algunos_ejercicios

Vista previa del material en texto

This is Sparta!!... oh wait... Cálculo III!!!
Mat́ıas López Abukalil
Juan Pablo Vigneaux Arizt́ıa
David Cozmar Ramı́rez
17 de septiembre de 2013
mailto:milopez@uc.cl
mailto:javignea@uc.cl
mailto:dicozmar@uc.cl
A continuación se presentan apuntes del curso Cálculo III (MAT1630).
Hemos seguido el orden sugerido por el programa del curso, tratando de alcanzar el mayor grado de
completitud. Cada caṕıtulo presenta la materia correspondiente, seguida luego de ejercicios resueltos.
Los ejercicios son de dificultad variable; algunos, para nada sencillos. No se desanime si hay cosas que
no salen en el primer intento (o en el n-ésimo).
Obviamente, nosotros no reclamamos la autoŕıa de todo lo que aparece en las páginas de este documento.
Una gran parte de lo que encontrará en estos apuntes se basa en nuestras propias notas sobre el curso,
tomadas en las clases de los profesores Mariel Sáez, Ángel Carocca, Martin Chuaqui y Manuel Elgueta.
A la vez, varios ejercicios han sido tomados de pruebas, gúıas o ayudant́ıas antiguas tanto de esta
universidad como de la otra. Esperamos que se nos perdone no tener un sistema de citas del todo
riguroso. No obstante lo anterior, toda equivocación o imprecisión es de nuestra responsabilidad.
El documento completo se encuentra en pleno desarrollo y probablemente contiene muchos errores
(“typos”, signos, etc.) que esperamos ir arreglando con su ayuda. Luego, si detecta alguno, favor informar
a milopez@uc.cl o javignea@uc.cl.
Queremos remarcar de forma categórica que estos apuntes son absolutamente complementarios a las
clases —esto no es “La Biblia” ni mucho menos— y, por lo tanto, no las reemplazan de ninguna forma.
Finalmente, queremos decirle al lector que, al igual que con todo libro de problemas resueltos, leerlo no
le sirve para nada. Debe ensuciarse las manos y zambullirse en los mares de diversión.
Actualizaciones
Enero 2011: Nos encontramos en una dura batalla contra nuestra flojera, cuya victoria nos llevará a
tener todos los vectores con flechitas arriba.
Enero 2012: Aún nos encontramos en la dura batalla contra nuestra flojera. Entre los posibles
diseños que recopilamos para denotar vectores
~x x x x̂,
de los cuales, nos quedamos con el segundo y el cuarto. Algún d́ıa se los cambiaremos a todos.
Entre otras cosas (como para que no parezca que no hemos hecho nada) hemos cambiado un
poco el estilo de numeración y estamos en proceso de completar un ı́ndice por palabras al final del
documento. Si nos da el aburrimiento, eventualmente también podŕıamos agregar nuevos ejercicios.
Abril 2013: Aún no hacemos nada. Queremos agradecer a Felipe Arróspide por su constante plagio
ayuda y corrección de typos.
mailto:milopez@uc.cl
malito:javignea@uc.cl
Índice general
1. Topoloǵıa de Rn 5
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Normas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Abiertos y Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Acumulación, Frontera y Clausura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Un par de definiciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 19
2.1. Funciones Escalares de Varias Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Derivadas Parciales y Direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6. Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Aplicaciones 69
3.1. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2. Mı́nimos y Máximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4. Cálculo Diferencial de Funciones Vectoriales en Varias Variables 93
4.1. Funciones Vectoriales de Varias Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2. Ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.5. Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6. Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 ÍNDICE GENERAL
4.7. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5. Teorema de la Función Impĺıcita e Inversa 105
5.1. Teorema de la Función Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2. Teorema de la Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6. Integrales Múltiples 119
6.1. Integrales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2. Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3. Integrales n-ésimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4. Teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.6. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7. Integrales de Ĺınea 151
7.1. Integrales de campos escalares sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8. Integrales de Superficie 171
8.1. Introducción a las superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.2. Integrales sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3. Divergencia y rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.5. Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.6. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
A. Conceptos de Álgebra Lineal 191
A.1. Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191B. Funciones Gamma y Beta 193
B.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
B.2. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Caṕıtulo 1
Topoloǵıa de Rn
“A nuevos conceptos corresponden, necesariamente, nuevos signos.”
- David Hilbert1.1
El lector ya se habrá dado cuenta que el Cálculo en una Variable en la mayoŕıa de las ocasiones se queda
corto a la hora de modelar la realidad. La razón, por muy filosófica que quiera presentarse, es simple:
los fenómenos dependen de más que una variable. De hecho, dependen de muchas más de las que somos
capaces de darnos cuenta.
Levante la vista y mire a su alrededor. ¿Cuántas libertades de movimiento posee? ¿Le parece que tiene
algún sentido modelar esto como si fuese la recta real? Probablemente no (si la respuesta fue “śı”,
entonces mire de nuevo hasta que se convenza). Al menos necesitaŕıamos un par de coordenadas extra,
digamos dos: y, z. Con este simple ejercicio, acabamos de cambiar nuestra percepción de la realidad
y llevar nuestro primitivo pero a la vez familiar mundo de Cálculo I, a uno donde las coordenadas
espaciales serán (x, y, z), lo que se conoce como R3.
Ahora, si Ud. cree que con eso se acabó toda la historia, no se precipite. ¿Aparenta ser suficiente
desenvolverse en R3? Imagine que en este instante suena su teléfono (o iPhone si es que le da asquito
tener algo tan poco PUC) y lo llama un ex-compañero del colegio, el cual no ve hace cinco años, para
juntarse a tomar algo. Acuerdan juntarse en el Budapest. ¿No siente que falta algo? Cuando es necesario
precisar un punto de reunión, no sólo fijamos el lugar espacial donde este se llevará a cabo, sino que
también fijamos el momento en el que volveremos a ver a nuestro ex-compañero. De esta forma, R3
también es un mundo que nos queda chico, y nos volvemos a ver obligados agregar una nueva variable:
t, lo cual nos obliga a trabajar en R4.
De esta forma, el lector puede apreciar que sin importar cuánto se esfuerce, una nueva variable nunca
está de más. Por lo tanto, antes de entrar al Cálculo propiamente tal, nos interesa describir de una
forma más exacta en qué mundo trabajaremos.
Adelantamos que esta sección puede ser un poco densa, aśı que aconsejamos leerla con calma y más de
una vez si fuese necesario (probablemente lo será).
1.1David Hilbert (1862 - 1943) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y
principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y cient́ıfico inventando o desarrollando un gran abanico
de ideas, como la teoŕıa de invariantes, la axiomatización de la geometŕıa y la noción de espacio de Hilbert, uno de los
fundamentos del análisis funcional. También conocido por los “23 problemas de Hilbert”, los cuales fueron presentados
durante el Congreso Internacional de Matemáticos de Paŕıs en 1900 y que generaron grandes avances en la matemática del
siglo XX, ya sea para la resolución de ellos o por teoŕıas desarrolladas a partir de ellos y sus soluciones.
6 Introducción
1.1. Introducción
1.1 Definición. Definimos el conjunto de n-tuplas de números reales como
Rn := {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n} = R× R× . . .× R.
Como sabemos de Álgebra Lineal (śı, por esto y un par de cosas más, es un pre-requisito de este curso),
Rn es un espacio vectorial sobre R. Sin embargo, antes de empezar a trabajar con él, es necesario
recordar una operación que nos será muy útil.
1.2 Definición. Diremos que una función 〈·, ·〉 : Rn × Rn → R es un producto interno si satisface
que
(a) 〈x,x〉 ≥ 0, ∀x ∈ Rn.
(b) 〈x,x〉 = 0 ⇐⇒ x = 0.
(c) 〈x,y〉 = 〈y,x〉,∀x,y ∈ Rn.
(d) 〈x, αy〉 = α〈x,y〉,∀x,y ∈ Rn, α ∈ R.
(e) 〈x + y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉,∀x,y, z ∈ Rn.
1.3 Observación. Si x,y, z ∈ Rn y α ∈ R, entonces
〈αx,y〉 = 〈y, αx〉 = α〈y,x〉 = α〈x,y〉
y
〈x + z,y〉 = 〈y,x + z〉 = 〈y,x〉+ 〈y, z〉 = 〈x,y〉+ 〈z,y〉.
Es decir, la simetŕıa del producto interno nos permite obtener, a partir de la linealidad en una sola
de las componentes, la linealidad en ambas. Es por esta razón que se dice que el producto interno es
una forma bilineal simétrica definida positiva: bilineal pues es lineal en cada variable, simétrica por la
propiedad (c) y definida positiva por (a) y (b).
1.4 Observación. Si x,y ∈ Rn, entonces
〈x + y,x + y〉 = 〈x,x + y〉+ 〈y,x + y〉 = 〈x + y,x〉+ 〈x + y,y〉 = 〈x,x〉+ 〈y,x〉+ 〈x,y〉+ 〈y,y〉,
es decir,
〈x + y,x + y〉 = 〈x,x〉+ 2〈x,y〉+ 〈y,y〉.
Esto nos garantiza la existencia de un “cuadrado de binomio”
1.5 Ejercicio. Muestre que 〈0,x〉 = 0, ∀x ∈ Rn.
1.6 Ejemplo. Por lo general, en Rn se trabaja con el producto canónico o producto punto definido
como
x · y := 〈x,y〉 =
n∑
i=1
xiyi. (1.1)
1.7 Ejercicio. Pruebe que el producto punto es realmente un producto interno, es decir, que se satis-
facen las condiciones de la definición del producto interno.
Topoloǵıa de Rn 7
1.2. Normas en Rn
Ahora queremos definir una forma de medir. 1.2 Partiremos definiendo axiomaticamente el concepto de
“norma” de un vector. Se supone que el lector está familiarizado con algunas normas, como la norma
euclidiana en R2:
‖(x, y)‖ =
√
x2 + y2
o el módulo en C:
|z| =
√
zz̄.
Estas normas las asociábamos al “largo del vector”. Con esta idea en mente, pero de forma un poco
más abstracta y formal, introducimos la siguiente definición.
1.8 Definición. Diremos que una función ‖·‖ : Rn → R es una norma si satisface que
(a) ‖x‖ ≥ 0,∀x ∈ Rn.
(b) ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0.
(c) ‖αx‖ = |α| ‖x‖ , ∀x ∈ Rn, α ∈ R.
(d) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ , ∀x,y ∈ Rn. (Desigualdad triangular)
Aśı, (Rn, ‖·‖) se dice un espacio vectorial normado (e.v.n).
1.9 Ejemplo. Generalmente en Rn se trabaja con la norma euclidiana definida como
‖x‖2 :=
(
n∑
i=1
|xi|2
) 1
2
. (1.2)
Esta norma es un caso particular de la norma p, dada por
‖x‖p :=
(
n∑
i=1
|xi|p
) 1
p
, (1.3)
con p ≥ 1.
1.10 Ejercicio. Pruebe que ‖·‖2 es realmente una norma.1.3
1.11 Observación. Si n = 1, es decir, en R, todas las normas p son iguales.
Notemos que que
‖x‖2 =
√
x · x.
Esto no es una casualidad. Existe una ı́ntima relación (que bordea en lo porno) entre la norma euclidiana
y el producto canónico, pero antes de describirla, es necesario probar un lema que nos será muy útil.
1.2Este es un deseo que, por siglos, ha llevado a los matemáticos a definir toda clase de cosas horrosamente complejas
(partiendo por los espacios métricos y los espacios topológicos) pero que han sido de una incréıble utilidad para el desarrollo
tanto de la f́ısica como de la ingenieŕıa.
1.3Es posible probar que ‖·‖p es realmente una norma pero mostrar la desigualdad triangular en este caso requiere
much́ısimo trabajo pues antes se debe probar la famosa desigualdad de Hölder que generaliza la desigualdad de Cauchy-
Schwarz-Bunyakovsky.
8 Normas en Rn
1.12 Lema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky). Sean x,y ∈ Rn, entonces
〈x,y〉2 ≤ 〈x,x〉〈y,y〉.
Demostración. Notemos que
0 ≤ 〈αx + y, αx + y〉 = 〈αx, αx〉+ 2〈αx,y〉+ 〈y,y〉 = α2〈x,x〉+ 2α〈x,y〉+ 〈y,y〉, ∀α ∈ R.
Luego, de la condición para el discriminante de la cuadrática en α, conclúımos que
(2〈x,y〉)2 − 4〈x,x〉〈y,y〉 ≤ 0 ⇐⇒ 〈x,y〉2 ≤ 〈x,x〉〈y,y〉.
1.13 Observación. El poder escribir una norma en términos de un producto punto es sumamente útil
pero no siempre es posible.1.4 Por ejemplo, es posible mostrar que para p 6= 2, la norma ‖·‖p no proviene
de un producto interno.
1.14 Teorema. Sea 〈·, ·〉 un producto interno de Rn. Entonces, la función ‖·‖ =
√
〈·, ·〉 es una norma.
Demostración. Sean x,y ∈ Rn y α ∈ R.
(a) Como 〈x,x〉 ≥ 0 con la igualdad si y sólo si x = 0, se tiene que ‖x‖ =
√
〈x,x〉 ≥ 0 con la igualdad
si y sólo si x = 0.
(b) Como 〈αx, αx〉 = α2〈x,x〉, se tiene que
‖αx‖ =
√
〈αx, αx〉 =
√
α2〈x,x〉 = |α| 〈x,x〉 = |α| ‖x‖ .
(c) Notemos que ‖x + y‖ =
√
〈x + y,x + y〉 =
√
〈x,x〉+ 2〈x,y〉+ 〈y,y〉 =
√
‖x‖2 + 2〈x,y〉+ ‖y‖2.
Pero, por el Lema 1.12, sabemos que 〈x,y〉 ≤ ‖x‖‖y‖, de lo cual sigue que
‖x + y‖ ≤
√
‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖+ ‖y‖2 =
√
(‖x‖+ ‖y‖)2 = ‖x‖+ ‖y‖ .
1.15 Ejercicio (Ley del Paralelogramo). Sea ‖·‖ la norma inducida por un producto interno en Rn.
Muestre que
‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2
(
‖x‖2 + ‖y‖2
)
. (1.4)
Como hemos adelantado, la norma nos entrega una forma de medir. Recordemos que dados x,y ∈ Rn,
el vector x− y representa segmento que une x e y. Luego, al igual que como se hizo en R, diremos que
la distancia entre x e y está dada por
d(x,y) := ‖x− y‖ . (1.5)
Queremos destacar que la introducción de una noción de distancia es sumamente importante para
desarrollar el Cálculo, pues permite definir qué es estar cerca, i.e. las definiciones con ε y δ con las que
el lector fue atormentado en su pasado (y en su futuro cercano).
1.16 Observación. Sean x,y, z ∈ Rn, entonces
‖x− y‖ = ‖x− z + z− y‖ = ‖(x− z) + (z− y)‖ ≤ ‖x− z‖+ ‖z− y‖ ,
es decir,
d(x,y) ≤ d(x, z) + d(z,y). (1.6)
1.4Para este tipo de normas se ha desarrollado una enorme teoŕıa conocida como los espacios de Hilbert, un caso particular
de los espacios de Banach.
Topoloǵıa de Rn 9
1.3. Abiertos y Cerrados
De ahora en adelante, (R, ‖·‖) será un e.v.n. donde ‖·‖ representa a la norma euclidiana definida en
(1.2).
1.17 Definición. Sea x0 ∈ Rn y r > 0. Definimos la bola abierta de centro x0 y radio r como
B (x0, r) := {x ∈ Rn : ‖x− x0‖ < r} .
1.18 Ejemplo. Miremos algunas bolas variando la dimensión del espacio.
(a) Si n = 1, entonces B(x0, r) = {x ∈ R : |x− x0| < r} =]x0 − r, x0 + r[.
(b) Si n = 2, entonces B (x0, r) =
{
(x, y) ∈ R2 :
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < r
}
, es decir, el disco de
radio r y centro x0 = (x0, y0) (sin incluir el borde).
(c) Si n = 3, entonces B (x0, r) =
{
(x, y, z) ∈ R3 :
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < r
}
, es decir,
la esfera de radio r y centro en x0 = (x0, y0, z0) (sin incluir el casquete).
1.19 Ejercicio. Interprete la bola B (x0, r) con la norma ‖·‖p definida en (1.3) para p = 1 y p =∞ en
R2, donde ‖·‖∞ es la norma definida en el Problema 1.2.
1.20 Definición. Sea U ⊆ Rn. Diremos que U es un conjunto abierto si para cada x ∈ U existe r > 0
tal que B (x, r) ⊆ U .
La siguiente definición nos entrega una forma alternativa de definir los conjuntos abiertos.
1.21 Definición. Sea A ⊆ Rn. Diremos que x ∈ A es un punto interior de A si existe r > 0 tal que
B (x, r) ⊆ A.
A partir de esto, se define el interior de A, denotado por Ao, como el conjunto de todos sus puntos
interiores, es decir,
Ao := {x ∈ A : ∃r > 0, B (x, r) ⊆ A} .
De esta forma, A es un conjunto abierto si y sólo si todo punto de A es un punto interior, es decir, si
A = Ao.
1.22 Ejemplo. Tenemos que
(a) ]a, b[ es un abierto en R.
(b)
{
(x, y) ∈ R2 : y > 0
}
es un abierto en R2.
(c)
{
(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 < 1
}
es un abierto en R3.
(d) Rn,∅ son trivialmente abiertos en Rn.
1.23 Observación. Como ya se dijo, ]a, b[ es un abierto de R. Sin embargo, el conjunto
{
(x, y) ∈ R2 : a < x < b, y = 0
}
no es un abierto en R2 pues cualquier bola centrada en algún punto de dicho conjunto contendrá ele-
mentos del semiplano superior y estos no pertenecen al conjunto en cuestión.
1.24 Definición. Sea V ⊆ Rn. Diremos que V es un conjunto cerrado si V c = Rr V es abierto.
1.25 Ejemplo. Como espera el lector, el intervalo cerrado [a, b] es cerrado en R pues [a, b]c =] −
∞, a[∪]b,∞[ es abierto (¡Pruébelo!).
10 Abiertos y Cerrados
1.26 Ejercicio. Interprete los conjuntos cerrados obtenidos al tomar complemento en el Ejemplo 1.22.
1.27 Observación. Ser cerrado no implica no ser abierto, ni viceversa. Por ejemplo, como Rn es abierto,
se tiene que (Rn)c = ∅ es cerrado. Sin embargo, ∅ también es abierto y por ende, también ∅c = Rn es
cerrado. Es decir, Rn y ∅ son conjuntos cerrados y abiertos a la vez.
Sin embargo, es posible probar que los únicos conjuntos que cumplen esta propiedad en (Rn, ‖·‖) son
justamente Rn y ∅. Esto se debe a que Rn posee una propiedad llamada conexidad (que no tenemos
ninguna intención de profundizar ya que escapa ampliamente de los objetivos de esta sección).
1.28 Observación. Un conjunto puede no ser cerrado ni abierto a la vez. Por ejemplo, [a, b[⊆ R no es
ni abierto ni cerrado.
1.29 Proposición. Sea x ∈ Rn y r > 0, entonces la bola abierta B (x, r) es abierta.
Demostración. Sea y ∈ B (x, r). Debemos probar que existe ry > 0 tal que B (y, ry) ⊆ B (x, r). Llame-
mos
r1 = ‖y − x‖ < r
y tomemos ry = r − r1 > 0. De esta forma, dado z ∈ B (y, ry), se tiene que
‖z− x‖ ≤ ‖z− y‖+ ‖x− y‖ < ry + r1 = r,
es decir, z ∈ B (x, r).
Luego, como z era arbitrario, B (y, ry) ⊆ B (x, r) y por lo tanto, la bola B (x, r) es abierta.
1.30 Ejercicio. Muestre que la bola perforada
B◦(x0, r) := B (x0, r) r {x0} = {x ∈ Rn : 0 < ‖x− x0‖ < r}
es abierta.
1.31 Ejercicio. Muestre que la bola cerrada
B(x0, r) := {x ∈ Rn : ‖x− x0‖ ≤ r}
es cerrada.
1.32 Lema. Sean U1, U2 ⊆ Rn dos abiertos, entonces U1 ∪ U2 y U1 ∩ U2 también son abiertos.
Demostración. Sea x ∈ U1 ∪U2 entonces x ∈ U1 ó x ∈ U2. Sin pérdida de generalidad, supongamos que
x ∈ U1. Como U1 es abierto, existe r > 0 tal que B (x, r) ⊆ U1 ⊆ U1 ∪U2. Luego, como x era arbitrario,
tenemos que U1 ∪ U2 es abierto.
Por otro lado, sea x ∈ U1 ∩ U2 entonces x ∈ U1 y x ∈ U2. Luego, como U1, U2 son abiertos, existen
r1, r2 tales que B (x, ri) ⊆ Ui, i = 1, 2. Escojamos r = mı́n{r1, r2} > 0, entonces se tiene que B (x, r) ⊆
B (x, ri) ⊆ Ui y sigue que B (x, r) ⊆ U1 ∩ U2. Aśı, como x era nuevamente arbitrario, tenemos que
U1 ∩ U2 es abierto.
1.33 Observación. Si V1, V2 ⊆ Rn son cerrados, entonces V c
1 , V
c
2 son abiertos. Luego, del Lema 1.32,
se extrae que V c
1 ∪V c
2 es abierto y por lo tanto, (V c
1 ∪ V c
2 )c = V1∩V2 es cerrado. Es decir, la ı́ntersección
de cerrados es cerrada.
De la misma forma, se prueba que V1 ∪ V2 también es cerrado.
Topoloǵıa de Rn 11
1.34 Observación. Es posible mostrar que si (Uλ)λ∈Λ es una familia de abiertos y Λ es un conjunto
de ı́ndices de cualquier cardinalidad, entonces
U =
⋃
λ∈Λ
Uλ
también es abierto. Sin embargo, una intersección cualquiera de abiertos no es necesariamente abierta,
por ejemplo
{0} =
⋂
n∈N
]
− 1
n
,
1
n
[
.
También es posible emular la Observación 1.33 y tomar complementos para concluir que una intersección
cualquiera de cerrados también es cerrada.
Sin embargo, estos resultados también van más allá de los objetivos de esta sección y sólo se muestran
como cultura general.
1.4. Acumulación, Frontera y Clausura
1.35 Definición. Sea (xn)n∈N una sucesión de puntos en Rn. Diremos que xn converge a p ∈ Rn (o
que p es el ĺımite de xn) si para cada ε > 0 existe n0 > 0 tal que
‖xn − p‖ < ε, ∀n ≥ n0,
o equivalentemente, xn ∈ B (p, ε) ,∀n ≥ n0. En tal caso diremos que xn → p cuando n→∞.
1.36 Definición. Sea A ⊆ Rn, no vaćıo y p ∈ Rn. Diremos que p es un punto de acumulación o
punto ĺımite de A si para todo r > 0 se tiene que Bo(p, r) ∩A 6= ∅.
A partir de esto, se define la acumulación de A, denotada por A′, como el conjunto de los puntos de
acumulación de A, es decir,
A′ := {p ∈ Rn : ∀r > 0, Bo(p, r) ∩A 6= ∅} .
1.37 Observación. Si p es un punto ĺımite de A, entonces para cada n ∈ N se tiene que B (p, 1/n)∩A 6=
∅. Luego, de cada uno de esos conjuntos podemos extraer un elemento y con ello construir una sucesión
(xn)n∈N ⊆ A tal que xn → p cuando n→∞.
Con esto hemos probado la siguiente proposición.
1.38 Proposición. Sea A ⊆ Rn. Si p ∈ A′ entonces existe una sucesión (xn)n∈N ⊆ A tal que xn → p
cuando n→∞.
1.39 Ejemplo. Usemos la Proposición 1.38 para mirar algunos ejemplos de acumulación:
(a) A = Q×Q ⊆ R2 ⇒ A′ = R2.
(b) A =
{(
1
n ,
1
n2 ,
1
n3
)
: n ∈ N
}
⊆ R3 ⇒ A′ = {(0, 0, 0)} .
(c) A = {(2n, 3n) : n ∈ N} ⊆ R2 ⇒ A′ = ∅.
El siguiente teorema es muy importante porque nos entrega una manera de identificar si es que un
conjunto es cerrado sin tener que analizar si su complemento es abierto.
12 Acumulación, Frontera y Clausura
1.40 Teorema. Sea V ⊆ Rn no vaćıo. Ves cerrado si y sólo si V ′ ⊆ V .
Demostración. Como es costumbre, mostraremos cada implicancia por separado. Llamemos U al com-
plemento de V , es decir, U = Rn r V .
(=⇒). Supongamos que V es cerrado. Por definición tenemos que U es abierto. Sea x ∈ U , entonces
existe r > 0 tal que B (x, r) ⊆ U y por lo tanto, B (x, r) ∩ V = ∅. Es decir, x no es un punto ĺımite de
V . Luego, como x era arbitrario, se tiene que V ′ ⊆ V .
(⇐=). Supongamos que V ′ ⊆ V . Sea x ∈ U , entonces existe r > 0 tal que B (x, r) ∩ V = ∅ y por lo
tanto, B (x, r) ⊆ V c = U . Con esto tenemos que x es un punto interior de U y como era arbitrario,
concluimos que U es abierto. Aśı, por definición, U c = (V c)c = V es cerrado.
1.41 Definición. Sea A ⊆ Rn y q ∈ Rn. Diremos que q es un punto frontera de A si para todo r > 0
se tiene que B (q, r) ∩A 6= ∅ y B (q, r) ∩Ac 6= ∅.
A partir de lo anterior, definimos la frontera de A, denotada por ∂A como el conjunto de todos los
puntos frontera, es decir,
∂A = {q ∈ Rn : ∀r > 0, B (q, r) ∩A 6= ∅, B (q, r) ∩Ac 6= ∅} .
1.42 Ejemplo. Miremos algunas fronteras.
(a) A =]a, b[⇒ ∂A = {a, b}.
(b) ∂B (0, r) = {x ∈ Rn : ‖x‖ = r}.
(c) A =
{
(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0
}
⇒ ∂A =
{
(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, xy = 0
}
.
1.43 Observación. ∂A = ∂(Ac).
1.44 Observación. Si A ∩ ∂A 6= ∅, es decir, si A contiene a alguno de sus puntos frontera, A no es
abierto.
1.45 Definición. Sea A ⊆ Rn. Se define la clausura de A como
A := Ao ∪ ∂A.
1.46 Ejercicio. Sea A ⊆ Rn arbitrario.
(a) Muestre que A = A ∪A′ y concluya que
Ao ⊆ A ⊆ A.
(b) Muestre que A es un conjunto cerrado.
(c) Muestre que si A es cerrado, entonces ∂A ⊆ A.
(d) Concluya que A es cerrado si y sólo si A = A.
1.47 Ejercicio. Muestre que la bola cerrada definida en el Ejercicio 1.31 es efectivamente la clausura
de la bola abierta.
1.48 Definición. Sea A ⊆ Rn. Diremos que A es un conjunto acotado si existe r > 0 tal que
A ⊆ B (0, r).
1.49 Observación. Toda bola abierta es acotada.
1.50 Definición. Sea A ⊆ Rn. Diremos que A es un conjunto compacto si es cerrado y acotado.
1.51 Ejemplo. Todo intervalo cerrado [a, b] ⊆ R es un conjunto compacto.
Topoloǵıa de Rn 13
1.5. Un par de definiciones geométricas
1.52 Definición. Sean x,y ∈ Rn. El segmento de la recta con punto inicial x y punto final y es el
conjunto
xy = {z ∈ Rn : ∃t ∈ [0, 1], z = x + t(y − x)} .
1.53 Observación. Notemos que
z = x + t(y − x) = (1− t)x + ty.
Luego, xy corresponde al conjunto de todas las combinaciones lineales convexas entre x y y.
1.54 Definición. Sea A ⊆ Rn. Diremos que A es un conjunto convexo si para cualquier par de puntos
x,y ∈ A se cumple que xy ⊆ A.
1.55 Definición. Dada una colección de puntos x1, . . . ,xm ∈ Rn, la poligonal que une dichos puntos
es la unión de los segmentos de rectas con punto inicial xi y punto final xi+1, con i = 1, . . . ,m− 1. Es
decir, la poligonal está dada por
m−1⋃
i=1
xixi+1.
1.56 Definición. Sea D ⊆ Rn un conjunto abierto. Diremos que D es una región en Rn si todo par
de puntos de D se puede unir mediante una poligonal contenida en D.
Intuitivamente, una región es un conjunto que no está compuesto por la unión de dos conjuntos disjuntos.
Notar que una región puede tener “agujeros”.
1.6. Problemas Resueltos
1.1 Problema. Sean x1, . . . , xn > 0. Muestre que(
1
x1
+ . . .+
1
xn
)
(x1 + . . .+ xn) ≥ n2.
Solución: Como xi > 0 para cada i, existen y1, . . . , yn > 0 tales que y2
i = xi. Consideremos los vectores
de Rn dados por
(
1
y1
, . . . , 1
yn
)
, (y1, . . . , yn). Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky,
tenemos que ∥∥∥∥( 1
y1
, . . . ,
1
yn
)∥∥∥∥ ‖(y1, . . . , yn)‖ ≥
(
1
y1
, . . . ,
1
yn
)
· (y1, . . . , yn) = n,
donde
‖(y1, . . . , yn)‖ =
√
y2
1 + . . .+ y2
n =
√
x1 + . . .+ xn.
Elevando al cuadrado se concluye la desigualdad buscada.
1.2 Problema. Para cada x ∈ Rn se define la norma del máximo como
‖x‖∞ := máx
i=1,...,n
|xi| . (1.7)
(a) Muestre que (1.7) define una norma en Rn.
14 Problemas Resueltos
(b) Muestre que
‖x‖∞ = ĺım
p→∞
‖x‖p .
Solución:
(a) Debemos probar que se satisfacen todas las propiedades de la Definición 1.8. En efecto, todas son
evidentes, excepto la Desigualdad Triangular. Dados x,y ∈ Rn, por la desigualdad triangular del
valor absoluto, se tiene que
|xi + yi| ≤ |xi|+ |yi| , ∀i = 1, . . . , n.
Luego, tomando máximo a ambos lados, se tiene que
máx
i=1,...,n
|xi + yi| ≤ máx
i=1,...,n
(|xi|+ |yi|) .
Pero maximizar una suma de elementos es menos eficiente que maximizar cada elemento por
separado y luego sumarlos, es decir,
máx
i=1,...,n
(|xi|+ |yi|) ≤ máx
i=1,...,n
|xi|+ máx
i=1,...,n
|yi|
y por ende,
‖x + y‖∞ ≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞ .
(b) Sea M = máx
i=1,...,n
|xi|. Tenemos que
‖x‖p =
(
n∑
i=1
|xi|p
) 1
p
≤
(
n∑
i=1
Mp
) 1
p
= Mn
1
p .
Además, es claro que
M ≤ ‖x‖p .
Finalmente, tomando el ĺımite cuando p→∞, se tiene que
M ≤ ĺım
p→∞
‖x‖p ≤ ĺım
p→∞
Mn
1
p = M.
Aśı, por el Teorema del Sandwich, se concluye lo pedido.
1.3 Problema. Sea x ∈ Rn y ‖·‖ una norma en Rn. Considere y, z ∈ Rn y δ > 0 tales que
‖z− x‖ < δ y ‖y − x‖ ≥ 2δ.
Muestre que ‖z− y‖ > δ.
Solución: Usando la Observación 1.16, tenemos que
2δ ≤ ‖y − x‖ ≤ ‖z − x‖+ ‖z − y‖ < δ + ‖z − y‖ ,
es decir,
δ < ‖z − y‖ .
Topoloǵıa de Rn 15
1.4 Problema. Sea (xn)n∈N una sucesión de vectores en Rn. Se dice que es una sucesión de Cauchy
si dado ε > 0, existe n0 > 0 tal que
‖xn − xm‖ < ε, ∀n,m > n0.
Muestre que toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy.
Solución: Sea (xn)n∈N ⊆ Rn una sucesión convergente a x ∈ Rn. Luego, dado ε > 0, existe n0 > 0 tal
que
‖xn − x‖ < ε
2
, ∀n > n0.
Aśı, si n,m > n0, usando la desigualdad triangular se tiene que
‖xn − xm‖ ≤ ‖xn − x‖+ ‖xm − x‖ < ε
2
+
ε
2
= ε.
Por lo tanto, la sucesión también es de Cauchy.
1.5 Problema. Sea ‖·‖ una norma en Rn. Muestre que para todo par x,y ∈ Rn, se cumple que
|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖ .
Solución: Como ‖·‖ es una norma, satisface la Desigualdad Triangular. Luego, tenemos que
‖x‖ = ‖(x− y) + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖ ,
de donde escribimos
‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖ .
De forma totalmente análoga, intercambiando los papeles de x e y, se muestra que
‖y‖ − ‖x‖ ≤ ‖x− y‖ .
Juntando ambas desigualdades, obtenemos
−‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖ ,
lo cual puede ser reescrito como
|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖ .
1.6 Problema. Muestre que A = {x ∈ Rn : ‖x‖ > r} es un abierto de Rn.
Solución: Notemos que Ac = {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ r} = B (0, r). Luego, por el Ejercicio 1.31, se tiene que
Ac es cerrado y por ende, A es abierto.
1.7 Problema. Sea A ⊆ Rn un abierto y x ∈ A. Muestre que Ar {x} también es abierto.
Solución: Sea y ∈ A tal que y 6= x. Entonces, si definimos
r1 := ‖x− y‖ ,
se tiene que r1 > 0. Por otro lado, como A es abierto, existe r2 > 0 tal que B (y, r2) ⊆ A. Luego,
tomando
r = máx {r1, r2} ,
tenemos que B (y, r) ⊆ Ar {x} y por lo tanto, Ar {x} es abierto.
16 Problemas Resueltos
1.8 Problema. Sea A ⊆ Rn. Muestre que ∂A es un cerrado de Rn.
Solución: Mostraremos que (∂A)′ ⊆ ∂A. Sea p ∈ Rn un punto ĺımite de ∂A. Para cada ε > 0 se tiene
que Bo(p, ε) ∩ ∂A 6= ∅, es decir, existen elementos de ∂A dentro de Bo(p, ε). Sea y ∈ Bo(p, ε) ∩ ∂A,
entonces, como la bola perforada es abierta, existe r > 0 tal que
B (y, r) ⊆ Bo(p, ε). (1.8)
Luego, dado que y ∈ ∂A, se tiene que B (y, r)∩A 6= ∅ y B (y, r)∩Ac 6= ∅. Aśı, por (1.8), se tiene que
Bo(p, ε) ∩A 6= ∅ y Bo(p, ε) ∩Ac 6= ∅, es decir, p ∈ ∂A.
Finalmente, como p era arbitrario, concluimos que ∂A contiene a todos sus puntos ĺımites y por lo
tanto, es cerrada.
1.9 Problema. Sea I un intervalo abierto de R y J ⊆ I un subintervalo cerrado. Demuestre que I r J
es abierto.
Solución: Como J es cerrado, se tiene que Jc es abierto. Luego, como I es abierto y la intersección
finita de abiertos es abierta, se tiene que I − J = I ∩ Jc es abierto.
1.10 Problema. Determine si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados o ninguno de los dos en
su espacio caracteŕıstico.
(a) {0}
(b) N
(c) Q
(d){(x, y) ∈ R2 : y = x2}
(e) {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y = 0}
Solución: Explotaremos el Teorema 1.40 y la Observación 1.44.
(a) Es cerrado pues su único punto ĺımite es 0. No es abierto pues su complemento no es cerrado.
(b) Es cerrado pues ∂N = N. Por lo mismo, no es abierto.
(c) No es abierto pues ∂Q = R. Por lo mismo, no es cerrado.
(d) Es cerrado pues su complemento es abierto. No es abierto pues su complemento no es cerrado.
(e) No es abierto pues ninguna bola queda contenida en el interior del conjunto. Tampoco es cerrado
pues (0, 0) es un punto ĺımite del conjunto y no está pertenece a él.
Topoloǵıa de Rn 17
Fuente: http://abstrusegoose.com/strips/math_text.JPG1.5
1.5Se dice que P ⊆ Rn es perfecto si es igual al conjunto de sus puntos ĺımites. Si el lector está muy aburrido, puede
tratar de probar el Teorema escrito por Walter Rudin.
http://abstrusegoose.com/strips/math_text.JPG
Caṕıtulo 2
Cálculo Diferencial de Funciones
Escalares en Varias Variables
“I recoil with dismay and horror at this lamentable plague of functions which do not have derivatives.”
- Charles Hermite2.1
Ahora que nuestra visión se ha ampliado correctamente, nos gustaŕıa poder asociarle a cada punto de Rn
una nueva “variable”. Las comillas se deben a que tan variable no es, pues ya no será independiente, sino
que dependerá del punto en cuestión. Por ejemplo, si estamos viajando en el metro durante el verano,
nos gustaŕıa saber cuál es el lugar de menor temperatura para aśı ubicarnos alĺı. Es decir, nos gustaŕıa
a cada tŕıo (x, y, z) asociarle un número, digamos T , que mida la temperatura. (El lector ya puede
sentirlo: ¡han vuelto, y esta vez dependen de más variables!). Necesitamos una función T = T (x, y, z).
De ahora en adelante y a menos que se indique lo contrario, usaremos la siguiente convención para
U, V,D ⊆ Rn: U será un abierto, V será un cerrado y D será una región.
2.1. Funciones Escalares de Varias Variables
2.1 Definición. Una aplicación f : A ⊆ Rn → R se denomina función escalar de varias variables,
función escalar de variable vectorial o simplemente, campo escalar.
2.2 Ejemplo. Son funciones escalares de varias variables:
(a) f(x, y) = πxy2.
(b) g(x, y, z) = 2exyz + 9.
(c) h(x, y, z, w) = cos (xy + z) arctanw2 + cosh(xz).
2.1Charles Hermite (1822-1901) fue un matemático francés que investigó en el campo de la teoŕıa de números, sobre las
formas cuadráticas, polinomios ortogonales y funciones eĺıpticas, y en el álgebra. Varias entidades matemáticas se llaman
hermitianas en su honor. También es conocido por la interpolación polinómica de Hermite. Fue el primero que demostró que
e es un número trascendente (i.e. no es ráız de ningún polinomio de coeficientes racionales). Ferdinand von Lindemann
siguió su método para probar la trascendencia de π en 1882.
20 Funciones Escalares de Varias Variables
Volvamos un momento a Introducción al Cálculo (también conocido como “el curso de tonteras varias”).
Para graficar una función f : R→ R ibamos a R2 y dibujabamos la curva dada por (x, f(x)). Entonces,
deciamos que la gráfica de f estaba dada por
Γ(f) =
{
(x, y) ∈ R2 : x ∈ Dom f, y = f(x)
}
.
Ahora queremos extender esta definición a un campo escalar.
2.3 Definición. Sea f : Rn → R, definimos la gráfica de f como
Γ(f) =
{
(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : (x1, . . . , xn) ∈ Dom f, xn+1 = f(x1, . . . , xn)
}
.
Además,
(a) Si n = 1, diremos que Γ(f) es una curva.
(b) Si n ≥ 2, diremos que Γ(f) es una superficie.2.2
2.4 Definición. Sea f : Rn → R y c ∈ R fijo. Se definen las curvas ó superficies de nivel c de f
como
f−1(c) = {(x1, . . . , xn) ∈ Dom f : f(x1, . . . , xn) = c} .
2.5 Observación. Esta es la parte en la que el lector confunde la notación de f−1 con la función
inversa de f . ¡No lo haga! En este caso, f−1(c) no es un número sino un conjunto. Espećıficamente, es
el conjunto de puntos en el dominio de f en donde ésta vale lo mismo (a saber, c).
El concepto es más familiar de lo que el lector creeŕıa a primera vista. Por ejemplo, los mapas t́ıpicamente
muestran curvas de contorno con las distintas alturas del terreno. De forma similar, en meteoroloǵıa (o
en termodinámica) se habla isotermas: curvas sobre las cuales la temperatura es constante. El siguiente
diagrama muestra este último uso:2.3
2.2Estamos de acuerdo en que al principio puede ser un tanto exótico llamar superficie a una cosa rara que viva en R4
pues es muy dif́ıcil imaginárselo (si ya comenzó a tratar, siga a lo más por 5 minutos o puede sufrir un derrame y una
depresión).
2.3Atmospheric Sciences, University of Illinois. En http://ww2010.atmos.uiuc.edu/(Gh)/wx/surface.rxml.
http://ww2010.atmos.uiuc.edu/(Gh)/wx/surface.rxml
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 21
2.6 Ejemplo. Sea f(x, y) = x2 + y2, entonces
f−1(c) =

∅ , si c < 0
(0, 0) , si c = 0
x2 + y2 = c , si c > 0
.
Notamos que en el último caso, las curvas de nivel corresponden a circunferencias de radio
√
c.
2.7 Ejemplo. Sea f(x, y) =
√
x2 + y2, entonces
f−1(c) =

∅ , si c < 0
(0, 0) , si c = 0
x2 + y2 = c2 , si c > 0
.
Notamos que en el último caso, las curvas de nivel corresponden a circunferencias de radio c.
2.8 Ejercicio. Sea f(x, y) = x2 − y2. Determine f−1(c) para todo c ∈ R.
Las curvas de nivel son escenciales para estudiar la gráfica de una función pues nos permiten hacer el
análogo a una carta topográfica. Además, es útil usar proyecciones a otros planos, es decir, fijar una
variable en cero.
A continuación presentamos un par de ejemplos y le sugerimos al lector que abra Maple y juegue con
otras superficies a través del comando plot3d.
22 Funciones Escalares de Varias Variables
2.9 Ejemplo (Paraboloide).
Sea f(x, y) = x2 + y2. Sus curvas de nivel encontradas en 2.6
pueden ser graficadas como se muestra en la figura.
Por otro lado, notemos que al proyectar sobre el plano
XZ e Y Z, vale decir, hacemos y = 0 y x = 0 respectivamente,
tenemos que
Πxz : z = x2 , Πyz : z = y2.
Finalmente, con esto podemos construir el gráfico del parabo-
loide, que se presenta en la figura a continuación.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 23
2.10 Ejemplo (Cono).
Sea f(x, y) =
√
x2 + y2. En este caso, las curvas de nivel quedan
dadas por 2.7 y se muestran en la figura.
Además, tenemos que
Πxz : z = |x| , Πyz : z = |y|.
Con esto podemos construir el gráfico del cono, que se presenta en
la figura a continuación.
24 Funciones Escalares de Varias Variables
2.11 Ejemplo (Silla de montar).
Sea f(x, y) = x2 − y2. Si el lector realizó el Ejercicio 2.8, recono-
cerá en la figura las curvas de nivel.
Por otro lado, tenemos que
Πxz : z = x2 , Πyz : z = −y2.
Con esto, podemos construir el gráfico de la silla de montar que
se presenta en la figura a continuación.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 25
2.2. Ĺımites
2.12 Definición. Sea f : U ⊆ Rn → R,p ∈ U ′ y l ∈ R. Diremos que l es el ĺımite de f cuando x
tiende a p, si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ B◦ (p, δ) ∩ U entonces |f(x)− l| < ε. O
equivalentemente,
(x ∈ U ∧ 0 < ‖x− p‖ < δ)⇒ |f(x)− l| < ε.
Si lo anterior se cumple, escribiremos
ĺım
x→p
f(x) = l,
y diremos que f → l cuando x→ p.
2.13 Observación. Observemos que al igual en el Cálculo en una Variable, no hay necesidad alguna
de que f esté definida en p. A p le pedimos que sea un punto de acumulación de U , es decir, que cada
bola B◦ (p, δ) contenga puntos del conjunto U en los que la función está definida (esto, obviamente, con
la intención de tomar bolas tan pequeñas como uno quiera y aśı acercarse lo más posible a p).
2.14 Observación. Hacemos notar una de las diferencias más importantes con el concepto de ĺımite en
R: ahora es más dif́ıcil mostrar que un ĺımite existe pues hay infinitas direcciones posibles para acercarse
a un punto, a diferencia de R, donde sólo exist́ıan las laterales.
2.15Ejemplo. Sea ε > 0. Como
0 ≤ |x− x0|, |y − x0| ≤
√
(x− x0)2 + (y − y0)2,
si tenemos que
‖(x, y)− (x0, y0)‖ =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 < ε,
entonces, también se cumple que
|x− x0|, |y − x0| < ε.
Por lo tanto,
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
x = x0 , ĺım
(x,y)→(x0,y0)
y = y0.
2.16 Ejemplo. Estudiaremos el ĺımite
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
.
Recordemos que para x, y ∈ R, se tiene que
|x||y| ≤ x2 + y2
2
.
Luego, ∣∣∣∣∣ xy√
x2 + y2
∣∣∣∣∣ =
|x||y|√
x2 + y2
≤ x2 + y2
2
√
x2 + y2
=
1
2
√
x2 + y2.
Sea ε > 0. Por lo anterior, tenemos que si ‖(x, y)‖ = ‖(x, y)− (0, 0)‖ < 2ε, entonces∣∣∣∣∣ xy√
x2 + y2
− 0
∣∣∣∣∣ ≤ 1
2
√
x2 + y2 < ε.
Por lo tanto,
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
= 0.
26 Ĺımites
2.17 Ejercicio. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2
.
Como el lector puede apreciar, estudiar ĺımites por definición puede requerir bastantes trucos. Para
facilitarnos la vida recordaremos las buenas coordenadas polares de Cálculo II:
x = r cos θ , y = r sin θ.
Aśı, si ‖(x, y)− (0, 0)‖ < δ se tiene que r < δ y por ende, que (x, y)→ (0, 0) es equivalente a que r → 0.
Aunque se debe tener mucho ojo cuando se utilizan coordenadas polares pues si para algunos θ el ĺımite
se indefine, este método puede fallar.
2.18 Ejemplo. Estudiemos el ĺımite
ĺım
(x,y)→(0,0)
ex
2+y2 − 1
x2 + y2
.
Usando coordenadas polares, tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
ex
2+y2 − 1
x2 + y2
= ĺım
r→0
er
2 cos2 θ+r2 sin2 θ − 1
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ
= ĺım
r→0
er
2 − 1
r2
= 1.
2.19 Ejercicio. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y2)
(x+ y)2
.
Sin embargo, la mayoŕıa de las veces ocurre que los ĺımites no existen. Por raro que pueda sonar, probar
que un ĺımite no existe es mucho más fácil que probar que śı existe. Para ello necesitamos un par de
teoremas.
2.20 Teorema (Unicidad del Ĺımite). Si ĺım
x→p
f(x) = l1 y ĺım
x→p
f(x) = l2, entonces l1 = l2.
Demostración. Supongamos que l1 6= l2. Entonces |l1 − l2| > 0. Por otro lado, usando la Desigualdad
Triangular, tenemos que
|l1 − l2| ≤ |f(x)− l1|+ |f(x)− l2| .
Luego, como f → l1 cuando x→ p, existe δ1 > 0 tal que
x ∈ B (p, δ1) ∩ U ⇒ |f(x)− l1| <
1
2
|l1 − l2| .
Análogamente, como f → l2 cuando x→ p, existe δ2 > 0 tal que
x ∈ B (p, δ2) ∩ U ⇒ |f(x)− l2| <
1
2
|l1 − l2| .
Aśı, tomando δ = mı́n {δ1, δ2} > 0, tenemos que si x ∈ B (p, δ) ∩ U , entonces
|l1 − l2| ≤ |f(x)− l1|+ |f(x)− l2| <
1
2
|l1 − l2|+
1
2
|l1 − l2| = |l1 − l2| ,
de donde se obtiene que
|l1 − l2| < |l1 − l2| ,
lo cual es una contradicción.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 27
Como se mencionó, hay múltiples formas de acercarse a p. En particular, hay distintas curvas contenidas
en el dominio que pasan por el punto p y nos permiten aproximarnos a éste. El siguiente teorema indica
que si el ĺımite existe entonces es indiferente la curva que elijamos para aproximarnos.
2.21 Teorema. Sean f : U ⊆ Rn → R,p ∈ U ′ y l ∈ R tales que
ĺım
x→p
f(x) = l.
Consideremos ϕ : I ⊆ R→ Rn continua tal que ϕ(t) ⊆ U,∀t ∈ I r {t0} y
ĺım
t→t0
ϕ(t) = p,
con ϕ(t) 6= p, ∀t ∈ B◦ (t0, r) para algún r > 0. Entonces
ĺım
t→t0
f(ϕ(t)) = l.
Demostración. Sea ε > 0. Sabemos que ∃δ > 0 tal que si 0 < ‖x− p‖ < δ se tiene que |f(x)− l| < ε.
Por otro lado, como ϕ es continua, existe η > 0 tal que si 0 < |t − t0| < η, entonces 0 < ‖ϕ(t)− p‖ =
‖ϕ(t)− ϕ(t0)‖ < δ. Pero lo anterior implica que |f(ϕ(t))− l| < ε y sigue que
ĺım
t→t0
f(ϕ(t)) = l.
2.22 Observación. El Teorema 2.21 nos dice que el valor del ĺımite es independiente de la curva usada
para tender al punto en cuestión. Supongamos que tenemos dos curvas ϕ,ψ distintas y que satisfacen
las hipótesis del Teorema 2.21. Si ocurre que ϕ(t1) = ϕ(t2) = p y
ĺım
t→tϕ
f(ϕ(t)) = l1 6= l2 = ĺım
t→tψ
f(ψ(t)),
entonces, por el Teorema 2.20, se concluye que el ĺımite no existe.
2.23 Ejemplo. Estudiemos
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
.
Sea ϕ(t) = (t, t). Se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
= ĺım
t→0
t2
t2 + t2
=
1
2
.
Bien, tomemos ahora ψ(t) = (0, t), entonces
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
= ĺım
t→0
0
t2 + 0
= 0.
Aśı, como dos parametrizaciones entregaron distintos valores para el ĺımite, se concluye que no existe.
2.24 Observación. Hacemos notar que si al cambiar a coordenadas polares, el ĺımite resulta ser una
función de θ, es equivalente a mostrar que el valor del ĺımite depende de la parametrización que se escoja
y por ende, es equivalente a mostrar su no-existencia.
28 Ĺımites
2.25 Ejercicio. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
x2y
x4 + y2
.
2.26 Ejemplo. Sea f : U ⊆ R2 → R dada por
f(x, y) =
xy
x2 + y2
,
y U =
{
(x, y) ∈ R2 : |y| < x2
}
. Si nos preguntamos por el ĺımite
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y),
sobre todo R2, como ya vimos en el Ejemplo 2.23, no existe. Sin embargo, sobre U ya no tienen sentido
parametrizaciones como ψ(t) = (0, t). De hecho, notemos que∣∣∣∣ xy
x2 + y2
∣∣∣∣ =
|x||y|
x2 + y2
≤ |x|x2
x2 + y2
≤ |x|(x
2 + y2)
x2 + y2
= |x| ≤
√
x2 + y2.
Por lo tanto, bastaŕıa con tomar δ = ε para mostrar que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0,
sobre U .
Aún nos faltan un par de herramientas t́ıpicas para calcular algunos ĺımites habituales.
2.27 Proposición (Álgebra de Ĺımites). Sean f, g : U ⊆ Rn → R,p ∈ U ′, c ∈ R y l1, l2 ∈ R tales que
ĺım
x→p
f(x) = l1 , ĺım
x→p
g(x) = l2.
Entonces
(a) ĺım
x→p
(f + g)(x) = l1 + l2.
(b) ĺım
x→p
cf(x) = cl1.
(c) ĺım
x→p
f(x)g(x) = l1l2.
(d) ĺım
x→p
1
f(x)
=
1
l1
, si l1, f(x) 6= 0,∀x ∈ U .
Demostración. Análogas a las propiedades de ĺımites mostradas en Cálculo I. Se dejan como ejercicio
recomendado al lector pues le permitirán recordar algunos trucos.
2.28 Ejercicio. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
sinxy
sinx sin y
.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 29
2.3. Continuidad
2.29 Definición. Sea f : U ⊆ Rn → R,u ∈ U . Diremos que f es continua en u si:
ĺım
x→u
f(x) = f(u).
En lenguaje ε-δ diŕıamos: f es continua en u si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que:
x ∈ U ∧ ‖x− u‖ < δ ⇒ |f(x)− f(u)| < ε.
Es decir, si x ∈ B (u, δ) ∩ U entonces |f(x)− f(u)| < ε.
Además, diremos que f es continua en U si lo es en cada u ∈ U .
2.30 Ejemplo. Mostraremos que la función f : Rn → R definida por f(x) = ‖x‖ es continua en Rn.
Es suficiente comprobar que dado cualquier u ∈ Rn,
ĺım
x→u
‖x‖ = ‖u‖
Sea ε > 0. Según vimos en el Problema 1.5, se cumple que
|‖x‖ − ‖u‖| ≤ ‖x− u‖ .
En vista de esto, basta tomar ε = δ y entonces tendremos que
‖x− u‖ < δ ⇒ |‖x‖ − ‖u‖| ≤ ‖x− u‖ < δ = ε.
2.31 Ejemplo. Sea fn : {x ∈ Rn : xi ≥ 0,∀i = 1, . . . , n} → R definida como:
fn(x1, . . . , xn) := xm1
1 . . . xmnn =
n∏
i=1
xmii
con mi > 0, ∀i = 1, . . . , n. Demostraremos por inducción que esta función es continua:
(a) En el caso de n = 1, la función es de variable real, de la forma f1(x) = xm con x ∈ R. Basta notar
que f1(x) = em ln(x) y recordar que la composición de funciones continuas es continua.
(b) Supongamos que es cierto para n, es decir, que fn(x1, . . . , xn) es continua.
(c) Queremos demostrar la continuidad de fn+1 ó, equivalentemente, que dado u = (u1, . . . , un+1) ∈
Rn+1 se tiene que
ĺım
x→u
n+1∏
i=1
xmii =
n+1∏
i=1
umii
con x = (x1, . . . , xn+1). En primer lugar, por el Ejemplo 2.15, tenemos que si i = 1, . . . , n y
g : R→ R, entonces
ĺım
xi→ui
g(xi) = l⇒ ĺım
x→a
g(xi) = l.
En vista de lo anterior, podemos usar álgebra de ĺımites, ya que la hipótesis de inducción y el caso
base aseguran lo pedido en la Proposición 2.27. Tenemos de esta forma que:
ĺım
x→u
n+1∏
i=1
xmii =
(
ĺım
x→u
n∏
i=1
xmii
)(
ĺım
x→u
x
mn+1
n+1
)
(H.I.)
=
(
n∏
i=1
umii
)(
ĺım
x→u
x
mn+1
n+1
)
=
n+1∏
i=1
umii .
30 Continuidad
Aśı hemos demostrado que fn es continua en Rn para cualquier n ∈ N.
2.32 Proposición. Sean f, g : U ⊆ Rn → R continuas en u ∈ U y c ∈ R. Entonces:
(a) f + g es continua en u.
(b) cf es continua en u.
(c) fg es continua en u.
(d)
1
f
es continua en u, si f(x) 6= 0, ∀x ∈ U .
Demostración. Directo de la Proposición2.27.
2.33 Observación. A partir de la Proposición 2.32 y el Ejemplo 2.15, concluimos que todos los poli-
nomios en dos variables
P (x, y) =
m1∑
i=1
m2∑
j=1
aijx
iyj , ai,j ∈ R,
son continuos en todo R2. Luego, todas las funciones racionales
R(x, y) =
P (x, y)
Q(x, y)
,
son continuas donde Q(x, y) no se anula.
Esto se extiende de forma directa a Rn.
2.34 Definición. Sea f : Rn → R. Se define la imagen de A ⊆ Rn bajo f como
f(A) := {y ∈ R : ∃x ∈ A, f(x) = y} .
2.35 Proposición. Sea f : U ⊆ Rn → R continua y K ⊆ U compacto2.4. Se tiene que
(a) f(K) es compacto.
(b) Existen u1,u2 ∈ U tales que f(u1) ≤ f(u) ≤ f(u2),∀u ∈ U . Es decir, se alcanza el máximo y el
mı́nimo de la función en U .
2.36 Observación. La Proposición 2.35 nos será muy útil para buscar máximos y mı́nimos pues nos
garantiza su existencia cuando se optimiza dentro de un conjunto compacto.
2.37 Teorema. Sean f : A ⊆ Rn → R, g : B ⊆ R→ R con f(A) ⊆ B y B abierto. Si g es continua en
U y existe el ĺımite de f(x) cuando x→ p ∈ Rn, entonces
ĺım
x→p
g(f(x)) = g
(
ĺım
x→p
f(x)
)
.
Demostración. Se deja como ejercicio al lector para practicar el lenguaje ε-δ.
Este Teorema es muy importante pues nos permite concluir que la composición de funciones continuas
es continua.
2.38 Corolario. Sean f : A ⊆ Rn → R, g : B ⊆ R → R con f(A) ⊆ B. Si f y g son continuas en A y
B, respectivamente, entonces g ◦ f : A ⊆ Rn → R es continua en A.
2.39 Ejemplo. g(x, y) =
ecosx sin y
1 +
√
x2 + y2
es continua en R2.
2.4Recuerde que ser compacto es ser cerrado y acotado.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 31
2.4. Derivadas Parciales y Direccionales
Ya que hemos definido ĺımites y continuidad, lo lógico es empezar a derivar, ¿o no?
2.40 Definición. Sean f : U ∈ Rn → R y p ∈ U con p = (p1, . . . , pn).
(a) Definimos la derivada parcial de f en p respecto a la j-ésima coordenada por
∂f
∂xj
(p) := ĺım
h→0
f(p1, . . . , pj−1, pj + h, pj+1, . . . , pn)− f(p1, . . . , pn)
h
= ĺım
h→0
f(p+ hêj)− f(p)
h
,
donde êj es el j-ésimo vector canónico.
(b) Definimos la derivada direccional de f en p en la dirección de v por
∂f
∂v
(p) := ĺım
t→0
f(p+ tv)− f(p)
t
.
2.41 Observación. Las derivadas parciales son un caso particular de las derivadas direccionales cuando
v = êj .
2.42 Observación. Respecto a la notación:
(a) A veces escribiremos Dkf(p) en vez de ∂f
∂xk
(p). También es acostumbra a usar ∂f
∂xj
(p) = fxj (p).
(b) En R2 usaremos la notación
∂f
∂x1
=
∂f
∂x
= fx y
∂f
∂x2
=
∂f
∂y
= fy.
En R3, también se agrega
∂f
∂x3
=
∂f
∂z
= fz.
Geométricamente, podemos entender
∂f
∂x
(a, b) = ĺım
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
como la pendiente de la recta tangente a la curva obtenida al cortar Γ(f) con el plano y = b, en el punto
(a, b, f(a, b)). Es muy importante notar que al calcular una derivada parcial, las otras coordenadas son
constantes.
2.43 Ejemplo. Para f(x, y) = sin(xy)ex, se tiene que
∂f
∂x
= cos(xy)yex + sin(xy)ex y
∂f
∂y
= cos(xy)xex.
2.44 Ejemplo. Sea f : Rn → R dada por f(x) = qA(x) := xtAx, con
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
an1 an2 . . . ann
 = (aij)
n
i,j=1 .
32 Derivadas Parciales y Direccionales
Entonces, tenemos que
f(x) = xt

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
an1 an2 . . . ann
x = xt

∑n
j=1 a1jxj∑n
j=1 a2jxj
...∑n
j=1 anjxj
 =
n∑
i=1
n∑
j=1
xiaijxj .
Escribamos
f(x) =
n∑
i=1
n∑
j=1
xiaijxj = xk
n∑
j=1
akjxj +
n∑
i=1
i 6=k
n∑
j=1
xiaijxj
= x2
kakk + xk
n∑
j=1
j 6=k
akjxj +
n∑
j=1
n∑
i=1
i 6=k
xiaijxj
= x2
kakk + xk
n∑
j=1
j 6=k
akjxj + xk
n∑
i=1
i 6=k
xiaik +
n∑
j=1
j 6=k
n∑
i=1
i 6=k
xiaijxj .
Finalmente,
∂f
∂xk
= 2xkakk +
n∑
j=1
j 6=k
akjxj +
n∑
i=1
i 6=k
xiaik =
n∑
j=1
akjxj +
n∑
i=1
xiaik.
Además, notemos que
n∑
j=1
akjxj +
n∑
i=1
xiaik = êtkAx + xtAêk,
es decir,
∂
∂xk
(
xtAx
)
= êtkAx + xtAêk. (2.1)
Pero xtAêk ∈ R y por lo tanto,
xtAêk =
(
xtAêk
)t
= êtkA
tx.
Finalmente, si A es simétrica, sigue que
∂
∂xk
(
xtAx
)
= êtk2A
tx = êk ·
(
2Atx
)
. (2.2)
2.45 Ejercicio. Sean u(x, y) = x2− y2, v(x, y) = 2xy. Muestre que u y v satisfacen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −∂v
∂x
.
(2.3)
2.46 Ejemplo. Sea
f(x, y) =

xy(x2 − y2)
x2 + y2
, si (x, y) 6= (0, 0)
0 , si (x, y) = (0, 0)
.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 33
Si (x, y) 6= (0, 0), tenemos que
∂f
∂x
(x, y) =
(
y(x2 − y2) + 2x2y
) (
x2 + y2
)
− 2x2y(x2 − y2)
(x2 + y2)2
=
y
(
x4 − y4 + 4x2y2
)
(x2 + y2)2
,
∂f
∂y
(x, y) =
(
x(x2 − y2)− 2xy2
) (
x2 + y2
)
− 2xy2(x2 − y2)
(x2 + y2)2
=
x
(
x4 − y4 − 4x2y2
)
(x2 + y2)2
.
En cambio, si (x, y) = (0, 0), tenemos que
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= 0,
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
k→0
f(0, k)− f(0, 0)
k
= 0.
2.47 Ejemplo.
Sea
f(x, y) =

x3y
x6 + y2
, si (x, y) 6= (0, 0)
0 , si (x, y) = (0, 0)
.
Calculemos fv(0, 0) para algún v ∈ R2. Usando la Observación
2.81, tenemos que
∂f
∂v
(0, 0) = ĺım
t→0
f(tv)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
t4 cos3 θ sin θ
t(t6 cos6 θ + t2 sin2 θ)
= 0,
para todo θ ∈ [0, 2π[. De hecho, localmente f es similar a una
“planicie” en (0, 0), como muestra la figura.
2.48 Ejercicio. Para el Ejemplo 2.46 calcule
ĺım
(x,y)→(0,0)
∂f
∂x
(x, y) y ĺım
(x,y)→(0,0)
∂f
∂y
(x, y).
El astuto lector podrá darse cuenta que estamos siguiendo el mismo orden lógico que en Cálculo I. Por
lo tanto, ahora debeŕıamos definir las derivadas de orden superior.
2.49 Definición. Sea f : U ⊆ Rn → R tal que existe ∂f
∂xi
: U → R para algún i = 1, . . . , n. Entonces,
para p ∈ U se define
∂2f
∂xj∂xi
(p) :=
∂
∂xj
(
∂f
∂xi
(p)
)
= ĺım
h→0
∂f
∂xi
(p + hêj)− ∂f
∂xi
(p)
h
.
2.50 Observación. Las derivadas de orden superior no se comportan tan bien como uno esperaŕıa.
Consideremos f del Ejemplo 2.46, entonces
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = ĺım
h→0
∂f
∂y (h, 0)− ∂f
∂y (0, 0)
h
= ĺım
h→0
h5
h5
= 1,
∂2f
∂y∂x
(0, 0) = ĺım
k→0
∂f
∂x (0, k)− ∂f
∂x (0, 0)
k
= ĺım
k→0
−k
5
k5
= −1.
Lo cual nos muestra que las “derivadas cruzadas” no siempre son iguales, es decir, las derivadas parciales
no siempre conmutan.
34 Derivadas Parciales y Direccionales
2.51 Lema (Schwarz). Sea f : U ⊆ Rn → R tal que ∂2f
∂xi∂xj
, ∂2f
∂xj∂xi
existen y son continuas en U .
Entonces
∂2f
∂xi∂xj
(p) =
∂2f
∂xj∂xi
(p), ∀p ∈ U.
2.52 Ejemplo. Sea f(x, y) = xye2y, entonces
∂f
∂x
= ye2y.
Luego, como
∂2f
∂y∂x
= e2y + 2ye2y
es continua en R2, se tiene que
∂2f
∂x∂y
= e2y + 2ye2y.
2.53 Ejemplo. Sea
f(x, y) =
 (x2 + y2) sin
(
1√
x2 + y2
)
, si (x, y) 6= (0, 0)
0 , si (x, y) = (0, 0)
.
Entonces,
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= ĺım
h→0
h2 sin
(
1
|h|
)
h
= 0,
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
k→0
f(0, k)− f(0, 0)
k
= ĺım
h→0
k2 sin
(
1
|k|
)
k
= 0.
Aśı,
∂f
∂x
(x, y) =
 2x sin
(
1√
x2 + y2
)
− x√
x2 + y2
cos
(
1√
x2 + y2
)
, si (x, y) 6= (0, 0)
0 , si (x, y) = (0, 0)
,
∂f
∂y
(0, 0) =
 2y sin
(
1√
x2 + y2
)
− y√
x2 + y2
cos
(
1√
x2 + y2
)
, si (x, y) 6= (0, 0)
0 , si (x, y) = (0, 0)
.
Por lo tanto,
∂2f
∂y∂x
(0, 0) = ĺım
k→0
∂f
∂x (0, k)− ∂f
∂x (0, 0)
k
= 0,
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = ĺım
h→0
∂f
∂y (h, 0)− ∂f
∂y (0, 0)
h
= 0.
Luego, como se cumplen las hipótesis del Lema 2.51 en U r {0},
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
 − xy
(x2+y2)
3
2
cos
(
1√
x2+y2
)
− xy
(x2+y2)2
sin
(
1√
x2+y2
)
, si (x, y) 6= (0, 0)
0 , si (x, y) = (0, 0)
.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 35
Sin embargo, si analizamos la continuidad de estas funciones en (0, 0), tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
∂2f
∂y∂x
(x, y) = ĺım
r→0
−r
2 cos θ sin θ
r3
cos
(
1
r
)
− r2 cos θ sin θ
r4
sin
(
1
r
)
,
es decir, el ĺımite no existe y por ende, no son continuas en (0, 0). Por ende, no podemos concluir que
si las derivadas parciales cruzadas son iguales, entonces son continuas. Es decir,el Lema de Schwarz no
es un si y sólo si.
2.54 Corolario. Sea f : U ⊆ Rn → R tal que todas sus derivadas parciales hasta el q-ésimo grado son
continuas. Entonces,
∂qf
∂xni ∂x
m
j
=
∂qf
∂xmj ∂x
n
i
, m+ n = q.
2.55 Definición. Sea f : U ⊆ Rn → R una función dos veces derivable en cada variable. Se define el
laplaciano de f como
4f(x) :=
n∑
i=1
∂2f
∂x2
i
(x), x ∈ U.
2.56 Ejemplo. Sea f(x, y) = x2 + y2, entonces
4f =
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 2 + 2 = 4.
2.57 Ejercicio. Muestre que Φ(x) =
C
‖x‖n−2 definida sobre Rn para n ≥ 3, satisface la ecuación de
Laplace:
4f = 0, (2.4)
para cualquier constante C ∈ R. Φ se conoce como la solución fundamental de dicha ecuación.
2.58 Ejercicio. Muestre que
Φ(x, t) =
1√
4πt
e−
‖x‖2
4t , (x, t) ∈ R× R+,
satisface la ecuación del calor:
∂f
∂t
=
n∑
i=1
∂2f
∂x2
i
, (2.5)
Φ se conoce como la solución fundamental de dicha ecuación. El término a la derecha de la igualdad
se conoce como el laplaciano espacial de f y se denota por 4xf .
2.5. Diferenciabilidad
Recordemos que una de las principales propiedades que nos entregaba la derivada de una función, era
poder construir una aproximación lineal para la función en torno a un punto. En efecto, para una función
f : R→ R difereciable, el teorema de Taylor nos dećıa que
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +O((x− x0)2).
Por lo tanto, cuando x→ x0,
f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0)
x− x0
→ 0.
Queremos emular la misma situación, pero en más variables.
36 Diferenciabilidad
2.59 Definición. Sea f : U ⊆ Rn → R y p ∈ U . Diremos que f es diferenciable en p si existe
Df(p) ∈ Rn tal que
ĺım
h→0
|f(p + h)− f(p)−Df(p) · h|
‖h‖
= 0.
Es importante notar que el ĺımite no se está tomando sobre escalares sino sobre vectores.
2.60 Observación. Sea f : U ⊆ Rn → R diferenciable y p ∈ U . Escribamos Df(p) = (l1, . . . , ln) y
h = (h1, . . . , hn). Notemos que
f(p + h)− f(p)−Df(p) · h = f(p + h)− f(p)− (l1h1 + . . .+ lnhn) .
Tomando h = tê1, se tiene que
Df(p) · h = l1t,
es decir,
f(p + h)− f(p)−Df(p) · h = f(p + tê1)− f(p)− l1h1.
Luego, como f es diferenciable, se cumple que
ĺım
t→0
|f(p + tê1)− f(p)− tl1|
|t|
= 0,
es decir,
ĺım
t→0
f(p + tê1)− f(p)
t
= l1.
Por lo tanto, recordando la definición de derivada parcial, tenemos que
l1 =
∂f
∂x1
(p).
Finalmente, tomando h = têj para j = 1, . . . , n, concluimos que
Df(p) =
(
∂f
∂x1
(p), . . . ,
∂f
∂xn
(p)
)
.
2.61 Observación. La Observación 2.60 nos permite concluir que la existencia de las derivadas parciales
es una condición necesaria para la diferenciabilidad.
2.62 Ejemplo. Sea f(x, y) = 1−
√
x2 + y2, entonces
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= ĺım
h→0
1− |h| − 1
h
= ĺım
h→0
|h|
h
.
Por lo tanto, no existe fx(0, 0) y sigue que f no es diferenciable (0, 0).
2.63 Ejemplo. Sea f(x, y) =
√
|xy|, entonces
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= 0,
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
k→0
f(0, k)− f(0, 0)
k
= 0.
Pero
ĺım
(h,k)→(0,0)
|f(h, k)− f(0, 0)−Df(0, 0) · (h, k)|√
h2 + k2
= ĺım
(h,k)→(0,0)
√
|hk|√
h2 + k2
= ĺım
r→0
√
r2| cos θ sin θ|
r
=
√
| cos θ sin θ|,
y por ende, no existe tal ĺımite. Luego, f no es diferenciable en (0, 0).
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 37
2.64 Ejemplo. Consideremos la función f del Ejemplo 2.53. Aprovechando que ya hemos calculado
sus derivadas parciales, estudiemos su diferenciabilidad en (0, 0). Tenemos que
ĺım
(h,k)→(0,0)
‖f(h, k)− f(0, 0)−Df(0, 0) · (h, k)‖
‖(h, k)‖
= ĺım
(h,k)→(0,0)
∣∣∣(h2 + k2
)
sin
(
1√
h2+k2
)
− (0, 0) · (h, k)
∣∣∣
√
h2 + k2
= 0.
2.65 Proposición. Sea f : U ⊆ Rn → R y p ∈ U tal que f es diferenciable en p. Entonces, f es
continua en p.
Demostración. Dado que f es diferenciable en p, se tiene que
ĺım
h→0
‖f(p + h)− f(p)−Df(p) · h‖
‖h‖
= 0,
lo cual implica que
ĺım
h→0
‖f(p + h)− f(p)−Df(p) · h‖ = 0,
ya que de otra forma, el ĺımite anterior no podŕıa existir. Luego, como
ĺım
h→0
Df(p) · h = 0,
se tiene que
ĺım
h→0
f(p + h) = f(p).
2.66 Observación. Consideremos la función f del Ejemplo 2.47. Tenemos que f posee sus dos derivadas
parciales en (0, 0) pero no es continua en (0, 0), pues si tomamos ϕ(t) = (t, 0), se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0,
en cambio, si tomamos ψ(t) = (t, t3), se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
t→0
t3t3
t6 + t6
=
1
2
.
Por lo tanto, la existencia de las derivadas parciales no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad.
2.67 Teorema. Sea f : U ⊆ Rn → R y p ∈ U . Si todas las derivadas parciales de primer orden existen
y son continuas en p, entonces f es diferenciable en p.
2.68 Ejemplo. Sea f(x, y) = ex
2+y2 , entonces
∂f
∂x
= 2xex
2+y2 ,
∂f
∂y
= 2yex
2+y2 ,
son todas continuas y por lo tanto, f es diferenciable en todo R2.
2.69 Definición. Se define la clase de funciones Cq como el conjunto de todas las funciones tales que
todas sus derivadas parciales hasta orden q son continuas.
2.70 Observación. Si f ∈ C1, entonces f es diferenciable. Si además, f ∈ C2, entonces las derivadas
cruzadas de f son iguales por el Lema 2.51.
38 Plano Tangente
2.71 Proposición. Sean f, g : U ⊆ Rn → R y p ∈ U tales que f y g son diferenciables en p.
Consideremos α, β ∈ R, entonces
(a) αf + βg es diferenciable en p y
D (αf + βg) (p) = αDf(p) + βDg(p).
(b) fg es diferenciable en p y
D (fg) (p) = Df(p)g(p) + f(p)Dg(p).
(c) si g 6= 0 en una vecindad de p, entonces f
g es diferenciable en p y
D
(
f
g
)
(p) =
Df(p)g(p)− f(p)Dg(p)
g2(p)
.
2.6. Plano Tangente
Sean f : R2 → R, p = (a, b) y q = (a, b, f(a, b)). Queremos aprovecharnos de la definición de diferencia-
bilidad para buscar una aproximación local a la superficie Γ(f) en una vecindad de q.
Sea τ1 el vector tangente a la curva α(t) = (t, b, f(t, b)), es decir,
τ1 =
(
1, 0,
∂f
∂x
(a, b)
)
.
Análogamente, definimos τ2, el vector tangente a la curva α(t) = (a, t, f(a, t)), el cual queda dado por
τ2 =
(
0, 1,
∂f
∂y
(a, b)
)
.
Consideremos Πq, el plano tangente a Γ(f) en q. Tenemos que τ1, τ2 ∈ Πq y al ser dos vectores
linealmente independientes, constituyen una base de éste. Luego, un vector normal al plano está dado
por
n = τ1 × τ2 =
∣∣∣∣∣∣∣
ı̂ ̂ k̂
1 0 ∂f
∂x (a, b)
0 1 ∂f
∂y (a, b)
∣∣∣∣∣∣∣ =
(
−∂f
∂x
(a, b),−∂f
∂y
(a, b), 1
)
. (2.6)
Aśı, la ecuación del plano está dada por
Πq : (r − q) · n = 0, (2.7)
o bien,
(x− a)
∂f
∂x
(a, b) + (y − b)∂f
∂y
(a, b) = z − f(a, b). (2.8)
Supongamos además que f es diferenciable en p. Entonces
ĺım
(h,k)→(0,0)
|f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−Df(p) · (h, k)|
‖(h, k)‖
= 0,
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 39
lo cual implica que
ĺım
(h,k)→(0,0)
f(a+ h, b+ k)− f(a, b)− h∂f
∂x
(a, b)− k∂f
∂y
(a, b) = 0. (2.9)
Finalmente, reemplazando h = x− a, k = y − b y (2.8) en (2.9), tenemos que
ĺım
(x,y)→(a,b)
f(x, y)−
(
f(a, b) + (x− a)
∂f
∂x
(a, b) + (y − b)∂f
∂y
(a, b)
)
= 0,
es decir, si f es diferenciable, Πq se parece localmente a Γ(f) en q.
2.72 Ejemplo. Sea f(x, y) =
√
1− x2 − y2, entonces para (a, b) ∈ B (0, 1) tenemos que
∂f
∂x
(a, b) = − a√
1− a2 − b2
,
∂f
∂y
(a, b) = − b√
1− a2 − b2
.
Luego, el plano tangente en q = (a, b, f(a, b)) está dado por
−(x− a)
a√
1− a2 − b2
− (y − b) b√
1− a2 − b2
= z −
√
1− a2 − b2,
es decir,
ax+ by + z
√
1− a2 − b2 = 1.
Notemos que otro vector que también tiene dirección normal es(
a, b,
√
1− a2 − b2
)
.
2.7. Gradiente
2.73 Definición (Gradiente). Sea f : U ⊆ Rn → R y p ∈ U tal que f es diferenciable en p. Se define
el vector gradiente de f en p como
∇f(p) :=
(
∂f
∂x1
(p), . . . ,
∂f
∂xn
(p)
)
.
2.74 Observación. ∇f(p) corresponde a Df(p) en la definición de diferenciabiliad.
2.75 Observación. En general, se habla del operador
∇ :=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
.
Esto es muy cómodo, porque permite trabajar más intuitivamente con otros operadores. Por ejemplo,
en coordenadas cartesianas, 4 = ∇ · ∇ = ∇2.
2.76 Ejemplo. Sea f(x, y, z) =
(
x2 + y2 + z2
) 1
2 , entonces
∇f(x, y, z)=
(
x√
x2 + y2 + z2
,
y√
x2 + y2 + z2
,
z√
x2 + y2 + z2
)
=
1
f(x, y, z)
(x, y, z).
40 Gradiente
2.77 Ejemplo. Sea f(x, y, z) = x sin y + ye2xz, entonces
∇f(x, y, z) =
(
sin y + 2yze2xz, x cos y + e2xz, 2xye2xz
)
.
2.78 Ejemplo. En el Ejemplo 2.44, se tiene que si A es simétrica, entonces
∇f(x) = 2Ax.
2.79 Proposición. Sea f : U ⊆ Rn → R y p ∈ U tal que f es diferenciable en p. Consideremos v ∈ Rn
unitario, entonces
(a)
∂f
∂v
(p) = ∇f(p) · v.
(b)
∂f
∂v
(p) ≤ ‖∇f(p)‖.
(c)
∇f(p)
‖∇f(p)‖
es el vector que maximiza la expresión
∂f
∂v
(p).
Demostración.
(a) Como f es diferenciable en p, entonces
ĺım
h→0
|f(p+ h)− f(p)−∇f(p) · h|
‖h‖
= 0.
Sea h = tv con t ∈ R, entonces ‖h‖ = ‖tv‖ = t ‖v‖ = t y,
ĺım
t→0
∣∣∣∣f(p+ tv)− f(p)
t
−∇f(p) · v
∣∣∣∣ = 0,
es decir,
∂f
∂v
(p) = ĺım
t→0
f(p+ tv)− f(p)
t
= ∇f(p) · v.
(b) Usando la Desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky (Lema 1.12), tenemos que
∂f
∂v
(p) = ∇f(p) · v ≤ ‖∇f(p)‖ ‖v‖ = ‖∇f(p)‖ .
(c) Tomando
v =
∇f(p)
‖∇f(p)‖
,
tenemos que
∂f
∂v
(p) = ∇f(p) · ∇f(p)
‖∇f(p)‖
=
‖∇f(p)‖2
‖∇f(p)‖
= ‖∇f(p)‖ .
2.80 Observación. La Proposición 2.7 nos muestra que la dirección de máximo cambio de f viene dada
por ∇f . Además, queremos recalcar que la hipótesis de ‖v‖ = 1 es muy importante pues NO distorsiona
el valor de la derivada direccional. Finalmente, el lector debe tener presente que sólo podrá calcular las
derivadas direccionales a partir del gradiente cuando f sea diferenciable. En caso contrario, deberá cal-
cularlas por definición.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 41
2.81 Observación. Si v ∈ R2 tal que ‖v‖ = 1, entonces v = (cos θ, sin θ) para algún θ ∈ [0, 2π[.
2.82 Observación. Sea f : U ⊆ Rn → Rm diferenciable y v ∈ Rn unitario. Si para p ∈ U se tiene que
∂f
∂v
(p) = 0,
entonces ∇f(p) ⊥ v.
2.83 Proposición (Regla de la Cadena). Sea f : U ⊆ Rn → R diferenciable y γ : I ⊆ R → Rn una
curva diferenciable contenida en U . Entonces, la función g(t) = f ◦ γ(t) es derivable y se tiene que
g′(t) = ∇f(γ(t)) · γ′(t).
Demostración. Lo haremos sólo para el caso n = 2. Sea t ∈ I y γ(t) = (x1(t), x2(t)). Tenemos que
g′(t) = ĺım
h→0
g(t+ h)− g(t)
h
= ĺım
h→0
f (x1(t+ h), x2(t+ h))− f (x1(t), x2(t))
h
= ĺım
h→0
f (x1(t+ h), x2(t+ h))− f (x1(t), x2(t+ h))
h︸ ︷︷ ︸
l1
+
f (x1(t), x2(t+ h))− f (x1(t), x2(t))
h︸ ︷︷ ︸
l2
.
Pero, como f es diferenciable,
l1 = ĺım
h→0
f (x1(t+ h), x2(t+ h))− f (x1(t), x2(t+ h))
x1(t+ h)− x1(t)
x1(t+ h)− x1(t)
h
=
∂f
∂x
(x1(t), x2(t))x′1(t).
y análogo para l2. Aśı,
g′(t) =
∂f
∂x
(x1(t), x2(t))x′1(t) +
∂f
∂y
(x1(t), x2(t))x′2(t) = ∇f (γ(t)) · γ′(t).
2.84 Observación. Si g, γ son funciones de más variables, podemos utilizar la Regla de la Cadena
para sus derivadas parciales recordando que calcularlas es derivar suponiendo que las otras variables
son constantes. Es decir, si tenemos h(t, s) = f ◦ γ(t, s), con γ(t, s) = (x1(t, s), . . . , xn(t, s)), podemos
derivar respecto a t tomando s constante y sigue que
∂h
∂t
=
n∑
j=1
∂f
∂xj
∂xj
∂t
.
2.85 Ejemplo. Consideremos g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ), entonces
∂g
∂r
=
∂f
∂x
∂x
∂r
+
∂f
∂y
∂y
∂r
= cos θ
∂f
∂x
+ sin θ
∂f
∂y
,
∂g
∂θ
=
∂f
∂x
∂x
∂θ
+
∂f
∂y
∂y
∂θ
= −r sin θ
∂f
∂x
+ r cos θ
∂f
∂y
.
Luego, resolviendo el sistema [
cos θ sin θ
−r sin θ r cos θ
][∂f
∂x
∂f
∂y
]
=
[∂g
∂r
∂g
∂θ
]
,
42 Gradiente
por ejemplo con la regla de Cramer, se tiene que
∂f
∂x
=
∣∣∣∣∂g∂r sin θ
∂g
∂θ r cos θ
∣∣∣∣∣∣∣∣ cos θ sin θ
−r sin θ r cos θ
∣∣∣∣ = cos θ
∂g
∂r
− 1
r
sin θ
∂g
∂θ
,
∂f
∂y
=
∣∣∣∣ cos θ ∂g
∂r
−r sin θ ∂g
∂θ
∣∣∣∣∣∣∣∣ cos θ sin θ
−r sin θ r cos θ
∣∣∣∣ = sin θ
∂g
∂r
+
1
r
cos θ
∂g
∂θ
.
Notemos que
∂f
∂x
ı̂+
∂f
∂y
̂ =
∂g
∂r
(cos θı̂+ sin θ̂) +
1
r
∂g
∂θ
(− sin θı̂+ cos θ̂) =
∂g
∂r
êr +
1
r
∂g
∂θ
êθ.
Es decir, uno podŕıa pensar que en coordenadas polares,
∇ =
(
∂
∂r
,
1
r
∂
∂θ
)
. (2.10)
Además, se puede concluir que(
∂g
∂r
)2
+
1
r2
(
∂g
∂θ
)2
=
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
.
2.86 Corolario. Sea f : U ⊆ Rn → R diferenciable y γ : I ⊆ R→ Rn una curva diferenciable contenida
en f−1(c), c ∈ R. Entonces, ∇f(γ(t)) ⊥ γ′(t), ∀t ∈ I.
Demostración. Sea g(t) = f(γ(t)), entonces g(t) = c,∀t ∈ I. Luego,
∇f(γ(t)) · γ′(t) = g′(t) = 0.
2.87 Observación. El Corolario 2.86 nos dice que ∇f es ortogonal a las curvas de nivel.
2.88 Ejemplo. Sea f(x, y, z) = x2 + y2 + z2. Entonces, si x, y, z ∈ B
(
0, c2
)
, ∇f = (2x, 2y, 2z) es una
dirección normal al plano tangente en el punto (x, y, z) a la esfera centrada en el origen y de radio c2.
De hecho, (x, y, z) también lo es y confirma lo visto en el Ejemplo 2.72.
2.89 Teorema (Teorema del Valor Medio (T.V.M.)). Sea f : U ⊆ Rn → R una función diferenciable.
Si el segmento de recta xy ⊆ U , entonces existe ξ ∈ xy tal que
f(y)− f(x) = ∇f(ξ) · (y − x).
Demostración. Consideremos ϕ(t) = f(x+ t(y − x)), entonces
ϕ′(t) = ∇f(x+ t(y − x)) · (y − x).
Por otro lado, por el TVM en una variable, se tiene que
ϕ(1)− ϕ(0) = ϕ′(t0)(1− 0) = ϕ′(t0),
con 0 < t0 < 1. Finalmente, sea ξ = x+ t0(y − x), entonces
f(y)− f(x) = ∇f(ξ) · (y − x).
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 43
2.90 Corolario. Sea f : U ⊆ Rn → R una función diferenciable y la región D ⊆ U tal que ∇f(x) =
0, ∀x ∈ D. Entonces, f es constante en D.
2.91 Definición (Diferencial total). Sea f : U ⊆ Rn → R diferenciable y p ∈ U . Definimos el diferen-
cial total de f en p como
df(p) :=
n∑
i=1
∂f
∂xi
(p)dxi.
2.92 Ejemplo. Sea f : R4 → R, con f = f(x, y, z, t). Entonces
df =
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz +
∂f
∂t
dt.
Aśı, la derivada total o sustancial de f con respecto a t es
df
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
+
∂f
∂z
dz
dt
+
∂f
∂t
.
2.8. Problemas Resueltos
2.1 Problema. Estudie
ĺım
(x,y)→(a,a)
tanx− tan y
cotx− cot y
.
Solución: Tenemos que
ĺım
(x,y)→(a,a)
tanx− tan y
cotx− cot y
= ĺım
(x,y)→(a,a)
tanx− tan y
1
tanx −
1
tan y
= ĺım
(x,y)→(a,a)
− tanx tan y = − tan2 a.
2.2 Problema. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
x3y
x2 + y4
.
Solución: Sea ε > 0. Tenemos que∣∣∣∣ x3y
x2 + y4
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣x3y
x2
∣∣∣∣ = |x| |y| ≤ x2 + y2
2
.
Luego, tomando δ2 = 2ε, sigue que∣∣∣∣ x3y
x2 + y4
− 0
∣∣∣∣ ≤ x2 + y2
2
<
δ
2
= ε.
2.3 Problema. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
x
x2 + y2
Solución: Usando coordenadas polares, tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
x
x2 + y2
= ĺım
r→0
r cos θ
r2
ĺım
r→0
cos θ
r
que no existe.
44 Problemas Resueltos
2.4 Problema. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
1− cosxy
x2y sin 2y
.
Solución: Tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
1− cosxy
x2y sin 2y
= ĺım
(x,y)→(0,0)
1− cosxy
(xy)2
2y
sin 2y
1
2
=
1
4
.
2.5 Problema. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
(y2 − x)2
x2 + y2
.
Solución: Sea ϕ1(t) = (t, 0). Tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(ϕ1(t)) = ĺım
t→0
(0− t)2
t2 + 0
= 1.
Ahora, sea ϕ2(t) = (0, t). Se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(ϕ2(t)) = ĺım
t→0
(
t2 − 0
)2
0 + t2
= 0.
Por lo tanto, el ĺımite no existe.
2.6 Problema. Estudie
ĺım
(x,y,z,w)→(0,0,0,0)
xy + yz + zw − xyzw
x2 + y2 + z4 + w4
.
Solución: Sea ϕ(t) = (t, t, 0, 0). Tenemos que
ĺım
(x,y,z,w)→(0,0,0,0)
xy + yz + zw − xyzw
x2 + y2 + z4 + w4
= ĺım
t→0
t2 + 0 + 0 + 0
t2 + t2 + 0 + 0
=
1
2
.
Ahora, sea ψ(t) = (t, 0, 0, 0). Se observa que
ĺım
(x,y,z,w)→(0,0,0,0)
xy + yz + zw − xyzw
x2 + y2 + z4 + w4
= ĺım
t→0
0 + 0 + 0 + 0
t2 + 0 + 0 + 0
= 0.
Por lo tanto, el ĺımite no existe.
2.7 Problema. Estudie
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz + zx
x2 + y2 + z2
.
Solución: Sea ϕ(t) = (t, t, 0). Tenemos que
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz + zx
x2 + y2 + z2
= ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
t2 + 0 + 0
t2 + t2 + 0
=
1
2
.
Ahora, sea ψ(t) = (t, t, t). Tenemos que
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
xy + yz + zx
x2 + y2 + z2
= ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
t2 + t2 + t2
t2 + t2 + t2
= 1.
Por lo tanto, el ĺımite no existe.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 45
2.8 Problema. Estudie
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
xyz + x4 + y4 + z4√
x6+ y6 + z6
.
Solución: Sea ϕ(t) = (t, t, t), entonces
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
xyz + x4 + y4 + z4√
x6 + y6 + z6
= ĺım
t→0
t3 + 3t4√
3|t|3
.
Este último ĺımite se indefine: si t > 0 vale 1√
3
, si t < 0 vale −1√
3
. Por lo tanto, el ĺımite que se nos
pidió estudiar tampoco existe, pues de existir no importaŕıa por qué curva nos acerquemos a (0, 0).
2.9 Problema. Estudie
ĺım
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x− y
.
Solución: Sea ϕ1(t) = (t, 0), entonces
ĺım
t→0
f (ϕ1(t)) = ĺım
t→0
t3
t
= 0.
Después de pensar un rato, el lector podrá darse cuenta que casi todos los caminos entregan el mismo
resultado. Si cambiamos a coordenadas polares, tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x− y
= ĺım
r→0
r3 cos3 θ + r3 sin3 θ
r cos θ − r sin θ
= ĺım
r→0
r2 cos3 θ + sin3 θ
cos θ − sin θ
.
Por lo tanto, si θ(r) → π
4 cuando r → 0 a una velocidad mayor que r2, el ĺımite tiene posiblidades de
no existir. Esto nos da una nueva idea sobre qué trayectoria tomar. Consideremos ϕ2(t) = (t + t3, t),
entonces
ĺım
t→0
f (ϕ2(t)) = ĺım
t→0
(t+ t3)3 + t3
t3
= ĺım
t→0
(1 + t2)3 + 1 = 2.
Finalmente, el ĺımite no existe.
2.10 Problema. Determine valores para a, b, c ∈ R tales que
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
(ax+ by + cz)2
(x2 + y2 + z2)
exista.
Solución: Sea ϕ1(t) = (t, 0, 0), entonces
ĺım
t→0
f (ϕ1(t)) = ĺım
t→0
(at)2
t2
= a2.
Análogamente, tomando las trayectorias ϕ2(t) = (0, t, 0) y ϕ3(t) = (0, 0, t), obtenemos que el valor del
ĺımite es b2 y c2, respectivamente. Por lo tanto,
a2 = b2 = c2.
46 Problemas Resueltos
Sea ϕ4(t) = (t, t, 0), entonces
ĺım
t→0
f (ϕ4(t)) = ĺım
t→0
(at+ bt)2
2t2
=
(a+ b)2
2
=
a2 + b2
2
+ ab.
Pero, al imponer las condiciones obtenidas anteriormente, tenemos que
a2 =
a2 + b2
2
+ ab = a2 + ab⇒ ab = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0.
Luego, en cualquiera de los dos casos, podemos concluir que
a = b = c = 0.
2.11 Problema. Sea
f(x, y) =

x− y
x3 − y
, si y 6= x3
1 , si y = x3
.
Estudie la continuidad de f en (1, 1).
Solución: Sea ϕ(t) = (t, 1). Tenemos que
ĺım
(x,y)→(1,1)
f(x, y) = ĺım
t→1
t− 1
t3 − 1
= ĺım
t→1
1
t2 + t+ 1
=
1
3
.
Luego, f no es continua en (1, 1). Es más, tomando ψ(t) = (1, t), tenemos que
ĺım
(x,y)→(1,1)
f(x, y) = ĺım
t→1
1− t
1− t
= 1.
Por lo tanto, la discontinuidad ni siquiera es reparable.
2.12 Problema. Sea
f(x, y) =

x2y
x4 + y2
, si (x, y) 6= (0, 0)
α , si (x, y) = (0, 0)
.
¿Existe algún valor de α tal que f sea continua en el origen?
Solución: Sea ϕ(t) = (t, t). Tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
t→0
t3
t4 + t2
= ĺım
t→0
t
t2 + 1
= 0.
Por otro lado, tomando ψ(t) = (t, t2), tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
t→0
t4
t4 + t4
=
1
2
.
Por lo tanto, no existe ningun valor real de α tal que f sea continua en el origen.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 47
2.13 Problema. Sea f : R2 → R definida por
f(x, y) =

x2y2
x3 + y3
, si x 6= −y
0 , si x = −y
.
Estudie la continuidad de f en (0, 0).
Solución: En primer lugar, notemos que
ĺım
(x,0)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
(0,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Por otra parte, x2y2
x3+y3
se indefine en x = −y. Además, la función diverge a medida que uno se acerca a
este eje (deje fijo un y0 6= 0, por ejemplo, y haga tender x→ −y0). Esto nos hace sospechar que podemos
aproximarnos a (0, 0) por una curva cercana a esta recta y obtener otro valor del ĺımite. Considere, por
ejemplo, la curva definida por y = −x+ x2. En ese caso:
ĺım
(x,−x+x2)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
x→0
−x3 + x4
x3 + x6 − 3x5 + 3x4 − x3
= ĺım
x→0
x− 1
x3 − 3x2 + 3x
=∞.
Por lo tanto, el ĺımite que estudiamos no existe.
2.14 Problema. Sea f : R2 → R dada por
f(x, y) =

x3 − y3
xy
, si xy 6= 0
0 , si xy = 0
.
Pruebe que el conjunto de los puntos de discontinuidad de f es cerrado. Determı́nelo expĺıcitamente.
Solución: Sea ϕ(t) = (t, y0) con y0 6= 0. Tenemos que
ĺım
(x,y)→(0,y0)
f(x, y) = ĺım
t→0
t3 − y3
0
ty0
= ĺım
t→0
t2
y0
− y3
0
ty0
,
es decir, no existe. Por la simetŕıa de la función, se tiene que el ĺımite cuando (x, y) → (x0, 0), con
x0 6= 0, tampoco existe. Luego, f no es continua en
Ω =
{
(x, y) ∈ R2 : xy = 0
}
r {(0, 0)}.
Además, si usamos ϕ(t) = (t, t2), entonces
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
t→0
t3 − t6
t3
= 1.
Luego, independientemente de que el ĺımite exista o no, f tampoco es continua en (0, 0).
En cambio, f śı es continua en los otros puntos por ser álgebra de continuas alĺı. Por lo tanto, el conjunto
de discontinuidades de f es Ω ∪ {(0, 0)} el cual es cerrado pues su complemento es abierto.
2.15 Problema. Sea f : A ⊆ R2 → R definida por
f(x, y) = (x2 + y2)
1
1− (x2 − y2) .
48 Problemas Resueltos
Encuentre el dominio A de f y estudie la posibilidad de extender de forma continua f a la adherencia
de A, que denotamos A′. En caso de existir, defina la función resultante.
Solución: El dominio de f es A = {(x, y) : x2 + y2 6= 1}. Sea B = Ac = {(x, y) : x2 + y2 = 1}. Notamos
que la adherencia de A es igual a R2 = A ∪B.
f es composición de continuas en A, que es un abierto. Luego, f también es continua en A.
Estudiamos el caso de (x0, y0) ∈ B. Definimos las funciones:
g(t) = t
1
1−t y h(x, y) = x2 + y2.
Verifique que:
ĺım
t→1
g(t) = e−1 y ĺım
(x,y)→(x0,y0)
h(x, y) = 1.
De esta forma, por el teorema del ĺımite de una función compuesta, ∀(x0, y0) ∈ B se cumple:
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
(x,y)∈A
f(x, y) = ĺım
(x,y)→(x0,y0)
(x,y)∈A
g(h(x, y)) = e−1.
En consecuencia, śı es posible prolongar continuamente f , y podemos aśı definir la función:
f̃(x, y) =
{
f(x, y) , si (x, y) ∈ A
e−1 , si (x, y) 6∈ A
.
2.16 Problema. Sea f : R2 → R dada por
f(x, y) =

(x− y)y
xα
, si 0 < y < x
0 , si no
.
Determine todos los valores de α ∈ R tales que f sea continua en todo R2.
Solución: Notemos que f no es nula en una mitad del primer cuadrante (aquella que está bajo la recta
y = x). Si llamamos A a este conjunto, es decir,
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x},
se tiene que
∂A = {(x, 0) ∈ R2 : 0 < x} ∪ {(x, x) ∈ R2 : 0 < x} ∪ {(0, 0)}.
Luego, nos interesa saber qué pasa con f nos acercamos a ∂A. Sea x0 > 0. Entonces, si (x, y) ∈ A (no
vale la pena analizar los otros puntos pues es claro que f cumple la continuidad en esas direcciones),
tenemos que
ĺım
(x,y)→(x0,0)
f(x, y) = ĺım
(x,y)→(x0,0)
(x− y)y
xα
= 0, ∀α ∈ R.
Análogamente,
ĺım
(x,y)→(x0,x0)
f(x, y) = ĺım
(x,y)→(x0,x0)
(x− y)y
xα
= 0, ∀α ∈ R.
Por lo tanto, esos puntos de la frontera no definen ningún valor espećıfico de α. Sólo nos queda analizar
en (0, 0). Notemos que, por la Desigualdad Triangular,
|f(x, y)| =
∣∣∣∣(x− y)y
xα
∣∣∣∣ =
|x− y|y
xα
≤ (|x|+ |y|)y
xα
.
Cálculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 49
Pero como (x, y) ∈ A⇒ y < x y sigue que
|f(x, y)| < 2x2
xα
= 2x2−α.
Por lo tanto, f es continua si α < 2.
Por otro lado, usando ϕ(t) = (t,mt), 0 < m < 1, se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
t→0
(1−m)mt2
tα
= (1−m)m ĺım
t→0
t2−α,
es decir, no existe cuando α ≥ 2.
Aśı, f es continua en todo R2 si y sólo si α < 2.
2.17 Problema. Determine una función k : R→ R tal que
f(x, y) =

sin(x2 − y2)
x− y
, si x 6= y
k(x) , si x = y
.
sea continua.
Solución: Sea x0 ∈ R fijo, entonces
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
x 6=y
f(x, y) = ĺım
(x,y)→(x0,y0)
x 6=y
sin(x2 − y2)
x− y
= ĺım
(x,y)→(x0,y0)
x 6=y
sin(x2 − y2)
x2 − y2
(x+ y) = 2x0.
Luego, tomando k(x) = 2x se obtiene la continuidad de la función pues k es continua (y aśı se trivializa
el estudio del ĺımite para el caso x = y).
2.18 Problema. Sea f : R2 → R dada por
f(x, y) =
xp√
x2 − y
,
para p ∈ N fijo.
(a) Determine el dominio de f .
(b) Estudie la posibilidad de definir f en (0, 0) de forma continua.
Solución:
(a) Para que f esté definida es necesario y suficiente que el argumento de la ráız en su denominador
sea estrictamente positivo, es decir, el dominio de f viene dado por Ω =
{
(x, y) ∈ R2 : x2 > y
}
.
(b) Definamos ϕ(t) = (t, t2 − t2p). Como t2 > t2 − t2p,