Algebra-Intermedia 1-páginas-13

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40 Capítulo 1 Conceptos básicos
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.2] 129. Determine
a)
b)
[1.3] En los ejercicios del 130 al 132, la letra a representa un núme-
ro real. ¿Para qué valores de a cada proposición será verdadera?
130. ƒa ƒ = ƒ -a ƒ
A ´ B.
A ¨ B,
A = {a, b, c, d, f}, B = {b, c, f, g, h}. 131.
132.
133. Liste de menor a mayor:
134. Diga el nombre de la propiedad siguiente:
associative property of addition17 + 32 + 9 = 7 + 13 + 92.
- ƒ6 ƒ , -4, ƒ -5 ƒ , - ƒ -2 ƒ , 0.
ƒa ƒ = 6
ƒa ƒ = a
Examen de mitad de capítulo: 1.1-1.4
Para determinar su comprensión del material que se ha abordado hasta este momento, resuelva este pequeño examen. Las respuestas, y
la sección donde se trató el material por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repase el material de las preguntas que respon-
dió de forma incorrecta.
1. ¿Dónde está la oficina de su instructor? ¿Cuáles son las ho-
ras de oficina de su instructor?
2. Dados A � 5�3, �2, �1, 0, 1, 26 y B � 5�1, 1, 3, 56, determi-
ne A ´ B y A ¨ B.
3. Describa el conjunto D � 50, 5, 10, 15,Á6.
4. Ilustre el conjunto 5x|x � 36 en una recta numérica.
5. Inserte � o � en el área sombreada para que la pro-
posición sea verdadera.
6. Exprese en la notación cons-
tructiva de conjuntos.
7. ¿W es un subconjunto de N? Explique.
8. Liste los valores de menor a mayor: �15, |�17|, |�6|, 7.
Evalúe cada expresión.
9. 9.2 10.
11. 256 12. ` - 
8
13
` , 1-221521-2213.221-82
a2
5
+
1
3
b -
1
2
7 - 2.3 - 1-4.52
3210�4�5�6 �3 �2 �1
3
5
 4
9
13. Evalúe
14. Diga el nombre de la propiedad que se ilustra mediante
5(x � y) � 5x � 5y.
15. Simplifique 0.9
16. Evalúe
a) x2 y
b) �x2 para x � �6.
17. a) Liste el orden de las operaciones.
b) Evalúe 4 � 2 32 y explique cómo determinó su respuesta.
Evalúe cada expresión.
18.
19.
20.
116 + A149 - 6 B 413 -27 - 14 - 322
1
4
 {[112 , 422 - 7]3
, 2}2
5 # 4 , 10 + 25
- 8.
#
10.81.
17 - ƒ -2 ƒ2 - 1-8 + ƒ16 ƒ2.
1 Usar la regla del producto
para exponentes
2 Usar la regla del cociente
para exponentes
3 Usar la regla del exponente
negativo
4 Usar la regla del exponente
cero.
5 Usar la regla para elevar una
potencia a una potencia
6 Usar la regla para elevar un
producto a una potencia
7 Usar la regla para elevar un
cociente a una potencia
En la sección anterior introdujimos los exponentes. En esta sección estudiamos la regla
de los exponentes. Iniciamos con la regla del producto para exponentes.
1 Usar la regla del producto para exponentes
Considere la multiplicación x3 x5. Podemos simplificar esta expresión como sigue:
Este problema también podría simplificarse por medio de la regla del producto para
exponentes.*
x3 # x5
= 1x # x # x2 # 1x # x # x # x # x2 = x8
#
* Las reglas que se dan en esta sección también se aplican a exponentes racionales o fracciona-
rios. En la sección 7.2 se estudiarán los exponentes racionales. En este momento, repasaremos
estas reglas.
Regla del producto para exponentes
Si m y n son números naturales y a es cualquier número real, entonces
am # an
= am + n
1.5 Exponentes
Sección 1.5 Exponentes 41
Para multiplicar expresiones exponenciales, mantenga la base común y sume los ex-
ponentes.
EJEMPLO 1 � Simplifique. a) b) c)
Solución
a) b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 13
2 Usar la regla del cociente para exponentes
Considere la división x7 � x4. Podemos simplificar esta expresión como sigue:
Este problema también podría simplificarse por medio de la regla del cociente para ex-
ponentes.
x7
x4 =
x
1
# x
1
# x
1
# x
1
# x # x # x
x
1
# x
1
# x
1
# x
1
= x # x # x = x3
h # h9
= h1 # h9
= h1 + 9
= h10
d2 # d5
= d2 + 5
= d723 # 24
= 23 + 4
= 27
= 128
h # h9d2 # d523 # 24
x3 # x5
= x3 + 5
= x8
Para dividir expresiones en forma exponencial, mantenga la base común y reste los
exponentes.
EJEMPLO 2 � Simplifique. a) b) c)
Solución a) b) c)
� Ahora resuelva el ejercicio 15
3 Usar la regla del exponente negativo
Observe en el ejemplo 2 c) que la respuesta contiene un exponente negativo. Realice la
parte c) nuevamente cancelando factores comunes.
Al reducir factores comunes y usar el resultado del ejemplo 2 c), podemos razonar
que Éste es un ejemplo de la regla del exponente negativo.y-3
=
1
y3 .
y2
y5 =
y
1
# y
1
y
1
# y
1
# y # y # y
=
1
y3
y2
y5 = y2 - 5
= y-3x7
x3 = x7 - 3
= x464
62 = 64 - 2
= 62
= 36
y2
y5
x7
x3
64
62
x7
x4 = x7 - 4
= x3
Regla del cociente para exponentes
Si a es cualquier número real diferente de cero y m y n son enteros diferentes de cero, en-
tonces
am
an = am - n
Regla del exponente negativo
Para cualquier número real diferente de cero, a, y cualquier número entero no negativo, m,
a-m
=
1
am
Una expresión elevada a un exponente negativo es igual a 1 dividida entre la expre-
sión con el signo del exponente cambiado.
42 Capítulo 1 Conceptos básicos
EJEMPLO 3 � Escriba cada expresión sin exponentes negativos.
a) b) c)
Solución
a) b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 37
S u g e r e n c i a ú t i l
En el ejemplo 3 c) mostramos que En general, para cualquier número real diferente
de cero a y cualquier entero no negativo m, Cuando un factor del numerador
o del denominador está elevado a cualquier potencia, el factor puede moverse al otro lado
de la fracción siempre y cuando el signo del exponente esté cambiado. Así, por ejemplo
NOTA: Al usar este procedimiento, el signo de la base no cambia, sólo cambia el signo del
exponente. Por ejemplo,
Por lo general, no dejamos expresiones exponenciales con exponentes negativos.
Cuando indicamos que una expresión exponencial se simplificará, queremos decir que
la respuesta debe escribirse sin exponentes negativos o cero.
EJEMPLO 4 � Simplifique. a) b) c)
Solución
a)
b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 41
Observe que las expresiones en el ejemplo 4 no incluyen sumas o restas. La presen-
cia de un signo más o menos lo convierte en un problema muy diferente, como vere-
mos en nuestro ejemplo siguiente.
EJEMPLO 5 � Simplifique. a) b)
Solución
a) Regla del exponente negativo
Reescriba con el mínimo común denominador, 12.
 =
3 + 2
12
=
5
12
 =
3
12
+
2
12
 4-1
+ 6-1
=
1
4
+
1
6
2 # 3-2
+ 7 # 6-24-1
+ 6-1
-33
 x2y-6
= -1332x2 #
1
y6 = - 
27x2
y6
4-2x-1y2
=
1
42
#
1
x1
# y2
=
y2
16x
5xz2
y-4 = 5xy4z2
-33
 x2
 y-64-2
 x-1
 y25xz2
y-4
-c-3
=
1
-c3 = - 
1
c3
2a-3
b2 =
2
a3b2 
a-2b4
c-3 =
b4c3
a2
1
a-m = am.
1
c-5 = c5.
1
c-5 = 1 , c-5
= 1 ,
1
c5 =
1
1
#
c5
1
= c5
8a-4
= 8 #
1
a4 =
8
a47-2
=
1
72 =
1
49
1
c-58a-47-2
Sección 1.5 Exponentes 43
b) Regla del exponente negativo.
Reescriba con el mínimo común denominador, 36.
� Ahora resuelva el ejercicio 75
4 Usar la regla del exponente cero
La regla siguiente que estudiaremos es la regla del exponente cero. Cualquier número
distinto de cero dividido entre sí mismo es 1. Por lo tanto,
Por medio de la regla del cociente para los exponentes,
Como y entonces
x0
= 1.
x5
x5 = 1,x0
=
x5
x5
x5
x5 = x5 - 5
= x0.
x5
x5 = 1.
 =
8 + 7
36
=
15
36
=
5
12
 =
8
36
+
7
36
 =
2
9
+
7
36
 =
2
1
#
1
9
+
7
1
#
1
36
 2 # 3-2
+ 7 # 6-2
= 2 #
1
32 + 7 #
1
62
La regla del exponente cero ilustra que cualquier número real distinto de cero con
un exponente 0 es igual a 1. Debemos especificar que a Z 0, ya que 00 no es un número
real.
EJEMPLO 6 � Simplifique (suponga que la base no es 0).
a) b) c) d)
Solución
a)
b)
c)
d)
� Ahora resuelva el ejercicio 33
5 Usar la regla para elevar una potencia a una potencia
Considere la expresión (x3)2. Podemos simplificar esa expresión como sigue:
Este problema también podría simplificarse por medio de la regla para elevar una po-
tencia a una potencia (también llamada regla de la potencia).
1x322 = x3 # x3
= x3 + 3
= x6
-18x + 9y20 = -1 # 18x + 9y20 = -1 # 1 = -1
-y0
= -1 # y0
= -1 # 1 = -1
7p0
= 7 # p0
= 7 # 1 = 7
1620
= 1
-18x + 9y20-y07p01620
Regla del exponente cero
Si a es cualquier número real distinto de cero, entonces
a0
= 1
44 Capítulo1 Conceptos básicos
Para elevar una expresión exponencial a una potencia, mantenga la base y multipli-
que los exponentes.
EJEMPLO 7 � Simplifique (suponga que la base no es 0).
a) b) c)
Solución
a)
b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 81
S u g e r e n c i a ú t i l
Con frecuencia los estudiantes confunden la regla del producto
con la regla de la potencia
Por ejemplo (x3)2 � x6, no x5.
6 Usar la regla para elevar un producto a una potencia
Considere la expresión (xy)2. Podemos simplificar esta expresión como sigue:
Esta expresión también podría simplificarse usando la regla para elevar un producto a
una potencia.
1xy22 = 1xy21xy2 = x # x # y # y = x2
 y2
1am2n = am # n
am # an
= am + n
12-322 = 2-3 # 2
= 2-6
=
1
26 =
1
64
1z-524 = z-5 # 4
= z-20
=
1
z20
12224 = 22 # 4
= 28
= 256
12-3221z-52412224
1x322 = x3 #2
= x6
Elevar una potencia a una potencia (regla de la potencia)
Si a es un número real y m y n son enteros, entonces
1am2n = am # n
Elevar un producto a una potencia
Si a y b son números reales y m es un entero, entonces
1ab2m = am
 bm
Para elevar un producto a una potencia, eleve todos los factores dentro del parénte-
sis a la potencia fuera de los paréntesis.
EJEMPLO 8 � Simplifique. a) b)
Solución
a) 1-9x322 = 1-9221x322 = 81x6
13x-5
 y42-31-9x322
Sección 1.5 Exponentes 45
b) Eleve un producto a una potencia.
Regla del exponente negativo, regla de la potencia.
Regla del exponente negativo.
� Ahora resuelva el ejercicio 93
7 Usar la regla para elevar un cociente a una potencia
Considere la expresión Podemos simplificar esta expresión como sigue:
Esta expresión también podría simplificarse por medio de la regla para elevar un co-
ciente a una potencia.
ax
y
b 2
=
x
y
#
x
y
=
x # x
y # y
=
x2
y2
ax
y
b 2
.
 =
x15
27y12
 =
1
27
# x15 #
1
y12
 =
1
33
# x15 # y-12
 13x-5
 y42- 3
= 3- 31x-52- 31y42- 3
Para elevar un cociente a una potencia, eleve todos los factores en el paréntesis al ex-
ponente fuera de los paréntesis.
EJEMPLO 9 � Simplifique a) b)
Solución
a)
b) Eleve un cociente a una potencia.
Regla de la potencia.
Regla del exponente negativo.
� Ahora resuelva el ejercicio 99
Considere Por medio de la regla para elevar un cociente a una potencia, obte-
nemos
Usando este resultado, vemos que cuando tenemos un número racional elevado a un
exponente negativo, podemos tomar el recíproco de la base y cambiar el signo del ex-
ponente como sigue.
a8
9
b -3
= a9
8
b 3 ¢x2
y3 ≤
-4
= ¢y3
x2 ≤
4
a a
b
b -n
=
a-n
b-n =
bn
an = ab
a
bn
a a
b
b -n
.
 =
x8
 y12
16
 =
x8
 y12
24
 =
2-4
 x8
y-12
 ¢2x-2
y3 ≤
-4
=
2-41x-22-4
1y32-4
¢ 5
x2 ≤
3
=
53
1x223 =
125
x6
¢2x-2
y3 ≤
-4¢ 5
x2 ≤
3
Elevar un cociente a una potencia
Si a y b son números reales y m es un entero, entonces
a a
b
bm
=
am
bm , b Z 0
46 Capítulo 1 Conceptos básicos
Ahora trabajaremos algunos ejemplos que combinan varias propiedades. Siempre
que la misma variable aparezca arriba y abajo de la barra de fracción, por lo general
movemos la variable con el exponente menor. Esto tendrá como resultado que el expo-
nente de la variable sea positivo cuando se aplique la regla del producto. Los ejemplos
10 y 11 ilustran este procedimiento.
EJEMPLO 10 � Simplifique. a) b)
Solución Con frecuencia, las expresiones exponenciales pueden simplificarse en
más de una manera. En general, será más fácil simplificar primero la expresión dentro
de los paréntesis.
a)
b)
Mueva x, y�2 y z�1 al otro lado de la barra de fracción y
cambie los signos de sus exponentes.
Regla del producto.
Tome el recíproco de la expresión dentro de los
paréntesis y cambie el signo del exponente.
Eleve un cociente a una potencia.
� Ahora resuelva el ejercicio 109
EJEMPLO 11 � Simplifique
Solución Primero, utilice la regla de la potencia. Luego simplifique.
Regla de la potencia.
Mueva 2�2, p6 y q�12 al otro lado de la barra de fracción
y cambie los signos de sus exponentes.
Regla del producto.
� Ahora resuelva el ejercicio 115
 =
q2
4p9
 =
q-10 + 12
4p15 - 6
 =
q-10 # q12
22p15 # p-6
 
12p-3
 q52-2
1p-5
 q42-3 =
2-2p6q-10
p15q-12
12p-3
 q52-2
1p-5
 q42-3 .
 =
8y15
x9
 z3
 =
23
 y5 #3
x3 #3
 z3
 = ¢ 2y5
x3
 z
≤ 3
 = ¢x3
 z
2y5 ≤
-3
 ¢ 5x4
 y-2
10xy3z-1 ≤
-3
= ¢x4 # x-1z
2y3 # y2 ≤
-3
¢15x2
 y4
5x2
 y
≤ 2
= 13y322 = 9y6
¢ 5x4
 y-2
10xy3
 z-1 ≤
-3¢15x2
 y4
5x2
 y
≤ 2
Resumen de reglas de los exponentes
Para todos los números reales a y b y todos los enteros m y n:
Regla del producto
Regla del cociente
Regla del exponente negativo
Regla del exponente cero
Elevar una potencia a una potencia
Elevar un producto a una potencia
Elevar un cociente a una potencia b Z 0 a a
b
bm
=
am
bm ,
 1ab2m = am
 bm
 1am2n = am #n
a Z 0 a0
= 1,
a Z 0 a-m
=
1
am ,
a Z 0 
am
an = am - n,
 am # an
= am + n
Sección 1.5 Exponentes 47
CONJUNTO DE EJERCICIOS 1.5
Ejercicios de concepto/redacción
1. a) Proporcione la regla del producto para exponentes.
b) Explique la regla del producto.nswers will vary.
2. a) Dé la regla del cociente para exponentes.
b) Explique la regla del cociente.
3. a) Proporcione la regla del exponente cero.
b) Explique la regla del exponente cero.will vary.
4. a) Proporcione la regla del exponente negativo.
b) Explique la regla del exponente negativo.ers will vary.
5. a) Proporcione la regla para elevar un producto a una po-
tencia.
b) Explique la regla para elevar un producto a una potencia.
6. a) Proporcione la regla para elevar una potencia a una po-
tencia.
b) Explique la regla para elevar una potencia a una potencia.
7. a) Proporcione la regla para elevar un cociente a una potencia.
b) Explique la regla para elevar un cociente a una potencia.
8. Si no aparece exponente en una variable o coeficiente, ¿cuál
es su exponente?
9. Si x�1 � 5, ¿cuál es el valor de x? Explique.
10. Si x�1 � y2, ¿a qué es igual x? Explique.
11. a) Explique la diferencia entre el opuesto de x y el recípro-
co de x.
Para las partes b) y c) considere
b) ¿Cuál representa (o es igual a) el recíproco de x?
c) ¿Cuál representa el opuesto (o inverso aditivo) de x?
12. Explique por qué -2-2
Z
1
1-222 .
x-1, -x, 1
x
, 1
x-1 ,
Práctica de habilidades
Evalúe cada expresión.
13. 32 14. 243 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 1 22. 1 23. 24.
25. 64 26. 900 27. 28.
Evalúe cada expresión.
29. a) b) c) d)
30. a) b) c) d)
31. a) 2 b) c) d) 2
32. a) b) c) d)
Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos. Suponga que todas las bases representadas por medio
de variables son diferentes de cero.
33. a) 5 b) c) d)
34. a) 4 b) 1 c) d) 1
35. a) 3xy b) 1 c) 3x d) 3
36. a) 2 b) 1 c) d)
Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos.
37. 38. x 39. 40.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48.
8-1
 z
x-1
 y-1
9-1
 x-1
y
15ab5
3c-3
5x-2
 y-3
z-4
10x-3
z4
13m-2
 n-3
2
10x4
y-1
2a
b-3
8
5y-2
9
x-4
1
x-17y-3
x0
+ yx + y01x + y20x0
+ y0
31xyz203x1yz2013xyz203xyz0
1-4y20-4y014y204y0
-1-5x201-5x20-5x05x0
- a - 
3
4
b -2
- a3
4
b -2a - 
3
4
b -2a3
4
b -2
- a - 
1
2
b -1
- a1
2
b -1a - 
1
2
b -1a1
2
b -1
-1-42-3
-4-31-42-34-3
-1-32-2-3-21-32-23-2
a2
5
b 4a4
7
b 216 # 52212 # 422
1322212322190150
1
3-2
1
5-35-29-2
84
83
37
3532 # 3323 # 22
48 Capítulo 1 Conceptos básicos
Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos.
49. 50. 51. 52.
53. 64 54. 6 55. 56.
57. 58. 59. 60.
61. 62. 63. 64.
65. 66. 67. 68.
69. 70. 71. 72.
Evalúe cada expresión.
73. a) b) c) 1 d) 0
74. a) 0 b) c) 0 d)
75. a) b) c) d)
76. a) b) c) d)
Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes negativos.
77. 81 78. 79. 80.
81. 82. 83. 84.
85. 86. 87. 88.
89. 90. 91. 92.
93. 94. 95. 96.
97. 98. 99. 100.
101. 102. 103. 104.
105. 106. 107. 108.
109. 110. 111. 112.
113. 114. 115. 116.
Resolución de problemas
Simplifique cada expresión. Suponga que todas las variables representan enteros distintos de cero.117. 118. 119. 120.
121. 122. 123. 124.
125. 126. 127. 128.
24xc + 3
 yd + 4
8xc - 4
 yd + 6
30ma + b
 nb - a
6ma - b
 na + b
y3b + 2 # y2b + 4x-m1x3m + 22
1s2t - 321s-t + 521x3p + 521x2p - 32y5m - 1
y7m - 1
x2w + 3
xw - 4
d-4x + 7 # d5x - 6w2a - 5 # w3a - 2y2m + 3 # y5m - 7x2a # x5a + 3
12xy2
 z-322
19x-1
 yz22-1
13x-4
 y223
12x3
 y523
12x-1
 y-22-3
15x-1
 y322¢ -a3
 b-1
 c-3
4ab3
 c-4 ≤
-3
¢ 6x4
 y-6
 z4
2xy-6
 z-2 ≤
-2¢4x-1
 y-2
 z3
2xy2
 z-3 ≤
-2¢x2
 y-3
 z5
x-1
 y2
 z3 ≤
-1¢x8
 y-2
x-2
 y3 ≤
2
¢4xy
z-2 ≤
3¢10x2
 y
5xz
≤ -3¢4x2
 y
x-5 ≤
-3¢5x-2
 y
x-5 ≤
3
¢7x-2
xy
≤ -2¢4xy
y3 ≤
-3¢ 5m5
 n6
10m4
 n7 ≤
3¢2r4
 s5
r2 ≤
3
¢3x2
 y4
z
≤ 3¢ 3j
4k2 ≤
2
91x2
 y-12-41-3g-4
 h32-3
18s-3
 t-42215p2
 q-42-314x2
 y32-314x2
 y-222
1-10m3
 n223a4b
3
b -2
5 # 2-3
+ 7 # 4-23 # 4-2
+ 9 # 8-1
4-2
+ 8-15-1
+ 2-1
-101x-3221-4x-322
1-x2-21-c231-c241b-32-2
1x22-31322-21522-113222
13 # 52-2
- 12 # 42-13 # 5-2
+ 2 # 4-15-2
- 4-15-2
+ 4-1
12 # 42-1
+ 13 # 52-12 # 4-1
+ 3 # 5-14-1
+ 3-14-1
- 3-1
-20
- 20
-20
+ 20
-20
- 1-220-20
+ 1-220
-4a0
+ 4b014a + 4b204a0
+ 4b041a + b20
1x-2214x22
x3
9xy-4
 z3
-3x-2
 yz
6x-2
 y3
 z-2
-2x4
 y
33x5
 y-4
11x3
 y2
24x3
 y2
8xy
12x4
 y7214x3
 y-521-6p-4
 q6212p3
 q215r2
 s-221-2r5
 s22
12x-3
 y-4216x-4
 y721-3p-221-p321-7v421-3v-523a-2 # 4a-6
x-4
x-6
5w-2
w-7
p0
p-8
m-6
m5
x-9
x2
7-5
7-3
42
4-2
85
83
x-4 # x3x6 # x-4a3 # a525 # 2-7
Sección 1.5 Exponentes 49
129. a) ¿Para qué valores de x es x4 � x3?
b) ¿Para qué valores de x es x4 � x3?
c) ¿Para qué valores de x es x4 � x3?
d) ¿Por qué no puede decir que x4 � x3?
130. ¿3�8 es mayor o menor que 2�8? Explique.
131. a) Explique por qué (�1)n � 1 para cualquier número par n.
b) Explique por qué (�1)n � �1 para cualquier número
impar n.
132. a) Explique por qué (�12)�8 es positivo.
b) Explique por qué (�12)�7 es negativo.
133. a) ¿ es igual a yes
b) ¿(x)�2 será igual a (�x)�2 para todos los números rea-
les, excepto 0? Explique su respuesta.
134. a) ¿ es igual a no
b) ¿(x)�3 será igual a (�x)�3 para cualquier número real
distinto de cero? Explique.o
c) ¿Cuál es la relación entre (�x)�3 y (x)�3 para cualquier
número real distinto de cero x?
a2
3
b -3
?a - 
2
3
b -3
a2
3
b -2
?a - 
2
3
b -2
Determine cuáles exponentes deben ser colocados en el área sombreada para hacer verdadera cada proposición. Cada área sombreada
puede representar un exponente diferente. Explique cómo determinó su respuesta.
135. 136. 137.
Retos
En la sección 7.2 aprenderemos que las reglas de los exponentes dadas en esta sección también se aplican cuando los exponentes son nú-
meros racionales. Usando esta información y las reglas de los exponentes, evalúe cada expresión.
138. 139. 140.
141. 142.
Actividad en grupo
¢ x1>2
 y4
x-3
 y5>2 ≤
2x1>2
 y-3>2
x5
 y5>3
¢ x4
x-1>2 ≤
-1¢x5>8
x1>4 ≤
3¢x1>2
x-1 ≤
3>2
¢x y5
 z-2
x4
 y z
≤ -1
=
x5
 z3
y2¢ x-2
 y3
 z
x4
 y z-3
≤ 3
=
z12
x18
 y6¢ x2
 y-2
x-3
 y 
≤ 2
= x10
 y2
Analice y responda en grupo el ejercicio 143.
143. Duplicación de un centavo El día 1 se le da un centavo. En
cada día siguiente se le da el doble de la cantidad que se le
dio el día anterior.
a) Escriba las cantidades que se le darían en cada uno de
los primeros 6 días. 4, 8, 16, 32 cents
b) Exprese cada uno de estos números como una expre-
sión exponencial con una base de 2.
c) Buscando un patrón, determine una expresión expo-
nencial para el número de centavos que recibirá el día
10.
d) Escriba una expresión exponencial general para el nú-
mero de centavos que recibirá el día n.
e) Escriba una expresión exponencial para el número de
centavos que recibirá el día 30.
f) Calcule el valor de la expresión en la parte e). Utilice
una calculadora si tiene alguna disponible.
g) Determine la cantidad, en dólares, que encontró en la
parte f).$5,368,709.12
h) Escriba una expresión exponencial general para el nú-
mero de dólares que recibirá en el día n.
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.2] 144. Si A �53, 4, 66 y B � 51, 2, 5, 96, determine
a) A ´ B y
b) A ¨ B.
145. Ilustre el conjunto siguiente en la recta numérica:
5x|�3 � x � 26.
[1.4] 146. Evalúe
147. Evalúe 13 -125.
8 + ƒ12 ƒ , ƒ -3 ƒ - 4 # 22.
1 Escribir números en
notación científica
2 Cambiar números en
notación científica a forma
decimal
3 Usar notación científica en
la resolución de problemas
1 Escribir números en notación científica
Con frecuencia, científicos e ingenieros tratan con números muy grandes y muy peque-
ños. Por ejemplo, la frecuencia de la señal de una radio FM puede ser de 14,200,000,000
hertz (o ciclos por segundo) y el diámetro de un átomo de hidrógeno es de alrededor
de 0.0000000001 metros. Ya que es difícil trabajar con muchos ceros, los científicos
suelen expresar tales números con exponentes. Por ejemplo, el número 14,200,000,000
podría escribirse como 1.42 	 1010 y 0.0000000001 como 1 	 10�10. Los números como
1.42 	 1010 y 1 	 10�10 están en la forma llamada notación científica. En notación cien-
tífica, los números se expresan como a 	 10n, donde 1 � a � 10 y n es un entero. Cuan-
do una potencia de 10 no tiene coeficiente numérico, como en 105, suponemos que el
coeficiente numérico es 1. Así, 105 significa 1 	 105 y 10�4 significa 1 	 10�4.
El diámetro de estos virus (las figuras
semejantes a hongos que se desprenden
de la superficie) es de casi 1 * 10-7 metros.
50 Capítulo 1 Conceptos básicos
Ejemplos de números en notación científica
Lo siguiente muestra el número 32,400 cambiado a notación científica.
Hay cuatro ceros en 10,000, el mismo número que el exponente en 104. El procedi-
miento para escribir un número en notación científica es el siguiente.
110,000 = 1042 = 3.24 * 104
 32.400 = 3.24 * 10,000
2.64 * 10-24.176 * 1033.2 * 106
Para escribir un número en notación científica
1. Mueva el punto decimal en el número a la derecha del primer dígito distinto de cero.
Esto da un número mayor o igual a 1 y menor que 10.
2. Cuente el número de lugares que movió el punto decimal en el paso 1. Si el número
original es 10 o mayor, la cuenta se considera positiva. Si el número original es menor
que 1, la cuenta se considera negativa.
3. Multiplique el número obtenido en el paso 1 por 10 elevado a la cuenta (potencia)
que encontró en el paso 2.
EJEMPLO 1 � Escriba los números siguientes en notación científica.
a) 68,900 b) 0.000572 c) 0.0074
Solución
a) El punto decimal en 68,900 está a la derecha del último cero.
68,900. = 6.89 * 104
1.6 Notación científica
El diámetro de esta galaxia es de alrededor de
1 * 1021 metros.
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