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Sección	5.7	 	 repaso	general	de	factorización	 335
Actividad de grupo
Analiza y responde el ejercicio 130 en grupo.
 130. Más adelante en el libro necesitaremos construir trinomios 
cuadrados perfectos. Analiza algunos trinomios cuadrados 
perfectos con un coeficiente principal de 1.
 a) Explica cómo b y c están relacionados si el trinomio 
x2  bx  c es un trinomio cuadrado perfecto.
 b) Construye un trinomio cuadrado perfecto si los prime-
ros dos términos son x2  6x.
 c) Construye un trinomio cuadrado perfecto si los prime-
ros dos términos son x2  10x.
 d) Construye un trinomio cuadrado perfecto si los prime-
ros dos términos son x2  14x.
Ejercicios de repaso acumulados
[2.1] 131. Simplifica 2[3x  (2y  1)  5x]  3y.
[3.6] 132. Si f(x) 5 x2  3x  6 y g(x) 5 5x  2, determina 
(g  f)(1).
[4.4] 133. Ángulos Un ángulo recto está dividido en tres pe-
queños ángulos. El más grande de los tres ángulos es 
dos veces el más pequeño. El ángulo que sobra es 10° 
más grande que el ángulo más pequeño. Determina la 
magnitud de cada ángulo.
[5.4] 134. Factoriza el máximo factor común de 45y12  60y10.
 135. Factoriza 12x2  9xy  4xy  3y2.
5.7 Repaso general de factorización
 1 Factorizar	polinomios	
mediante	una	
combinación		
de	técnicas.
1 	Factorizar	polinomios	mediante	
una	combinación	de	técnicas
Ahora presentaremos un procedimiento general para factorizar cualquier polinomio.
Los ejemplos siguientes ilustran cómo utilizar este procedimiento.
EJEMPLO 1 Factoriza 2x4  50x2.
Solución    Primero verifica si existe un máximo factor común distinto de 1. Como 
2x2 es común en ambos términos, factorízalo.
2x4  50x2 5 2x2(x2  25) 5 2x2(x  5)(x  5)
Observa que x2  25 se factorizó como una diferencia de dos cuadrados.
Resuelve ahora el ejercicio 3
 1. Determina si todos los términos del polinomio tienen un máximo factor común dis-
tinto de 1. Si es así, factoriza el MFC.
 2. Si el polinomio tiene dos términos, determina si es una diferencia de dos cuadrados o 
una suma o diferencia de dos cubos. En cualquiera de estos casos, factoriza utilizando 
la fórmula adecuada de la Sección 5.6.
 3. Si el polinomio tiene tres términos, determina si es un trinomio cuadrado perfecto. Si lo 
es, factorízalo como corresponde. De lo contrario, factoriza el trinomio utilizando los 
métodos de prueba y error, agrupación o sustitución como se explicó en la Sección 5.5. 
 4. Si el polinomio tiene más de tres términos, trata de factorizarlo mediante agrupación. 
Si eso no funciona, ve si tres de los términos son el cuadrado de un binomio.
 5. Como paso final, examina el polinomio factorizado para ver si los factores encon-
trados tienen un factor común y se pueden factorizar más. Si encuentras un factor 
común, factorízalo.
 6. Verifica la respuesta mediante multiplicación de factores.
Para factorizar un polinomio
336	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
Consejo útil
Consejo de estudio
En esta sección, hemos repasado todas las técnicas para la factorización de expresiones. Si 
todavía tienes problemas para factorizar, vuelve a estudiar los temas de las secciones 5.4 a 5.6.
EJEMPLO 2 Factoriza 3x2y2  24xy2  48y2.
Solución    Comienza factorizando el MFC, 3y2, de cada término.
3x2y2  24xy2  48y2 5 3y2(x2  8x  16) 5 3y2(x  4)2
Observa que x2  8x  16 es un trinomio cuadrado perfecto. Si no lo reconoces, tam-
bién podrás obtener la respuesta correcta factorizando el trinomio en (x  4)(x  4).
Resuelve ahora el ejercicio 27
EJEMPLO 4 Factoriza 12a2b  18ab  24b.
Solución    12a2b  18ab  24b 5 6b(2a2  3a  4)
Como 2a2  3a  4 no puede factorizarse, concluimos aquí.
Resuelve ahora el ejercicio 7
EJEMPLO 3 Factoriza 24x2  6xy  40xy  10y2.
Solución    Como siempre, comienza por determinar si todos los términos del po-
linomio tienen un factor común. En este ejemplo, 2 es común a todos los términos. 
Factoriza el 2; después factoriza el polinomio de cuatro términos resultante mediante 
agrupación. 
 24x2  6xy  40xy  10y2 5 2(12x2  3xy  20xy  5y2)
	 5 2[3x(4x  y)  5y(4x  y)]
	 5 2(4x  y)(3x  5y)
Resuelve ahora el ejercicio 31
EJEMPLO 5 Factoriza 2x4y  54xy.
Solución    2x4y  54xy 5 2xy(x3  27)
	 5 2xy(x  3)(x2  3x  9)
Observa que factorizamos x3  27 como una suma de dos cubos.
Resuelve ahora el ejercicio 19
EJEMPLO 6 Factoriza 3x2  18x  27  3y2.
Solución    Factorizamos 3 de los cuatro términos.
3x2  18x  27  3y2 5 3(x2  6x  9  y2)
Ahora trataremos de factorizar los cuatro términos dentro de los paréntesis mediante 
agrupación. Como puedes ver, esto no es posible, así que analizaremos si podemos 
escribir tres de los términos como el cuadrado de un binomio. Como esto puede 
hacerse, expresamos x2  6x  9, como (x  3)2 y luego utilizamos la fórmula de la 
diferencia de dos cuadrados. Por lo tanto,
 3x2  18x  27  3y2 5 3[(x  3)2  y2]
	 5 3[(x  3  y)(x  3  y)]
	 5 3(x  3  y)(x  3  y)
Resuelve ahora el ejercicio 43
	 Sección	5.7	 	 repaso	general	de	factorización	 337
CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.7 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
1 5 21x2y3 7x2y3 7xy
 1. El primer paso para factorizar 5x3  40y3 es factorizar 
.
 2. El máximo factor común de 14x2y  21xy3 es 
.
Practica tus habilidades
Factoriza cada polinomio por completo.
 3. 3x2  75 4. 4x2  24x  36
 5. 10s2  19s  15 6. 8r2  30r  18
 7. 6x3y2  10x2y3  14x2y2 8. 24m3n  12m2n2  16mn3
 9. 0.8x2  0.072 10. 0.5x2  0.32
 11. 6x5  54x 12. 7x2y2z2  28x2y2
 13. 3x6  3x5  12x5  12x4 14. 2x2y2  6xy2  10xy2  30y2
 15. 5x4y2  20x3y2  15x3y2  60x2y2 16. 6x2  15x  9
 17. x4  x2y2 18. 4x3  108
 19. x7y2  x4y2 20. x4  81
 21. x5  16x 22. 20x2y2  55xy2  15y2
 23. 4x6  32y3 24. 8x4  4x3  4x3  2x2
 25. 5(a  b)2  20 26. 12x3y2  4x2y2  40xy2
 27. 6x2  36xy  54y2 28. 3x2  30x  75
 29. (x  2)2  4 30. 7y4  63x6
 31. 6x2  24xy  3xy  12y2 32. pq  8q  pr  8r
 33. (y  5)2  4(y  5)  4 34. (x  1)2  (x  1)  6
 35. b4  2b2  1 36. 45a4  30a3  5a2
 37. x3 �
1
64
 38. 27y3 �
1
8
 39. 6y3  14y2  4y 40. 3x3  2x2  27x  18
 41. a3b  81ab3 42. x6  y6
 43. 49  (x2  2xy  y2) 44. x2  2xy  y2  25
 45. 24x2  34x  12 46. 40x2  52x  12
 47. 18x2  39x  15 48. 7(a  b)2  4(a  b)  3
 49. x4  16 50. (x  4)2  12(x  4)  36
 51. 5bc  10cx  7by  14xy 52. 16y4  9y2
 53. 3x4  x2  4 54. x2  16x  64  100y2
 55. z2  (x2  12x  36) 56. 7a3  56
 57. 2(y  4)2  5(y  4)  12 58. x6  15x3  54
 59. a2  12ab  36b2  16c2 60. y3  y5
 61. 10x4y  25x3y  15x2y 62. 4x2y2  12xy  9
 63. x4  2x2y2  y4 64. 12r2s2  rs  1
Resolución de problemas
Relaciona los ejercicios 65 - 72 con los elementos marcados de a) hasta h) a la derecha.
 65. a2  b2 66. a2  b2
 67. a2  2ab  b2 68. a3  b3
 69. a3  b3 70. a2  2ab  b2
 71. un factor de a3  b3 72. un factor de a3  b3
 a) (a  b)(a2  ab  b2) b) (a  b)2
 c) a2  ab  b2 d) (a  b)2
 e) no factorizable f) (a  b)(a2  ab  b2)
 g) (a  b)(a  b) h) a2  ab  b2
338	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
Perímetro En los ejercicios 73 y 74, encuentra una expresión, en forma factorizada, para el perímetro de cada figura.
 73. 
x2 � 2
5x � 4
 74. 
x2 � 11
7x � 13 5x � 12
Área En los ejercicios 75 - 78, encuentra una expresión, en forma factorizada, para el área de la región sombreada para cada figura.
 75. x 4
3
x
4
 76. 
x � 4
x � 5
4
3
 77. 
y
y
3
3
 78. 
x
x
5
5
5
5
5
5
5
5
Volumen En los ejercicios 79 y 80, encuentra una expresión, en forma factorial, para la diferencia en los volúmenes de los cubos.
 79. 
5x
5x
5x
3 3
3
 80. 
4x
4x
4x
2y
2y
2y
Área En los ejercicios 81-84, a) escribe una expresión para el área sombreada de la figura, y b) escribe la expresión en forma factorizada.
 81. 
a � b
b
a
 82. b
a
a
a
a
83. a
b
a
2bb
 84.
x y x y
x � y
 85. Área superficial
 a) Escribe una expresión para el área superficial de los cua-
tro lados de la caja mostrada (omite las partes superior e 
inferior).
 b) Escribe la expresión en forma factorizada.
a � b
b
a
 86. Explica cómo la fórmula para factorizar la diferencia de dos 
cubos puede usarse para factorizar x3  27.
 87. a) Explica cómo construir un trinomio cuadrado perfecto. 
 b) Construye un trinomio cuadrado perfecto y luego mues-
tra sus factores.
	 Sección	5.8	 	 Ecuaciones	polinomiales	 339
Problemas de desafío
En este capítulo hemos trabajado solo con exponentes enteros positivos, sin embargo, en una expresión también pueden factorizarse los 
exponentes fraccionarios y los exponentes enteros negativos. Las expresiones siguientes no son polinomios. a) En cada expresión factoriza 
la variable con el exponente menor (o más negativo). (Los exponentes fraccionarios se analizarán en la sección 7.2.) b) Factoriza por 
completo.
 88. x2  5x3  6x4, factoriza x4 89. x3  2x4  3x5, factoriza x5
 90. x5/2  3x3/2  4x1/2, factoriza x1/2 91. 5x1/2  2x1/2  3x3/2, factoriza x3/2
Ejercicios de repaso acumulados
[2.1] 92. Resuelve 6(x  4)  4(3x  3) 5 6.
[2.6] 93. Determina el conjunto solución para � 6 � 2z
3
� 2.� .
[4.3] 94. Mezcla de café Dennis Reissig dirige una tienda de 
abarrotes y desea mezclar 30 libras de café para ven-
der a un costo total de $170. Para obtener la mezcla, 
utilizará un café que vende a $5.20 por libra y otro café 
que vende a $6.30 por libra. ¿Cuántas libras de cada 
café debe utilizar?
[5.2] 95. Multiplica (5x  4)(x2  x  4).
[5.4] 96. Factoriza 2x3  6x2  5x  15.
5.8 Ecuaciones polinomiales
 1 Utilizar	la	propiedad	del	
factor	nulo	para	resolver	
ecuaciones.
 2 Utilizar	la	factorización	
para	resolver	ecuaciones.
 3 Utilizar	la	factorización	
para	resolver	problemas	
de	aplicación.
 4 Utilizar	la	factorización	
para	determinar	las	
intersecciones	con	el	eje	x	
de	una	función	cuadrática.
Siempre que se establece que dos polinomios son iguales entre sí, tenemos una ecua-
ción polinomial.
Ejemplos	de	ecuaciones	polinomiales
x2  2x 5 x  5
y3  3y  2 5 0
4x4  2x2 5 3x  2
El grado de una ecuación polinomial es el mismo que el del término con mayor grado. 
Por ejemplo, las tres ecuaciones anteriores tienen grados 2, 3 y 4, respectivamente. 
Ejemplos	de	ecuaciones	cuadráticas
 3x2  6x  4 5 0
 5x 5 2x2  4
 (x  4)(x  3) 5 0
Cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma general.
Antes de continuar, asegúrate de que puedes reescribir cada una de las tres ecua-
ciones cuadráticas dadas anteriormente en su forma general, con a . 0.
	1 	Utilizar	la	propiedad	del	factor	nulo	
para	resolver	ecuaciones
Para resolver ecuaciones utilizando factorización, empleamos la propiedad del factor 
cero.
Comprendiendo 
el álgebra
Recuerda que una ecuación 
debe contener un signo de 
igualdad ( 5 ). Para que una 
ecuación cuadrática esté en 
forma general, debe tener 
ax2  bx  c de un lado del 
signo igual y 0 del otro lado.
Una ecuación de segundo grado con una variable se denomina una ecuación cuadrática.
Ecuación cuadrática
ax2  bx  c 5 0, a  0
donde a, b y c son números reales.
Forma general de una ecuación cuadrática
Para todos los números reales a y b, si a  b 5 0, entonces a 5 0 o b 5 0, o bien a y b 5 0.
Propiedad del factor nulo (factor cero)
340	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
La propiedad del factor nulo indica que, si el producto de dos factores es igual a 0, uno 
o ambos factores deben ser 0.
	2 	Utilizar	la	factorización	para	resolver	ecuaciones
A continuación se indica un procedimiento que se puede utilizar para obtener la solu-
ción de una ecuación mediante factorización.
EJEMPLO 2 Resuelve la ecuación 4x2 5 24x.
Solución    Primero igualamos a 0 el lado derecho de la ecuación restando 24x en 
ambos lados. Después factorizamos el lado izquierdo de la ecuación.
4x2  24x 5 0
4x(x  6) 5 0
Ahora igualamos a 0 cada factor y despejamos x.
 4x 5 0 o x  6 5 0
 x 5 0 x 5 6
La verificación mostrará que los números 0 y 6 satisfacen la ecuación 4x2 5 24x.
Resuelve ahora el ejercicio 17
EJEMPLO 1 Resuelve la ecuación (x  5)(x  3) 5 0.
Solución    Como el producto de los factores es igual a 0, de acuerdo con la pro-
piedad del factor nulo, uno o ambos factores deben ser iguales a 0. Igualamos cada 
factor a 0 y resolvemos cada ecuación por separado.
 x  5 5 0 o x  3 5 0
 x 5 5 x 5 3
Por lo tanto, si x es 5 o 3, la ecuación es una proposición verdadera.
	Verifica	 x	5	5     x	5	3
 (x  5)(x  3) 5 0 (x  5)(x  3) 5 0
 (5  5)(5  3) 0 (3  5)(3  3) 0
 0(8) 0 8(0) 0
 0 5 0 Verdadero 0 5 0 Verdadero
Resuelve ahora el ejercicio 11
 1. Utiliza la propiedad de la suma para eliminar todos los términos de un lado de la 
ecuación. Con esto se obtendrá un lado de la ecuación igual a 0.
 2. Suma los términos semejantes en la ecuación y después factoriza.
 3. Iguala a 0 cada factor que contenga una variable. Resuelve las ecuaciones y determina 
las soluciones.
 4. Verifica las soluciones en la ecuación original.
Para resolver una ecuación mediante factorización 
Consejo útil
Si no recuerdas cómo factorizar, consulta las secciones 5.3-5.7.
	 Sección	5.8	 	 Ecuaciones	polinomiales	 341
Prevención de errores comunes
La propiedad del factor nulo solo puede utilizarse cuando un lado de la ecuación es 
igual a 0.
CORRECTO INCORRECTO
 x = 6 x = -1
 x - 4 = 2 o x + 3 = 2
(x - 4)(x + 3) = 2
 x = 4 x = -3
 x - 4 = 0 o x + 3 = 0
(x - 4)(x + 3) = 0
En el procedimiento incorrecto, ilustrado a la derecha, no se puede utilizar la propie-
dad del factor nulo, ya que el lado derecho de la ecuación no es igual a 0. El ejemplo 3 
muestra cómo resolver estos problemas correctamente.
EJEMPLO 3 Resuelve la ecuación (x  1)(3x  2) 5 4x.
Solución    Como el lado derecho de la ecuación no es igual a 0, no podemos utili-
zar la propiedad del factor nulo.
 (x  1)(3x  2) 5 4x
 3x2  x  2 5 4x Multiplica los factores.
 3x2  5x  2 5 0 Haz que un lado sea igual a 0.
 (3x  1)(x  2) 5 0 Factoriza el trinomio.
 3x  1 5 0 o x  2 5 0 Propiedad del factor nulo
 3x 5 1 x 5 2 Resuelve las ecuaciones.
 
 x � � 
1
3
Las soluciones son � � 
1
3
 y 2. Comprueba estos valores en la ecuación original.
Resuelve ahora el ejercicio 31
Consejo útil
Al resolver una ecuación cuyo término principal tenga un coeficiente negativo, por lo 
general lo convertimos en positivo multiplicando ambos lados de la ecuación por 1. Esto 
facilita el procedimiento de factorización, como se muestra en el ejemplo siguiente.
x2  5x  6 5 0
1(x2  5x  6) 5 1  0
x2  5x  6 5 0
Ahora podemos resolver la ecuación x2  5x  6 5 0 factorizando.
(x  6)(x  1) 5 0
x  6 5 0 o x  1 5 0
 x 5 6 x 5 1
Los números 6 y 1 satisfacen la ecuación original x2  5x  6 5 0.
EJEMPLO 4 Resuelve la ecuación 3x2  2x  12 5 13x.
Solución    3x2  2x  12 5 13x
 3x2  15x  12 5 0 Haz que un lado sea igual a 0.
 3(x2  5x  4) 5 0 Factoriza 3.
 3(x  4)(x  1) 5 0 Factoriza el trinomio.
 x  4 5 0 o x  1 5 0 Propiedad del factor nulo
 x 5 4 x 5 1 Despeja x.
Como el factor 3 no tiene una variable, no tenemos que igualarlo a 0. Solo los números 
4 y 1 satisfacen la ecuación 3x2  2x  12 5 13x.
Resuelve ahora el ejercicio 35
342	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
La propiedad del factor nulo puede extenderse a tres o más factores, como se 
muestra en el ejemplo 5.
Observa que la ecuación del ejemplo 5 no es una ecuación cuadrática, ya que el 
exponente del término principal es 3, no 2. Ésta es una ecuación cúbica o de tercer grado.
	3 	Utilizar	la	factorización	para	resolver	
problemas	de	aplicación
Ahora veamos algunos problemas de aplicación para cuya solución se utiliza la facto-
rización.
EJEMPLO 7 Triángulo En una exhibición, una gran tienda de campaña tendrá 
una entrada en formatriangular (ver Figura 5.17).
Determina la base y la altura de la entrada si la altura medirá 3 pies menos que el 
doble de la base y el área total de la entrada es de 27 pies cuadrados.
Solución
Entiende Haz un dibujo de la entrada e incluye la información indicada (Figura 5.18).
EJEMPLO 6 En la función f(x) 5 2x2  13x  16, determina todos los valores 
de a para los que f(a) 5 8.
Solución    Primero reescribimos la función como f(a) 5 2a2  13a  16. Ya que 
f(a) 5 8, escribimos
 Determina f(a) igual a 8.
 Haz que un lado sea igual a 0.
 Factoriza el trinomio.
 Propiedad del factor nulo
 Despeja a.
 a = -  
3
2
2a = -3  a = 8
2a + 3 = 0 o a - 8 = 0
 (2a + 3)(a - 8) = 0
2a2 - 13a - 24 = 0
2a2 - 13a - 16 = 8
 
Si compruebas estas respuestas, encontrarás que f c -  
3
2
m = 8 y f(8) 5 8.
Resuelve ahora el ejercicio 59
EJEMPLO 5 Resuelve la ecuación 2p3  5p2  3p 5 0.
Solución    Primero factorizamos y después igualamos a 0 cada factor que tenga p.
 
 Factoriza p.
 Factoriza el trinomio.
 Propiedad del factor nulo.
 Despeja p.
 p =
1
2
2p = 1 p = -3
p = 0 o 2p - 1 = 0 o p + 3 = 0
 p(2p - 1)(p + 3) = 0
 p(2p2 + 5p - 3) = 0
2p3 + 5p2 - 3p = 0
 
Los números 0, 
1
2
 y 3 son soluciones de la ecuación.
Resuelve ahora el ejercicio 39
x
2x � 3
Área � 27 pies2
	FiGura	 5.17	 	 	FiGura	 5.18	 	 
	 Sección	5.8	 	 Ecuaciones	polinomiales	 343
EJEMPLO 8 Altura de una bala de cañón Un cañón se coloca en la cima de un 
risco cuya altura es de 288 pies sobre el nivel de un lago que se encuentra junto a su 
base. Se dispara una bala hacia arriba, con una velocidad de 112 pies por segundo. La 
altura h, en pies, en que se encuentra la bala de cañón respecto al nivel del lago en 
cualquier instante, t, se determina mediante la función
h(t) 5 16t2  112t  288
Determina el tiempo que le toma a la bala de cañón golpear el agua después de haber 
sido disparada.
Solución
Entiende	 	 Necesitamos hacer un di-
bujo para analizar mejor el problema 
(ver Figura 5.19). Cuando la bala gol-
pea el agua, su altura respecto del lago 
es 0 pies.
Traduce Para resolver el problema 
necesitamos determinar el tiempo, t, 
cuando h(t) 5 0. Para ello establece-
mos que la función indicada sea igual 
a 0 y despejamos t.
 Determina h(t) 5 0.
 Factoriza 16.
 Factoriza el trinomio.
 Propiedad del factor nulo
 t = -2 t = 9
 t + 2 = 0 o t - 9 = 0
 -16(t + 2)( t - 9) = 0
 -16(t2 - 7t - 18) = 0
 -16t2 + 112t + 288 = 0
 Despeja t.
responde	 	 Como t es el número de segundos, 2 no es una respuesta posible. La 
bala de cañón golpeará el agua 9 segundos después de haber sido disparada.
Resuelve ahora el ejercicio 95
Traduce	 	 Para resolver el problema, usaremos la fórmula para calcular el área de un 
triángulo.
 
 
Sustituye las expresiones 
para base, altura y área.
realiza	los	cálculos 
Multiplica ambos lados por 
2 para eliminar fracciones.
 
 Propiedad distributiva
 Haz que un lado sea igual a 0.
 
 
 x = -  
9
2
2x = -9  x = 6
2x + 9 = 0 o x - 6 = 0
 (2x + 9)(x - 6) = 0
o 2x2 - 3x - 54 = 0
 0 = 2x2 - 3x - 54
45 = 2x2 - 3x
45 = x(2x - 3)
2(27) = 2 : 1
 2 
 (x)(2x - 3)D
72 =
1
2
 (x)(2x - 3)
 A =
1
2
 (base)(altura)
 Factoriza el trinomio.
 Propiedad del factor nulo
 Despeja x.
 
responde	 	 Como las dimensiones de una figura geométrica no pueden ser negativas, 
podemos eliminar x = -  
9
2
 como una respuesta para nuestro problema. Por lo tanto,
 base 5 x 5 6 pies
 altura 5 2x  3 5 2(6)  3 5 9 pies
Resuelve ahora el ejercicio 89
h(t) � �16t2 � 112t � 288
h(t) � 0
Valor máximo de h(t) 
288 pies
	FiGura	 5.19	 	 
344	 Capítulo	5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
Teorema de Pitágoras Considera un triángulo rectángulo (ver Figura 5.20). Los dos 
lados más cortos de un triángulo rectángulo se denominan catetos, y el lado opuesto al 
ángulo recto se llama hipotenusa. El teorema de Pitágoras expresa la relación entre los 
catetos y la hipotenusa del triángulo.
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Ángulo
recto
FiGura	 5.20	 	 
x
x � 2 x � 1
	FiGura	 5.21	 	 
y
x
y � f(x)
	FiGura	 5.22	 	 
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma 
de los cuadrados de las longitudes de sus dos catetos; esto es
cateto2  cateto2 5 hipotenusa2
Si a y b representan las longitudes de los catetos y c representa la longitud de la 
hipotenusa, entonces
a2  b2 5 c2 
a
c
b
Teorema de Pitágoras
EJEMPLO 9 Cable para un árbol Para ayudarlo a crecer recto, Jack Keating 
coloca un cable tirante en un árbol. La localización de los puntos de donde se ama-
rra el cable (una estaca sobre el suelo y la parte superior del árbol), se indican en la 
Figura 5.21. Determina la longitud del cable. 
Solución
Entiende	 Observa que la longitud del cable es la hipotenusa de un triángulo rec-
tángulo que se forma con el árbol y el piso. Para resolver este problema utilizamos el 
teorema de Pitágoras. De acuerdo con la figura, vemos que los catetos son x y x  1, 
y que la hipotenusa es x  2.
Traduce
 Teorema de Pitágoras.
 x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
cateto2 + cateto2 = hipotenusa2
 Sustituye las expresiones para 
los catetos y la hipotenusa.
realiza	los	cálculos
 Eleva al cuadrado los términos.
 Simplifica.
 Haz que un lado sea igual a 0.
 Factoriza.
 Resuelve.
 x = 3 x = -1
 x - 3 = 0 o x + 1 = 0
 (x - 3)(x + 1) = 0
 x2 - 2x - 3 = 0
2x2 + 2x + 1 = x2 + 4x + 4
 x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + 4x + 4
 
responde	 	 Con base en la figura, sabemos que x no puede tener un valor negativo. 
Por lo tanto, la única respuesta posible es 3. La estaca está colocada a tres pies de 
distancia del árbol. En la parte superior, el cable se sujeta al árbol a x  1 o 4 pies 
de altura del piso. La longitud del cable es igual a x  2 o 5 pies.
Resuelve ahora el ejercicio 99
	4 	Utilizar	la	factorización	para	determinar	las	
intersecciones	con	el	eje	x	de	una	función	cuadrática
Considera la gráfica de la Figura 5.22.
En las intersecciones con el eje x, el valor de la función, o y, es 0. Por lo tanto, si 
deseamos determinar las intersecciones con el eje x de una gráfica, podemos establecer 
la función igual a 0 y despejar x.
	 Sección	5.8	 	 Ecuaciones	polinomiales	 345
EJEMPLO 10 Determina las intersecciones con el eje x de la gráfica de 
y 5 x2  2x  8.
Solución    En las intersecciones con el eje x, y tiene valor de 0. Por lo tanto, para 
determinar las intersecciones con el eje x escribimos
 x2  2x  8 5 0
 (x  4)(x  2) 5 0
 x  4 5 0 o x  2 5 0
 x 5 4 x 5 2
Las soluciones de x2  2x  8 5 0, son 4 y 2. Las intersecciones con el eje x 
de la gráfica de y 5 x2  2x  8 son (4, 0) y (2, 0), como se ilustra en la Figura 5.23.
�9
�8
�5
�4
�3
�2
�1
3
2
1
5 6321�4�5�6 �3 �1
y
x
intersección
con el eje x en �2
intersección
con el eje x en 4
y � x2 � 2x � 8
	FiGura	 5.23		 
Resuelve ahora el ejercicio 65
Cómo utilizar tu calculadora graficadora
Determina la ecuación de la gráfica en la Figura 5.24.
[�10, 10, 1, �10, 20, 2]	FiGura	 5.24	 	 
	
intersecciones	con	el	eje	x	en Factores Posible	ecuación	de	la	gráfica
2 y 8 (x  2)(x  8) y 5 (x  2)(x  8)
o y 5 x2  10x  16
Si suponemos que las intersecciones son valores enteros, entonces las intersecciones con el eje x están en 2 y en 8. Por lo tanto,
Como la intersección con el eje y de la gráfica en la Figura 5.24 está en 16, y 5 x2  10x  16 es la ecuación de la gráfica. El ejemplo 
11 explica por qué utilizamos las palabras posible ecuación de la gráfica.
Si conocemos las intersecciones con el eje x de una gráfica, podemos trabajar 
hacia atrás para determinar la ecuación de la gráfica. Lee el siguiente recuadro para 
aprender cómo hacerlo con ayuda de tu calculadora graficadora.
Comprendiendo 
el álgebra
Una intersección con el eje x es 
el punto en donde la gráfica 
cruza el eje x. La coordenada y 
de una intersección con el 
eje x es siempre 0.
346	 Capítulo5	 	 Polinomios	y	funciones	polinomiales
EJEMPLO 11 Escribe una ecuación cuya gráfica tenga intersecciones con el 
eje x en 2 y en 4.
Solución    Si las intersecciones están en 2 y en 4, entonces un conjunto de facto-
res que producen estas intersecciones son (x  2) y (x  4), respectivamente. Por lo 
tanto, una ecuación que tendrá intersecciones con el eje x en 2 y 4 es 
y 5 (x  2)(x  4) o y 5 x2  2x  8.
Observa que otras ecuaciones pueden tener gráficas con las mismas intersecciones 
con el eje x. Por ejemplo, la gráfica de y 5 2(x2  2x  8) o y 5 2x2  4x  16 también 
tiene intersecciones con el eje x en 2 y en 4. De hecho, la gráfica de y 5 a(x2  2x  8), 
para cualquier número real a distinto de 0, tendrá intersecciones con el eje x en 2 y 4.
Resuelve ahora el ejercicio 83
CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.8 
Ejercicios de práctica
Llena los espacios en blanco con la palabra, frase o símbolo(s) apropiados de la siguiente lista.
a 5 0 cateto intersección con el eje x b 5 0 expresión ax2  bx 5 c
ecuación hipotenusa lado término intersección con el eje y ax2  bx  c 5 0
 1. Cuando dos polinomios son iguales entre sí, tenemos una 
 polinomial.
 2. El grado de una ecuación polinomial es el grado del 
 mayor del polinomio.
 3. La forma general de una ecuación cuadrática es 
.
 4. La propiedad del factor cero establece que si a  b 5 0, a 5 0 
o o ambos a 5 0 y b 5 0.
 5. El punto donde la gráfica cruza el eje x es conocido como 
una .
 6. En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto 
es el/la .
Practica tus habilidades
Resuelve.
 7. x(x  3) 5 0 8. x(x  2) 5 0 9. 4x(x  1) 5 0
 10. 5x(x  6) 5 0 11. 2(x  1)(x  7) 5 0 12. 3(a  5)(a  2) 5 0
 13. x(x  9)(x  4) 5 0 14. 2a(a  3)(a  10) 5 0 15. (3x  2)(7x  1) 5 0
 16. (2x  3)(4x  5) 5 0	 17. 4x2 5 12x 18. 3y2 5 21y
 19. x2  5x 5 0 20. 4a2  32a 5 0 21. x2  6x 5 0
 22. 3x2  24x 5 0 23. 3x2 5 27x 24. 18a2 5 36a
 25. a2  6a  5 5 0 26. x2  6x  5 5 0	 27. x2  x  12 5 0
 28. b2  b  72 5 0 29. x2  8x  16 5 0 30. c2  12c 5 36
 31. (2x  5)(x  1) 5 12x 32. a(a  2) 5 48 33. 2y2 5 y  6
 34. 3a2 5 a  2	 35. 3x2  6x  72 5 0 36. 2a2  18a  40 5 0
 37. x3  3x2 5 18x 38. x3 5 19x2  42x 39. 4c3  4c2  48c 5 0
 40. 3b3  8b2  3b 5 0 41. 18z3 5 15z2  12z 42. 12a3 5 16a2  3a
 43. x2  25 5 0 44. 2y2 5 72 45. 16x2 5 9
 46. 49c2 5 81 47. 4y3  36y 5 0 48. 3x4  48x2 5 0
En el ejemplo 11, aunque las intersecciones con el eje x de la gráfica de 
y 5 a(x2  2x  8) siempre estarán en 2 y 4, la intersección con el eje y de la gráfica 
dependerá del valor de a. Por ejemplo, si a 5 1, la intersección con el eje y estará en 
1(8) u 8. Si a 5 2, la intersección estará en 2(8) o 16, y así sucesivamente.
	 Sección	5.8	 	 Ecuaciones	polinomiales	 347
 49. x2 5 2x  99 50. x2  18x 5 80 51. (x  7)2  16 5 0
 52. (x  6)2  4 5 0 53. (2x  5)2  9 5 0 54. (x  1)2  3x 5 7
 55. 6a2  12  4a 5 19a  32 56. 4(a2  3) 5 6a  4(a  3) 57. 2b3  16b2 5 30b
 58. (a  1)(3a  2) 5 4a
 59. Para f(x) 5 3x2  7x  9, encuentra todos los valores de a para los cuales f (a) 5 7.
 60. Para f(x) 5 4x2  11x  2, encuentra todos los valores de a para los cuales f (a) 5 4.
 61. Para g(x) 5 10x2  31x  16, encuentra todos los valores de a para los cuales g(a) 5 1.
 62. Para g(x) 6x2  x  3, encuentra todos los valores de a para los cuales g(a) 5 2.
 63. Para r(x) 5 x2  x, encuentra todos los valores de a para los cuales r (a) 5 30.
 64. Para r(x) 5 10x2  11x  17, encuentra todos los valores de a para los cuales r (a) 5 11.
Usa la factorización para encontrar las intersecciones con el eje x de las gráficas de cada ecuación (ver ejemplo 10).
 65. y 5 x2  10x  24 66. y 5 x2  x  42
 67. y 5 x2  16x  64 68. y 5 15x2  14x  8
 69. y 5 12x3  46x2  40x 70. y 5 12x3  39x2  30x
Triángulo rectángulo En los ejercicios 71-76, usa el teorema de Pitágoras para encontrar x.
 71. 
x � 2
x � 3x � 4
 72. 
x � 10
x � 3
x � 11
 73. x � 8
x � 7
x
 74. 
x � 8
x � 9
x � 1
 75. 
x � 8
x � 1
x � 6
 76. 
x � 9
x � 2
x � 11
Resolución de problemas
En los ejercicios 77-80, determina las intersecciones con el eje x de cada gráfica; después relaciona la ecuación con la gráfica apropiada 
marcada como a)d).
 77. y 5 x2  5x  6 78. y 5 x2  x  6 79. y 5 x2  5x  6 80. y 5 x2  x  6
 a) b) c) d) 
Escribe una ecuación cuya gráfica intersecte el eje x en los siguientes valores.
 81. 1 y 5 82. 3 y 7 83. 4 y 2
 84. 
3
2
 y 6 85. � 
5
6
 y 2 86. 0.4 y 2.6