Algebra-Intermedia 1-páginas-38

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FIGURA 3.6
Sección 3.1 Gráficas 147
EJEMPLO 3 � Grafique y � x.
Solución Primero determinamos parejas ordenadas que sean soluciones seleccio-
nando valores de x y determinando los valores correspondientes de y. Seleccionaremos 0,
algunos valores positivos y algunos valores negativos para x. En general, seleccionare-
mos números cercanos a 0, de modo que las parejas ordenadas se ajusten en los ejes. La
gráfica se ilustra en la figura 3.6.
x y (x, y)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 2 (2, 2)
1-1, -12-1-1
1-2, -22-2-2
1. Seleccione valores para x
2. Calcule y
3. Parejas ordenadas
4. Trace los puntos y dibuje la gráfica
y � x
54321�4�5 �3�2�1
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
x
y
� Ahora resuelva el ejercicio 27
Al graficar ecuaciones lineales que contienen fracciones solemos seleccionar valores
para x que sean múltiplos del denominador del término x. Esta selección, por lo co-
mún, da como resultado los valores de y que se convierten en valores enteros. Esto se
ilustra en el ejemplo 4.
EJEMPLO 4 � Grafique
Solución Seleccionaremos algunos valores para x, determinaremos los valores co-
rrespondientes de y y luego haremos la gráfica. Cuando elegimos valores para x, selec-
cionaremos algunos valores positivos, algunos valores negativos y 0. La gráfica se
ilustra en la figura 3.7. (Para ahorrar espacio, en la tabla no siempre listaremos una
columna para los pares ordenados).
y = - 
1
3
 x + 1.
x y
3
2
0 1
3 0
6 -1
-3
-6
Trace los puntos y dibuje la gráfica
1. Seleccione valores para x
2. Calcule y
3.
y � �ax � 1
�5
�6
�4
�3
�2
�1
5
6
4
3
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
FIGURA 3.7
� Ahora resuelva el ejercicio 35
148 Capítulo 3 Gráficas y funciones
y � x2 � 4
�5
�6
�4
�3
�2
�1
5
6
4
3
2
1
5 64321�4�5�6 �3 �2 �1
y
x
FIGURA 3.8
En el ejemplo 4, observe que seleccionamos valores de x que fueron múltiplos de
3, así no tuvimos que trabajar con fracciones.
Si nos piden graficar una ecuación que no tiene despejada a la y, tal como x � 3y
� 3, nuestro primer paso será despejar a y de la ecuación. Por ejemplo, si despejamos a
y de x � 3y � 3, utilizando el procedimiento estudiado en la sección 2.2, obtenemos
Reste x de ambos lados.
Divida ambos lados entre 3.
La ecuación resultante, es la misma ecuación que graficamos en el ejem-
plo 4. Por lo tanto, la gráfica de x � 3y � 3 también aparece ilustrada en la figura 3.7.
3 Graficar ecuaciones no lineales
Existen muchas ecuaciones cuyas gráficas no son líneas rectas. Tales ecuaciones se de-
nominan ecuaciones no lineales. Para graficarlas por medio del trazo de puntos segui-
mos el mismo procedimiento empleado para graficar ecuaciones lineales. Sin embargo,
como las gráficas no son líneas rectas, podríamos necesitar más puntos para dibujar las
gráficas.
EJEMPLO 5 � Grafique
Solución Seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores corres-
pondientes de y. Luego trazamos esos puntos y los conectamos por medio de una curva
suave. Cuando sustituimos valores para x y evaluamos el lado derecho de la ecuación,
seguimos el orden de las operaciones estudiado en la sección 1.4. Por ejemplo, si
x � �3, entonces y � (�3)2 � 4 � 9 � 4 � 5. La gráfica se muestra en la figura 3.8.
y = x2
- 4.
y = - 
1
3
 x + 1,
 y =
-x
3
+
3
3
= - 
1
3
 x + 1
 y =
-x + 3
3
 3y = -x + 3
 x + 3y = 3
x y
5
0
0
1
2 0
3 5
-3
-4
-3-1
-2
-3
Si sustituimos 4 por x, y sería igual a 12. Cuando x � 5, y � 21. Observe que esta gráfi-
ca crece de manera consistente alejándose del origen.
� Ahora resuelva el ejercicio 41
y � 
1
x
�5
�4
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �1
y
x
FIGURA 3.9
Sección 3.1 Gráficas 149
EJEMPLO 6 � Grafique
Solución Iniciamos por seleccionar valores para x y determinar los valores corres-
pondientes de y. Luego trazamos los puntos y dibujamos la gráfica. Observe que si 
sustituimos 0 por x, obtenemos Como no está definido, no podemos utilizar al
0 como primera coordenada. No habrá parte de la gráfica en x � 0. Trazaremos puntos
a la izquierda de x � 0 y puntos a la derecha de x � 0 de forma separada. Seleccione
puntos cercanos a 0 para ver qué le sucede a la gráfica cuando x es cercana a x � 0. Por
ejemplo, observe que cuando Esta gráfica tiene dos ramas,
una a la izquierda del eje y y una a la derecha del eje y, como se muestra en la figura 3.9.
x = - 
1
2
, y =
1
-
1
2
= -2.
1
0
y =
1
0
.
y =
1
x
.
x y
2
1 1
2
3
1
3
1
2
1
2
-2- 
1
2
-1-1
- 
1
2
-2
- 
1
3
-3
� Ahora resuelva el ejercicio 51
En la gráfica del ejemplo 6, observe que para valores de x lejanos a 0 por la dere-
cha, o lejanos a 0 por la izquierda, la gráfica se aproxima al eje x pero no lo toca. Por
ejemplo, cuando x � 1000, y � 0.001 y cuando x � �1000, y � �0.001. ¿Puede explicar
por qué y nunca puede tener un valor de 0?
EJEMPLO 7 � Grafique
Solución Recuerde que |x| se lee “valor absoluto de x”. Los valores absolutos se es-
tudiaron en la sección 1.3. Para graficar esta ecuación con valor absoluto, seleccionamos
algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes para y. Por ejem-
plo, si x � �4, entonces y � |�4| � 4. Luego trazamos los puntos y dibujamos la gráfica.
Observe que esta gráfica tiene forma de V, como se muestra en la figura 3.10.
y = ƒx ƒ .
x y
4
3
2
1
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
-1
-2
-3
-4
y � �x�
�5
�4
�3
�2
�1
5
4
3
2
1
54321�4�5 �3 �2 �1
y
x
FIGURA 3.10 � Ahora resuelva el ejercicio 45
150 Capítulo 3 Gráficas y funciones
4 Usar una calculadora graficadora
Si una ecuación es complicada, determinar parejas de puntos consume tiempo. En esta
sección presentamos un procedimiento general que puede usarse para graficar ecua-
ciones por medio de una calculadora graficadora.
Un uso principal de una calculadora graficadora es graficar ecuaciones. Una venta-
na de graficación es la pantalla rectangular en la que se muestra una gráfica.
En este libro todas las ventanas de graficación serán de las calculadoras graficado-
ras TI-83 Plus o TI-84 Plus. Ambas calculadoras muestran la misma ventana. En los
recuadros Cómo utilizar su calculadora graficadora utilizados en todo el libro, en oca-
siones indicaremos que la secuencia de teclas y las ventanas mostradas son para la
calculadora graficadora TI-84 Plus. La misma secuencia de teclas y ventanas también
son para la calculadora graficadora TI-83 Plus, aunque podríamos no indicarlo en los
recuadros.
Cómo evitar errores comunes
Cuando se grafican ecuaciones no lineales, muchos estudiantes no trazan suficientes puntos
para obtener una imagen verdadera de la gráfica. Por ejemplo, cuando se grafica 
muchos estudiantes sólo consideran valores enteros para x.A continuación está una tabla de
valores para la ecuación y dos gráficas que contienen los puntos indicados en la tabla.
x 1 2 3
y 1
CORRECTO INCORRECTO
Si selecciona y traza valores fraccionarios de x cercanos a 0, como se hizo en el ejemplo 6,
obtendría la gráfica de la figura 3.11. La gráfica de la figura 3.12 no puede ser correcta ya
que la ecuación no está definida cuando x es 0, y por tanto la gráfica no puede cruzar el eje y.
Siempre que trace una gráfica que contenga una variable en el denominador, seleccione
valores para la variable que estén muy cercanos al valor que haga al denominador igual a 0
y observe lo que sucede. Por ejemplo, cuando grafique debe utilizar valores de
x cercanos a 3, tales como 2.9 y 3.1 o 2.99 y 3.01, y ver qué valores obtiene para y.
También, cuando grafique ecuaciones no lineales, es buena idea considerar valores
positivos y valores negativos. Por ejemplo, si sólo utiliza valores positivos de x cuando grafi-
ca y � |x|, la gráfica parecería ser una línea recta que pasa por el origen, en lugar de la
gráfica en forma de V que se mostró en la figura 3.10 de la página 149.
y =
1
x - 3
1
3
1
2
-1- 
1
2
- 
1
3
-1-2-3
y =
1
x
y � 
x
1
�4
�1
4
3
2
1
4321�4 �1
y
x
FIGURA 3.11
y � 
x
1
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4 �1
y
x
FIGURA 3.12
FIGURA 3.17
FIGURA3.16
�10, 10, 1, �10, 10, 1
FIGURA 3.15
FIGURA 3.14
Sección 3.1 Gráficas 151
La figura 3.13 muestra la ventana de graficación para una calculadora TI-84 Plus con
alguna información ilustrada; la figura 3.14 muestra el significado de la información
dada en la figura 3.13.
Ymax
Ymin
Xmin
Xmax
Yscl
Xscl
FIGURA 3.13
El eje x en la pantalla estándar de la calculadora va desde �10 (el valor mínimo de x,
Xmin) hasta 10 (el valor máximo de x, Xmax) con una escala de 1. Por lo tanto, cada
marca de división representa 1 unidad (Xscl � 1). El eje y va desde �10 (el valor mínimo
de y, Ymin) hasta 10 (el valor máximo de y, Ymax) con una escala de 1 (Yscl � 1).
Como la ventana es rectangular, la distancia entre marcas de división en la venta-
na estándar son mayores en el eje horizontal que en el eje vertical.
Con frecuencia, al graficar necesitará cambiar los valores de esta ventana. Lea el
manual de su calculadora graficadora para aprender a cambiar la configuración de la
ventana. En la TI-84 Plus, presione la tecla y luego cambiar los ajustes.
Como la calculadora graficadora no muestra los valores de x y y en la ventana, de
forma ocasional listaremos un conjunto de valores debajo de la pantalla. La figura 3.15
muestra la ventana de una calculadora TI-84 Plus con la ecuación . De-
bajo de la ventana mostramos seis números que representan, en orden: Xmin, Xmax,
Xscl, Ymin, Ymax y Yscl. Xscl y Yscl representan la escala en los ejes x y y, respectiva-
mente. Cuando mostremos la ventana estándar de la calculadora, por lo general no
mostraremos estos valores debajo de la pantalla.
Para graficar la ecuación en la TI-84 Plus, presionaría
Luego cuando presiona la ecuación se grafica. La tecla puede
usarse para introducir cualquiera de los símbolos en la tecla. En este libro esta tecla
siempre se usará para introducir la variable x.
La mayoría de las calculadoras graficadoras ofrecen una característica TRACE
(rastreo) que le permite investigar puntos individuales después de que se mostró la
gráfica. Con frecuencia, la tecla se presiona para tener acceso a esta caracte-
rística. Después de presionar la tecla puede mover el cursor a lo largo de la
línea presionando las teclas de flechas. Cuando el cursor se mueve a lo largo de la línea,
los valores de x y y cambian para corresponder con la posición del cursor. La figura 3.16
muestra la gráfica de la figura 3.15 después que se presionó la tecla y la tecla
de la flecha hacia la derecha se ha presionado varias veces.
Muchas calculadoras graficadoras también proporcionan una característica TA-
BLE que mostrará una tabla de parejas ordenadas para cualquier función introducida.
En la TI-84 Plus, como TABLE aparece arriba de la tecla para obtener una
tabla presione La figura 3.17 muestra una tabla de valores para la
ecuación Puede desplazar hacia arriba y hacia abajo la tabla por medio
de las teclas de flechas.
Mediante TBLSET (por configuración de tabla [Table setup]), puede controlar los
valores de x que aparezcan en la tabla. Por ejemplo, si quiere que la tabla muestre
los valores de x en décimos, podría hacer esto utilizando TBLSET.
Esta sección sólo es una breve introducción a graficación de ecuaciones, a la carac-
terística TRACE y a la característica TABLE de una calculadora graficadora. Usted
debe leer el manual de su calculadora graficadora para aprender a utilizar con toda
plenitud estas características.
y = - 
1
2
 x + 4.
� GRAPH � .� 2nd
 �
� GRAPH �
� TRACE �
� TRACE �
� TRACE �
� X, T, ™, n �� GRAPH � ,
� Y = � � 1-2 � � 1 � 1 � , � 2 � 2 � � X, T, ™, n � � + � 4
y = - 
1
2
 x + 4
y = - 
1
2
 x + 4
� WINDOW �
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