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Examen de mitad de capítulo 4.1–4.3 265 Etapa Dakar Komodo Aragon Soldadura 2 3 4 Pintura 1 2 2.5 Ensamblaje 1.5 2 3 61. Flujo de corriente En electrónica es necesario analizar el flujo de corriente a través de redes (o trayectorias) en un cir- cuito. En tres trayectorias (A, B y C) de un circuito, las rela- ciones son las siguientes: 4IA - 8IB = 6 -8IB + 10IC = 0 IA + IB + IC = 0 donde IA, IB e IC representan la corriente en las trayectorias A, B y C, respectivamente. Determine la corriente en cada trayectoria del circuito. 62. Fuerzas en una viga En física se suelen estudiar las fuerzas que actúan sobre un objeto. Para tres fuerzas, F1, F2 y F3, que actúan sobre una viga, se obtuvieron las ecuaciones siguientes. Determine las tres fuerzas. 4F1 - F2 + F3 = 3 F1 - 2F2 + F3 = 0 3F1 + F2 - F3 = 2 Actividad en grupo En grupo, analicen y respondan el ejercicio 63. V el oc id ad Automóvil A Automóvil B t � 0 t � 1 Tiempo (horas) 63. Dos automóviles Un sistema no lineal de ecuaciones es un sistema de ecuaciones que contiene al menos una ecuación que no es lineal. (Los sistemas no lineales de ecuaciones se estudiarán en el capítulo 10). La gráfica muestra un sistema no lineal de ecuaciones. Las curvas representan velocidad contra tiempo para dos automóviles. a) ¿Las dos curvas son funciones? Explique.es b) Analice el significado de esta gráfica.ers will vary. c) En el instante t � 0.5 h, ¿cuál automóvil está viajando a una velocidad mayor? Explique su respuesta.ar A d) Suponga que los dos automóviles inician en la misma po- sición y viajan en la misma dirección. ¿Cuál automóvil, A o B, viaja más lejos en una hora? Explique su respuesta. Ejercicios de repaso acumulativo [1.4] 64. Evalúe cuando x � �2, y � 5. [2.1] 65. Resuelva 44 - 2[1x - 52 + 2x] = -1x + 62. 1 2 x + 2 5 xy + 1 8 y [3.2] 66. Explique cómo determinar si una gráfica representa a una función. [3.5] 67. Escriba una ecuación para la recta que pasa por los puntos (6, �4) y (2, �8). Examen de mitad de capítulo: 4.1-4.3 Para determinar su comprensión del material que se ha abordado hasta este momento, resuelva este pequeño examen. Las respuestas y la sección donde se trató el material por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repase el material de las preguntas que respondió de forma incorrecta. 1. Para el sistema de ecuaciones siguiente: a) Escriba cada ecuación en la forma pendiente intercepción. b) Sin graficar las ecuaciones, indique si el sistema es consis- tente, inconsistente o dependiente. consistent c) Indique si el sistema tiene exactamente una solución, no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. one solución 2x + 3y = 9 7x - y = 13 Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método gráfico. 2. 3. 3x - 2y = 3 x + y = -4 y = -x + 3 y = 2x Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. 4. 5. 2x + y = -1 4x - 3y = 8 x - 2y = -6 2x + 5y = -3 266 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Resuelva cada sistema de ecuaciones por el método de la suma. 11. 12. -6x - 4y + 5z = 3 3x + 5y + 2z = 12 2x - y - z = 1 3x + 2y + 6z = 1 2x - y + 2z = -2 x + y + z = 2 6. 7. 9x + 5y = 11 2 3x + 4y = 3 7x + 5y = -1 x = 4y - 19 Resuelva cada sistema de ecuaciones por cualquier método. Si el sistema es inconsistente o dependiente, indíquelo. 8. 9. 10. Resuelva cada sistema de ecuaciones. x = 2y + 3 8x - 16y = 24 n = 3 2 m - 7 3m - 2n = 1 1 2 a + 1 6 b = 5 1 3 a - 1 4 b = -1 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 1 Escribir una matriz aumentada. 2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales. 3 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables. 4 Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes. 1 Escribir una matriz aumentada Una matriz es un arreglo rectangular de números dentro de corchetes. Ejemplos de matrices son Los números dentro de los corchetes son los elementos de la matriz. La matriz de la izquierda tiene 2 renglones y 2 columnas y se llama matriz de 2 por 2 (2 � 2). La matriz de la derecha contiene 2 renglones y 3 columnas y es una matriz de 2 por 3 (2 � 3). El número de renglones es la primera dimensión que se da, y el nú- mero de columnas es la segunda dimensión que se da. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de renglones que de columnas.Así, la matriz de la izquierda es una ma- triz cuadrada. En esta sección utilizaremos matrices para resolver sistemas de ecuaciones linea- les. El primer paso en la resolución de un sistema con dos ecuaciones lineales median- te matrices es escribir cada ecuación en la forma ax � by � c. El siguiente paso es escribir la matriz aumentada, que está formada por dos matrices pequeñas separadas por una línea vertical. Los números a la izquierda de la línea vertical son los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones y los números de la derecha son las constan- tes. Para el sistema de ecuaciones la matriz aumentada se escribe Ba1 b1 a2 b2 ` c1 c2 R a2 x + b2 y = c2 a1 x + b1 y = c1 B4 6 9 -2 R B 5 7 2 -1 3 4 R 13. Cuando se le pidió resolver el sistema de ecuaciones Frank Dumont aseguró que la solución sólo era x � 1. Esto es incorrecto. ¿Por qué es incorrecto? Explique su res- puesta. Luego resuelva completamente el sistema. 14. Anacardos y pacanas Una tienda de nueces vende anacardos a $12 la libra y pacanas a $6 por libra. ¿Cuántas libras de ca- da tipo debe comprar William Pritchard para tener una mez- cla de 15 libras que se venda en $10 la libra? 15. Suma de números La suma de tres números es 32. El número mayor es cuatro veces el número más pequeño. La suma de los dos números más pequeños es 8 menos que el número mayor. Determine los tres números. x + y + z = 4 -x + 2y + 2z = 5 7x + 5y - z = -2 Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 267 A continuación tenemos un sistema de ecuaciones y su matriz aumentada. Sistema de ecuaciones Matriz aumentada Observe que la barra en la matriz aumentada separa los coeficientes numéricos de las constantes. Como la matriz es sólo una forma abreviada de escribir el sistema de ecuacio- nes, podemos resolver un sistema lineal utilizando matrices de una manera similar a como resolvemos un sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. 2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante matrices, rescribimos la matriz aumentada en forma triangular, donde la a, p y q son constantes.A partir de este tipo de matriz aumentada podemos es- cribir un sistema de ecuaciones equivalentes. Esta matriz representa el sistema lineal Por ejemplo, Observe que el sistema anterior, en el lado derecho, puede resolverse fácilmente por sustitución. Su solución es (�6, 5). Utilizamos transformaciones de renglón para reescribir la matriz aumentada en forma triangular. Utilizaremos tres procedimientos de transformación de renglones. B1 2 0 1 ` 4 5 R representa x + 2y = 4 y = 5 1x + ay = p 0x + 1y = q o x + ay = p y = q B1 a 0 1 ` p q R -3x - 5y = - 1 2 C -1 1 6 -3 -5 3 4 - 1 2 S-x + 1 6 y = 4 Por lo general, al cambiar un elemento de la matriz aumentada por un 1 utilizamos el procedimiento 1 de las transformaciones de renglón, y al cambiar un elemento por un 0 utilizamos el procedimiento 2 de las transformaciones de renglón. Se trabaja por co- lumnas, comenzando por la izquierda. Inicie con la primera columna, primer renglón. Procedimientos para la transformación de renglones 1. Todos los números de un renglón pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cual- quier número real distinto de cero. (Esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de una ecuación por un número real distinto de cero). 2. Todos los números de un renglón pueden multiplicarse por cualquier número real dis- tinto de cero. Estos productos pueden entonces sumarse a los números correspon- dientes en cualquier otro renglón. (Esto esequivalente a eliminar una variable del sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma). 3. Dos renglones de una matriz pueden intercambiarse. (Esto es lo mismo que intercam- biar dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones). 268 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades EJEMPLO 1 � Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando matrices. Solución Primero escriba la matriz aumentada Nuestro objetivo es obtener una matriz de la forma Comenzamos utili- zando el procedimiento 1 de las transformaciones de renglón para cambiar el 2 en la primera columna y primer renglón por un 1. Para hacerlo, multiplicamos el primer renglón de números por (Abreviamos esta multiplicación como y lo colocamos a la derecha de la matriz en el mismo renglón en que se realizó la operación. Esto pue- de ayudarle a seguir el proceso con mayor claridad). Con esto se obtiene El paso siguiente es obtener 0 en la primera columna, segundo renglón. Donde por el momento se encuentra un 4. Lo hacemos multiplicando los números del primer ren- glón por �4, y sumamos los productos a los números del segundo renglón. (Esto se abrevia ). Los números del primer renglón multiplicados por �4 son Ahora sumamos estos productos a sus números respectivos del segundo renglón. Con esto obtenemos Ahora tenemos Para obtener 1 en la segunda columna, segundo renglón, multiplicamos el segundo ren- glón de números por B1 - 0 1 ` 5 -1 Rw D 1 - 3 2 0a 1 11 b 11a 1 11 b 4 5 -11a 1 11 b T 1 11 R2 1 11 . C1 - 3 2 0 11 3 5 -11 S D 1 - 3 2 4 + 11-42 5 + a - 3 2 b1-42 4 5 9 + 51-42 T -4R1 + R2 11-42 - 3 2 1-42 51-42 -4R1 + R2 C1 - 3 2 4 5 3 5 9 S C2a1 2 b -3a1 2 b 4 5 3 10a1 2 b 9 S 1 2 R1 1 2 R1 1 2 . B1 a 0 1 ` p q R B2 -3 4 5 ` 10 9 R 4x + 5y = 9 2x - 3y = 10 Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 269 Ahora la matriz se encuentra en la forma que buscamos. El sistema de ecuaciones triangular equivalente es Ahora podemos obtener el valor de x utilizando sustitución. Una verificación mostrará que la solución del sistema es � Ahora resuelva el ejercicio 19 3 Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables Ahora utilizaremos las matrices para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Utilizamos el mismo procedimiento de transformaciones de renglón que se empleó para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. Nuestro objetivo es obtener una matriz aumentada en la forma triangular donde a, b, c y p, q y r son constantes. Esta matriz representa el siguiente sistema de ecuaciones. Al construir una matriz aumentada, trabaje por columnas, desde la columna del ex- tremo izquierdo hasta la columna del extremo derecho. Siempre termine una columna antes de pasar a la siguiente. En cada columna, obtenga primero el 1 en la posición indi- cada, y después obtenga los ceros. El ejemplo 2 ilustra este procedimiento. S u g e r e n c i a ú t i l Consejo de estudio Al usar matrices tenga cuidado de mantener todos los números alineados de forma adecua- da en renglones y columnas. Un pequeño error al copiar números de una matriz a otra con- ducirá a un intento incorrecto, y con frecuencia frustrante, de resolver un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones, cuando se representa de manera correcta con la matriz aumentada, lleva a la solución (1, �2, �4). Sin embargo, una matriz que parece muy similar, conduce a la terna ordenada incorrecta a - 25 53 , - 130 53 , - 206 53 b . C 1 -3 1 4 -1 -5 -5 2 -4 3 3 20 13 S , C 1 -3 1 4 2 -5 -5 -1 -4 3 3 20 13 S , x - 3y + z = 3 4x + 2y - 5z = 20 -5x - y - 4z = 13 , 1x + ay + bz = p 0x + 1y + cz = q 0x + 0y + 1z = r o x + ay + bz = p y + cz = q z = r C 1 a b 0 1 c 0 0 1 3 p q r S a7 2 , -1b . x = 7 2 x + 3 2 = 5 x - 3 2 1-12 = 5 x - 3 2 y = 5 y = -1 x - 3 2 y = 5 270 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades EJEMPLO 2 � Utilice matrices para resolver el siguiente sistema de ecuaciones Solución Primero escriba la matriz aumentada. Nuestro primer paso es utilizar las transformaciones para cambiar la primera columna a Como el número de la primera columna, primer renglón ya es 1, trabajaremos con el 2 de la primera columna y segundo renglón. Multiplicamos los números del primer renglón por �2 y sumamos los productos a los números respectivos del segundo ren- glón, con lo que cambiará el 2 por 0. Ahora la matriz es Continuamos hacia abajo en la primera columna y cambiamos el �1 del tercer renglón por un 0. Multiplicamos los números del primer renglón por 1 y sumamos los produc- tos al tercer renglón para obtener Ahora trabajamos con la segunda columna. Queremos cambiar los números de la se- gunda columna a la forma donde a representa un número. Como hay un 1 en el tercer renglón y segunda columna, y queremos un 1 en el segundo renglón, segunda columna, intercambiamos los renglones dos y tres de la matriz. Esto da Continuamos hacia abajo con la segunda columna; ahora cambiamos el 3 del tercer renglón por un 0, multiplicando los números del segundo renglón por �3 y sumando los productos al tercer renglón. Esto produce Ahora trabajamos con la tercera columna. Deseamos cambiar los números de la tercera columna a la forma donde b y c representan números. Debemos cambiar el �22 del tercer renglón por un 1. Podemos lograr esto multiplicando los números del tercer renglón por Esto da como resultado lo siguiente.- 1 22 . b c 1 C 1 -2 3 0 1 5 0 0 -22 3 -7 -15 66 S - 3R2 + R3 C 1 -2 3 0 1 5 0 3 -7 3 -7 -15 21 S Intercambiar R2 y R3. a 1 0 C 1 -2 3 0 3 -7 0 1 5 3 -7 21 -15 S 1R1 + R3 C 1 -2 3 0 3 -7 -1 3 2 3 -7 21 -8 S - 2R1 + R2 1 0 0 . C 1 -2 3 2 -1 -1 -1 3 2 3 -7 7 -8 S -x + 3y + 2z = -8 2x - y - z = 7 x - 2y + 3z = -7 Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 271 Ahora esta matriz tiene la forma deseada. De esta matriz obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente. La tercera ecuación nos da el valor de z en la solución. Ahora podemos obtener el va- lor para y, sustituyendo �3 por z en la segunda ecuación. Ahora obtenemos el valor para x, sustituyendo 0 por y y �3 por z en la primera ecuación. La solución es (2, 0, �3). Ahora, verifique esto mediante la sustitución de los valores apropiados en cada una de las ecuaciones originales. � Ahora resuelva el ejercicio 33 4 Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes Al resolver un sistema de dos ecuaciones, si obtiene una matriz aumentada en la que todo un renglón de números de un lado de la recta vertical contiene ceros, pero no apa- rece un cero en el mismo renglón del otro lado de la recta vertical, el sistema es incon- sistente y no tiene solución. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones con el que se obtiene la siguiente matriz aumentada es un sistema inconsistente. Sistema inconsistente El segundo renglón de la matriz representa la ecuación la cual nunca es verdadera. Si obtiene una matriz en la cual aparecen ceros en todo el renglón, el sistema de ecuaciones es dependiente. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que produce la si- guiente matriz aumentada es un sistema dependiente. Sistema dependiente El segundo renglón de la matriz representa la ecuación la cual siempre es verdadera. 0x + 0y = 0 —B1 -3 0 0 ` -4 0 R 0x + 0y = 3 —B1 2 0 0 ` 5 3 R x = 2 x - 9 = -7 x - 0 - 9 = -7 x - 2102 + 31-32 = -7 x - 2y + 3z = -7 y = 0 y - 15 = -15 y + 51-32 = -15 y + 5z = -15 z = -3 y + 5z = -15 x - 2y + 3z = -7 - 1 22 R3 C 1 -2 3 0 1 5 0 0 1 3 -7 -15 -3 S 272 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Se cumplen reglas similares para los sistemas de ecuaciones con tres ecuaciones. Sistema inconsistente Sistema dependiente—C 1 3 -1 0 0 0 0 5 6 3 2 0 -4 S —C 1 3 7 0 0 0 0 1 -2 3 5 -1 3 S CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.4 Ejerciciosde concepto/redacción 1. ¿Qué es una matriz cuadrada? 2. Explique cómo construir una matriz aumentada. 3. Si obtiene la matriz aumentada siguiente cuando resuelve un sistema de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para completar el proceso? Explique. 4. Si obtuvo la matriz aumentada siguiente al resolver un siste- ma de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para comple- tar el proceso? Explique su respuesta. 5. Si obtuvo la matriz aumentada siguiente al resolver un siste- ma de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para comple- tar el proceso? Explique su respuesta. C 1 -3 7 0 -1 5 2 6 4 3 -1 3 -8 S B1 3 0 -2 ` 6 14 R 6. Si obtuvo la matriz aumentada siguiente al resolver un siste- ma de ecuaciones, ¿cuál sería el paso siguiente para comple- tar el proceso? Explique su respuesta. 7. Al resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matri- ces, si dos renglones son idénticos, ¿el sistema será consisten- te, dependiente o inconsistente? 8. Cuando resuelva un sistema de ecuaciones mediante matri- ces, ¿cómo sabrá si el sistema es a) dependiente,. b) inconsistente? C 1 3 -2 0 1 2 0 0 -4 3 1 -3 -12 S C 1 4 -7 0 5 2 0 1 6 3 7 -1 -2 S Práctica de habilidades Realice cada una de las transformaciones de renglón indicada y escriba la matriz nueva. 9. Multiplique los números del primer renglón por 10. Multiplique los números del segundo renglón por 11. Intercambie los renglones 1 y 3.C 4 7 2 3 2 1 1 1 3 3 -1 -5 -8 S 1 4 .B1 8 0 4 ` 3 -3 R 1 5 .B5 -10 3 -7 ` -25 -4 R CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA GRAFICADORA Muchas calculadoras graficadoras tienen la capacidad para trabajar con matrices. Tales calculadoras tienen capacidad para realizar operaciones de renglón sobre matrices. Por consiguiente, estas calculadoras graficadoras pueden utilizarse para resolver sistemas de ecuaciones mediante matrices. Lea el manual de instrucciones que viene con su calculadora graficadora para ver si puede manipular matrices. Si es así, aprenda cómo utilizar su calculadora graficadora para resolver sistemas de ecuaciones mediante matrices. Sección 4.4 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices 273 12. Intercambie el renglón 2 y el renglón 3. 13. Multiplique los números del primer renglón por 4 y sume los productos al segundo renglón. 14. Multiplique los números del primer renglón por y sume los productos al segundo renglón. 15. Multiplique los números del primer renglón por �5 y sume los productos al segundo renglón. 16. Multiplique los números del tercer renglón por Resuelva cada sistema utilizando matrices. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 12x + 2y = 2 6x - 3y = -11 -2m - 4n = 7 3m + 6n = -8 2x - 5y = -6 -4x + 10y = 12 3s - 2t = 1 -2s + 4t = -6 5a - 10b = -10 2a + b = 1 3x + 6y = 0 2x - y = 10 x + 3y = -2 -2x - 7y = 3 x + 2y = 10 3x - y = 9 x + 3y = 3 -x + y = -3 1 3 .C 1 2 -1 0 1 5 0 0 3 3 6 0 12 S D 1 0 8 5 2 2 6 -3 1 4 1 4 -2 0 T - 1 2C 1 5 1 2 10 3 6 -4 S B 1 3 -4 11 ` 12 -6 R C 1 5 7 0 8 -1 0 1 3 3 2 -6 -4 S 26. -2r + s = -7 4r + 2s = -10 27. -3x + 6y = 5 2x - 4y = 7 28. 8x = 4y + 12 -2x + y = -3 29. 12x - 8y = 6 -3x + 4y = -1 30. 2x - 3y = 3 -5x + 9y = -7 31. 16n = -15m - 2 10m = 8n + 15 32. 8x = 9y + 4 16x - 27y = 11 Resuelva cada sistema utilizando matrices. 33. -3x + y - 2z = -11 2x + 5y - 4z = -3 x - 3y + 2z = 5 34. a - 3b + 4c = 7 4a + b + c = -2 -2a - 3b + 5c = 12 35. x + 2y = 5 y - z = -1 2x - 3z = 0 36. 3a - 5c = 3 a + 2b = -6 7b - 4c = 5 37. x - 2y + 4z = 5 -3x + 4y - 2z = -8 4x + 5y - 4z = -3 38. 3x + 5y + 2z = 3 -x - y - z = -2 2x - 2y + 5z = 11 39. 2x - 5y + z = 1 3x - 5y + z = 3 -4x + 10y - 2z = -2 40. 7x + 8y + 9z = 0 4x + 5y + 6z = -3 x + 2y + 3z = 1 41. 4p - q + r = 4 -6p + 3q - 2r = -5 2p + 5q - r = 7 42. 2r - 5s - 8t = -23 4r + 2s - 2t = -3 -4r + 3s - 6t = 14 43. 2x - 4y + 3z = -12 3x - y + 2z = -3 -4x + 8y - 6z = 10 44. -6x + 4y - 8z = 2 5x + 2y - 4z = 9 3x - 2y + 4z = -1 45. 5x - 3y + 4z = 22 -x - 15y + 10z = -15 -3x + 9y - 12z = -6 46. 9x - 4y + 5z = -2 -9x + 5y - 10z = -1 9x + 3y + 10z = 1 Resolución de problemas las pendientes e intersecciones con y de las gráficas de las ecuaciones. Sin resolver, ¿puede decir si un sistema de tres ecuaciones con tres variables es consistente, dependiente o inconsistente? Explique. 47. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante ma- trices, si dos renglones de la matriz se intercambian, ¿cam- biará la solución del sistema? Explique. 48. Puede decir si un sistema de dos ecuaciones con dos varia- bles es consistente, dependiente o inconsistente, comparando 274 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades Resuelva utilizando matrices. 52. Impacto en los negocios A una muestra de directores gene- rales en una encuesta de TEC International se le pidió listar los cambios más importantes que podrían hacerse de 2004 a 2006 para fortalecer sus compañías. Las tres respuestas prin- cipales fueron, en orden: reducir impuestos, reformar los se- guros de salud, y fortalecer el dólar. Setenta y siete por ciento de todos los directores generales seleccionaron uno de estos tres puntos como su opción principal. Cuatro por ciento más de directores generales seleccionó la reducción de impuestos en vez de reformar los seguros de salud. La re- ducción de impuestos fue dos por ciento mayor que tres veces el porcentaje de quienes seleccionaron fortalecer el dólar. Determine el porcentaje de directores generales que selec- cionaron la reducción de impuestos, reformar el seguro de salud y fortalecer el dólar. Luego complete la gráfica siguiente. Reducción de impuestos Reformas en el seguro de salud Fortalecer el dólarOtras 8% 6% 10% Políticas para disminución de inversiones en el exterior Disminución del gasto federal Fuente: Encuesta de TEC International realizada a 2,300 directores generales. ¿Qué tendría mayor impacto en su empresa? (Los porcentajes no suman 100% debido al redondeo) 49. Ángulos de un tejado En un tejado de sección transversal triangular, el ángulo más grande es 55° mayor que el ángulo más pequeño. El ángulo más grande es 20° mayor que el ter- cer ángulo. Determine la medida de cada ángulo. 50. Ángulo recto Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres ángulos es el doble del más pequeño. El tercer ángulo es 10° mayor que el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada ángulo. 51. Plátanos Sesenta y cinco por ciento de los plátanos del mun- do son controlados por Chiquita, Dole, o Del Monte (todas compañías de Estados Unidos). Chiquita, la más grande, con- trola 12% más plátanos que Del Monte. Dole, la segunda en tamaño, controla 3% menos que el doble del porcentaje que controla Del Monte. Determine los porcentajes que se debe- rán colocar en cada sector del círculo de la gráfica que se muestra. Plátanos en el mundo Otras Del Monte Dole Chiquita x y z x y z Ejercicios de repaso acumulativo [1.2] 53. A � 51, 2, 4, 6, 96; B � 53, 4, 5, 6, 106. Determine a) b) [2.5] 54. Indique la desigualdad �1 � x � 4 a) en una recta numérica, A ¨ B. A ´ B; b) como un conjunto solución y c) en notación de intervalo. [3.2] 55. ¿Qué representa una gráfica? [3.4] 56. Si f(x) � �2x2 � 3x � 6, determine f(�5). << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 1.8) /CalRGBProfile (Apple RGB) /CalCMYKProfile (U.S. Sheetfed Uncoated v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Off /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /LeaveColorUnchanged /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInCommentstrue /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo 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