la Figura 4.5. Graficar los planos en el 
sistema de coordenadas tridimensional va más allá del alcance de este libro.
x
z
y
(4, 5, 3)
4 5
3
FiguRa	 4.5
232	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
-3y + 2z = 0
 3y - 2z = 0
0 = 0
 
1ec . 42
1ec . 52
 
x - y + z = 1
-x + 4y - 3z = -1
3y - 2z = 0
 
1ec . 12
1ec . 32
 
-x + y - z = -1
x + 2y - z = 1
3y - 2z = 0
 
1ec . 12
1ec . 22
 
 x - 4y + 3z = 1 1ec . 32
 x + 2y - z = 1 1ec . 22
 x - y + z = 1 1ec . 12
-6x + 10y + 2z = -6
 6x - 10y - 2z = 1
0 = -5
 
1ec . 12
1ec . 22
 
 7x - 4y + 11z = -6 1ec . 3
 6x - 10y - 2z = 1 1ec . 22
2
 -3x + 5y + z = -3 1ec . 12
	3 	Reconocer	sistemas	inconsistentes	y	dependientes
Recuerda que un sistema inconsistente de ecuaciones es aquel que no tiene solución. Si, mientras 
resuelves un sistema de ecuaciones lineales con tres variables,obtienes una proposición que es 
siempre falsa, como 3  0, el sistema es inconsistente y no tiene solución. En dicho sistema, al 
menos dos de los planos que representan las ecuaciones son paralelos y, por lo tanto, un solo 
punto de intersección de los tres planos no existe. (Ver ejercicios 45 y 46 de la página 234).
Recuerda que un sistema dependiente de ecuaciones es aquel que tiene un número infi-
nito de soluciones. Si mientras resuelves un sistema de ecuaciones lineales de tres variables 
obtienes una proposición que siempre es verdadera, como 0 = 0, el sistema es dependiente y 
tiene un número infinito de soluciones. En dicho sistema, cada uno de los planos que repre-
sentan las ecuaciones se encontrarán en el mismo plano, es decir, los tres planos intersectan 
la recta. (Ver ejercicio 48 de la página 235).
EJEMPLO  4  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
Solución Comenzaremos eliminando la variable x de (ec. 1) y (ec. 2).
 
Multiplicada por 2
 Falso
Ya que obtuvimos una proposición falsa, 0  5, este sistema es inconsistente y no 
tiene solución.
Resuelve ahora el ejercicio 33
EJEMPLO  5  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
Solución Comenzaremos eliminando la variable x de (ec. 1) y (ec. 2) y después 
de (ec. 1) y (ec. 3).
 
Multiplicada por 1
 Suma de ecuaciones, (ec. 4)
 Multiplicada por 1
 Suma de ecuaciones, (ec. 5)
Ahora eliminamos la variable y usando (ec. 4) y (ec. 5).
 
Multiplicada por 1 
 Verdadero
Ya que obtuvimos una proposición verdadera, 0  0, este sistema es dependiente y 
tiene un número infinito de soluciones.
Recuerda de la sección 4.1 que los sistemas de ecuaciones que son dependien-
tes son además consistentes, ya que tienen solución.
Resuelve ahora el ejercicio 35
	 Sección	4.2	Solución	de	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	tres	variables	 233
3
4
 x -
5
8
 y + z =
1
2
,
2z = -6
3x - 4y + 5z = -1
5x - 6z = -17
z = 3
2y - z = -1
-x + 3y - 5z = -7
3x + 2y - 2z = 4
2x - y = 4
x = 2
2x + y + z = 2
x + y + 2z = -2
2y + 4z = 2
-2x + 2y - 5z = 2
y - 4z = 2
x - y + 2z = 1
2x - 4y + z = -1
3x + 2y = 5
x - 2y = -1
-s + 6u = -2
2t - 2u = 2
3s + 5t = -12
6p + 7r = 4
4q - r = 6
3p + 2q = 11
2x - 3z = 1
3x - 4z = -3
2x + y - 8 = 0
2a - 2b - c = 3
a - 2b + 2c = 2
3a - 3b + 4c = -1
2r - s - 2t = 1
2r + 3s - t = -3
r - 2s + t = 2
x + y + 2z = -1
x - 3y - 4z = 2
2x - y - 2z = 3
3x - y + 2z = 0
-2x + 4y - z = 0
-x + 3y + z = 0
x + y + 6z = -2
2x - 3y + 2z = 5
x - 2y + 2z = 3
5a - 2b - 3c = 5
3a + 4b + c = -4
2a + 2b - c = 2
2x - 3y + 4z = 8
-3y = -9
2x - 5y = 12
x + 2z = 12
3y = 9
x + 2y = 6
4z = 2
3x - 2z = 6
x - y + 5z = -4
2p - q - 2r = -1
p - 2q - r = 1
p + q + r = 4
-4x + 3y + 2z = -14
2x - y - z = 7
x - 2y + 3z = -7
4x - y - 3z = 0
2x + y - 2z = -1
2x - 2y + 3z = 5
Consejo útil
Si una ecuación en un sistema de ecuaciones contiene fracciones, se deben eliminar las frac-
ciones multiplicando cada término de la ecuación por el mínimo común múltiplo. Después 
continúa resolviendo el sistema de ecuaciones. Por ejemplo, si una ecuación en el sistema es 
 debes multiplicar ambos lados de la ecuación por 8 para obtener la ecua-
ción equivalente, 6x  5y  8z  4.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.2 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
par ordenado tríada ordenada plano recta dependiente inconsistente
 5. 
 
 
 6. 
 
 
 7. 
 
 
Resuelve utilizando el método de suma.
 11. 
 
 
 12. 
 
 
 13. 
 
 
 14. 
 
 
 15. 
 
 
 16. 
 
 
 20. 
 
 
 21. 
 
 
 22. 
 
 
 1. La solución de un sistema de ecuaciones de tres variables es 
un/una .
 2. Una ecuación lineal de tres variables se representa por un/
una en un sistema de coordenadas tridi-
mensional.
 3. Si al resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres va-
riables obtienes una afirmación que es siempre falsa, el sis-
tema es y no tiene solución.
 4. Si al resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres va-
riables obtienes una afirmación que es siempre verdadera, 
el sistema es y tiene un número infinito 
de soluciones.
Practica tus habilidades
Resuelve por sustitución.
 23. 
 
 
 24. 
 
 
 25. 
 
 
 8. 
 
 
 9. 
 
 
 10. 
 
 
 17. 
 
 
 18. 
 
 
 19. 
 
 
234	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
-x + y + z = 0
-x - y + z = 0
x + y + z = 0
1
2
 x -
1
2
 y +
1
4
 z = 1
1
2
 x +
1
3
 y -
1
4
 z = 2
-  
1
4
 x +
1
2
 y -
1
2
 z = -2
1
4
 x -
1
4
 y +
1
4
 z =
3
2
1
2
 x + y + z =
5
2
2
3
 x + y -
1
3
 z =
1
3
-  
1
4
 x + y -
1
4
 z =
3
4
2
3
 x + y -
2
3
 z =
1
3
x -
2
3
 y -
2
3
 z = -2
-  
1
4
 x +
1
3
 y -
1
2
 z = -  
5
6
1
3
 x +
1
4
 y + z =
17
6
1
8
 x +
1
4
 y + z = 2
-0.1x - 0.1y + 0.3z = 0.4
0.4x - 0.2y + 0.1z = 0.4
0.2x + 0.3y + 0.3z = 1.1
2x - y + z = 5
-3x + y = -9
2x - 2y + 4z = 2
-3x - 9y - 6z = -7
x - 2y - z = 8
x + 3y + 2z = 6
-7a - 4b + c = 7
-10a + 8b - 4c = -10
5a - 4b + 2c = 5
-0.2x - 0.1y - 0.3z = -1.2
-0.1x - 0.2y + 0.3z = 0.9
0.6x - 0.4y + 0.2z = 2.2
3x - y + z = 2
x - 2y - z = 0
2x + y + 2z = 1
3p + 4q + 5r = 8
-p + 2q - 3r = -3
2p - 4q + 6r = 5
2x - 10y - 7z = 5
-3x + 12y + 9z = 3
x - 4y - 3z = -1
Ejercicios de conceptos y escritura
Una ecuación con tres variables representa un plano. Considera un sistema de ecuaciones que consista en tres ecuaciones con tres varia-
bles. Responde las siguientes preguntas.
 45. Si los tres planos son paralelos entre sí como se ilustra en 
la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común estos tres pla-
nos? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Justifica tu 
respuesta.
I
II
III
 46. Si dos de los planos son paralelos entre sí y el tercer plano 
intersecta los otros dos planos, ¿cuántos puntos tendrán en 
común estos tres planos? ¿El sistema es consistente o incon-
sistente? Justifica tu respuesta.
I
II
III
Resolución de problemas
 26. 
 
 
 27. 
 
 
 28. 
 
 
 29. 
 
 
 30. 
 
 
 31. 
 
 
Determina si los siguientes sistemas son inconsistentes, dependientes o ninguno de ellos.
 36. 
 
 
 37. 
 
 
 38. 
 
 
 32. 
 
 
 39. Tres soluciones para la ecuación Ax  By  Cz  1 son 
(1, 2, 1), (1, 1, 2), y (1, 2, 2). Determina los valores de 
A, B y C y escribe la ecuación usando los valores numéricos 
encontrados.
 40. Tres soluciones para la ecuación Ax  By  Cz  14 son 
(3, 1, 2), (2, 2, 1), y (5, 3, 24). Encuentra los valores 
de A, B y C y escribe la ecuación usando los valores numé-
ricos encontrados.
En los ejercicios 41 y 42, escribe un sistema de ecuaciones lineales con tres variables que tenga la solución dada.
 41. (3, 1, 6) 42. (2, 5, 3)
 33. 
 
 
 34. 
 
 
 35. 
 
 
 43. a) Encuentra los valores de a, b y c de tal manera que los 
puntos (1, 1), (1, -5), y (3, 11) se encuentren en la grá-
fica de y  ax2  bx  c.
 b) Encuentra la ecuación cuadrática cuya gráfica pase a tra-
vés de los tres puntos indicados. Explica cómo determi-
naste tu respuesta.
 44. a) Encuentra los valores de a, b y c de tal manera que los 
puntos (1, 7), (2, 5), y (3, 5) se encuentren en la gráfi-
ca de y  ax2  bx  c.
 b) Encuentra la ecuación cuadrática cuya gráfica pase a tra-
vés de los tres puntos indicados. Explica cómo determi-
naste tu respuesta.