Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-51

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250	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
Por lo general, al cambiar un elemento de la matriz aumentada por un 1, utilizamos 
el procedimiento 1 de las transformaciones de fila, y al cambiar un elemento por un 0, 
utilizamos el procedimiento 2 de las transformaciones de fila. Se trabaja por columnas, 
comenzando por la izquierda. Inicia con la primera columna, primera fila.
EJEMPLO  1  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando matrices.
2x  4y  2
3x  2y  5
Solución Primero escribimos la matriz aumentada.
Nuestro objetivo es obtener una matriz de la forma B1 a
0 1
`
p
q
R . Comenzamos utili-
zando el procedimiento 1 de las transformaciones de fila para cambiar el 2 en la pri-
mera columna y la primera fila por 1. Para hacerlo, multiplicamos la primera fila de 
números por Abreviamos esta multiplicación como y lo colocamos a la dere-
cha de la matriz en la misma fila en que se realizó la operación. 
 
 
 o
Procedimientos para la transformación de filas
 1. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cualquier 
número real diferente de cero (esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de una 
ecuación por un número real diferente de cero).
 2. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por cualquier número real diferen-
te de cero. Estos productos pueden entonces sumarse a los números correspondientes 
en cualquier otra fila (esto es equivalente a eliminar una variable del sistema de ecua-
ciones utilizando el método de suma).
 3. El orden de las filas de una matriz puede intercambiarse (esto es lo mismo que inter-
cambiar el orden de las ecuaciones en un sistema de ecuaciones).
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	se	trabaja	con	una	
matriz	aumentada
	 •	 para	obtener	1,	se	usa	el	
primer	paso	del	pro-
cedimiento	de	transfor-
mación	de	filas.
	 •	 para	obtener	0,	se	usa	el	
segundo	paso	del	pro-
cedimiento	de	transfor-
mación	de	filas.
	2 	Resolver	sistemas	de	ecuaciones	lineales
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante matrices, reescribimos la 
matriz aumentada en forma escalonada por filas (o triangular):
B1 a
0 1
`
p
q
R
donde a, p y q representan constantes. A partir de este tipo de matriz aumentada podemos 
escribir un sistema de ecuaciones equivalente. Esta matriz representa el sistema lineal
 1x  ay  p x  ay  p 
 0x  1y  q 
o
 y  q 
Por ejemplo, 
representa x  2y  4
 y  5
Observa que el sistema anterior, en el lado derecho, puede resolverse fácilmente por sus-
titución. Su solución es (6, 5).
Utilizamos transformaciones de fila para reescribir la matriz aumentada en forma 
escalonada por filas. Utilizaremos tres procedimientos de transformación de fila. En una 
transformación de fila se pueden realizar operaciones equivalentes como lo hemos reali-
zado en los sistemas de ecuaciones.
B1 2
3 -2
` -1
5
R
1
2
R1J a1
2
b2 a1
2
b4
 3 -2
  
3 a
1
2
b1-22
5 K
1
2
R1
1
2
.
B2 4
3 -2
` -2
5
R
B1 2
0 1
` 4
5
R 
	 Sección	4.4	Resolución	de	sistemas	de	ecuaciones		mediante	el	uso	de	matrices	 251
El paso siguiente es obtener 0 en la primera columna, segunda fila, donde por el 
momento se encuentra un 3. Para hacerlo, multiplicamos los elementos de la primera 
fila por 3 y sumamos los productos a los números de la segunda fila. Abreviamos la 
transformación de fila como 3R1  R2. 
Los elementos de la primera fila multiplicados por 3 son:
 3(1) 3(2) 3(1)
 o
 3 6 3
Ahora sumamos estos productos a sus números respectivos de la segunda fila, se obtiene
 
 o
El paso siguiente es obtener 1 en la segunda columna, segunda fila, donde por el 
momento se encuentra un 8. Para hacerlo, multiplicamos los elementos de la se-
gunda fila por 
 
o
B1 2
0 1
`
�1
�1
R
Ahora la matriz se encuentra en la forma escalonada por filas y el sistema de ecua-
ciones equivalente es 
 x  2y  1
 y  1
Ahora podemos obtener el valor de x utilizando el método de sustitución.
 x  2y  1
 x  2(1) 1
 x  2  1
 x  1
Una verificación mostrará que la solución del sistema original es (1, 1).
Resuelve ahora el ejercicio 19
	3 	Resolver	sistemas	de	ecuaciones	lineales	con	tres	variables
Ahora utilizaremos las matrices para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con 
tres variables. Utilizamos el mismo procedimiento de transformación de fila que se empleó 
para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones. Nuestro objetivo es obtener una matriz 
aumentada en la forma escalonada por filas
C
1 a b
0 1 c
0 0 1
 3 
p
q
r
S
donde a, b, c, p, q y r representan números. Esta matriz representa el siguiente siste-
ma de ecuaciones.
1x  ay  bz  p x  ay  bz  p
0x  1y  cz  q o y  cz  q
0x  0y  1z  r z  r
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	reescribas	una	matriz	
aumentada	en	la	forma	esca-
lonada	por	filas,	trabaja	por	
columnas,	desde	la	columna	
del	extremo	izquierdo	hasta	
la	columna	del	extremo	de-
recho.	Siempre	termina	una	
columna	antes	de	pasar	a	la	
siguiente.	En	cada	columna,	
obtén	primero	el	1	en	la	posi-
ción	indicada	y	después	obtén	
los	ceros.
-
1
8
 R2J 1 2
3
-1
a -
1
8
b0 a -
1
8
b1-82 a -
1
8
b8 K
-
1
8
.
B1 2
0 -8
` -1
8
R
-3R1 + R2
B 1 2
-3 + 3 -6 + 1-22 `
-1
3 + 5
R
252	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
C
1 -2 3
0 1 5
0 3 -7
3
-7
-15
21
S Intercambia R2 y R3.
a
1
0
C
1 -2 3
0 3 -7
0 1 5
3
-7
21
-15
S 
1R1 + R3
C
1 -2 3
0 3 -7
-1 3 2
3
-7
21
-8
S -2R1 + R2
1
0
0
.
C
1 -2 3
2 -1 -1
-1 3 2
3
-7
7
-8
S
a -  
25
53
, -  
130
53
, -  
206
53
b .
1 -3 1
4 -1 -5
-5 2 -4
3
3
20
13
S
C
C
1 -3 1
4 2 -5
-5 -1 -4
3
3
20
13
S
x - 3y + z = 3
4x + 2y - 5z = 20
-5x - y - 4z = 13
Consejo útil 
Consejo de estudio
Al usar matrices ten cuidado de mantener todos los números alineados de forma ordenada, 
en filas y columnas. Un pequeño error al copiar números de una matriz a otra conducirá a un 
intento incorrecto de resolver un sistema de ecuaciones.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones cuando se representa de manera 
correcta con la matriz aumentada, , lleva a la solución (1, 2, 4).
Sin embargo, una matriz que parece muy similar, , conduce a la tríada 
ordenada incorrecta 
EJEMPLO  2  Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando matrices.
x  2y  3z  7 
2x  y  z  7 
x  3y  2z  8 
Solución Primero escribe la matriz aumentada.
El siguiente paso es utilizar las transformaciones de fila para cambiar la primera co-
lumna a Como el número de la primera columna, primera fila ya es 1, trabajare-
mos con el 2 de la primera columna, segunda fila. Multiplicamos los números respec-
tivos de la primera fila por 2 y sumamos los productos a los números respectivos de 
la segunda fila, con lo que cambiarás el 2 por 0. Ahora la matriz es
Continuamos hacia abajo en la primera columna y cambiamos el 1 de la tercera fila 
por un 0. Multiplicamos los números de la primera fila por 1 y sumamos los produc-
tos a la tercera fila para obtener
Ahora trabajamos con la segunda columna. Queremos cambiar los números de la 
segunda columna a la forma donde a representa un número. Como hay un 1 en la 
tercera fila y segunda columna y queremos un 1 en la segunda fila, intercambiamos 
las filas dos y tres de la matriz. Esto da
	 Sección	4.4	Resolución	de	sistemas	de	ecuaciones		mediante	el	uso	de	matrices	 253
B1 2
0 0
` 5
3
R
-  
1
22
b
c
1
C0 1 5
0 0 -22
3 -15
1 2 3 -- 7
66
S 
-3R2 + R3
Continuamos hacia abajo en la segunda columna; ahora cambiamos el 3 de la tercera 
fila por un 0, multiplicando los números de la segunda fila por 3 y sumando los 
productos a la tercera fila. Esto produce
Ahora trabajamos con la tercera columna. Deseamos cambiar los números de la 
tercera columna a la forma donde b y c representan números. Multiplicamos los 
números de la tercera fila por para remplazar 22 con 1.
- 1
22
C
1 �2 �7
�15
�3
3
0 1 5
0 0 1
3 S
R3
Ahora la matriz tiene la forma escalonadapor filas. De esta matriz obtenemos el 
sistema de ecuaciones 
 x  2y  3z  7 
 y  5z  15
 z  3
La tercera ecuación nos da el valor de z en la solución. Ahora podemos resolver el 
valor para y sustituyendo z por 3 en la segunda ecuación.
 y  5z  15
 y  5(3)  15
 y  15  15
 y  0
Ahora obtenemos el valor para x sustituyendo y por 0 y z por 3 en la primera 
ecuación.
 x  2y  3z  7
 x  2(0)  3(3)  7
 x  0  9  7
 x  9  7
 x  2
La solución es (2, 0, 3). Ahora, verifica esto mediante la sustitución de los valores 
apropiados en cada una de las ecuaciones originales.
Resuelve ahora el ejercicio 33
	4 	Reconocer	sistemas	inconsistentes	y	sistemas	dependientes
Cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones, si se obtiene una matriz aumentada en 
la que toda una fila de números en el lado izquierdo de la línea vertical contiene ceros, 
pero no aparece un cero en la misma fila del lado derecho de la línea vertical, el sistema 
es inconsistente y no tiene solución. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que genera la 
siguiente matriz aumentada es un sistema inconsistente.
 
— Sistema inconsistente
La segunda fila de la matriz representa la ecuación
 0x  0y  3
la cual nunca es verdadera.
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando	trabajemos	con	ma-
trices	aumentadas	para	resol-
ver	un	sistema	de	ecuaciones	
lineales	y	obtenemos
	 •	 Ceros	en	la	fila	del	lado	
izquierdo	de	la	línea	verti-
cal	y	un	número	distinto	
de	cero	a	la	derecha	de	la	
barra	vertical,	el	sistema	
es	inconsistente	y	no	
tiene	solución.
	 •	 Ceros	en	toda	la	fila,	el	
sistema	es	dependiente	y	
tiene	un	número	infinito	
de	soluciones.
254	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
C
1 3 -1
0 0 0
0 5 6
3
2
0
-4
S
C
1 3 7
0 0 0
0 1 -2
3
5
-1
3
S
B1 -3
0 0
` -4
0
R
B -2 7
0 0
` 1
6
R , J1 4 6
3
1
0 1 3 -2
0 0 1 7
K
J 2 4 0
-1 1 5
 3 6 -2 K
B -2 7
0 0
` 1
0
R ,
C
4 7 2
3 2 1
1 1 3
3
-1
-5
-8
S
B1 8
0 4
` 3
-3
R
B7 -14
3 -7
` -35
-4
R
Si obtienes una matriz en la cual aparecen ceros en toda una fila, el sistema de ecua-
ciones es dependiente. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que produce la siguiente 
matriz aumentada es un sistema dependiente.
 — Sistema dependiente
La segunda fila de la matriz representa la ecuación
0x  0y  0 
la cual siempre es verdadera.
Reglas similares aplican para los sistemas con tres ecuaciones.
 — Sistema inconsistente
 — Sistema dependiente
CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.4 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
transformaciones de fila matriz aumentada matriz cuadrada dimensiones inconsistente elementos
escalonada funciones forma rectangular transformaciones de columna dependiente
 1. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando ma-
trices, usamos para volver a escribir la 
matriz aumentada en la forma escalonada.
 2. Los números dentro de la matriz se llaman .
 3. El número de filas por el número de columnas se refiere a 
las/los de una matriz.
 4. Cuando una matriz consta de dos matrices más pequeñas 
separadas por una línea vertical se llama .
 5. Si produces la matriz mientras resuelves un 
sistema de ecuaciones usando una matriz aumentada, pue-
des concluir (asumiendo que todos tus cálculos son correc-
tos) que el sistema es y no tiene solución.
 6. Si produces la matriz mientras resuelves un sis-
tema de ecuaciones usando una matriz aumentada, puedes 
concluir (asumiendo que todos tus cálculos son correctos) 
que el sistema es y tiene un número infi-
nito de soluciones.
 7. La matriz es un ejemplo de una 
.
 8. La matriz aumentada está en la forma 
.
Practica tus habilidades
Realiza cada transformación de fila indicada y escribe la nueva matriz.
 9. Multiplica los números en la primera fila por 
1
7
.
10. Multiplica los números en la segunda fila por 
1
4
.
11. Intercambia la fila 1 y la fila 3.
	 Sección	4.4	Resolución	de	sistemas	de	ecuaciones		mediante	el	uso	de	matrices	 255
 12. Intercambia la fila 2 y la fila 3.
 13. Multiplica los números en la primera fila por 4 y suma los productos a la segunda fila.
 14. Multiplica los números en la primera fila por y suma los productos a la segunda fila.
 15. Multiplica los números en la primera fila por 5 y suma los productos a la segunda fila.
 16. Multiplica los números en la tercera fila por 
Resuelve cada sistema usando matrices.
 
17.
 
19.
 
 18. 
 
 26. 
 
28.
 
27.
 
 
23.
 
25.
 
 24.
 
 20. 
 
 
22.
 
 21.
 
 
29.
 
 31. 
 
 
30.
 
32.
 
 
36.
 
38.
 
37.
 
 33. 
 
 
 
35.
 
34.
 
Resuelve cada sistema usando matrices.
 
45.
 
46.
 
 42. 
 
 
 44. 
 
 
 
43.
 
 
39.
 
41.
 
 40. 
 
 
1
3
.C
1 2 -1
0 1 5
0 0 3
3
6
0
12
S
D
 
 
1 0 8
5 2 2
6 -3 1
4
1
4
-2
0
T
-  
1
2
C
1 5
1
2
10
3
6
 
 
-4 S
B 1 3
-4 11
` 12
-6
R
C
1 5 7
0 8 -1
0 1 3
3
2
-6
-4
S
x + 3y = 3
-x + y = -3
x + 3y = -2
-2x - 7y = 32x + 5y = 9
x - 2y = 0
-2r + s = -7
4r + 2s = -10 8x = 4y + 12
-2x + y = -3
-3x + 6y = 5
2x - 4y = 7
2x - 5y = -6
-4x + 10y = 12
12x + 2y = 2
6x - 3y = -11
-2m - 4n = 7
3m + 6n = -8
3x - 5y = -1
2x + 4y = -8 3s - 2t = 1
-2s + 4t = -6
5a - 10b = -10
2a + b = 1
12x - 8y = 6
-3x + 4y = -1 16n = -15m - 2
 10m = 8n + 152x - 3y = 3
-5x + 9y = -7
8x = 9y + 4
16x - 27y = 11
3a - 5c = 3
a + 2b = -6
7b - 4c = 5
3x + 5y + 2z = 3
-x - y - z = -2
2x - 2y + 5z = 11
x - 2y + 4z = 5
-3x + 4y - 2z = -8
4x + 5y - 4z = -3
2x + 2y - 3z = 6
3x - y + z = 1
x + 2y - 4z = 5 x + 2y = 5
y - z = -1
2x - 3z = 0
a - 3b + 4c = 7
4a + b + c = -2
-2a - 3b + 5c = 12
5x - 3y + 4z = 22
-x - 15y + 10z = -15
-3x + 9y - 12z = -6
9x - 4y + 5z = -2
-9x + 5y - 10z = -1
9x + 3y + 10z = 1
2r - 5s - 8t = -23
4r + 2s - 2t = -3
-4r + 3s - 6t = 14
-6x + 4y - 8z = 2
5x + 2y - 4z = 9
3x - 2y + 4z = -12x - 4y + 3z = -12
3x - y + 2z = -3
-4x + 8y - 6z = 10
2x - 5y + z = 1
3x - 5y + z = 3
-4x + 10y - 2z = -2
4p - q + r = 4
-6p + 3q - 2r = -5
2p + 5q - r = 77x + 8y + 9z = 0
4x + 5y + 6z = -3
x + 2y + 3z = 1
256	 Capítulo	4	 	 Sistemas	de	ecuaciones	y	desigualdades
Resolución de problemas
Resuelve usando matrices.
 47. Ángulos en un tejado En una sección transversal triangular 
de un tejado, el ángulo mayor es 55° más grande que el án-
gulo más pequeño. El ángulo mayor es 20° más grande que 
el ángulo faltante. Encuentra la magnitud de cada ángulo.
x
y
z
 48. Ángulo recto Un ángulo recto está dividido en tres ángu-
los más pequeños. El mayor de los tres ángulos es dos veces 
el más pequeño. El ángulo restante es 10° más grande que el 
ángulo más pequeño. Encuentra la magnitud de cada ángulo.
x
y
z
 49. Franquicias deportivas más valiosas A partir de 2008, las 
tres franquicias más valiosas de la National Football League 
están en Washington, D.C., Dallas y Houston, respectiva-
mente. El valor total de las tres franquicias es de $2928 mi-
llones. La franquicia de Washington vale $177 millones más 
que la franquicia de Dallas. La franquicia de Houston vale 
$18 millones menos que la franquicia de Dallas. Determina 
el valor de cada franquicia.
 Fuente: www.espn.com
 50. Colección de autógrafos de jugadores de béisbol Alex 
Runde tiene una gran colección de autógrafos de béisbol de 
jugadores de los Tampa Bay Rays, los Milwaukee Brewers 
y los Colorado Rockies. El número total de autógrafos de 
jugadores de los tres equipos es 42. El número de autógrafos 
de los Rays es 5 más que el doble del número de autógrafos de 
los Rockies. El número de autógrafos de los Brewers es 8 
menos que el número de autógrafos de los Rays. Determina 
el número de autógrafos que Alex tiene de los jugadores de 
cada equipo.
Ejercicios de conceptos y escritura
 51. Cuando resuelves un sistema de ecuaciones lineales por ma-
trices, si dos filas son idénticas, ¿el sistema seráconsistente, 
dependiente o inconsistente?
 52. Cuando resuelves un sistema de ecuaciones usando matri-
ces, ¿cómo puedes saber si el sistema es
 a) dependiente?
 b) inconsistente?
 53. Cuando resuelves un sistema de ecuaciones lineales por ma-
trices, si dos filas de la matriz se intercambian, ¿la solución 
del sistema cambiará? Explica.
 54. Tú puedes decir si un sistema de dos ecuaciones con dos 
incógnitas es consistente, dependiente o inconsistente com-
parando las pendientes y las intersecciones con el eje de las 
y de las gráficas de las ecuaciones. ¿Puedes decir, sin resol-
ver, si un sistema de tres ecuaciones con tres variables es 
consistente, dependiente o inconsistente? Explica.
Ejercicios de repaso acumulados
[1.2]	 55. A  {1,2,4,6,9}; B  {3,4,5,6,10}.	Determina
 a) A  B;
 b) A  B; 
[2.5]	 56. Expresa la desigualdad 1  x  4
 a) en una recta numérica.
 b) como un conjunto solución.
 c) en notación de intervalo.
[3.2]	 57. ¿Qué representa una gráfica?
[3.4]	 58. Si ƒ(x)  2x2  3x  6, determina ƒ(5).
	
©
 D
en
ni
s C
. R
un
de