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Solución
Solución
y
x
�5
�3
�2
�1
3
4
5
1
1 2 4 5�2�4�5 �1
FIGURA 4.18
Sección 4.6 Resolución de sistemas de desigualdades 285
EJEMPLO 7 � Grafique |y � 1|
 3 en el sistema de coordenadas cartesianas.
Solución A partir de las reglas dadas anteriormente, sabemos que |y � 1| 
 3 signi-
fica que y � 1 � �3 o y � 1 
 3. Resolvemos cada desigualdad.
o
Ahora graficamos ambas desigualdades y consideramos la unión de las dos gráficas. La
solución es el área sombreada de la figura 4.17.
 y 7 2 y 6 -4
 y + 1 7 3 y + 1 6 -3
CONJUNTO DE EJERCICIOS 4.6
Ejercicios de concepto/redacción
1. Explique cómo determinar, de manera gráfica, la solución
para un sistema de desigualdades lineales.
2. Si en un sistema de dos desigualdades, una desigualdad tiene
� y la otra desigualdad tiene 	, ¿el punto de intersección, de
las dos rectas frontera de las desigualdades, está en el con-
junto solución? Explique.
3. Si en un sistema de dos desigualdades, una desigualdad tiene
� y la otra desigualdad tiene 	, ¿el punto de intersección, de
las dos rectas frontera de las desigualdades, está en el con-
junto solución? Explique.
4. Si en un sistema de dos desigualdades, una desigualdad tiene
� y la otra desigualdad tiene 
, ¿el punto de intersección, de
las dos rectas frontera de las desigualdades, está en el con-
junto solución? Explique.
y
x
�5
�3
�2
�1
3
4
5
1
1 2 4 5�2�4 3�3�5 �1
FIGURA 4.17
� Ahora resuelva el ejercicio 35
EJEMPLO 8 � Grafique el sistema de desigualdades.
Solución Graficamos ambas desigualdades en los mismos ejes. Por lo tanto, combi-
namos la gráfica del ejemplo 6 con la del ejemplo 7 (vea la figura 4.18). Los puntos co-
munes a ambas desigualdades forman la solución del sistema.
 ƒy + 1 ƒ 7 3
 ƒx ƒ 6 3
� Ahora resuelva el ejercicio 41
286 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Práctica de habilidades
Determine la solución de cada sistema de desigualdades.
5.
y Ú -x + 2
2x - y 6 4 6.
y 7 -3x
y … -2x + 1 7.
 y … -2x + 3
 y 6 3x - 2 8.
 y 7 -3x + 5
 y Ú 2x - 5
9.
 y Ú 3x + 2
 y 6 x 10.
y … -4x + 7
-3x + 2y Ú -5 11.
3x - 8y 7 4
-2x + 3y 6 -5 12.
y 7 -3x + 3
-4x + 3y Ú -4
13.
x Ú -3
-4x + 5y 6 20 14.
 y 7 -4
 y Ú - 
2
3
 x + 1 15.
 y Ú -2
 x … 4 16.
 x - 3y 6 6
 x Ú 0
17.
3x - y 7 3
5x + 2y 7 10 18.
x - 5y 6 5
3x + 2y 7 8 19.
 -x 6
1
2
 y - 1
 -2x 7 y + 4 20.
1
3
 y 6 x + 1
y … 3x - 2
21.
6x Ú 2y + 8
y 6 3x - 4 22.
2x - 3y … -6
1
2
 x +
1
2
 y Ú 2
Determine la solución de cada sistema de desigualdades. Utilice el método analizado en los ejemplos 4 y 5.
23.
4x + y … 4
2x + 3y … 6
y Ú 0
x Ú 0 24.
7x + 4y … 28
x + y … 6
y Ú 0
x Ú 0 25.
4x + 2y … 8
2x + 3y … 8
y Ú 0
x Ú 0 26.
2x + 4y … 20
3x + 2y … 18
y Ú 0
x Ú 0
27.
2x + 5y … 10
3x + y … 9
y Ú 0
x Ú 0 28.
x + 6y … 18
5x + 4y … 16
y Ú 0
x Ú 0 29.
 x + 2y … 8
 x + y … 6
 x … 4
 y Ú 0
 x Ú 0 30.
4x + 2y … 20
2x + 3y … 18
x … 4
y Ú 0
x Ú 0
31.
10x + 40y … 800
30x + 25y … 750
x … 15
y Ú 0
x Ú 0 32.
5x + 30y … 900
40x + 25y … 1000
x … 15
y Ú 0
x Ú 0
Determine la solución de cada desigualdad.
33. ƒx ƒ 6 2 34. ƒx ƒ 7 1 35. ƒy - 2 ƒ … 4 36. ƒy ƒ Ú 2
Determine la solución de cada sistema de desigualdades.
37.
y … x + 3
ƒy ƒ 7 2 38.
y … 3x + 2
ƒx ƒ 7 1 39.
y Ú -2x + 2
ƒy ƒ 6 4 40.
x - y 7 2
ƒx - 2 ƒ … 3
41.
ƒy ƒ 7 4
ƒx + 2 ƒ 6 3 42.
y 7 -2
ƒx - 2 ƒ 7 1 43.
 ƒy + 2 ƒ … 1
 ƒx - 3 ƒ … 4 44.
 ƒy - 3 ƒ … 1
 ƒx + 1 ƒ … 2
Sección 4.6 Resolución de sistemas de desigualdades 287
Resolución de problemas
45. Devolución de impuestos La gráfica siguiente muestra el
porcentaje de impuestos federales devueltos de manera elec-
trónica y por medio de cheque durante los años de 2001 a
2005 y la proyección hasta el año 2009. La información para
la gráfica se obtuvo del sitio web del IRS.
Sea P(t) las devoluciones mediante cheque (línea color ne-
gro) y sea E(t) la devolución por medios electrónicos (línea
en color rojo). Las regiones entre las dos curvas se identifi-
can como Región A, sombreada en color rosa o región B
sombreada en color gris.
a) ¿Cuál región, A o B, es una solución para el sistema de
desigualdades?
Region A
b) ¿Cuál región, A o B, es una solución para el sistema de
desigualdades?
Region B
46. Ingreso de Almacenes departamentales La gráfica siguiente
muestra el ingreso neto anual, en millones de dólares, duran-
te 1999-2003 de los Almacenes Departamentales Federados
(Macy’s, Bloomingdale’s, Burdines) y los Almacenes Depar-
tamentales May (Hecht’s, Lord & Taylor, Filene’s).
 y … E1t2
 y Ú P1t2
 y Ú E1t2
 y … P1t2
Po
rc
en
ta
je
 d
e 
to
da
s 
la
s 
de
vo
lu
ci
on
es
 d
e 
im
pu
es
to
s
60
40
20
0
80
100
Año
Método de devolución de impuestos federales
Fuente: Servicio Interno de Ingresos: www.irs.gov>pubs
Devolución por un medio electrónico
Devolución en cheque
2001 2002
Región BRegión A
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Sea P(t) el ingreso para los Almacenes Departamentales
May (línea en negro) y sea Q(t) el ingreso para los Almace-
nes Departamentales Federados (línea en rojo). Las regiones
entre las dos curvas están identificadas como Región A, som-
breada en rosa, o Región B, sombreada en gris.
a) ¿Cuál región, A o B, es una solución para el sistema de
desigualdades?
Region B
b) ¿Cuál región, A o B, es una solución para el sistema de
desigualdades?
Region A
47. Para un sistema de desigualdades lineales, ¿es posible no te-
ner solución? Explique. Construya un ejemplo para apoyar
su respuesta.
48. Para un sistema de dos desigualdades lineales, ¿es posible te-
ner exactamente una solución? Explique. Si su respuesta es
sí, construya un ejemplo para apoyar su respuesta.no
 y Ú Q1t2
 y … P1t2
 y … Q1t2
 y Ú P1t2
Ingreso neto anual para Almacenes Departamentales 
Federados y Almacenes Departamentales May
1,000
800
600
400
200
0
�200
�400
1999 2000 2001 2002 2003Año
M
ill
on
es
 d
e 
dó
la
re
s
Fuente: Thomson Financial, las compañías, The Washington Post (21/1/05)
Región A
Región 
 B
May
Federados
Sin graficar, determine el número de soluciones en cada sistema de desigualdades que se indica. Explique sus respuestas.
49.
 3x - y 7 4
 3x - y … 4 50.
 2x + y 7 6
 2x + y 6 6 51.
 5x - 2y Ú 3
 5x - 2y … 3
52.
 5x - 3y 7 -1
 5x - 3y 7 5 53.
 3x - y 6 -2
 2x - y 6 7 54.
 x - y Ú 0
 x + y … 0
Retos
Determine la solución para cada sistema de desigualdades.
55.
 y … 4
 y Ú x2 56.
 y 7 -5
 y 6 4 - x2 57.
 y 6 4
 y 6 ƒx ƒ 58.
 y … - ƒx - 2 ƒ
 y Ú ƒx - 2 ƒ
Ejercicios de repaso acumulativo
60.
61. f1x2 =
2
3
 x - 4
{14, 32, 15, -22, 1-1, 22, 10, -52} 62. y
x
�2
2
4�2
(2, �1)
[2.2] 59. Una fórmula para palancas en física es f1d1 � f2d2 � f3d3. De esta fórmula despeje a f2.
[3.2] Establezca el dominio y rango de cada función.
288 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Resumen del capítulo 4
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 4.1
Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema que tiene dos o
más ecuaciones lineales.
Una solución para un sistema de ecuaciones lineales es la pareja
ordenada o parejas ordenadas que satisfacen todas las ecuacio-
nes del sistema.
Sistema de ecuaciones
La solución del sistema de ecuaciones anterior es (2, 7).
c y = 3x + 1
y =
1
2
 x + 6
Un sistema consistente de ecuaciones es un sistema de ecuacio-
nes que tiene una solución
Un sistema inconsistente de ecuaciones es un sistema que no tie-
ne solución.
Un sistema dependiente de ecuaciones es un sistema de ecuacio-
nes que tiene un número infinito de soluciones.
x
y
Dependiente
(c)
Recta 1
Recta 2
Número infinito 
de soluciones
(la misma recta)
No hay solución
(rectas paralelas)
Inconsistente
(b)
Recta 1
Recta 2
x
y
Exactamente 1 solución
(rectas que se intersecan)
Solución
Recta 1 Recta 2
Consistente
(a)
x
y
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones
lineales
1. Grafique ambas rectas.
2. Determine el (los) punto(s) de intersección, si existe(n).
3. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.
Resuelva gráficamente el sistema de ecuaciones
Grafique ambas rectas en el mismo conjunto de ejes
Una comprobación muestra que (5, 1) es una solución para el sis-
tema de ecuaciones.
(5, 1)
y � �x � 6
y � x � 4�3
�2
�1
4
5
6
3
2
y
x
�4
1
1
2 3 4 5 6�3�4 �2�1
 y = -x + 6
 y = x - 4
Para resolver por sustitución un sistema lineal
de ecuaciones 
1. Despeje una variable de alguna ecuación.
2. Sustituya la expresión que encontró para la variable en el
paso 1 en la otra ecuación.
3. Resuelva la ecuación que obtuvo en el paso 2 para determi-
nar el valor de esta variable.
4. Sustituya el valor, que encontró en el paso 3, en la ecuación
del paso 1. Resuelva la ecuación para determinar la variable
restante.
5. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.
Resuelva, por sustitución, el sistema de ecuaciones.
Sustituya y � �2x � 1 en la segunda ecuación:
Sustituya x � �2 en y � �2x � 1 para obtener
Una comprobación muestra que (�2, 3) es una solución para el
sistema de ecuaciones.
 y = -21-22 - 1 = 4 - 1 = 3
 y = -2x - 1
 x = -2.
 -7x = 14
 -7x - 6 = 8
 5x - 12x - 6 = 8
 5x + 61-2x - 12 = 8
5x + 6y = 8
5x + 6y = 8
y = -2x - 1
Resumen 289
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 4.1 (continuación)
Para resolver, por el método de la suma
(o eliminación), un sistema lineal de ecuaciones
1. Si es necesario, reescriba cada ecuación en la forma general.
2. Si es necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una
constante(s) para que cuando las ecuaciones se sumen, la su-
ma tenga una sola variable.
3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones.
4. Resuelva para la variable de la ecuación que obtuvo en el
paso 3.
5. Sustituya el valor que encontró en el paso 4 en cualquiera de
las ecuaciones originales. Resuelva esa ecuación para deter-
minar los valores de la variable restante.
6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.
Resuelva el sistema de ecuaciones mediante el método de susti-
tución.
Multiplicada por 24x + 2y = 8
 x - 2y = 2
5x = 10
x = 2
 
1ec. 12
 x - 2y = 2 1ec. 22
 2x + y = 4 1ec. 12
Sección 4.2
Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales, utilice el mé-
todo de sustitución o el método de la suma.
Resuelva el sistema de ecuaciones.
Sustituya 2 por z en (ec. 2) para obtener el valor de y.
Sustituya 4 por y y 2 por z en la (ec. 1) para obtener el valor para x.
Una verificación muestra que (�3, 4, 2) es una solución para el
sistema de ecuaciones.
 x = -3.
 x - 4 + 3122 = -1
 x - y + 3z = -1
 y = 4.
 4y = 16
 4y - 7122 = 2
 4y - 7z = 2
 z = 2 1ec. 32
 4y - 7z = 2 1ec. 22
 x - y + 3z = -1 1ec. 12
Sección 4.3
Aplicaciones:
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La suma de las áreas de dos círculos es 180 metros cuadrados. La
diferencia de sus áreas es 20 metros cuadrados. Determine el
área de cada círculo.
Solución
Sea x el área del círculo mayor y y el área del círculo menor.
Las dos ecuaciones para este sistema son
x + y = 180
x - y = 20
2x = 200
x = 100
Suma de áreas
Diferencia de áreas;
;
Sustituya 100 por x en la primera ecuación para obtener
El área del círculo mayor es 100 m2 y el área del círculo más pe-
queño es 80 m2.
 y = 80
 100 + y = 180
 x + y = 180
Suma de las ecuaciones
Ahora despeje a y mediante la (ec. 1).
La solución es (2, 0).
 y = 0
 2122 + y = 4
290 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 4.4
Una matriz es un arreglo rectangular de números entre corchetes,
Los números dentro de los corchetes se denominan elementos.
Una matriz cuadrada tiene el mismo número de renglones y co-
lumnas B5 -1
8 2
R , C
3 0 -6
-1 5 2
9 10 -7
S
B 8 1 4
-3 0 2
R , C
5 0
-2 8
6 -11
S
Una matriz aumentada es una matriz separada por una línea ver-
tical. Para un sistema de ecuaciones, en la matriz aumentada, los
coeficientes de las variables se colocan del lado izquierdo de la
línea vertical y las constantes del lado derecho.
La forma triangular de una matriz aumentada es
B1 a
0 1
 ` p
q
R
SISTEMA MATRIZ AUMENTADA
forma triangular B1 -6
0 1
 ` 2
9
R
5x + 7y = -4 B2 -3
5 7
 ` 8
-4
R2x - 3y = 8
Las transformaciones de renglones pueden utilizarse para rees-
cribir una matriz en la forma triangular.
Procedimiento para transformaciones de renglones
1. Todos los números en un renglón pueden multiplicarse (o di-
vidirse) por cualquier número real distinto de cero.
2. Todos los números de un renglón pueden multiplicarse por
cualquier número real distinto de cero. Luego, estos produc-
tos pueden sumarse a los números correspondientes de cual-
quier otro renglón.
3. El orden de los renglones puede intercambiarse.
Resuelva el sistema de ecuaciones
La matriz aumentada es
El sistema equivalente de ecuaciones es
Sustituya �2 por y en la primera ecuación.
La solución es (1, �2).
 x = 1.
 x - 8 = -7
 x + 41-22 = -7
 y = -2
 x + 4y = -7
 = B1 4
0 1
 ` -7
-2
R 
-
 1
29
 R2
 B1 4
6 -5
 ` -7
16
R = B1 4
0 -29
 ` -7
58
R 
-6R1 + R2
 6x - 5y = 16
 x + 4y = -7
Un sistema de ecuaciones es inconsistente y no tiene solución si
usted obtiene una matriz aumentada en la que un renglón de
números tiene únicamente ceros del lado izquierdo de la línea
vertical y un número distinto de cero en el lado derecho de la lí-
nea vertical.
Un sistema de ecuaciones es dependiente y tiene un número infi-
nito de soluciones si obtiene una matriz aumentada en la que
aparece un renglón con únicamente ceros.
El segundo renglón muestra que este sistema es inconsistente y
no tiene solución.
El segundo renglón muestra que este sistema es dependiente y
tiene un número infinito de soluciones.
C
1 6 -1
0 0 0
3 5 8
 3 
15
0
-12
S
C
1 2 -3
0 0 0
-1 7 6
 3 
23
8
9
S
Resumen 291
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 4.5
El determinante de una matriz de 2 � 2 se denota con
y se evalúa como
 ̀
a1 b1
a2 b2
` = a1 b2 - a2 b1
` a1 b1
a2 b2
`
Ba1 b1
a2 b2
R
 ̀
3 -2
5 1
` = 132112 - 1521-22 = 3 + 10 = 13
Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales
Para un sistema de ecuaciones lineales de la forma
x =
` c1 b1
c2 b2
`
` a1 b1
a2 b2
`
=
Dx
D
 y y =
` a1 c1
a2 c2
`
` a1 b1
a2 b2
`
=
Dy
D
, D Z 0
 a2 x + b2 y = c2
 a1 x + b1 y = c1
Resuelva el sistema de ecuaciones.
Entonces
La solución es a1
2
, 5b .
x =
Dx
D
=
-5
-10
=
1
2
, y =
Dy
D
=
-50
-10
= 5
 Dx = ` 6 1
-13 -3
` = -5 Dy = ` 2 6
4 -13
` = -50
 D = ` 2 1
4 -3
` = -10
 4x - 3y = -13
 2x + y = 6
Para el determinante
El determinante menor (o sólo menor) de a1 se determina elimi-
nando los elementos del mismo renglón y la misma columna
que tienen al elemento a1.
Desarrollo del determinante por los menores de la
primera columna
3 a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
3 = a1 ` b2 c2
b3 c3
` - a2 ` b1 c1
b3 c3
` + a3 ` b1 c1
b2 c2
`
Determinante
menor
de a3
p
 
Determinante
menor
de a2
p
 
Determinante
menor
de a1
p
 
3 a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
3
Para el determinante menor de a1 es
Evalúe mediante el desarrollo de menores de la
primera columna.
 = 43
 = 16 - 18 + 45
 = 2182 + 11-182 + 31152
 3
2 0 3
-1 -5 2
3 6 -4
3 = 2 ` -5 2
6 -4
` - 1-12 ` 0 3
6 -4
` + 3 ` 0 3
-5 2
`
3 2 0 3
-1 -5 2
1 6 -4
3
` 3 5
1 9
` .3 6 2 -1
0 3 5
7 1 9
3 ,
292 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 4.5 (continuación)
Regla de Cramer para un sistema de ecuaciones con
tres variables
Para resolver el sistema
con
entonces
x =
Dx
D
 y =
Dy
D
 z =
Dz
D
, D Z 0
 Dy = 3
a1 d1 c1
a2 d2 c2
a3 d3 c3
3 Dz = 3
a1 b1 d1
a2 b2 d2
a3 b3 d3
3
 D = 3
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
3 Dx = 3
d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
3
 a3 x + b3 y + c3 z = d3
 a2 x + b2 y + c2 z = d2
 a1 x + b1 y + c1 z = d1
Resuelva el sistema de ecuaciones,
Entonces
La solución es a1
2
, 2, -3b .
x =
Dx
D
=
-5
-10
=
1
2
, y =
Dy
D
=
-20
-10
= 2 z =
Dz
D
=
30
-10
= -3
 Dy = 3
2 0 1
4 -9 3
6 -8 5
3 = -20 Dz = 3
2 1 0
4
-1 -9
6 2 -8
3 = 30
 D = 3
2 1 1
4 -1 3
6 2 5
3 = -10 Dx = 3
0 1 1
-9 -1 3
-8 2 5
3 = -5
 6x + 2y + 5z = -8
 4x - y + 3z = -9
 2x + y + z = 0
Sección 4.6
Para resolver un sistema de desigualdades lineales, grafique cada
desigualdad en los mismos ejes. La solución es el conjunto de
puntos cuyas coordenadas satisfacen todas las desigualdades
del sistema.
Determine la solución para el sistema de desigualdades.
�3
�2
�1
4
5
3
2
y
x
�4
�5
1
1
2 3 4 5�3�4�5 �2�1
Solución
y 6 - 
1
3
 x + 1
x - y … 2
La programación lineal es un proceso en donde dos o más desi-
gualdades lineales se grafican en los mismos ejes.
Determine la solución para el sistema de desigualdades.
y
54321 109876�1�1
5
4
3
8
7
6
10
9
2
1
x
 x + 2y … 16
 x + y … 10
 x … 8
 y Ú 0
 x Ú 0
Ejercicio de repaso 293
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 4.6 (continuación)
Para sistemas de desigualdades lineales, que incluyan valores ab-
solutos:
Si |x| � a y a 
 0, entonces �a � x � a.
Si |x| 
 a y a 
 0, entonces x � �a o x 
 a
Determine la solución para el sistema de desigualdades.
 ƒy - 1 ƒ 7 3
 ƒx ƒ 6 2
y
x
Solución
Solución
�5
�3
�2
�1
4
3
2
1
54321�4�5 �3�2�1
Ejercicios de repaso del capítulo 4
[4.1] Escriba cada ecuación en la forma pendiente ordenada al origen. Sin graficar ni resolver el sistema de ecuaciones, establezca si el
sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente. También indique si el sistema tiene exactamente una solución,
ninguna solución o un número infinito de soluciones.
1. 2x - 3y = -1
-4x + 6y = 1
2.
 3x + 4y = 9
 4x - 5y = 8 3. y =
1
3
 x + 4
x + 2y = 8
4.
 4x = 6y + 10
 6x = 5y - 8
Determine la solución de cada sistema de ecuaciones de manera gráfica. Si el sistema es inconsistente o dependiente, indíquelo.
5.
 y = 2x + 5
 y = x + 3 6.
 y = 3
 x = -5 7. 3x + 3y = 12
2x - y = -4
8.
1
2
 x -
1
2
 y =
3
2
3y - 3x = -9
Determine la solución de cada sistema de ecuaciones mediante sustitución.
9.
 y = 3x - 12
 y = -4x + 2 10. 4x - 3y = -1
y = 2x + 1
11. a = 2b - 8
2b - 5a = 0
12.
 
1
2
 x -
3
4
 y = 1
2x + y = 12
Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.
13. x - 2y = 5
2x + 2y = 4
14. -2x - y = 5
2x + 2y = 6
15. 2a + 3b = 7
a - 2b = -7
16. 0.4x - 0.3y = 1.8
-0.7x + 0.5y = -3.1
17.
 2r + 5s = 8
 4r - 3s = 8 18. -2m + 3n = 15
3m + 3n = 10
19.
x -
3
2
 y = -2
x +
3
5
 y =
11
5
20. 4x + 4y = 16
y = 4x - 3
21. y = - 
3
4
 x +
5
2
x +
5
4
 y =
7
2
22. 2x - 5y = 12
x -
4
3
 y = -2
23.
i 3x +
3
2
 y = 6
 2x + y = 4 24.
no solución 2y = x - 7
 2x = 4y + 5
[4.2] Determine la solución de cada sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución o el de la suma.
25. x - 2y - 4z = 13
3y + 2z = -2
5z = -20
26. 2a + b - 2c = 5
3b + 4c = 1
3c = -6
27. x + 2y + 3z = 3
-2x - 3y - z = 5
3x + 3y + 7z = 2
28. -x - 4y + 2z = 1
2x + 2y + z = 0
-3x - 2y - 5z = 5
294 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
[4.3] Exprese cada problema como un sistema de ecuaciones lineales y utilice el método de su elección para determinar la solución del
problema.
29. 3y - 2z = -4
3x - 5z = -7
2x + y = 6
30.
 5a - 4b - 2c = -2
 2a - 3b + 3c = -15
 a + 2b - 5c = 19 31. x - y + 3z = 1
-x + 2y - 2z = 1
x - 3y + z = 2
32.
infinite number of solucións
-2x + 2y - 3z = 6
4x - y + 2z = -2
2x + y - z = 4
33. Edades Luan Baker es 10 años mayor que su sobrina Jenni-
fer Miesen. Si la suma de sus edades es 66, determine la edad
de Luan y la edad de Jennifer.
34. Velocidad del viento Un avión puede viajar a 560 millas por
hora con el viento a favor y a 480 millas por hora con el vien-
to en contra. Determine la velocidad del viento y la veloci-
dad del avión con viento en calma.
35. Mezcla de soluciones Sally Dove tiene dos soluciones ácidas
como se muestra. ¿Qué cantidad de cada una debe mezclar
para obtener 6 litros de una solución de ácido al 40%?
P
or
ce
nt
aj
e 
de
 c
on
ce
nt
ra
ci
ón
50
60
70
40
30
20
10
20%
50%
Solución
A
Solución
B
36. Hockey sobre hielo La admisión a un juego de hockey sobre
hielo es de $15 por adulto y $11 por niño. Se vendieron un to-
tal de 650 boletos, determine cuántos boletos para niños y
cuántos boletos para adultos se vendieron, si se recolectó un
total de $8790.
37. Regresó al espacio John Glenn fue el primer astronauta
americano en estar en órbita alrededor de la Tierra. Muchos
años después regresó al espacio. La segunda vez que regresó
al espacio, tenía cinco años menos que el doble de su edad
cuando estuvo en el espacio por primera vez. La suma de sus
edades de ambas veces que estuvo en el espacio es 118. De-
termine su edad cada vez que estuvo en el espacio.
38. Cuenta de ahorros Jorge Minez tiene un total de $40,000 in-
vertidos en tres cuentas de ahorro diferentes. Tiene algo de
dinero invertido en una cuenta que otorga el 7% de interés.
En la segunda cuenta tiene $5,000 menos que en la primera,
y recibe el 5% de interés. La tercera cuenta da el 3% de inte-
rés. Si el interés total anual que recibe Jorge es de $2300, de-
termine la cantidad en cada cuenta.
[4.4] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando matrices.
39. x + 5y = 1
-2x - 8y = -6
40.
 2x + 4y = 10
 2x - 5y = 1 41. 3y = 6x - 12
4x = 2y + 8
42.
3x - 2y + z = 2
x + 2y + 3z = -2
2x - y - z = 5 43. 3a - b + c = 2
2a - 3b + 4c = 4
a + 2b - 3c = -6
44. x + y + z = 3
3x + 4y = -1
y - 3z = -10
[4.5] Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando determinantes.
45. 7x - 8y = -10
-5x + 4y = 2
46.
 5x + 3y = -9
x + 4y = 5 47.
 7m - 2n = -11
 9m + 4n = -1
48. p + q + r = 5
2p + q - r = -5
3p + 2q - 3r = -12
49. -2a + 3b - 4c = -7
2a + b + c = 5
-2a - 3b + 4c = 3
50. y + 3z = 4
-x - y + 2z = 0
x + 2y + z = 1
[4.6] Grafique la solución de cada sistema de desigualdades.
51.
 2x - y … 2
 -x + 3y 7 6 52.
 3x + 2y 7 6
 5x - 2y … 10 53.
 y 6 -x + 4
 y 7 2x + 3 54.
 y 6 - 
1
2
 x -
3
2
 x 7 -2y + 4
Determine la solución de cada sistema de desigualdades.
55.
4x + y … 8
x + y … 6
y Ú 0
x Ú 0 56.
 4x + 5y … 20
 2x + y … 6
y Ú 0
x Ú 0 57.
 ƒy ƒ 7 2
 ƒx ƒ … 3 58. ƒx ƒ 7 4
ƒy - 2 ƒ … 3
Examen de práctica del capítulo 4 295
Examen de práctica del capítulo 4
Para determinar el nivel de comprensión del material del capítulo, haga este examen de práctica. Las respuestas y la sección
en donde se estudia por primera vez el material, se proporciona en la parte final del libro. Además, cada problema está
completamente resuelto en el CD-Rom que acompaña a este libro. Revise el material de aquellas preguntas que respondió de
forma incorrecta.
16.
4x + 5y - 2z = 3
-2x - y - z = -7
x - 2y + z = 7
1. Defina a) un sistema consistente de ecuaciones, b) un siste-
ma dependiente de ecuaciones y c) un sistema inconsistente
de ecuaciones.
Determine, sin resolver el sistema, si el sistema de ecuaciones es
consistente, inconsistente o dependiente. Establezca si el sistema
tiene exactamente una solución, ninguna solución, o un número
infinito de soluciones.
2.
3.
4.
Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante el método indicado.
5x - 4y = 6
-10x + 8y = -10
 2y = - 
10
3
 x + 6
 5x + 3y = 9
6x = 3y - 7
5x + 2y = 4
5.
gráficamente
6.
gráficamente
 y = 2x + 3
 y = -x + 6
 y = -2x + 8
 y = 3x - 2
7.
por sustitución
8.
por sustitución
 5a + b = -13
 4a + 7b = 2
 y = 5x - 4
 y = 4x - 3
9.
por suma
10.
por suma
0.3x = 0.2y + 0.4
-1.2x + 0.8y = -1.6 6x + y = 1
 8x + 3y = 8
11.
por suma
12.
por suma
x + y + z = 2
-2x - y + z = 1
x - 2y - z = 1 a -
5
2
 b = -4
 
3
2
 a + b = 6
13. Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones
siguiente.
14. Considere la matriz aumentada siguiente.
Muestre los resultados obtenidos al multiplicar los elemen-
tos del tercer renglón por �2 y sumando los productos a sus
elementos correspondientes en el segundo renglón.
Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante matrices.
15.
 3x + 5y = 7
 2x + 7y = 1
C
6 -2 4
4 3 5
2 -1 4
 3 
4
6
-3
S
-2x + 3y + 7z = 5
3x - 2y + z = -2
x - 6y + 9z = -13
24. 25.
 ƒy ƒ … 1
 ƒx ƒ 7 3
-2x + 5y … 10
3x + 2y 6 9
Evalúe cada determinante.
17.
18.
Resuelva cada sistema de ecuaciones mediante determinantes y la
regla de Cramer.
19.
20.
Utilice el método de su elección para determinar la solución a ca-
da problema.
21. Mezcla de semillas de girasol Agway Gardens tiene semillas
de girasol, en un barril, que vende a $0.49 la libra y una mez-
cla especial para aves que vende a $0.89 la libra. ¿Cuánto de-
be mezclar de cada una para obtener 20 libras de una mezcla
que venda a $0.73 la libra?
22. Mezcla de soluciones Tyesha Blackwell, una química, tiene
soluciones al 6% y 15% de ácido sulfúrico. ¿Cuánto de cada
solución debe mezclar para obtener 10 litros de una solución
al 9%?
23. Suma de números La suma de tres números es 29. El mayor
número es cuatro veces el menor de los números. El tercer
número es uno más que el doble del número más pequeño.
Determine los tres números.
Determine la solución para cada sistema de desigualdades.
-2r + s - 3t = -2
-3r + 5s - 4t = 0
2r - 4s + 3t = -1
-2x + 5y = 16
4x + 3y = -6
3 8 2 -1
3 0 5
6 -3 4
3
` 3 -1
5 -2
`
296 Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen siguiente y verifique sus respuestas con las que aparecen al final del libro. Revise las preguntas que haya respondido
en forma incorrecta. La sección y objetivo donde se estudia el material están indicados después de la respuesta.
13. Determine cuáles de las gráficas siguientes representan fun-
ciones. Explique.
a) function b) function
c) not a function
14. Si determine
a) b) c) undefined
Resuelva cada sistema de ecuaciones.
15. 16.
17.
18. Ángulos de un triángulo Si el ángulo mayor de un triángulo
es nueve veces la medida del ángulo menor, y el ángulo me-
diano es 70° mayor que la medida del menor, determine la
medida de los tres ángulos.
19. Caminar y trotar Mark Simmons camina con una velocidad
de 4 millas por hora y Judy Bolin trota a 6 millas por hora.
Mark comienza a caminar antes de que Judy comience
a trotar. Si Judy trota en la misma ruta que Mark, ¿cuánto
tiempo después de que Judy comienza a trotar alcanzará a
Mark?
20. Concierto de rock En un concierto de rock hay dos precios
diferentes de asientos. Los asientos más caros se venden a
$20 y los baratos se venden a $16. Si se vende un total de
1000 boletos y el importe total es de $18,400, ¿cuántos asien-
tos de cada tipo se vendieron?
1
2
 hora
 y - 2z = -5
 2x + z = 7
 x - 2y = 0
-3p - 5q = -16y = 4x - 1
2p + 3q = 113x + y = 6
f132.f1h2f1-42
f1x2 =
x + 3
x2
- 9
,
y
x
�2
2
2�2
y
x
2
2�2
y
x
�2
2
2�2
1. Evalúe 3
2. Considere el conjunto de números siguiente.
Indique los elementos del conjunto que sean
a) números naturales;1
b) números racionales,
c) números reales.
3. Escriba los números siguientes de menor a mayor.
Resuelva.
4.
5.
6.
7. Despeje x de la fórmula .
8. Determine el conjunto solución de la desigualdad.
9. Simplifique
10. Grafique 2y � 3x � 8.
11. Escriba en forma pendiente intercepción la ecuación de la
recta paralela a la recta 2x � 3y � 8 y que pasa por el punto
(2, 3).
12. Grafique la desigualdad 6x � 3y � 12.aphing answer sección.
¢3x2
 y-2
y3 ≤ -2
.
0 6
3x - 2
4
… 8
M =
1
2
 1a + x2
ƒ2x - 3 ƒ - 5 = 4
2
3
 x -
5
6
= 2
- [3 - 21x - 42] = 31x - 62
-1, ƒ -4 ƒ , 
3
4
, 
5
8
, - ƒ -8 ƒ , ƒ -12 ƒ
E1
2
, -4, 9, 0, 23, -4.63, 1F
48 , b4B3 + a5 + 10
5
b 2R - 32 r .
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