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FIGURA 5.10
Sección 5.1 Suma y resta de polinomios 303
EJEMPLO 9 � Perímetro Determine una expresión para el perímetro del cuadrilá-
tero de la figura 5.10.
Solución El perímetro es la suma de las longitudes de los lados de la figura. En el
caso de un cuadrilátero, el perímetro es la suma de las longitudes de sus cuatro lados.
Suma de los lados.
Eliminar los paréntesis.
Reacomodar términos.
Reducir términos
semejantes.
El perímetro del cuadrilátero es 2x2 � 10x � 9.
� Ahora resuelva el ejercicio 79
 = 2x2
+ 10x + 9
 = x2
+ x2
+ 2x + 5x + 3x + 3 + 1 + 3 + 2
 = x2
+ 2x + 3 + x2
+ 1 + 5x + 3 + 3x + 2
 Perímetro = 1x2
+ 2x + 32 + 1x2
+ 12 + 15x + 32 + 13x + 22
CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.1
Ejercicios de concepto/redacción
1. ¿Qué son los términos de una expresión matemática?
2. ¿Cuál es el grado de una constante diferente de cero?
3. ¿Qué es un polinomio?
4. ¿Qué es el término principal de un polinomio?
5. ¿Qué es el coeficiente principal de un polinomio?
6. a) ¿Cómo se determina el grado de un término?
b) ¿Cuál es el grado de 6x4y3z? 8
7. a) ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?
b) ¿Cuál es el grado de �4x4 � 6x3y4 � z5?
8. ¿Qué significa que un polinomio esté en orden descendente
en la variable x?
9. a) ¿Cuándo es lineal un polinomio? is 0 or 1
b) Proporcione un ejemplo de un polinomio lineal.
10. a) ¿Cuándo es cuadrático un polinomio?
b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cuadrático.
11. a) ¿Cuándo es cúbico un polinomio?
b) Proporcione un ejemplo de un polinomio cúbico.
12. Cuando se resta un polinomio de otro, ¿qué le sucede a los
signos de todos los términos del polinomio que será restado?
13. Escriba un trinomio en x de grado cinco, en orden descen-
dente de x que carezca de términos de cuarto, tercero y se-
gundo grados.
14. Escriba un polinomio en y de grado siete en orden descen-
dente de y que carezca de términos de quinto, tercero y se-
gundo grados.
Práctica de habilidades
Determine si cada expresión es un polinomio. Si el polinomio tiene un nombre específico, por ejemplo,“monomio” o “binomio”, indíquelo.
Si la expresión no es un polinomio, explique por qué.
15. 16. 17. 7z
18. 19. 20.
21. 22.
Escriba cada polinomio en orden descendente de la variable x. Si el polinomio ya está en orden descendente, indíquelo. Proporcione el
grado de cada polinomio.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
Indique a) el grado de cada polinomio y b) su coeficiente principal.
29. 30.
31. 32.
33. 34. -0.6x2
 y3
 z2
+ 2.9xyz9
- 1.3x8
 y4
- 
1
3
 m4
 n5
 p8
+
3
5
 m3
 p6
-
5
9
 n4
 p6
 q
-a4
 b3
 c2
+ 9a8
 b9
 c4
- 5a7
 c204x2
 y3
+ 6xy4
+ 9xy5
17x4
+ 13x5
- x7
+ 4x3x4
+ 3x6
- 2x - 13
5xy2
+ 3x2
 y - 9 - 2x3
-2x4
+ 5x2
- 4
-2 + x - 8x2
+ 4x39y2
+ 3xy + 10x2
-3x - 9 + 8x2
-5 + 2x - x2
2xy + 5y23x1>2
+ 2xy
8x2
- 2x + 9y25z-35x2
- 6x + 9
4x-1
-6
3x � 2
x2 � 2x � 3
x2 � 15x � 3
304 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
Evalúe cada función polinomial en el valor dado.
35. Determine P(2), si P(x) � x2 � 6x � 1. 36. Determine P(�1), si P(x) � 4x2 � 6x � 12.
37. Determine si 38. Determine si 
39. Determine P(0.4), si P(x) � 0.2x3 � 1.6x2 � 2.3. 40. Determine P(�1.2), si P(x) � �1.6x3 � 4.6x2 � 0.1x.
En los ejercicios del 41 al 62, simplifique.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. Reste (4x � 11) de (7x � 8). 64. Reste (�x2 � 3x � 5) de (4x2 � 6x � 2).
65. Sume �2x2 � 4x � 12 y �x2 � 2x. 66. Reste (5x2 � 6) de (2x2 � 9x � 8).
67. Reste 0.2a2 � 3.9a � 26.4 de �5.2a2 � 9.6a. 68. Sume 6x2 � 12xy y �2x2 � 4xy � 3y.
69. Reste de 70. Reste (6x2y � 7xy) de (2x2y � 12xy).
Simplifique. Suponga que todos los exponentes representan números naturales.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
Resolución de problemas
Perímetro En los ejercicios 77 a 82, determine una expresión para el perímetro de cada figura. Vea el ejemplo 9.
77. 78.
79. 80.
81. 82.
Pentágono
regular
(todos los lados
de la misma
longitud)
Trapecio
CuadriláteroTriángulo
RectánguloCuadrado
1-3r3a
+ ra
- 62 - 1-2r3a
- 8r2a
+ 6217b4n
- 5b2n
+ 12 - 13b3n
- b2n2
15a2m
- 6am
+ 42 - 12a2m
+ 721x2s
- 8xs
+ 62 - 12x2s
- 4xs
- 132
18x2r
- 5xr
+ 42 + 16x2r
+ xr
+ 3213x2r
- 7xr
+ 12 + 12x2r
- 3xr
+ 22
a - 
1
2
 x2
 y + xy2
+
3
5
b .a5x2
 y +
5
9
b
- [-15r2
- 3r2 - 12r - 3r22 - 2r2]5w - 6w2
- [13w - 2w22 - 14w + w22]
3xy2
- 2x - [-14xy2
+ 3x2 - 6xy]6x2
- 5x - [3x - 14x2
- 92]
1a2
- b2
+ 5ab2 + 1-3b2
- 2ab + a2218r2
- 5t2
+ 2rt2 + 1-6rt + 2t2
- r22
13x2
- 5y2
- 2xy2 - 14x2
+ 8y2
- 9xy213a2
 b - 6ab + 5b22 - 14ab - 6b2
- 5a2
 b2
19r + 7s - t2 + 1-2r - 2s - 3t213a - 6b + 5c2 - 1-2a + 4b - 8c2
a - 
3
5
 xy2
+
5
8
b - a - 
1
2
 xy2
+
3
5
ba - 
1
3
 x3
+
1
4
 x2
 y + 8xy2b + a -x3
-
1
2
 x2
 y + xy2b
1-12.4x2
 y - 6.2xy + 9.3y22 - 1-5.3x2
 y + 1.6xy - 10.4y2211.4x2
+ 1.6x - 8.32 - 14.9x2
+ 3.7x + 11.32
16y2
- 9y + 42 - 1-2y2
- y - 82a - 
5
9
 a + 6b + a - 
2
3
 a2
-
1
4
 a - 1b
15n2
- 72 + 19n2
+ 3n + 12214y2
+ 9y - 12 - 12y2
+ 102
12x - 132 - 13x2
- 4x + 1621x2
- 8x + 112 - 15x + 92
15b2
- 8b + 72 - 12b2
- 3b - 521x2
+ 3x - 12 + 16x - 52
P1x2 =
1
2
 x3
- x2
+ 6.Pa1
3
bP1x2 = 2x2
- 3x - 6.Pa1
2
b
Sección 5.1 Suma y resta de polinomios 305
respecto del piso en el instante t, en segundos, después de
que se ha soltado, puede determinarse mediante
Determine a qué distancia del piso se encuentra un objeto 6
segundos después de que se ha dejado caer.
92. Concurso de ortografía El número de maneras en que puede
seleccionarse a los ganadores del primero, segundo y tercer
lugares en un concurso de ortografía entre n participantes,
está dado por P(n) � n3 � 3n2 � 2n. Si hay seis participan-
tes, ¿de cuántas maneras pueden seleccionarse el primero,
segundo y tercer lugares?
93. Comités El número de comités diferentes de 2 estudiantes,
en los que los dos estudiantes se seleccionan de un grupo con
n estudiantes está dado por Si una clase 
de biología tiene 15 estudiantes, ¿cuántos comités diferentes
con 2 estudiantes se pueden seleccionar?
94. Comités El número de comités diferentes de 3 estudiantes,
en donde los tres estudiantes se seleccionan de un grupo con 
n estudiantes está dado por Si una 
clase de artes tiene 10 estudiantes, ¿cuántos comités diferen-
tes con 3 estudiantes se pueden seleccionar?
95. Cuenta de ahorros El 2 de enero de 2006, Jorge Sánchez de-
positó $650 en una cuenta de ahorros que paga interés sim-
ple a una tasa de $24 cada año. El monto en la cuenta es una
función del tiempo dada por A(t) � 650 � 24t, donde t es el
número de años a partir de 2006. Determine el monto en la
cuenta en a) 2007, b) 2021.
96. Financiamiento Frank Gunther acaba de comprar un auto-
móvil nuevo. Después de hacer el pago inicial, el monto que
se financiará es $23,250. Utilizando un préstamo al 0% (o sin
interés) sobre el automóvil, el pago mensual es $387.50. El
monto del automóvil que se debe es una función del tiempo
dada por A(t) � $23,250 � $387.50t, donde t es el número de
meses a partir de que Frank compró el automóvil. ¿Cuál es la
deuda a) a los 2 meses, b) a los 15 meses que Frank compró el
automóvil?
c1n2 =
1
6
 n3
-
1
2
 n2
+
1
3
 n.
c1n2 =
1
2
 1n2
- n2.
h = P1t2 = -16t2
+ 1250
83. ¿La suma de dos trinomios siempre da por resultado un tri-
nomio? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su
respuesta.
84. ¿La suma de dos binomios siempre da por resultado un bino-
mio? Explique y proporcione un ejemplo que sustente su
respuesta.
85. ¿La suma de dos polinomios cuadráticos siempre da por re-
sultado un polinomio cuadrático? Explique y proporcione
un ejemplo que sustente su respuesta.
86. ¿La diferencia de dos polinomios cúbicos siempre da por re-
sultado un polinomio cúbico? Explique y proporcione un
ejemplo que sustente su respuesta.
87. Área El área de un cuadrado es una función de su lado,
donde A(s) � s2. Determine el área de un cuadrado, si su lado
mide 12 metros.
88. Volumen El volumen de un cubo es una función de su lado,
s, dondeV(s) � s3. Determine el volumen de un cubo, si su
lado es de 7 centímetros.
89. Área El área de un círculo es una función de su radio, donde
A(r) � pr2. Determine el área de un círculo, si su radio es de
6 pulgadas. Utilice la tecla de su calculadora.
90. Volumen El volumen de una esfera es una función de su radio,
en donde Un globo circular se está inflando.
Determine su volumen cuando su radio es de 4 pulgadas.
91. Altura Cuando un objeto se deja caer desde el edificio Em-
pire State (altura � 1250 pies), la altura del objeto, h, en pies,
V1r2 =
4
3
 pr3.
� p �
Utilidad La utilidad de una compañía se determina restando sus costos de sus ingresos. En los ejercicios 97 y 98, R(x) representa el
ingreso de la compañía cuando se venden x artículos, y C(x) representa el costo de la compañía cuando se producen x artículos.
a) Determine la función utilidad P(x). b) Evalúe P(x), cuando x � 100.
97.
 C1x2 = 8050 - 420x
 R1x2 = 2x2
- 60x, 98.
299.40 C1x2 = 1.2x2
+ 16.3x + 12,040.6
 R1x2 = 5.5x2
- 80.3x
En los ejercicios 99 a 102, determine cuál de las gráficas a), b) o c) corresponde a la gráfica de la ecuación dada. Explique cómo determinó
su respuesta.
99.
a) b) c)
x
y
�2
�4
2
2�2�4
x
y
�4
�2
2 4�2
x
y
2
8
4
2 4�2
y = x2
+ 3x - 4
306 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
103. Gasto de capital La gráfica que muestra el gasto de las
compañías petroleras en nuevos proyectos petroleros y de
gas natural de 2001 a 2004. El gasto, E(t), en miles de millo-
nes de dólares puede aproximarse mediante la función
donde t es el número de años desde 2001.
a) Utilice esta función para estimar el gasto de las compa-
ñías petroleras en 2004.
b) Compare su respuesta de la parte a) con la gráfica de
barras. ¿La gráfica sustenta su respuesta?
c) Si esta tendencia continúa, estime el gasto de las compa-
ñías petroleras en nuevos proyectos petroleros y de gas
natural en 2007. $286.4 bil
104. Plano inclinado Una bola rueda hacia abajo por un plano
inclinado. La distancia, d(t), en pies, que la bola ha recorri-
do está dada por la función
donde t es el tiempo en segundos, 0 � t � 5.
d1t2 = 2.36t2
0
20
40
60
80
100
120
2001 2002 2003 2004
G
as
to
s 
(m
ile
s 
de
 m
ill
on
es
)
Fuente: John S. Herald, Inc., 
 The Washington Post (3/14/2005)
Año
Gastos de compañías petroleras
E1t2 = 7t2
- 7.8t + 81.2
Determine la distancia que la bola ha recorrido hacia abajo
por el plano inclinado en
a) 1 segundo,t
b) 3 segundos,
c) 5 segundos.
105. Inflación La inflación afecta el poder de compra. A conse-
cuencia de la inflación, pagaremos más por los mismos
bienes en el futuro que lo que pagamos por ellos ahora.
La función C(t) � 0.31t2 � 0.59t � 9.61, donde t es años des-
de 1997, aproxima el costo, en miles de dólares, por compras
en el futuro que se harían con $10,000 en 1997. Esta función
está basada en una tasa de inflación anual de 6% y 0 � t � 25.
Calcule el costo que tendrán en 2012 los bienes que en 1997
costaban $10,000.
106. Escuelas sin drogas La función f(a) � �2.32a2 � 76.85a �
559.87 puede utilizarse para estimar el porcentaje de estu-
diantes que afirman que su escuela no está libre de drogas.
En esta función, a representa la edad del estudiante, donde
12 � a � 17. Utilice esta función para estimar el porcentaje
de estudiantes de 13 años que afirman que sus escuelas no
están libres de drogas..1%
100.
a) b) c)
101.
a) b) c)
102.
a) b) c)
�10
10
10�10
�10
10
10�10
�10
10
10�10
y = x3
+ 4x2
- 5
�10
10
10�10
�10
10
10�10
�10
10
10�10
y = -x3
+ 2x - 6
x
y
�2
8
6
2
4
2�2�4
x
y
�2
�8
�6
�4
2
2�2x
y
�8
�6
�2
�4
2
2�4
y = x3
+ 2x2
- 4
Sección 5.1 Suma y resta de polinomios 307
Si cuenta con una calculadora graficadora, responda los ejercicios 107 y 108 con su ayuda. Si no tiene calculadora graficadora, dibuje la
gráfica de la parte a) por medio del trazo de puntos. Luego responda las partes de b) a e).
107. a) Grafique
b) En ambas gráficas, para valores de x � 3, ¿la función
crece o decrece conforme aumenta el valor de x?
c) Cuando el término principal de una función polinomial
es x3, el polinomio debe aumentar para x � a, en donde
a es algún número real mayor que 0. Explique por qué.
d) En ambas gráficas, para valores de x � �3, ¿la función
crece o decrece cuando disminuye el valor de x?
e) Cuando el término principal de una función polinomial
es x3, el polinomio debe disminuir para x � a, en donde
a es algún número real menor que 0. Explique por qué.
 y2 = x3
- 3x2
- 3
 y1 = x3
108. a) Grafiquen
b) En ambas gráficas, para valores de x � 3, ¿la función
crece o decrece cuando aumenta el valor de x?easing
c) Cuando el término principal de una función polinomial
es x4, el polinomio debe aumentar para x � a, en donde
a es algún número real mayor que 0. Explique por qué.
d) En ambas gráficas, para valores de x � �3, ¿la función
crece o decrece cuando disminuye el valor de x?asing
e) Cuando el término principal de una función polinomial
es x4, el polinomio debe disminuir para x � a, en donde
a es algún número real menor que 0. Explique por qué.
 y2 = x4
- 6x2
 y1 = x4
Retos
Determine cuál de las gráficas, a), b) o c), corresponde a la ecuación dada. Explique cómo determinó su respuesta.
109.
a) b) c)
110.
a) b) c)
Actividad en equipo
Analicen y respondan en equipo los ejercicios 111 y 112.
111. Si el término principal de una función polinomial es 3x3, ¿cuál de las siguientes podría ser la gráfica del polinomio? Expliquen.
Consideren lo que sucede cuando x tiene valores positivos grandes, y cuando x tiene valores negativos con valor absoluto grande.
a) b) c)
x
�6
�4
2
2�2
y
x
y
�6
2
4
2
x
y
�4
2
4
3�3
y = 2x4
+ 9x2
- 5
x
y
�6
2
2�2
x
y
�2
�4
4
2
2 4�2
x
y
�2
2
6
2�2
y = -x4
+ 3x3
- 5
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