Algebra-Intermedia-Octava1-páginas-54

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Sección	5.1	 	 Suma	y	resta	de	polinomios	 285
CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.1 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
principal polinomio grado trinomio términos 5 monomio factores binomio 7 1 0
 1. Las partes que se suman o se restan en un polinomio se lla-
man .
 2. La suma de los exponentes de las variables de un término se 
conoce como el del término.
 3. El grado de 7x3y2 es .
 4. El grado de 6x es .
 5. En un polinomio, el término de mayor grado se llama el tér-
mino .
 6. Un polinomio con un solo término es un .
 7. Un polinomio con dos términos es un .
 8. Un polinomio con tres términos en un .
Practica tus habilidades
Determina si cada expresión es un polinomio. Si el polinomio tiene un nombre en específico, por ejemplo, “monomio” o “binomio”, 
escribe el nombre. Si la expresión no es un polinomio, explica por qué no lo es.
 9. 4 10. 5z3 11. 7z
12. 5x2  6x  9 13. 4x1 14. 8x2  4x  9y2
15. 3x1/2  2xy 16. 10xy  5y2
Escribe cada polinomio en orden descendente de la variable x. Si el polinomio ya se encuentra en orden descendente, indícalo. Escribe el 
grado de cada polinomio.
 17. 5  2x  x2 18.	 3x  9  8x2
 19. 9y2  3xy  10x2 20.	 2  x  7x2  4x3
 21. 2x4  5x2  4 22. 15xy2  3x2y  9  2x3
Escribe a) el grado de cada polinomio y b) su coeficiente principal.
 23. x4  3x6  2x  13 24. 17x4  13x5  x7  4x3
 25. 4x2y3  6xy4  9xy5 26. a4b3c2  9a8b9c4  8a7c20
 27. -
1
3
m4n5p8 +
3
5
m3p6 -
5
9
n4p6q 28. 0.6x2y3z2  2.9xyz9  1.7x8y4
Evalúa cada función polinomial en el valor dado.
 29. Determina P(2) si P(x) 5 x2  6x  3. 30. Determina P(1) si P(x) 5 4x2  6x  21.
 31. Determina P b
1
2
m si P(x) 5 2x2  3x  6. 32. Determina P b
1
3
m si P(x) =
1
2
x3 - x2 + 6..
 33. Determina P(0.4) si P(x) 5 0.2x3  1.6x2  2.3. 34. Determina P(1.2) si P(x) 5 1.6x3  4.6x2  0.1x.
En los ejercicios 35-56, simplifica.
 35. (x2  3x  1)  (6x  5) 36. (5b2  8b  7)  (2b2  3b  15)
 37. (x2  8x  11)  (5x  9) 38. (2x  13)  (3x2  4x  26)
 39. (4y2  9y  1)  (2y2  10) 40. (5n2  7)  (9n2  8n  12)
 41. b -
5
9
a + 6m + b -
2
3
a2 -
1
4
a - 1m 42. (6y2  9y  14)  (2y2  y  8)
 43. (1.4x2  1.6x  8.3)  (4.9x2  3.7x  11.3) 44. (12.4x2y  6.2xy  9.3y2)  (5.3x2y  1.6xy  10.4y2)
 45. b -
1
3
x3 +
1
4
x2y + 8xy 2m + b -x3 -
1
2
x2y + xy 2m 46. b -
3
5
xy 2 +
5
8
m - b -
1
2
xy 2 +
3
5
m
 47. (3a  6b  5c)  (2a  4b  8c) 48. (9r  7s  t)  (2r  6s  3t)
 49. (3a2b  6ab  5b2)  (4ab  6b2  5a2b) 50. (3x2  5y2  2xy)  (4x2  8y2  9xy)
 51. (8r2  5t2  2rt)  (6rt  2t2  r2) 52. (a2  b2  5ab)  (3b2  2ab  a2)
 53. 6x2  5x  [3x  (4x2  9)] 54. 3xy2  2x  [(4xy2  3x)  5xy]
 55. 5w  6w2  [(3w  2w2)  (4w  w2)] 56. [(5r2  3r)  (2r  3r2)  2r2]
286	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
 77. Área El área de un cuadrado es una función de su lado, s, 
donde A(s) 5 s2. Determina el área de un cuadrado si su lado 
mide 12 metros.
 78. Volumen El volumen de un cubo es una función de su lado, 
s, donde V(s) 5 s3. Determina el volumen de un cubo si su 
lado mide 7 centímetros.
 79. Área El área de un círculo es una función de su radio, don-
de A(r) 5 pr2. Determina el área de un círculo si su radio 
mide 6 pulgadas. Usa la tecla   �   en tu calculadora.
 80. Volumen El volumen de una esfera es una función de su 
radio, donde V(r) =
4
3
 �r3. Determina el volumen de una 
esfera cuando su radio mide 4 pulgadas.
 57. Resta (4x  11) de (7x  8). 58. Resta (x2  3x  5) de (4x2  6x  2).
59. Suma 2x2  4x  12 y x2  2x. 60. Resta (5x2  6) de (2x2  9x  8).
 61. Resta 0.2a2  3.9a  26.4 de 5.2a2  9.6a. 62. Suma 6x2  12xy y 2x2  4xy  3y.
 63. Resta c 5x2
 y +
5
9
m de c -
1
2
 x2y + xy 2 +
3
5
m . 64. Resta (6x2y  7xy) de (2x2y  12xy).
Simplifica. Considera que todos los exponentes representan números naturales.
 65. (3x2r  7xr  1)  (2x2r  3xr  2) 66. (8x2r  5xr  4)  (6x2r  xr  3)
 67. (x2s  8xs  6)  (2x2s  4xs  13) 68. (5a2m  6am  4)  (2a2m  7)
 69. (7b4n  5b2n  1)  (3b3n  b2n) 70. (3r3a  ra  6)  (2r3a  8r2a  6)
Resolución de problemas
Perímetro En los ejercicios 71 - 76, determina una expresión para el perímetro de cada figura. Ver ejemplo 9.
 81. Altura Cuando se lanza un objeto desde el edificio Empire 
State (1250 pies de altura), la altura del objeto, h, en pies, 
desde el suelo al tiempo, t, en segundos, después de que se 
lanzó se puede determinar por
h 5 P(t) 5 16t2  1250
 Determina la altura, desde el suelo, a la cual se encuentra un 
objeto 6 segundos después de que se lanzó.
 82. Concurso de deletreo El número de formas en que los ga-
nadores del primero, segundo y tercer lugares, en un concur-
so de deletreo, pueden ser seleccionados de n participantes 
está dado por P(n) 5 n3  3n2  2n. Si hay siete participan-
tes, ¿de cuántas formas pueden ser seleccionados el primero, 
el segundo y tercer lugares?
83. Comités El número de comités diferentes de 2 estudiantes, 
donde los 2 estudiantes son seleccionados de una clase de n 
estudiantes, está dado por c(n) =
1
2
 (n2 - n). Si una clase de 
biología tiene 15 estudiantes, ¿cuántos diferentes comités de 2 
estudiantes pueden ser seleccionados?
84. Comités El número de diferentes comités de 3 estudiantes, 
donde los 3 estudiantes son seleccionados de una clase de n 
estudiantes, está dado por c(n) =
1
6
  n3 -
1
2
  n2 +
1
3
  n. Si una 
clase de arte tiene 10 estudiantes, ¿cuántos diferentes comi-
tés de 3 estudiantes pueden ser seleccionados?
 
©
 K
iri
ll 
R/
Sh
ut
te
rs
to
ck
.27.17
73. 74.
.67.57 x2 2x 4
Pentágono
regular
(todos sus lados
tienen el
mismo largo)
x2 8
x2 3x 1
4x 15x 1 Trapecio
x2 3
x2 x 6
7x 11
8x 7 CuadriláteroTriángulo
x2 3x 1 x2 2x 5
x2 x 13
Rectángulo 3x 8
x2 x 7
Cuadrado
x2 2x 6
En los ejercicios 77 - 86, si es necesario, redondea tus respuestas a centésimas.
	 Sección	5.1	 	 Suma	y	resta	de	polinomios	 287
85. Cuenta de ahorros El 2 de enero de 2010, Jorge Sánchez de-
positó $650 en una cuenta que paga un interés simple a una 
tasa de $24 al año. El monto en la cuenta es una función del 
tiempo dado por A(t) 5 650  24t, donde t es el número de 
años después de 2010. Determina el monto en la cuenta en a) 
2011. b) 2025.
86. Financiamiento Frank Gunther acaba de comprar un Ford 
Edge nuevo. Después de realizar el pago inicial, el monto 
que se financiará es $28,250. Usando un préstamo de 0% (o 
libre de interés), el pago mensual es $387.50. El monto que 
sigue debiéndose del carro es una función del tiempo dado 
por A(t) 5 $28,250  $387.50t, donde t es el número de me-
ses después de que Frank comprara el automóvil. ¿Cuánto se 
debe todavía a) 2 meses, b) 15 meses después de que Frank 
comprara el automóvil?
Utilidad La utilidad de una compañía se determina restando el costo de su ingreso. En los ejercicios 87 a 88 R(x) representa el ingre-
so de la compañía cuando vende x productos y C(x) representa el costo de la compañía cuando produce x productos. a) Determina 
una función de utilidad P(x). b) Evalúa P(x) cuando x 5 100.
Ver ejercicio 86. 
©
 W
iki
pe
di
a, 
Th
e 
Fr
ee
 E
nc
yc
lo
pe
di
a 
 
87. R(x) 5 2x2  60x,
 C(x) 5 8050  420x
88. R(x) 5 5.5x2  80.3x
 C(x) 5 1.2x2  16.3x  12,040.6
En los ejercicios 89 - 92, determina cuál de las gráficas —a), b), o c)— corresponde a la ecuación dada. Explica cómo determinaste tu 
respuesta.
 89. y 5 x2  3x  4
 a) 
x
y
2
8
4
2 4�2
 b) 
x
y
�4
�2
2 4�2
 c) 
x
y
�2
�4
2
2�2�4
 90. y 5 x3  2x2  4
 a) 
x
y
�8
�6
�2
�4
2
2�4
 b) 
x
y
�2
�8
�6
�4
2
2�2
 c) 
x
y
�2
8
6
2
4
2�2�4
 91. y 5 x3  2x  6
 a) 
�10
10
10�10
 b) 
�10
10
10�10
 c) 
�10
10
10�10
 92. y 5 x3  4x2  5
 
�10
10
10�10
 
�10
10
10�10
 
�10
10
10�10288	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
 93. La gráfica muestra el porcentaje de incremento de los gas-
tos de los condominios de la Asociación de Jardines An-
nandale para los años 2007 a 2009. El porcentaje de incre-
mento, P(t), puede aproximarse por la función 
P(t) 5 1.25t2  5.75t  10
donde t es el número de años desde 2007.
a) Utiliza esta función para estimar el porcentaje de incre-
mento de los gastos de los condominios en 2009.
b) Compara tu respuesta del inciso a) con la gráfica. ¿La 
gráfica apoya tu respuesta?
c) Si esta tendencia continúa, estima el porcentaje de in-
cremento de los gastos de los condominios en 2012.
Ejercicios de conceptos y escritura
95. Inflación La función C(t) 5 0.31t2  0.59t  9.61, donde t 
son los años desde 1997, aproxima el costo, en miles de dó-
lares, para comprar lo que se podría adquirir con $10,000 en 
1997. Esta función se basa en 6% de tasa de inflación anual y 
0  t  25. Estima el costo en 2012 para bienes que costaban 
$10,000 en 1997.
96. Población La población de una ciudad está determinada 
por la función P(t) 5 6t2  7t  6500, donde t es el número 
de años desde 2001. Determina la población de la ciudad 
en 2011.
Responde los ejercicios 97 y 98 usando una calculadora grafica-
dora, si tienes una. Si no tienes, dibuja las gráficas del inciso a) 
trazando los puntos. Después responde los incisos b) a e).
 97. a) Grafica
 y1 5 x3
y2 5 x3  3x2  3
 b) En ambas gráficas, para los valores de x . 3, ¿las funcio-
nes aumentan o disminuyen mientras x aumenta?
 c) Cuando el término principal de una función polinomial es 
x3, el polinomio debe incrementar para x . a, donde a es 
cualquier número real mayor que 0. Explica por qué debe 
ser así.
 d) En ambas gráficas, para valores de x , 3, ¿las funciones 
aumentan o disminuyen mientras x disminuye?
 e) Cuando el término principal de una función polinomial es x3, 
el polinomio debe disminuir para x , a, donde a es cualquier 
número real menor que 0. Explica por qué debe ser así.
 98. a) Grafica
 y1 5 x4
 y2 5 x4  6x2
 b) En ambas gráficas, para valores de x . 3, ¿las funciones 
aumentan o disminuyen mientras x aumenta?
 c) Cuando el término principal de una función polinomial 
es x4, el polinomio debe incrementar para x . a, donde a 
es cualquier número real mayor que 0. Explica por qué 
debe ser así.
 d) En ambas gráficas, para valores de x , 3, ¿las funcio-
nes aumentan o disminuyen mientras x aumenta?
 e) Cuando el término principal de una función polinomial 
es x4, el polinomio debe disminuir para x , a, donde a 
es cualquier número real menor que 0. Explica por qué 
debe ser así.
 99. ¿Cuál es el grado de una constante diferente de cero?
 100. ¿Cuál es el término principal de un polinomio?
 101. ¿Cuál es el coeficiente principal de un polinomio?
 102. a) ¿Cómo determinas el grado de un término?
 b) ¿Cuál es el grado de 6x4y3z?
 103. a) ¿Cómo determinas el grado de un polinomio?
 b) ¿Cuál es el grado de 4x4  6x3y4  z5?
 104. ¿Qué significa cuando un polinomio está en orden descen-
dente de la variable x?
 105. a) ¿Cuándo un polinomio es lineal?
 b) Da un ejemplo de un polinomio lineal.
 106. a) ¿Cuándo un polinomio es cuadrático?
 b) Da un ejemplo de un polinomio cuadrático.
 107. a) ¿Cuándo un polinomio es cúbico?
 b) Da un ejemplo de un polinomio cúbico.
 108. Cuando un polinomio se resta de otro, ¿qué pasa con los 
signos de todos los términos del polinomio restado?
 109. Escribe un trinomio de quinto grado en x en orden descen-
dente que no tenga términos de cuarto, tercer y segundo 
grados.
Fuente: Presupuesto de la Asociación de Jardines Annandale
Porcentaje de incremento de los gastos de los condominios
Po
rc
en
ta
je
Año
0
2
2007 2008 2009
4
6
8
10
10
5.5
3.5
94. Plano inclinado Una pelota rueda hacia abajo sobre un 
plano inclinado. La distancia, d(t), en pies, que la pelota ha 
recorrido está dada por la función
d(t) 5 2.36t2
 donde t es el tiempo en segundos 0 , t , 5.
 Determina la distancia que la pelota ha recorrido sobre el 
plano inclinado en 
a) 1 segundo.
b) 3 segundos.
c) 5 segundos.
	 Sección	5.1	 	 Suma	y	resta	de	polinomios	 289
Problemas de desafío
Determina cuál de las gráficas —a), b), o c)— es la gráfica de la ecuación dada. Explica cómo determinaste tu respuesta.
 115. y 5 x4  3x3  5
 a) 
x
y
�2
2
6
2�2
 b) 
x
y
�2
�4
4
2
2 4�2
 c) 
x
y
�6
2
2�2
 116. y 5 8x2  x  5
 a) 
x
y
�4
2
4
3�3
 b) 
x
y
�6
2
4
2
 c) 
x
�6
�4
2
2�2
y
Actividad de grupo
Comenten y respondan los ejercicios 117 y 118 con tu grupo.
 117. Si el término principal de una función polinomial es 3x3, ¿cuál de las siguientes gráficas podría representar el polinomio? Explica. 
Considera lo que pasa con valores positivos grandes de x y con valores negativos grandes de x.
 a) b) c) 
 118. Si el término principal de un polinomio es 2x4, ¿cuál de las siguientes gráficas podría representar el polinomio? Explica.
 a) b) c) 
Ejercicios de repaso acumulados
[1.4] 119. Evalúa �4 81.
[2.1] 120. Resuelve 1 =
8
5
  x -
1
2
.
[2.4] 121. Máquinas de moldeado Una máquina de moldea-
do antigua puede producir 40 cubetas de plástico en 
1 hora. Una máquina de moldeado nueva puede pro-
ducir 50 cubetas en 1 hora. ¿Cuánto tiempo le tomará 
a las dos máquinas producir un total de 540 cubetas?
[3.4] 122. Determina la pendiente de una recta que cruza los 
puntos (10,4) y (1,2).
[4.2] 123. Resuelve el sistema de ecuaciones.
 4s  3t 5 16
 4t  2u 5 2
	 	 s  6u 5 2
110. Escribe un polinomio de séptimo grado en y en orden descen-
dente que no tenga términos de quinto, tercer y segundo grados.
111. ¿La suma de dos trinomios es siempre un trinomio? Explica 
y da un ejemplo que apoye tu respuesta.
112. ¿La suma de dos binomios es siempre un binomio? Explica 
y da un ejemplo que apoye tu respuesta.
113. ¿La suma de dos polinomios cuadráticos es siempre un po-
linomio cuadrático? Explica y da un ejemplo que apoye tu 
respuesta.
114. ¿La diferencia de dos polinomios cúbicos es siempre un po-
linomio cúbico? Explica y da un ejemplo que apoye tu res-
puesta.
290	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
	1 	Multiplicar	un	monomio	por	un	polinomio
Para multiplicar polinomios, debes recordar que cada término de un polinomio debe mul-
tiplicarse por cada término del otro polinomio. Esto resulta en monomios multiplicando 
monomios. Para multiplicar monomios, usamos la regla del producto para exponentes.
En el ejemplo 1, usamos la palabra factores. Recuerda que las expresiones que se 
multiplican se denominan factores.
Multiplicar un monomio por un monomio
EJEMPLO 1 Multiplica.
 a) (4x2)(5x3) b) (3x2y)(4x5y3) c) (2a4b7)(3a8b3c5)
Solución  Utilizamos la regla del producto para exponentes para multiplicar los 
factores.
 a) (4x2)(5x3) 5 4  5  x2  x3 Elimina paréntesis y reacomoda términos.
	 5 20x23 Regla del producto, x2		x3 5 x23
	 5 20x5
 b) (3x2y)(4x5y3) 5 3  4  x 2  x5  y  y3 Elimina paréntesis y reacomoda términos.
	 5 12x25y13 Regla del producto
	 5 12x7y4
 c) (2a4b7)(3a8b3c5) 5 (2)(3)a4  a8  b7  b3  c5 
Elimina paréntesis y 
reacomoda términos.
	 5 6a48b73c5 Regla del producto
	 5 6a12b10c5
Resuelve ahora el ejercicio 9
En el ejemplo 1, inciso a), 4x2 y 5x3 son factores del producto 20x5. En el inciso b), 
3x2y y 4x5y3 son factores del producto 12x7y4. Y en el inciso c), 2a4b7 y 3a8b3c5 son 
factores del producto 6a12b10c5.
Multiplicar un monomio por un polinomio    Al multiplicar un monomio por un 
binomio, podemos utilizar la propiedad distributiva. Al multiplicar un monomio por 
un polinomio que contiene más de dos términos, podemos usar la forma desarrollada 
de la propiedad distributiva.
En el inciso a) del ejemplo 2 multiplicamos un monomio por un binomio, y en los 
incisos b) y c) multiplicamos un monomio por un trinomio.
EJEMPLO 2 Multiplica.
 a) 3x2
 c
1
6
  x3 - 5x2m b) 2xy(3x2y 6xy2  9) c) 0.4x(0.3x3  0.7xy2  0.2y4)
5.2 Multiplicación de polinomios
 1 Multiplicar	un	monomio	
por	un	polinomio.
 2 Multiplicar	un	binomio	
por	un	binomio.
 3 Multiplicar	un	polinomio	
por	un	polinomio.
 4 Determinar	el	cuadrado	
de	un	binomio.
 5 Determinar	el	producto	
de	la	suma	y	resta	de	los	
mismos	dos	términos.
 6 Determinar	el	producto	
de	funciones	
polinomiales.
am  an 5 am  n
Regla del producto para exponentes
Comprendiendo 
el álgebra
Cuando multiplicas 
expresiones con la misma 
base, se suman los exponentes.
a(b  c  d  …  n) 5 ab  ac  ad  …  an
Propiedad distributiva, forma desarrollada