Algoritmo de Navegação Inercial

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RPIC Estudiantil 2007, Río Gallegos, 16 al 18 de octubre de 2007 
Algoritmo de Navegación Inercial para Vehículos de Alta Velocidad 
Juan Antonio Carrizo† 
Martín España‡ y Juan I. Giribet† 
† Universidad de Buenos Aires, Facultad de Ingeniería 
jcarriz@fi.uba.ar jgiribe@fi.uba.ar 
‡ Comisión Nacional de Actividades Espaciales 
mespana@conae.gov.ar 
 
Resumen— Usualmente los algoritmos que integran 
las ecuaciones cinemáticas para sistemas de navegación 
en configuración “strapdown” están formulados en 
coordenadas geográficas y prestan un especial énfasis al 
cálculo de la actitud del vehículo. En el presente trabajo 
se desarrolla un algoritmo en coordenadas terrestres, lo 
cual simplifica las ecuaciones y permite realizar una 
integración más precisa de las mismas, integrando 
exactamente el término de aceleración de Coriolis. Se 
demuestra que esto resulta adecuado en vehículos de 
alta velocidad, donde la integración precisa de las 
ecuaciones de traslación adquiere sustancial relevancia 
y termina dominando el error de cálculo introducido. El 
nuevo algoritmo no aumenta el volumen de cálculo ni la 
complejidad en relación al esquema tradicional 
propuesto por Savage (1998). Se comparan las mejoras 
introducidas para el caso de un inyector satelital. 
Palabras Clave— navegación inercial, terna terrestre, 
integración analítica. 
INTRODUCCIÓN 
 Para determinar la posición, velocidad y actitud 
de un vehículo a partir de mediciones inerciales sin 
plataforma de navegación (acelerómetros y giróscopos 
en configuración “strapdown”) es necesario integrar, en 
tiempo real, las ecuaciones diferenciales de la 
cinemática que vinculan estas variables. Se distinguen 
las ecuaciones del movimiento de rotación que 
determinan la orientación o actitud del vehiculo de las 
correspondientes al movimiento de traslación 
determinantes de la aceleración, la velocidad y la 
posición lineales. El conocimiento de la orientación 
instantánea del vehiculo es crucial para proyectar 
adecuadamente las aceleraciones registradas por la terna 
de acelerómetros sobre el sistema de referencia (de 
navegación) elegido en el que se desea describir el 
movimiento. La actitud del vehiculo es caracterizada 
por su ángulo vectorial instantáneo de rotación, cuya 
evolución queda descrita por la conocida ecuación de 
Bortz [1] (ecuación de coneo). Los algoritmos más 
usados para integrar esta ecuación en tiempo real se 
basan en el desdoblamiento del cálculo en dos lazos 
imbricados ([6], [7]). El interior, de alta frecuencia y 
menor complejidad, se ejecuta a la tasa en que se 
reciben los datos de los giróscopos (100 a 200Hz), 
mientras que el exterior hace cálculos de mayor 
complejidad a una frecuencia menor, cercana a la cual 
son requeridas las variables de navegación (1-10Hz) y 
utiliza como insumo los valores acumulados a alta 
frecuencia generados por el lazo interior. Debido a la 
doble integración de las medidas acelerométricas, los 
errores de actitud se traducen en un crecimiento 
parabólico (en el mejor de los casos) en los errores de 
posición. Por esta razón el cálculo de la actitud tiene en 
la literatura un lugar preponderante. Menos atención ha 
recibido, sin embargo, la integración de las ecuaciones 
de traslación para las que usualmente se proponen 
esquemas sencillos de integración por el método de 
trapecios. 
Con base en la formulación de las ecuaciones 
cinemáticas en el sistema terrestre cartesiano, se 
propone un algoritmo que: a) determina en forma 
analítica exacta el termino de Coriolis de las ecuaciones 
de traslación y, respecto de los esquemas usuales 
formulados en terna tangente local, b) mejora la 
precisión de la integración del termino de la gravedad 
aparente, d) simplifica la formulación matemática y 
reduce la complejidad e intensidad de calculo. Lo 
anterior se traduce en una mejora sustancial del 
desempeño del algoritmo en vehículos de alta velocidad 
tales como inyectores satelitales y otros vehículos 
espaciales. Además de las ventajas señaladas, la terna 
de navegación terrestre es la mas adecuada para la 
fusión de datos inerciales con información del sistema 
GPS en un sistema de navegación integrada INS/GPS. 
 El desempaño del algoritmo propuesto se evalúa con 
una trayectoria sintética (ver [4]) correspondiente al 
vuelo de un inyector satelital similar al vehiculo 
DELTA-II de la NASA que pondrá en orbita el satélite 
SAC-D de la CONAE. 
I. NOTACION Y ECUACIONES 
CINEMÁTICAS 
Se consideran las siguientes ternas de referencia: 
n: Terna de navegación genérica. 
e: Terna terrestre solidaria a la tierra y centrada en el 
centro del elipsoide de referencia WGS-84. 
 i: Terna inercial con el origen en el centro de la tierra y 
alineada con la terna “e” en el inicio del vuelo. 
 b: Terna del cuerpo fija al vehículo. 
RPIC Estudiantil 2007, Río Gallegos, 16 al 18 de octubre de 2007 
 Los vectores que tienen superíndice c están referidos 
a la terna “c”. La matriz de cambio de base y el 
cuaternión que cambian de la terna “c” a la terna “d” se 
representan por: d
cC y d
cq . Mientras que )(
)(
ktd
jtcq es el 
cuaternión representando la rotación de la terna “c”, en 
el instante jt a la terna “d” en el instante kt . dc es la 
velocidad angular de la terna “c” respecto de la terna 
“d”. S representa el operador producto vectorial, 
baSba  )( , tal que: 
1 3 2
3 3 3
2 3 1
3 2 1
0
: 0
0
a a a
S R R S a a a
a a a

     
           
        
 
Las ecuaciones cinemáticas de navegación en una terna 
de navegación genérica “n” están dadas por [6]-[7]: 
nn VR  (1) 
( 2 ) ( )n n b n n n n e
b en ieV C f S V R       (2) 
; ( )n n e n n n
ie e ie e en eC C S C     (3) 
( ) ( ) ( )n n b n b n n
b b nb b ib in bC C S C S S C     (4) 
z
nn
nz
n
e
c
n
en uVuSRF   )()( (5) 
Los superíndices en los vectores indican la terna en que 
son expresadas sus componentes. Siendo: 
 nR : la posición del vehículo en coordenadas de 
navegación. 
dtRdV nn /)( : su velocidad. 
bf : es la fuerza específica aplicada al vehículo en terna 
del cuerpo, magnitud medida por los acelerómetros. 
b
ib es la velocidad angular del cuerpo respecto a la 
terna inercial en terna del cuerpo b, magnitud medida 
por los giróscopos. 
)( e
c RF : es el tensor de curvatura local del elipsoide 
WGS84 en función de la posición. 
n
en : es la velocidad angular de la terna de navegación 
con respecto a la terrestre en terna de navegación, 
llamada craft rate o rotación vehicular. 
n y z
nu : son, respectivamente, la componente vertical 
de n
en y el versor en esa dirección (en z). 
0
0e
ie
e
 
   
  


: es la velocidad angular de la tierra en terna 
terrestre, cumpliéndose: b b b
ie ib be    
n : es la gravedad aparente en terna de navegación. 
Cuando “n”= “e”, 
.;0; cteIC n
e
n
en
e
ie
n
in   
De (1), (2) y (4) y :ieibeb   
ee VR  (6) 
2 ( ) ( )e e e e e e
ieV f S V R    (7) 
( ) ( ) ( )e e b e b e e
b b eb b ib ie bC C S C S S C     (8) 
Puede observarse que trabajar en coordenadas terrestres 
“e” simplifica las ecuaciones con respecto a “n”. 
La gravedad aparente en terna terrestre: 
ee
ie
ee RSg )(2  está constituida por la suma de la 
gravitación ( eg ) y de la aceleración centrípeta. En [8] 
puede encontrarse una expresión eficiente de eg para el 
cálculo computacional en función de eR 
II. INTEGRACION DE LAS ECUACIONES 
DE NAVEGACION 
Al igual que en [3], [6] y [7] la integración de las 
ecuaciones de navegación en tiempo real se realizará en 
tres cadencias, dividiendo el cálculo de actitud en dos 
partes: una de alta frecuencia que ejecuta un algoritmo 
más simple y otra de menor frecuencia realizando un 
algoritmo de mayor complejidad. Esto permite 
aprovechar mejor la capacidad de la computadora de 
navegación sin deteriorar la precisión. La fig. 1 muestra 
eldiagrama de tiempos utilizado: 
 
Figura 1: Diagrama de tiempos. 
Se distinguen tres períodos, sT , mT y lT , relacionados 
por: ms MTT  y lm LTT  , siendo M y L números 
naturales. La notación utilizada para relacionar los 
intervalos de tiempo es la siguiente: 
lmkijkmkjkmkk iTjTttjTttMTtt  ,,,1 ,, 
A. Integración numérica de la ecuación diferencial 
de actitud. 
La ecuación que describe la variación de la terna del 
cuerpo es [1]: 
2
2
1
( ) ( ( )) ( )
2
( ) ( ( ) )1
1 ( ( )) ( )
2(1 cos( ( ) )( )
b b b b
ib ib
b b
ib
t S t t
t sen t
S t t
tt
   
 
 

  
 
 
  

 (9) 
Denotamos ,( , )b
k jt  (ángulo vectorial rotado en 
,[ , ]k jt  ) a la solución de (9) para , , 1[ , ]k j k jt t  a partir 
de la condición inicial ,( ) 0b
k jt  
El ángulo vectorial rotado por la terna de navegación 
terrestre en un tiempo  1,  kk ttt es 
( , ) ( )e e
k ie kt t t t   . 
Al ser e
ie constante, resulta colineal en todo tiempo 
con el ángulo rotado. En [3], [6] y [7] estos dos hechos 
se tomaban como hipótesis. 
También se consideran en el presente trabajo a las 
rotaciones representadas por cuaterniones, a fin de 
mejorar la estabilidad numérica de los algoritmos. Así 
en 1kt el cuaternión que rota la terna del cuerpo a la 
terrestre se factoriza como: 
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)(
)1(
)(
)(
)1(
)(1 )( ktb
ktb
kte
ktb
kte
ktek
e
b qqqtq


   (10) 
Donde: 
)1,(
)1(
)1,(
)2,(
)(
)1,(
)(
)1(


 Mktb
ktb
ktb
ktb
ktb
ktb
ktb
ktb qqqq  (11) 
Calculando los cuaterniones mediante: 
 






































2
),(
cos
2
),(
),(
),(
,1,
,1,
,1,
,1,
),(
)1,(
jkjk
jkjk
jkjk
jkjk
jktb
jktb
tt
tt
sen
tt
tt
q




 (12) 
 




































2
),(
cos
2
),(
),(
),(
1
1
1
1
)1(
)(
kk
kk
kk
kk
kte
kte tt
tt
sen
tt
tt
q




 (13) 
 Para integrar numéricamente las ecuaciones de las 
ternas del cuerpo y de navegación se adoptan las 
hipótesis: 
H1) Como en [3], la variación de la terna de navegación 
(terrestre), en un período lento sT , se supone lo 
suficientemente pequeña como para que en 
 1,k kt t  : 
( )
( ) exp( ( ( , ))) ( ( , ))
( , ) ( )
ke t e e
e k k
e e
k k ie
C S t I S t
t t
  
 
    
   
 (14) 
Lo que constituye una aproximación de orden superior a 
la propuesta en Savage ([6] y [7]) que considera 
invariante la terna de navegación, y por lo tanto 
IC kte
e )(
)( cuando  1,  kk tt . 
H2) mT se supone suficientemente pequeño como para 
despreciar los términos de segundo orden en la Ec. (9). 
H3) mT es lo suficientemente pequeño como para 
realizar la siguiente aproximación: 
,( )
( ) , , , 1( ( , )) ,k jb t b
b k j k j k jC I S t con t t          
H4) lT es lo suficientemente pequeño como para 
considerar una variación lineal del ángulo vectorial 
rotado por la terna “b” con respecto al tiempo. 
H5) El intervalo sT es suficientemente pequeño como 
para justificar la aproximación de primer orden en torno 
del instante de tiempo anterior, según: 
 ( ( )) ( ) ( ) ( )e e e e e
k k kR t R t V t t t         
 ( ) ( ) ( ) ( )e e e e e
k R k k kR t R t V t t t             
 ( )k k ka b t t   (15) 
Donde eeee
R dRRd /)(  es la matriz Jacobiana de e . 
En [7] se propone aproximar el término ))(( tRee por 
su valor en la mitad del intervalo ],0[ sT , realizando una 
extrapolación lineal a partir de valores pasados. 
H6) bf es constante en el intervalo lT . 
 Por H2 se puede calcular , 1 ,( , )b
k j k jt t   
, 1
,
,
1
( ) ( ( , ) ( )
2
k j
k j
t
b b b
ib k j ib
t
S t d
             (16) 
Esta integración se realiza descomponiendo a mT en L 
períodos rápidos lT . 
1
, 1 , , , 1
0
( , ) ;
L
b
k j k j k j i
i
t t

 

   (17) 
Y debido a la linealidad de en un intervalo lT (H4) se 
tiene: 
, , 1
, ,
, , 1 ,
1
( ) ( ( , ) ( )
2
k j i
k j i
t
b b b
k j i ib k j ib
t
S t d


             
, ,, , 1 , , 1 , , , , 1
1 1
( ) ( )
2 12k j i
b
k j i k j i k j i k j iS S         (18) 
Con 
, , , , 1 , ,0 , , , 1 ,
0
, 0, ( , )
k j i
i
b
k j h k j k j L k j k j
h
t t     

   
y siendo  d
ijkt
ijkt
b
ibijk )(
1,,
,,
,, 

 la integración en lT de 
la velocidad angular medida por los giróscopos, que 
constituye la secuencia de datos entregada por la UMI. 
B. Integración numérica de las ecuaciones de 
posición y velocidad. 
 
El sistema de ecuaciones (6) y (7) puede expresarse 
de la siguiente forma: 













)(
0
tu
XA
V
R
X
e
e

 , con 
0
0 2 ( )e
ie
I
A
S
 
  
   
 
y )())(()( tfCtRtu be
b
ee   (19) 
 
Del sistema continuo puede obtenerse su equivalente 
discreto, el cual coincide exactamente con el sistema 
continuo en los instantes kt . 
1
1( )
1
0
( ) ( )
( )
k
s k
k
t
AT A t
k k
t
X t e X t e d
u
 


 

 
    
 
 (20) 
con   11   AsILe At donde L representa el operador 
de Laplace. 
 
1
11 1
1
2 ( )
0 2 ( )
e
ie
At
e
ie
sI SI
e L sI A L s s
sI S

 

     
     
 
     
 
( )
0 ( )
At I Q t
e
P t
 
  
 
 (21) 
 
Siendo
 1 2 ( )1
3( ) 2 ( ) ; (0)
e
ieS te
ieP t L sI S e P I
         
1
1
3
0
2 ( )
( ) ( ) ; (0) 0
te
iesI S
Q t L P d Q
s
 


        
   
 
Resultando, 
RPIC Estudiantil 2007, Río Gallegos, 16 al 18 de octubre de 2007 
cos(2 ) (2 ) 0
( ) (2 ) cos(2 ) 0
0 0 1
e e
e e
t sen t
P t sen t t
  
     
  
 (22) 
(2 ) 1 cos(2 ) 0
1
( ) cos(2 ) 1 (2 ) 0
2
0 0 2
e e
e e
e
e
sen t t
Q t t sen t
t
   
        
 (23) 
Reemplazando (21) en (20) se obtiene: 
1
1
1
1
( )
( ) ( ) ( )
( )
k
s
k
t
kAT
k k
kt
Q t
X t e X t u d
P t

 





 
     
 (24) 
Desarrollando el segundo término de la Ec.(24), se 
tiene: 
1
1
1
( )
( ( )) ( )
( )
k
k
t
k e e e
kt
Q t
R f d
P t

   




 
      
 
1 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ( )) ( )
( ) ( )
k k
k k
t t
k ke e e
k kt t
Q t Q t
R d f d
P t P t
 
    
 
 
 
 
    
       
  
1 1gk fkX X  (25) 
1gkX  se integra utilizando la hipótesis H5 y realizando 
el cambio de variables 1kt   , según: 
1
1
1
1
( )
( ( ))
( )
k
k
t
k e e
gk
kt
Q t
X R d
P t

  





 
   
 
  1
10
( )
( )
( )
sT
gk
k k s
gk
RQ
a b T d
VP

 



  
         
  (26) 
Los términos 1gkR  y 1gkV  , definidos en (26), pueden 
reescribirse para su integración, del siguiente modo: 
1
0 0
( ) ( ) ( )
s sT T
gk k k s kR a b T Q d b Q d         (27)
1
0 0
( ) ( ) ( )
s sT T
gk k k s kV a b T P d b P d         (28) 
Definiendo: 1
0
( )
sT
I Q d  , 2
0
( ) ,
sT
I Q d  
3
0
( )
sT
I P d  e 4
0
( )
sT
I P d   
Integrales que pueden ser evaluadas exactamente. Así 
las ecuaciones (27) y (28) resultan: 
1 1 2( )gk k k s kR a b T I b I    (29) 
1 3 4( )gk k k s kV a b T I b I    (30) 
 Otra forma de resolución se obtiene añadiendo la 
hipótesis: 
H7) Q(t) y P(t)se consideran constantes en el intervalo 
de tiempo sT , según la siguiente aproximación: 
 1
( ) (0) ( ) ;
2 sQ t Q Q Q T    1
( ) (0) ( )
2 sP t P P P T  
(2 ) 1 cos(2 ) 0
1
cos(2 ) 1 (2 ) 0
4
0 0 2
e s e s
e s e s
e
e s
sen T T
Q T sen T
T
   
        
 (31) 
 
1 cos(2 ) (2 ) 0
1
(2 ) 1 cos(2 ) 0
2
0 0 2
e s e s
e s e s
T sen T
P sen T T
   
      
  
 (32) 
Por los valores de velocidad de rotación terrestre y los 
intervalos sT , normalmente considerados, esta hipótesis 
puede realizarse en la mayoría de los casos. 
Reemplazando las ecuaciones (31) y (32) en (27) y (28), 
se tiene: 
 
2
1 ( )
2
s
gk k k s s k
T
R a b T T Q b Q    (33) 
 1 ( )
2
s
gk k k s s k
T
V a b T T P b P    (34) 
 De (25) aún falta resolver el término 1fkX  que integra 
la fuerza específica. Utilizando la hipótesis H7, se tiene: 
 
1 1
1
1
1
( )
( ) ( )
( )
k k
k k
t t
k e e
fk
kt t
Q t Q
X f d f d
P t P

   

 



   
       
  (35) 
La integral
1
( )
k
k
t
e
t
f t dt

 se resuelve como en [3]. 
Primeramente se divide el intervalo lento sT en M 
intervalos medios mT . 
 
 
 
 
 
   
1 1
, 1
,,
, ,
,
1
0
( ) ( )
k k
k k
k j
k jk j
k j k j
k j
t t
e e b
b
t t
tM
b te te b
e t b t b
j t
C C C f d
f t dt C f t dt

  
 


 
  
 
 (36) 
Por H1, resulta: 
 
      
,
, ,, ( )
k j
e e e
k j k j iee t
C I S t I t S         (37) 
Reemplazando (37) en (36), se tiene: 
1
( )
k
k
t
e b
b c m
t
C f t dt I I

  (38) 
 
 
 
   
, 1
, ,
,
,
1
0
k j
k j k j
k j
k j
t
M
e t b t b
c bb t
j t
I C C f d  


  (39) 
   
 
 
   
, 1
, ,
,
,
1
,
0
( )
k j
k j k j
k j
k j
t
M
e t b te b
m k j ie bb t
j t
I t S C C f d  


   (40) 
Haciendo el cambio de variables ,k jt   , resulta: 
   
 
 
   , ,
, ,
1
,
0 0
m
k j k j
k j k j
TM
e t b te b
m ie k jb t b t
j
I S C C f t d

  



   (41) 
   
 
 
   
,
,
,
,
1
,
0
, ,
0
;k j
k j
m
k j
k j
M
e te
m ie k jb t
j
T
b t b
k j k jb t
C II S
I C f t d

  



 



 (42) 
Descomponiendo la integral sobre mT en L intervalos 
rápidos lT y aplicando H3: 
RPIC Estudiantil 2007, Río Gallegos, 16 al 18 de octubre de 2007 
 
. . 1
. .
1
, , , 1 , , , ,
0
( ( , ))
k j i
k j i
tL
b b
k j k j i k j i k j i
i t
I I S t t f t d   



      (43) 
Y por H6 resulta [7]: 
1
, , ,
0
, , , , , ,
2 1
2
3 2 2 1
( )
6 2
L
k j l k j i
i
b
k j i k j i k j i
i
I T V
i i
S V 


  

        
  

 (44) 
Además por H1:  ,
, , ,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
k j k k
k j k j k j
e t e t e te
b t b t ie m b tC C jS T C  (45) 
Reemplazando (45) en (40), se tiene: 
     
 
, ,
1 1
( ) 2
( ) ,
00
k k
k j k j
M M
e t e te e
m ie b t m ie k jb t
jj
jCI S C T S I
 

 
    
 
 (46) 
De la misma manera se resuelve la Ec. (39), por H3: 
 
     
, , 1 , , 1
,
,
, , , ,
1 1
, ,
0 0
( ( , )
k j i k j i
k j
k j
k j i k j i
t tM L
e t b b b
c k j ib t
j i t t
I C f d S t f d     
  
 
 
  
  
    (47) 
Por H4, H6 y reemplazando (45) en (47), 
 
 
  

 
,
,
1 1
, , , , 1 , , 1
0 0
1 1
( )
, , 1 , , ( ) , ,
0 0
, , , , 1 , , , ,
0.5
( )
0.5( )
k
k j
k
k j
M L
e t b b
c k j i k j i k j ib t
j i
M L
e tb e
k j i k j i m ie b t k j i
j i
b b b
k j i k j i k j i k j i
I C V S
V T S jC V
S V
 

  
 
 
 
 

 

      
         
    
 
  (48) 
Donde 
, , 1
, ,
, , ( )
k j i
k j i
t
b
k j i
t
V f d 

   es la integración en lT 
de la fuerza específica medida por los acelerómetros, 
secuencia de datos entregada por la UMI. 
 
Análisis del error. Usualmente, la Ec. (2) se integra 
considerando constante en sT el término de aceleración 
de Coriolis, para luego integrar nuevamente la posición 
por el método de los trapecios, según: 
1 10.5( )e e e e
k k k k sR R V V T    , mientras que, para el 
nuevo algoritmo, desarrollando de la Ec.(24), se 
obtiene: 1 10.5( )e e e e
k k k k s kR R V V T C      siendo 
2
1( )e e
k s ie kC T S V   una aproximación de la diferencia 
para cada iteración con respecto al método usual. El 
error acumulado resulta: 
/ / /
2 2
1 max max
1 1 1
( ) ( ) /2
final s final s final sT T T T T T
e e e e
k s ie k s ie
k k k
C T S V T S V R
  
        (49) 
III. VALIDACION DEL ALGORITMO EN UN 
EJEMPLO DE APLICACIÓN 
Para poner de manifiesto las mejoras introducidas 
en la integración de las ecuaciones cinemáticas, sobre 
todo en la evaluación del término de aceleración de 
Coriolis, la trayectoria debe ser de alta velocidad. Se 
considerará como ejemplo un hipotético lanzador 
satelital similar al vehículo DELTA II de la NASA que 
pondrá en orbita al satélite argentino SAC-D de la 
CONAE. 
-1 -0.5 0 0.5 1
x 10
7
-1
0
1
x 10
7
-1
-0.5
0
0.5
1
x 10
7
Y(m)
Evolución de la posición
X(m)
Z
(m
)
Tierra
lanzamiento
 
Figura 2: Evolución de la posición en coordenadas “i”. 
A. Determinación de una trayectoria sintética para 
la validación del algoritmo. 
A partir de datos discretos de la trayectoria 
nominal del vehículo (Fig. 2), mencionado en el 
apartado anterior, se sintetizó una trayectoria del mismo 
mediante el método de B-Splines, propuesto en [4] y 
[5]. El método permite simular prescindiendo del 
conocimiento de la dinámica del vehículo que las realice 
y genera soluciones explícitas de las ecuaciones 
cinemáticas (trayectorias consistentes) incluidas en el 
espacio de funciones polinómicas a tramos (B-Splines) 
de orden arbitrario. Esto es de fundamental importancia, 
puesto que cuando las trayectorias simuladas no son 
consistentes se inducen errores en los algoritmos de 
navegación no atribuibles a los mismos sino a los datos 
provistos. 
 Para generar la trayectoria sintética se cuenta con 
datos de posición y velocidad en coordenadas inerciales 
y la actitud representada en ángulos de Euler 
correspondientes a la rotación entre las ternas “b” e “i”. 
 Se determina una aproximación por polinomios a 
tramos que minimiza el error con respecto a los datos de 
partida (de velocidad y posición) y luego por derivación 
sucesiva la velocidad y aceleración. También se 
calculan los valores de la fuerza específica en terna del 
cuerpo que medirían acelerómetros sin error a lo largo 
de esa trayectoria. A partir de los datos de actitud, 
representados por una sucesión de cuaterniones i
bq , se 
calculan los valores de b
ib , solución de las ecuaciones 
cinemáticas que medirían giróscopos sin error. En la 
Fig. 3 se grafica la evolución de la magnitud bf , que 
medirían acelerómetros ideales en la dirección del eje 
del vehículo (acelerómetro en dirección X de la terna 
“b”) para la trayectoria sintetizada 
La Fig. 3 permite visualizar las siguientes etapas de 
vuelo: 
En t=0: Despegue. 
t = 56.55 seg.: Apagado motores de refuerzo (boosters). 
t = 264 seg.: Apagado motor principal (main engine). 
t = 272 seg.: Separación de etapa 2. 
t = 278 seg.: Ignición de etapa 2. 
t = 690 seg.: Corte de etapa 2; t > 690 seg.: Vuelo libre. 
 
RPIC Estudiantil 2007, Río Gallegos, 16 al 18 de octubre de 2007 
0 200 400 600 800 1000
-10
0
10
20
30
40
50
tiempo(seg)
ab
(m
/s
2
)
Fuerza especifica en terna del cuerpo
 
Fig. 3: Evolución de 
b
xf sintética. 
IV. RESULTADOS 
Se compara el nuevo algoritmo con la versión en 
coordenadas terrestres del propuesto en [3] (a su vez 
versión mejoradapara coordenadas de navegación 
geográficas del algoritmo propuesto por Savage en [6] y 
[7]). Cabe destacar que las versiones en coordenadas 
terrestres y geográficas del algoritmo en [3] arrojan 
resultados numéricos similares. Esto permite evaluar 
exclusivamente el efecto sobre la integración de la 
velocidad y posición lineales sin considerar el efecto de 
de distintas hipótesis de integración al trabajar en 
diferentes sistemas de coordenadas. 
A continuación se comparan los errores cometidos por 
el algoritmo propuesto: alg_2 y el desarrollado en [3] en 
coordenadas terrestres: alg_1 para un tramo de unos 17 
minutos de la trayectoria sintética mencionada en el 
apartado anterior. Se adopta: 0.01s m lT T T s   , 
suponiendo condiciones iniciales exactas y sin 
considerar errores de los sensores, pues se desea evaluar 
el error numérico que introduce el algoritmo. 
0 200 400 600 800 1000
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Evolución del error de posición
tiempo(seg)
e 
al
g1
(m
)
0 200 400 600 800 1000
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
tiempo(seg)
e 
al
g2
(m
)
ex
ey
ex
ey
 
Figura 4: Evolución del error de posición en los algoritmos. 
 
El gráfico de la Fig. 4 muestra el error de posición 
cometido por el alg_1 mientras que el inferior 
corresponde al nuevo algoritmo propuesto (alg_2. La 
norma del error final para ambos casos resulta: 
 
2 2 2
2
1 22 2
( )
1.186 ; 0.008
final xfinal yfinal zfinal
final final
e e e e
e m e m
   
 
 (50) 
 
 La Ec. (49) ofrece una cota de la diferencia acumulada 
entre el alg_1 y la integración exacta del término de 
Coriolis. Para este caso Vmax  3000 m/s, resulta: 
max 1.094R m  , que se corresponde con lo evaluado 
en (50) y reflejado en la Fig. 4. Esto pone de manifiesto 
que la integración exacta del término de aceleración de 
Coriolis permite suprimir los términos dominantes del 
error en los algoritmos usuales. 
V. CONCLUSIONES 
En el presente trabajo se desarrolló un algoritmo 
de navegación manteniendo la integración en diferentes 
escalas de tiempo, en coordenadas terrestres, que a 
diferencia de los usualmente realizados en terna 
tangente local presenta una formulación matemática 
más sencilla derivada de la simplificación de las 
ecuaciones cinemáticas. Esta formulación usa un 
modelo de la gravitación en coordenadas terrestres, 
logra mejorar la precisión general al suprimir ciertas 
aproximaciones usuales, efectúa una integración exacta 
del término de aceleración de Coriolis y mejora la 
precisión en la integración de la gravedad aparente. 
Se demuestra que el efecto del término de Coriolis 
puede dominar en varios órdenes de magnitud a las 
otras componentes de error del algoritmo en vehículos 
de alta velocidad. Esto explica la mejora sustancial del 
desempeño lograda por el nuevo algoritmo, para el caso 
de un lanzador satelital, al integrar en forma analítica 
(exacta) dicho término. 
La validación del nuevo algoritmo se pudo lograr 
gracias a la herramienta para sintetizar trayectorias 
ideales, desarrollada por el grupo de navegación de la 
CONAE, evitando así atribuirle al algoritmo errores que 
provienen de los datos de entrada. 
REFERENCIAS 
[1] BORTZ, J. E., “A New Mathematical Formulation 
for Strapdown Inertial Navigation,” IEEE Transactions 
on Aerospace and Electronic Systems, Vol AES-7, No 
1, pp 61-66, (1971). 
[2] CHATFIELD A., (1997) Fundamentals of High 
Accuracy Inertial Navigation, American Institute of 
Aeronautics and Astronautics, USA (1997). 
[3] GIRIBET J. I., M. ESPAÑA , C. MIRANDA, 
“Algoritmo de Navegación Inercial para Cinemáticas 
con diferentes escalas de tiempo,” II Congreso 
Argentino de Tecnología Espacial, Neuquén, p8 (2003). 
[4] GIRIBET J. I, M. ESPAÑA, C. MIRANDA, 
“Synthetic Data for Validation of Navigation Systems,” 
Acta Astronautica, Vol. 60, N. 2, pp 88-95 (2007). 
[5] GIRIBET J. I, M. ESPAÑA, C. MIRANDA, 
Reporte interno de la CONAE (AES-NAG-NT-00101-
A), p 34 (2004). 
[6] SAVAGE P. G., “Strapdown Inertial Navigation 
Integration Algorithm Design Part 1: Attitude 
Algorithms,” Journal of Guidance, Control and 
Dynamics, Vol 21, No 1, pp 19-28 (1998). 
[7] SAVAGE P. G., “Strapdown Inertial Navigation 
Integration Algorithm Design Part 2: Velocity and 
Position Algorithms,” Journal of Guidance, Control 
and Dynamics, Vol21, No2, pp 208-221 (1998). 
[8] WEI M., K. P. SCHWARZ, “A Strapdown Inertial 
Algorithm Using an Earth-Fixed Cartesian Frame,” 
Navigation Journal of The Institute of Navigation, Vol 
37, No 2, pp 153-167 (1990). 
View publication statsView publication stats
https://www.researchgate.net/publication/237498617