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70 Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA Comprobación de soluciones por sustitución Las soluciones de las ecuaciones pueden comprobarse por medio de una calculadora. Para verificar, sustituya su solución en ambos lados de la ecuación para ver si obtiene el mismo valor (algunas veces puede haber una pequeña diferencia en los últi- mos dígitos). La pantalla de la calculadora graficadora de la figura 2.1 muestra que ambos lados de la ecuación dada en el ejem- plo 5 son iguales a �22.4 cuando se sustituye �2.5 por x. Así la solución �2.5 satisface la ecuación. 41-2.5 - 3.12 = 2.11-2.5 - 42 + 3.51-2.52 41x - 3.12 = 2.11x - 42 + 3.5x FIGURA 2.1 El ejemplo 5 contiene números decimales. Resuelva este problema siguiendo el procedimiento dado anteriormente. EJEMPLO 5 � Resuelva la ecuación 4(x � 3.1) � 2.1(x � 4) � 3.5 x. Solución Propiedad distributiva. Reduzca términos semejantes. Sume 8.4 a ambos lados. Reste 4x de ambos lados. Divida ambos lados entre 1.6. La solución es �2.5. � Ahora resuelva el ejercicio 111 Para ahorrar espacio, no siempre mostraremos la comprobación de nuestras res- puestas; sin embargo, usted sí debe verificar todas sus respuestas. Cuando la ecuación contiene números decimales, utilizar una calculadora para resolver y verificar la ecua- ción podría ahorrarle tiempo. -2.5 = x -4.0 1.6 = 1.6x 1.6 -4.0 = 1.6x 4x - 4x - 4.0 = 5.6x - 4x 4x - 4.0 = 5.6x 4x - 12.4 + 8.4 = 5.6x - 8.4 + 8.4 4x - 12.4 = 5.6x - 8.4 4x - 12.4 = 2.1x - 8.4 + 3.5x 41x2 - 413.12 = 2.11x2 - 2.1142 + 3.5x 41x - 3.12 = 2.11x - 42 + 3.5x Ahora resolveremos un ejemplo que contiene paréntesis anidados. EJEMPLO 6 � Resuelva la ecuación Solución Propiedad distributiva. Reduzca términos semejantes. Propiedad distributiva. Sume 20c a ambos lados. 27c - 15 = 52 7c + 20c - 15 = -20c + 20c + 52 7c - 15 = -20c + 52 7c - 15 = -2[10c - 26] 7c - 15 = -2[6c - 18 - 8 + 4c] 7c - 15 = -2[61c - 32 - 412 - c2] 7c - 15 = -2[61c - 32 - 412 - c2]. EJERCICIOS Utilice su calculadora para determinar si el número dado es una solución para la ecuación. 1. 2. -2.314 - x2 = 3.51x - 6.12; 10.125 5.21x - 3.12 = 2.31x - 5.22; 1.4 Valor del lado izquierdo de la ecuación Valor del lado derecho de la ecuación — — Sección 2.1 Resolución de ecuaciones lineales 71 Sume 15 a ambos lados. Divida ambos lados entre 27. � Ahora resuelva el ejercicio 91 Observe que las soluciones a los ejemplos 5 y 6 no son enteros. No debe esperar que las soluciones a las ecuaciones sean números enteros. Al resolver algunas de las siguientes ecuaciones omitiremos algunos pasos inter- medios. Ahora ilustraremos cómo puede acortarse la solución. Solución Solución abreviada a) a) Realice mentalmente este paso. b) b) Realice mentalmente este paso. 4 Resolver ecuaciones con fracciones Cuando una ecuación tiene fracciones, empezamos multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. El mínimo común denominador (MCD) de un conjunto de denominadores, (también llamado mínimo común múltiplo, MCM), es el número más pequeño que cada uno de los denominadores divide sin residuo. Por ejemplo, si los denominadores de dos fracciones son 5 y 6, entonces el mínimo común denominador es 30, ya que 30 es el número más pequeño que dividen 5 y 6. Al multiplicar ambos lados de la ecuación por el MCD, cada término de la ecua- ción se multiplicará por el mínimo común denominador. Después de realizar este paso, la ecuación no debe tener fracciones. EJEMPLO 7 � Resuelva la ecuación Solución El mínimo común denominador es 3. Multiplique ambos lados de la ecua- ción por 3 y después aplique la propiedad distributiva en el lado izquierdo de la ecuación. Este proceso eliminará todas las fracciones de la ecuación. Multiplique ambos lados por 3. Propiedad distributiva. Reste 15 de ambos lados. Divida ambos lados entre �2. � Ahora resuelva el ejercicio 97 a = 21 -2a -2 = -42 -2 -2a = -42 15 - 15 - 2a = -27 - 15 15 - 2a = -27 3152 - 3 1 ¢2a 3 1 ≤ = -27 3 a5 - 2a 3 b = 3 1-92 5 - 2a 3 = -9 5 - 2a 3 = -9. x = 2 x = 2— 3x 3 = 6 3 3x = 6 3x = 6 x = 2 x = 2— x + 4 - 4 = 6 - 4 x + 4 = 6 x + 4 = 6 c = 67 27 27c 27 = 67 27 27c = 67 27c - 15 + 15 = 52 + 15 72 Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA GRAFICADORA Las ecuaciones con una variable pueden resolverse de manera gráfica, por medio de una calculadora graficadora. En la sección 3.3 analizamos cómo hacerlo. Quizá quiera revisar ese material ahora. TABLA 2.1 Tipo de ecuación lineal Solución Ecuación condicional Una Contradicción Ninguna (conjunto solución: ) Identidad Número infinito (conjunto solución: )� ¤ EJEMPLO 8 � Resuelva la ecuación Solución Empiece multiplicando ambos lados de la ecuación por 6, el mínimo co- mún denominador de 2 y 3. Multiplique ambos lados por 6. Simplifique. Propiedad distributiva. Reste 2x de ambos lados. Reste 12 de ambos lados. � Ahora resuelva el ejercicio 99 En la sección 6.4 estudiaremos ecuaciones que contienen fracciones. S u g e r e n c i a ú t i l La ecuación en el ejemplo 8 también puede escribirse como ¿Puede explicar por qué? x + 4 2 = x 3 . x = -12 x + 12 - 12 = 0 - 12 x + 12 = 0 3x - 2x + 12 = 2x - 2x 3x + 12 = 2x 31x + 42 = 2x 6 c1 2 1x + 42 d = 6 a1 3 xb 1 2 1x + 42 = 1 3 x. 5 Identificar ecuaciones condicionales, contradicciones e identidades Todas las ecuaciones analizadas hasta aquí han sido verdaderas sólo para un valor de la variable, y se denominan ecuaciones condicionales. Algunas ecuaciones nunca son ver- daderas y no tienen solución; éstas se denominan contradicciones (o ecuaciones incon- sistentes). Otras ecuaciones, llamadas identidades tienen un número infinito de soluciones. La tabla 2.1 resume estos tipos de ecuaciones lineales y sus correspondien- tes números de soluciones. El conjunto solución de una ecuación condicional tiene la solución dada en un conjunto entre llaves. Por ejemplo, el conjunto solución del ejemplo 8 es {�12}. El con- junto solución de una contradicción es el conjunto vacío o nulo, o El conjunto so- lución de una identidad es el conjunto de los números reales, EJEMPLO 9 � Determine si la ecuación 5(d � 7) � 4d � 3 � 3(3d � 10) � 2 es una ecuación condicional, una contradicción o una identidad. Dé el conjunto solución para la ecuación. Solución Propiedad distributiva Reduzca términos semejantes 9d - 32 = 9d - 32 5d - 35 + 4d + 3 = 9d - 30 - 2 51d - 72 + 4d + 3 = 313d - 102 - 2 �. ¤.{ } Sección 2.1 Resolución de ecuaciones lineales 73 Como obtenemos la misma expresión en ambos lados de la ecuación, es una identidad. Esta ecuación es verdadera para todos los números reales, su solución es � Ahora resuelva el ejercicio 125 EJEMPLO 10 � Determine si 2(3m � 1) � 6m � 3 es una ecuación condicional, una contradicción o una identidad. Proporcione el conjunto solución para la ecuación. Solución Propiedad distributiva Reste 6m de ambos lados Como 2 � 3 nunca es una proposición verdadera, esta ecuación es una contradic- ción, su conjunto solución es � Ahora resuelva el ejercicio 119 6 Entender los conceptos para resolver ecuaciones Los números o variables que aparecen en las ecuaciones no afectan los procedimientos utilizados para resolver las ecuaciones. En el ejemplo siguiente, que no tiene letras ni números, resolveremos la ecuación utilizando los conceptos y procedimientos que se han presentado. EJEMPLO 11 � En la ecuación siguiente, suponga que representa la variable para la cual estamos resolviendo y que los demás símbolos representan números reales diferentes de cero. Despeje de la ecuación. Solución Para despejar necesitamos aislar Utilizamos las propiedades de la suma y la multiplicación para despejar Reste de ambos lados. Divida ambos lados entre Por lo que la solución es � Ahora resuelvael ejercicio 143 Considere la ecuación 5x � 7 � 12. Si hacemos y 12 � #, la ecuación tiene la misma forma que la ecuación del ejemplo 11. Por lo tanto, la solución será de la misma forma. Ecuación Solución Si usted resuelve la ecuación 5x � 7 � 12, verá que su solución es 1. Así el procedi- miento utilizado para resolver una ecuación no depende de los números o variable dados en la ecuación. x = 12 - 7 5 = 5 5 = 1 5x + 7 = 12 } = # - ^ n n } + ^ = # 5 = n, x = }, 7 = ^ } = # - ^ n . } = # - ^ n n. n } n = # - ^ n n } = # - ^ ^ n } + ^ - ^ = # - ^ n } + ^ = # }. }.} n } + ^ = # } } ¤. 2 = 3 6m - 6m + 2 = 6m - 6m + 3 6m + 2 = 6m + 3 213m + 12 = 6m + 3 �. 74 Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades CONJUNTO DE EJERCICIOS 2.1 Ejercicios de concepto/redacción 1. ¿Qué son los términos de una ecuación? 2. Determine los coeficientes de cada término. a) 1 b) c) 3. Determine el coeficiente de cada término. a) b) c) 4. ¿Cómo determina el grado de un término? 5. a) ¿Qué son términos semejantes? b) ¿Los términos 3x y 3x2, son términos semejantes? Explique. 6. ¿Qué es una ecuación? 7. ¿4 es solución de la ecuación 2x � 3 � x � 5? Explique. no 8. ¿8 es solución para la ecuación x � 1 � 2x � 7? Explique.yes - 31x + 22 5 -1p + 32x + y 4 - m - 7n 5 .-a3 b7x2 y5 9. Establezca la propiedad de la suma para la igualdad. 10. Establezca la propiedad de la multiplicación para la igualdad. 11. a) ¿Cuántas soluciones tiene una identidad? b) Si una ecuación lineal es una identidad, ¿cuál es su con- junto solución? 12. a) ¿Qué es una contradicción?uation that is never verdadero b) ¿Cuál es el conjunto solución de una contradicción? 13. a) Explique paso a paso cómo resolvería la ecuación l vary. b) Resuelva esta ecuación. 14. a) Explique paso a paso cómo resolvería la ecuación Answers will vary. b) Resuelva esta ecuación. 1 6 = 2 3 n - 1 8 5x - 21x - 42 = 21x - 22 Práctica de habilidades Diga el nombre de la propiedad indicada. 15. Si x � 13, entonces 13 � x.y 16. Si m � 2 � 3, entonces 3 � m � 2.y 17. Si b � c y c � 9, entonces b � 9. 18. Si x � 1 � a y a � 2y, entonces x � 1 � 2y. 19. 20. Si r � 4, entonces r � 3 � 4 � 3. 21. Si x � 8, entonces x � 8 � 8 � 8. 22. Si 2x � 4, entonces 3(2x) � 3(4). 23. Si entonces 24. Si entonces 25. Si entonces 26. Si y entonces Proporcione el grado de cada término. 27. three 28. two 29. 3ab two 30. five 31. 6 zero 32. zero 33. one 34. five 35. seven 36. ten 37. twelve 38. nineteen Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse, dígalo. 39. 40. cannot be simplified 41. 42. 43. 44. 45. cannot be simplified 46. 47. 48. cannot be simplified 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. Resuelva cada ecuación. 61. 3 62. 2 63. 64. 3 65. 2 66. -28w + 7 = -3w - 154x - 8 = -412x - 32 + 45s - 3 = 2s + 6 3 2 5x - 9 = 31x - 225x + 3 - 2x = 95a - 1 = 14 p2 q + 4pq - [-1pq + 4p2 q2 + pq]- {[2rs - 31r + 2s2] - 212r2 - s2} 2{[3a - 12b - 5a2] - 312a - b2}5b - {7[213b - 22 - 14b + 92] - 2} -2[3x - 12y - 12 - 5x] + y9x - [3x - 15x - 4y2] - 2y 31a + c2 - 41a + c2 - 34 - [613x + 22 - x] + 4 6n + 0.61n - 32 - 51n + 0.723ax + 1 2 b - 1 3 x + 5 4.3 - 3.2x - 21x - 2212a1 6 + d 4 b + 5d7x3 y2 + 11y3 x2 8pq - 9pq + p + q2b2b + b2 - 4b + b2 + 3bw3 + w2 - w + 1 7y + 3x - 7 + 5x - 2y10.6c2 - 2.3c + 5.9c - 1.9c211a - 12b - 4c + 5a 5x2 - 11x + 10x - 53x2 + 4x + 57r + 3b - 11x + 12y -2x4 y7 z83x5 y6 zm4 n65a2 b4 c 18p2 q3 -5r-3 1 2 x4 y-6y25c3 x - 3 = z.x + y = z,x - 3 = x + y12a t 4 + 1 3 b = 12a5 6 b . t 4 + 1 3 = 5 6 , a + 2 - 2 = 4 - 2.a + 2 = 4, 1 5 15x2 = 1 5 142.5x = 4, a + c = a + c Sección 2.1 Resolución de ecuaciones lineales 75 67. 16 68. 69. 70. 1 71. 72. 73. 1 74. 75. 76. 10 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 22 89. 6 90. 91. 92. 1 93. 94. Resuelva cada ecuación. Si su respuesta no es un entero, déjela como una fracción. 95. 96. 1 97. 98. 4 99. 24 100. 101. 10 102. 103. 104. 20 105. 106. 107. 5 108. Resuelva cada ecuación. Redondee las respuestas al centésimo más cercano. 109. 1.00 110. 111. 1.18 112. 1.93 113. 0.43 114. 0.00 115. 1701.39 116. 117. 118. 0.00 Determine el conjunto solución para cada ejercicio. Luego indique si la ecuación es condicional, una identidad o una contradicción. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. Resolución de problemas 412 - 3x2 = - [6x - 18 - 6x2]0.8z - 0.31z + 102 = 0.51z + 12 0.61z + 52 - 0.51z + 22 = 0.11z - 23261x - 12 = -312 - x2 + 3x 7 - a1 2 x + 4b = 3a - 1 6 x + 2b4 - a2 3 x + 2b = 2a - 1 3 x + 1b -51c + 32 + 41c - 22 = 21c + 22412x - 32 + 15 = -61x - 42 + 12x - 21 9x + 12 - 8x = -61x - 22 + 7x31y + 32 - 412y - 72 = -5y + 2 0.6114x - 80002 = -0.4120x + 12,0002 + 20.6x100017.34q + 14.782 = 10013.91 - 4.21q2 0.42x - x = 5.11x + 320.61500 - 2.4x2 = 3.612x - 40002 0.0512000 + 2x2 = 0.0412500 - 6x251z + 3.412 = -7.8912z - 42 - 5.67 6.1p - 4.513 - 2p2 = 15.74.7x - 3.61x - 12 = 4.9 0.21x - 302 = 1.6x0.4n + 4.7 = 5.1n 5 6 m - 5 12 = 7 8 m + 2 3 1 4 1x + 32 = 1 3 1x - 22 + 1 1 3 x + 5 6 = 2x 1 2 = 4 5 x - 1 4 x - 2 = 3 4 1x + 42 4 - 3 4 a = 7 1 2 x + 2 = 1 8 x - 1 1 2 1x - 22 = 1 3 1x + 22 1 4 1x - 22 = 1 3 12x + 623 4 t + 7 8 t = 39 1 2 16r - 102 = 7 4x - 2 3 = -6 15c + 3 9 = 2 s 4 = -16 -316 - 4x2 = 4 - {5x - [6x - 14x - 13x + 222]} - {41d + 32 - 5[3d - 212d + 72] - 8} = -10d - 63{[1x - 22 + 4x] - 1x - 32} = 4 - 1x - 122 4{2 - [31c + 12 - 21c + 12]} = -2c-z - 6z + 3 = 4 - [6 - z - 13 - 2z2] 2[3x - 14x - 62] = 51x - 623[6 - 1h + 22] - 6 = 41-h + 72 51x - 22 - 14x = x - 5312x - 42 + 31x + 12 = 951a + 32 - a = -14a - 62 + 1 -412z - 62 = -31z - 42 + z-413 - 4x2 - 21x - 12 = 12x-213w + 62 - 14w - 32 = 21 412x - 22 - 31x + 72 = -48 - 312a - 42 = 5 + 3a - 4a6 - 1n + 32 = 3n + 5 - 2n 5r - 13 - 6r = 31r + 52 - 16-31y - 12 + 2y = 41y - 328x + 21x - 42 = 8x + 12 p - 1p + 42 = 41p - 12 + 2p4x - 213x - 72 = 2x - 62 - 1x + 52 = 4x - 8 613 - q2 = -41q + 123x + 412 - x2 = 4x + 5412x - 42 = -21x + 32 -31t - 52 = 21t - 5271x - 12 = 31x + 22-61z - 12 = -51z + 22 Utilice t � 1 para 2001, t � 2 para 2002, y así sucesivamente. Si la densidad de población continúa en aumento a la tasa actual, a) determine la densidad poblacional de Estados Unidos en 2008. b) ¿durante qué año la densidad población de Estados Unidos alcanzará 100 personas por milla cuadrada? 129. Densidad poblacional La densidad poblacional de Estados Unidos ha aumentado de manera constante desde 2000. La densidad poblacional de Estados Unidos puede estimarse por medio de la ecuación donde P es la densidad poblacional, medido en personas por millas cuadradas, y t es el número de años desde 2000. P = 0.82t + 78.5 76 Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades 130. Bebés dormilones El doctor Richard Ferber, un experto pediatra del sueño, ha desarrollado un método* para ayudar a que los niños de 6 meses de edad y mayores, puedan dor- mir toda la noche. Se conoce como “Ferberizing”, e indica a los padres que deben esperar intervalos de tiempo cada vez mayores antes de entrar a la habitación del niño en la no- che a consolarlo cada vez que llora. El tiempo sugerido de espera depende de cuántas noches han utilizado los padres el método y puede determinarse por medio de la ecuación donde W es el tiempo de espera en minutos y n es el núme- ro de noches. Por ejemplo, en la primera noche, n � 1, en la segunda noche, n � 2, etcétera. a) ¿Cuánto deben esperar los padres la primera noche? b) ¿Cuánto deben esperar los padres en la cuarta noche? c) ¿En qué noche los padres deben esperar 30 minutos? d) ¿En qué noche los padres deben esperar 40 minutos? 131. Participación de mercado de los fabricantes de automóviles americanos En años recientes, los fabricantes de automóvi- les americanos han ido perdiendo parte del mercado ante los fabricantes de Asia y Europa. El porcentajedel total de auto- móviles vendidos en Estados Unidos fabricados por fabri- cantes americanos puede estimarse usando la ecuación donde M es el porcentaje del total de automóviles vendidos en Estados Unidos producidos por fabricantes americanos y x es el número de años desde 2004. Utilice x � 1 para 2005, x � 2 para 2006, etcétera. a) ¿Cuál es el porcentaje del total de automóviles vendi- dos en Estados Unidos producidos por fabricantes ame- ricanos en 2006? 58.96% b) Si esta tendencia continúa, ¿durante qué año el porcen- taje del total de ventas en Estados Unidos producidos por fabricantes americanos será de 53.92%? M = -1.26x + 61.48 W = 5n + 5 132. Anualidades Las anualidades son contratos de seguro de vida que garantizan pagos futuros. Un tipo de anualidad, denominada anualidad variable, es una cuenta de retiro que permite a alguien invertir en un fondo mutuo y difiere el pago de impuestos hasta que se realicen los retiros en un tiempo posterior. El número de anualidades variables ven- didas ha crecido de manera constante. Las ventas de anuali- dades variables pueden aproximarse por la ecuación donde S representa las ventas totales de anualidades varia- bles (en miles de millones de dólares) y x es el número de años desde 2004. Utilice x � 1 para 2005, x � 2 para 2006, etcétera. a) Determine las ventas totales de anualidades variables en 2005. b) ¿En qué año la venta de anualidades alcanzará la marca de 200 mil millones de dólares? 133. Maratón de Boston Desde 1940, los ganadores masculinos de la Maratón de Boston, por lo general, han disminuido su tiempo para concluir la prueba. El tiempo, en horas, para ter- minar la carrera puede aproximarse mediante la ecuación donde t es el tiempo para terminar y x es el número de años desde 1940. Utilice x � 1 para 1941, x � 2 para 1942, y así sucesivamente. a) Estime el tiempo ganador de la Maratón de Boston en 1941. b) Estime el tiempo ganador de la Maratón de Boston en 2005. 134. Considere la ecuación x � 4. Proporcione tres ecuaciones equivalentes. Explique por qué las ecuaciones son equiva- lentes. 135. Considere la ecuación 2x � 5. Proporcione tres ecuaciones equivalentes. Explique por qué las ecuaciones son equiva- lentes. 136. Invente una ecuación que sea una identidad. Explique có- mo creó la ecuación. 137. Invente una ecuación que sea una contradicción. Explique cómo creó la contradicción. 138. Escriba una ecuación con tres términos en la izquierda del signo de igual y dos términos en la derecha del signo de igual que sea equivalente a la ecuación 3m � 1 � m � 5. 139. Escriba una ecuación con dos términos en la izquierda del signo de igual y tres términos en la derecha del signo de igual que sea equivalente a la ecuación 1 2 p + 3 = 6. t = 2.405 - 0.005x S = 10x + 150 *Antes de tratar al niño con este método, los padres deben con- sultar con su pediatra. << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 1.8) /CalRGBProfile (Apple RGB) /CalCMYKProfile (U.S. Sheetfed Uncoated v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Off /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 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