Algebra-Intermedia 1-páginas-55

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SIN SIGLA

camposfederico699
29/4/2024
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Álgebra II

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Sección 4.1 Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables 241
Práctica de habilidades
Determine cuáles, si los hay, de los pares ordenados o ternas ordenadas satisfacen el sistema de ecuaciones lineales.
11.
a) (0, 4)
b) (3, 10)
12.
a) (4, 0) b) (7, 2)
13.
a) (5, 20)
b) (18.75, 6.25)
0.25x + 0.45y = 7.50
x + y = 25
y =
3
4
 x - 3
3x - 5y = 12
 y = 2x - 1
 y = 2x + 4
14.
a)
b) (7, 0)
11, -22
5x - 35 = 15y
y =
x
3
-
7
3
15.
a)
b) 11, -2, 22
13, 1, -22
3x + 3y + 4z = 5
2x - y + 2z = 8
x + 2y - z = -5 16.
a)
b) a1
2
, 2, 1b
12, -1, -22
-6x + 3y + 12z = -4
2x - 2y + 6z = 11
4x + y - 3z = 1
Escriba cada ecuación en forma pendiente ordenada al origen. Sin graficar las ecuaciones, diga si el sistema de ecuaciones es consistente,
inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución, no tiene solución o tiene un número infinito
de soluciones.
17.
3y + 12 = -6x
-7x + 3y = 1 18.
 2x - y = 7
x -
1
2
 y = 4 19.
i 4x + 3y = 12
 
x
3
+
y
4
= 1 20.
 2x - 3y = 12
 
x
3
+
y
4
= 1
21.
2x - 2y = -4
3x - 3y = 9 22.
6x - 9y = 12
2x = 3y + 4 23.
3x - 2y = - 
5
2
y =
3
2
 x +
1
2
24.
1
4
 x - 2y = -6
x - y = 3
Determine de forma gráfica la solución de cada sistema de ecuaciones. Si el sistema es inconsistente o dependiente, dígalo.
25. 26. 27. 28.
3x - y = -5
x + y = 1
3y = 12x + 9
y = 4x - 1
y = -3x - 12
y = 2x + 8
y = -x + 3
y = x + 5
29. 30. 31. 32.
y =
2
5
 x - 2
2x - 5y = 10
x = 2
5x + 3y = 13
x + 2y = 4
y = -2x - 1
4x = -6y + 12
2x + 3y = 6
33.
y = 2x - 2
y = -5x + 5 34.
 x - 3y = 16
 4x - y = 9 35.
2y = 4x - 6
x -
1
2
 y = -2 36.
 3y = 4x - 18
 y = - 
1
3
 x - 1
Determine la solución de cada sistema de ecuaciones por sustitución.
37. 38. 39. 40.
x = y
y = 3x - 16
y = x
x = 2y + 3
y = 2x + 6
3x - 2y = -7
y = x + 1
x + 3y = -1
41. 42. 43.
(0.5, 0.7)
44.
10x - y = 1
x = 0.5y + 1.7
 3x - 2y = 0.1
 5x + 6y = 6.7
 m +
1
2
 n = 4
 m + 2n = 4
 2a - b = 3
 a + 3b = 5
45.
b = 2a - 4
a -
1
2
 b = 2 46.
y = - 
1
3
 x -
2
3
x + 3y = -2 47.
y =
5
2
 x + 1
5x - 2y = -7 48.
no solución2x - 3y = 5
y =
2
3
 x - 1
49.
x -
3
5
 y = -2
5x - 4y = -7 50.
s =
1
2
 t
6s + 3t = 4 51.
1
4
 x +
2
3
 y = 6
1
2
 x -
1
3
 y = 2 52.
1
5
 x +
1
8
 y = 1
1
2
 x +
1
3
 y = 3
242 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
53. 54. 55.
5x + 3y = -10
4x - 3y = 1
x - 2y = 6
-x + y = 4
x - y = -3
x + y = 9
56. 57. 58.
2r + s = 6
4r - 3s = 2
-5m + n = -8
10m - 2n = 6
-4x + 10y = -1
2x - 5y = 6
59. 60. 61.
2p + 5q = 7
7p - 3q = 4
 3v - 6w = 1
 2v - 3w = 8
-4c + 10d = 6
2c - 5d = 1
62. 63. 64.
-5x + 3y = 7
2x - 7y = 3
a = 2b + 3
5a - 10b = 15
t = s + 1
5s - 3t = 7
65. 66. 67.
 2x = 5y - 3
 3x - 4y = 5
 2x = -5y - 1
 5x + 4y = 6
 3x + y = 6
 2x - y = 8
68. 69. 70.
 0.60x + 0.25y = -1.1
 0.15x - 0.40y = 0.65
-0.3x + 0.4y = -0.1
0.2x - 0.5y = -0.4
 2x - 3y = 4
 4x + 5y = 3
71.
-1.5m - 0.3n = -6.0
2.1m - 0.6n = 8.4 72.
-0.40x - 0.625y = -0.675
-0.25x + 0.10y = 1.05 73.
 
1
4
 x -
1
9
 y =
2
3
 
1
2
 x -
1
3
 y = 1
74. 75. 76.
 x - 3y =
1
3
 
2
3
 x - 4 =
1
2
 y
 3x = 4y
 
1
3
 x = 4 -
1
4
 y
 
2
3
 x - y =
8
3
 
1
5
 x +
1
2
 y = 4
Resolución de problemas
ma de ecuaciones para determinar el año en que ambos sala-
rios serán iguales. ¿Cuál será el salario en ese año?
80. Ingresos de Martha Stewart La gráfica de la parte superior
de la página siguiente muestra el ingreso, en millones de dó-
lares, de las ventas editoriales y de Internet en la compañía
Martha Stewart Living Omnimedia para 2002 a 2004.
Salarios
Sa
la
ri
o 
(d
ól
ar
es
)
0
38,000
36,000
40,000
42,000
44,000
46,000
48,000
50,000
52,000
20082006 2010 2012 2014 2016
Año
y
t
77. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sería más fácil de
resolver por sustitución.
b) Explique por qué la sustitución sería el método más fácil
de usar.s will vary.
c) Por sustitución resuelva el sistema.ers will vary.
78. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sería más fácil de
resolver por el método de suma. will vary.
b) Explique por qué el método de la suma sería el método
más fácil de usar.will vary.
c) Resuelva el sistema por el método de la suma.
79. Salarios En enero 2006, Mary Jones inició un trabajo nuevo
con un salario anual de $38,000. Su jefe aceptó incrementar
su salario en $1000 cada enero de los años por venir. Su salario
está determinado mediante la ecuación y � 1000t � 38,000,
donde t es el número de años desde 2006. (Vea la línea roja
en la gráfica). También en enero de 2006, Wynn Nguyen ini-
ció un nuevo empleo con un salario anual de $45,500. Su jefe
convino en aumentar su salario en $500 cada enero en los
años siguientes. Su salario está determinado mediante la
ecuación y � 45,500 � 500t, donde t es el número de años
desde 2006. (Vea la línea gris en la gráfica). Resuelva el siste-
Sección 4.1 Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables 243
Ventas de Martha Stewart
In
gr
es
o 
(m
ill
on
es
 d
e 
dó
la
re
s)
0
80
40
120
160
200
2002 2003 2004
Año
182
39
96
24
Editorial
Internet
La gráfica muestra que las ventas editoriales y las ventas por
Internet han descendido aproximadamente en forma lineal.
El ingreso, en millones de dólares por ventas editoriales (lí-
nea roja) puede aproximarse por p(t) � �43t � 182 y las
ventas por Internet (línea gris) pueden aproximarse me-
diante la función I(t) � �7.5t � 39, donde t es el número de
años desde 2002. Suponiendo que esta tendencia continúe,
resuelva el sistema de ecuaciones para determinar el año en
que el ingreso por ventas editoriales y ventas por Internet
sean iguales. ¿Cuál será el ingreso en ese año?
81. Explique cómo puede decir por medio de observación que
el sistema siguiente es dependiente.
82. Explique cómo puede decir por medio de observación que el
sistema siguiente es inconsistente.
83. Las soluciones del sistema de ecuaciones lineales incluyen a
(�4, 3) y (�6, 11).
a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique.
b) Determine la pendiente de la recta que contiene a (�4,
3) y (�6, 11). Obtenga una ecuación de la recta que con-
tenga estos puntos. Luego determine la intersección con
el eje y.
c) ¿Esta recta representa una función?
84. Las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales incluyen
a (�5, 1) y (�5, �4).
a) ¿Cuántas soluciones más tiene el sistema? Explique.
 2x - 6y = -13
 -x + 3y = 5
 4x + 6y = 2
 2x + 3y = 1
b) Determine la pendiente de la recta que contiene a (�5,
1) y (�5, �4). Obtenga una ecuación de la recta que con-
tenga estos puntos. ¿Esta gráfica tiene una intersección
con el eje y? Explique.
c) ¿Esta recta representa una función?
85. Construya un sistema de ecuaciones que sea dependiente.
Explique cómo creó su sistema.
86. Construya un sistema de ecuaciones que sea inconsistente.
Explique cómo creó su sistema.
En los ejercicios 87 y 88, a) cree un sistema de ecuaciones lineales
que tenga la solución indicada y b) explique cómo determinó su
solución.
87. (2, 5)
88.
89. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es
(2, �3). Determine A y B.
90. La solución para el siguiente sistema de ecuaciones es
(�5, 3). Determine A y B.
91. Si (2, 6) y (�1, �6) son dos soluciones de f(x) � mx � b,
determine m y b.
92. Si (3, �5) y (�2, 10) son dos soluciones de f(x) � mx � b,
determine m y b.
93. Suponga que grafica un sistema de dos ecuaciones lineales
en su calculadora graficadora, pero sólo una recta se ve en la
ventana. ¿Cuáles son dos posibles explicaciones para esto?
94. Suponga que grafica un sistema de ecuaciones lineales en su
calculadora graficadora y obtiene lo siguiente.
a) Observando la ventana, ¿puede asegurar que este siste-
ma es inconsistente? Explique.
b) ¿Qué puede hacer en su calculadora graficadora para
determinar si el sistema es inconsistente?es from tablesBx - 2y = -16
 3x + Ay = -3
 3x - By = 21
 Ax + 4y = -8
1-3, 42
Retos
Resuelva cada sistema de ecuaciones.
95.
x + 2
2
-
y + 4
3
= 4
x + y
2
=
1
2
+
x - y
3
96.
 
1
4
 x -
1
2
 y = 6x + 12
 
5x
2
+ 3y =
9
2
+ y
Resuelva cada sistema de ecuaciones. (Sugerencia: )
3
a
= 3 #
1
a
= 3x si x =
1
a
.
97.
 
1
a
+
6
b
= 2
 
3
a
+
4
b
= -1 98.
 
3
x
-
2
y
= -3
 
6
x
+
1
y
= -1
Fuente: CSI, Martha Stewart Living Omnimedia Com-
pany, USA Today (3/4/2005)
244 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resolviendo para x y y, determine la solución para cada sistema de ecuaciones. En todas las ecuaciones a Z 0 y b Z 0. La solución
tendrá las literales a, b o ambas.
99.
 -ax + y = 4
 4ax + 3y = 19 100. ax = 2 - by
-ax + 2by - 1 = 0
Actividad en grupo
(a largo plazo) por accidentes automovilísticos de 1965
a 2010.
h) Determine una función, F(t), que pueda usarse para es-
timar el número de muertes por cada 100,000 personas
(a largo plazo) por armas de fuego de 1965 a 2010.
i) Resuelva el sistema de ecuaciones formado de las par-
tes g) y h). ¿La solución coincide con la solución de la
parte e)? Si no, explique por qué.s will vary.
102. Ventas de SUV Como lo muestra la gráfica, desde 2002 las
ventas de camiones SUV han disminuido de forma casi li-
neal, mientras que las ventas de camionetas SUV se ha in-
crementado de forma casi lineal.
Utilizaremos la información del capítulo 3 para determinar
las ecuaciones lineales que aproximen a ambas curvas de la
gráfica.
a) Mediante los valores de 2002 y 2005, determine la ecua-
ción de una línea recta que pueda utilizarse para aproxi-
mar las ventas de camiones SUV (curva roja). Utilice el
formato de la ecuación s(t) � mt � b, donde s es las ven-
tas, en millones, t es el año desde 2002, y b es la venta de
2002.
b) Con los valores de 2002 y 2005, determine la ecuación
de la línea recta que pueda utilizarse para aproximar las
ventas de camionetas SUV (curva en gris).
c) Resuelva el sistema de ecuaciones, utilizando las ecua-
ciones que obtuvo en las partes a) y b). Redondee los
valores al centésimo más cercano.
N
úm
er
o 
(e
n 
m
ill
on
es
)
0
1.5
1.0
0.5
2.0
2.5
3.0
2002 2003 2004 2005
Año
Camiones SUV
Camionetas SUV
Fuente: Ford Motor Company
2.95
2.5
1.26
2.25
En grupo, analicen y respondan los ejercicios 101 y 102.
101. Tendencia La gráfica siguiente apareció en el Journal of
the American Medical Association y en Scientific American.
La línea gris indica la tendencia a largo plazo de las muer-
tes por causa de armas de fuego y la línea en rojo indica la
tendencia a largo plazo de las muertes por accidente auto-
movilístico. Las líneas negras delgadas indican las tenden-
cias a corto plazo de las muertes por armas de fuego y por
accidentes automovilísticos.
a) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes por
accidentes automovilísticos.
b) Analice la tendencia a largo plazo de las muertes por
causa de arma de fuego.
c) Analice la tendencia a corto plazo de las muertes oca-
sionadas por accidentes automovilísticos, comparada
con la tendencia a largo plazo de las muertes por acci-
dentes automovilísticos.
d) Analice la tendencia a corto plazo de las muertes por
armas de fuego comparada con la tendencia a largo pla-
zo en las muertes por armas de fuego.
e) Utilice las tendencias a largo plazo, y estime el momen-
to en que el número de muertes por armas de fuego
igualará al número de muertes por accidentes automo-
vilísticos.
f) Repita la parte e) utilizando las tendencias a corto plazo.
g) Determine una función, M(t), que puede usarse para es-
timar el número de muertes por cada 100,000 personas
Tendencia de la mortalidad
0
5
10
15
20
25
30
20102000199019801970
M
ue
rt
es
 a
nu
al
es
(p
or
 c
ad
a 
10
0,
00
0 
pe
rs
on
as
)
Año
Arma de fuego
Accidentes
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.2] 103. Explique la diferencia entre un número racional y
uno irracional.
[1.2] 104. a) ¿Todos los números racionales son números reales?
b) ¿Todos los números irracionales son números
reales?
[2.1] 105. Resuelva la ecuación
[2.2] 106. Encuentre todos los números tales que |x � 6| � |6 � x|.
1
2
 1x - 72 =
3
4
 12x + 12.
[2.2] 107. Evalúe cuando 
y 
[3.5] 108. ¿La siguiente relación es una función? Explique su
respuesta. 5(�3, 4), (7, 2), (�4, 5), (5, 0), (�3, �1)6no
[3.6] 109. Sea f(x) � x � 3 y g(x) � x2 � 9. Determine
(f>g)(3). undefined
t = 1.r = 0.04, n = 2
p = 500, A = pa1 +
r
n
bnt
,
Sección 4.2 Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables 245
4.2 Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables
1 Resolver sistemas de
ecuaciones con tres
variables.
2 Aprender la interpretación
geométrica de un sistema
de ecuaciones con tres
variables.
3 Reconocer sistemas
inconsistentes y
dependientes.
1 Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables
La ecuación 2x � 3y � 4z � 8 es un ejemplo de una ecuación lineal con tres variables. La
solución para una ecuación lineal con tres variables es una terna ordenada de la forma
(x, y, z). Una solución para la ecuación dada es (1, 2, 3).Ahora verifique que (1, 2, 3) es
una solución para la ecuación.
Para resolver sistemas ecuaciones lineales con tres variables, podemos usar ya sea
el método de sustitución o bien el método de la suma; ambos se analizaron en la sec-
ción 4.1.
EJEMPLO 1 � Resuelva el siguiente sistema por sustitución.
Solución Como sabemos que x � �3, sustituimos �3 por x en la ecuación
3x � 4y � 7 y despejamos a y.
Ahora sustituimos x � �3 y y � 4 en la última ecuación y resolvemos para z.
Comprobación x � �3, y � 4, z � 5. La solución se debe verificar en las tres ecuacio-
nes originales.
Verdadero
Verdadero Verdadero
La solución es la terna ordenada (�3, 4, 5). Recuerde que la terna ordenada enlista pri-
mero el valor x, después el valor y y por último el valor z.
� Ahora resuelva el ejercicio 3
No todo sistema lineal con tres variables puede resolverse por sustitución, de for-
ma tan directa como en el ejemplo 1. Cuando tal sistema no puede resolverse tan fácil-
mente por sustitución, podemos encontrar la solución por el método de la suma, como
ilustra el ejemplo 2.
EJEMPLO 2 � Resuelva el sistema de ecuaciones mediante el método de la suma.
 x + 4y - z = 10 1ec. 32
 2x - 3y + 2z = -7 1ec. 22
 3x + 2y + z = 4 1ec. 12
 19 = 19 7 = 7
 -21-32 - 3142 + 5152 � 19 31-32 + 4142 � 7 -3 = -3
 -2x - 3y + 5z = 19 3x + 4y = 7 x = -3
 z = 5
 5z = 25
 -6 + 5z = 19
 6 - 12 + 5z = 19
 -21-32 - 3142 + 5z = 19
 -2x - 3y + 5z = 19
 y = 4
 4y = 16
 -9 + 4y = 7
 31-32 + 4y = 7
 3x + 4y = 7
 -2x - 3y + 5z = 19
 3x + 4y = 7
 x = -3
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