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324 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
EJEMPLO 11 � Utilice el teorema del residuo para determinar si x � 5 es un factor
de 6x2 � 25x � 25.
Solución Sea P(x) � 6x2 � 25x � 25. Si P(5) � 0, entonces el residuo de (6x2 � 25x
� 25)/(x � 5) es 0, y x � 5 es un factor del polinomio. Si P(5) Z 0, entonces hay un re-
siduo y x � 5 no es un factor.
Como P(5) � 0, x � 5 es un factor de 6x2 � 25x � 25. Observe que 6x2 � 25x � 25 �
(x � 5)(6x � 5).
� Ahora resuelva el ejercicio 89
 = 150 - 125 - 25 = 0
 = 61252 - 25152 - 25
 P152 = 61522 - 25152 - 25
 P1x2 = 6x2
- 25x - 25
CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.3
Ejercicios de concepto/redacción
1. a) Explique cómo dividir un polinomio entre un monomio.
b) Utilizando el procedimiento que explicó en la parte a),
divida .
2. a) Explique cómo dividir un trinomio en x entre un bino-
mio en x.
b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a), di-
vida 2x2 � 12 � 5x entre x � 4.
3. Un trinomio dividido entre un binomio tiene un residuo de
0. ¿El cociente es un factor del trinomio? Explique.
4. a) Explique cómo puede verificarse la respuesta cuando se
divide un polinomio entre un binomio.
b) Utilice la explicación que dio en la parte a) para compro-
bar si la siguiente división es correcta.
c) Verifique si la siguiente división es correcta.
incorrect
6x2
- 23x + 13
3x - 4
= 2x - 5 -
8
3x - 4
8x2
+ 2x - 15
4x - 5
= 2x + 3
5x4
- 6x3
- 4x2
- 12x + 1
3x
5. Cuando se divide un polinomio entre un polinomio, ¿qué
hay que hacerle a los polinomios antes de comenzar?
6. Explique por qué no es un polinomio.
7. a) Describa cómo se divide un polinomio entre (x � a) me-
diante la división sintética.
b) Utilizando el procedimiento que indicó en la parte a),
divida x2 � 3x � 4 entre x � 5.
8. a) Establezca el teorema del residuo.nswers will vary.
b) Mediante el procedimiento que indicó en la parte a),
determine cuál es el residuo cuando x2 � 6x � 4 se divide
entre x � 1.
9. En el problema de división �
¿x � 9 es un factor de x2 � 11x � 21? Explique.
10. En el problema de división ¿x � 7
es un factor de x2 � 3x � 28? Explique.
x2
- 3x - 28
x + 4
= x - 7,
3
x + 2
,
x2
+ 11x + 21
x + 2
= x + 9
x - 1
x
Práctica de habilidades
Divida.
11. 12. 13. 14. 15.
16. 17. 18. 19. 20.
Divida.
21. 22. 23.
24. 25. 26.
27. 28. 29.
8x2
 y2
- 10xy3
- 5y
2y2
15x3
 y - 25xy3
5xy
4x5
- 6x4
+ 12x3
- 8x2
4x2
21y5
+ 14y2
7y4
5y3
+ 6y2
- 12y
3y
12x2
- 8x - 24
4
4x2
+ 2x
2x
9x + 8
3
4x + 18
2
21a8
 b17
9a7
 b10
15x18
 y19
3x10
 y8
7y14
 z7
4y11
 z
12r7
 s10
3rs8
q6
q6
z16
z8
b8
b3
a11
a7
m13
m3
x9
x7
Sección 5.3 División de polinomios y división sintética 325
30. 31. 32.
33. 34.
Divida utilizando la división larga.
35. 36. 37.
38. 39. 40.
41. 42. 43.
44. 45. 46.
47. 48. 49.
50. 51. 52.
53. 54. 55.
56. 57. 58.
59. 60.
Divida usando la división sintética.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
81. 82.
83. 84.
85. 86.
Determine el residuo de las siguientes divisiones mediante el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo.
87. 88.
89. 90.
91. 92. 1-5x3
- 62 , ax -
1
5
b1-2x3
- 6x2
+ 2x - 42 , ax -
1
2
b
1x4
+ 3x3
+ x2
+ 22x + 82 , 1x + 421x3
- 2x2
+ 4x - 82 , 1x - 22
1-2x2
+ 3x - 22 , 1x + 3214x2
- 5x + 62 , 1x - 22
19y3
+ 9y2
- y + 22 , ay +
2
3
b12x4
- x3
+ 2x2
- 3x + 72 , ax -
1
2
b
18x3
- 6x2
- 5x + 32 , ax +
3
4
b13x3
+ 2x2
- 4x + 12 , ax -
1
3
b
z5
- 3z3
- 7z
z - 2
b5
+ 4b4
- 14
b + 1
a7
- 2a6
+ 13
a - 2
x5
+ x4
- 9
x + 1
z4
+ 81
z + 3
x4
+ 16
x + 4
1a4
- 162 , 1a - 221y4
- 12 , 1y - 12
13y4
- 25y2
- 292 , 1y - 3213c3
+ 7c2
- 4c + 162 , 1c + 32
1z3
- 7z2
- 13z + 252 , 1z - 2214x3
- 3x2
+ 2x2 , 1x - 12
12b2
- 9b + 12 , 1b - 6213x2
- 7x - 102 , 1x - 42
1x2
- 2x - 392 , 1x + 521x2
+ 5x - 142 , 1x - 32
1x2
+ 17x + 722 , 1x + 921x2
- 11x + 282 , 1x - 42
1x2
- 5x + 62 , 1x - 221x2
+ 5x + 62 , 1x + 22
1x2
- 7x + 62 , 1x - 121x2
+ 7x + 62 , 1x + 12
2y5
+ 2y4
- 3y3
- 15y2
+ 18
2y2
- 3
2c4
- 8c3
+ 19c2
- 33c + 15
c2
- c + 5
3a4
- 9a3
+ 13a2
- 11a + 4
a2
- 2a + 1
3x4
+ 4x3
- 32x2
- 5x - 20
3x3
- 8x2
- 5
4b5
- 18b3
+ 14b2
+ 18b - 21
2b2
- 3
3x5
+ 2x2
- 12x - 4
x2
- 2
12x3
+ 6x + 332 , 1x + 4214a3
- 5a2 , 12a - 12
9b3
- 3b2
- 3b + 4
3b + 2
4y3
+ 12y2
+ 7y - 9
2y + 3
-a3
- 6a2
+ 2a - 4
a - 1
x3
+ 3x2
+ 5x + 4
x + 1
16p2
- 9
4p + 3
4x2
- 36
2x - 6
8z2
- 18z - 7
4z + 1
8x2
+ 6x - 25
2x - 3
2c2
+ c + 1
2c + 5
2b2
+ b - 8
b - 2
a2
- a - 17
a + 3
x2
+ 6x + 3
x + 1
12x2
- 17x - 7
3x + 1
6x2
+ x - 2
2x - 1
2x2
+ 13x + 20
x + 4
6x2
+ 16x + 8
3x + 2
x2
+ x - 20
x + 5
x2
+ 3x + 2
x + 1
6abc3
- 5a2
 b3
 c4
+ 13ab5
 c
3ab2
 c3
3xyz + 6xyz2
- 9x3
 y5
 z7
6xy
a2
 b2
 c - 6abc2
+ 5a3
 b5
2abc2
9x2
 y - 12x3
 y2
+ 15y3
2xy2
4x13
+ 12x9
- 11x7
4x6
326 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
Resolución de problemas
106.
En los ejercicios 107 y 108, divida. Las respuestas contienen
fracciones.
107.
108.
109. Volumen El volumen de la siguiente caja es 2r3 � 4r2 � 2r.
Determine w en términos de r.
110. Volumen El volumen de la siguiente caja es 6a3 � a2 � 2a.
Determine b en términos de a.
111. Cuando un polinomio se divide entre x � 3, el cociente es
¿Cuál es el polinomio? Explique
cómo determinó su respuesta.
112. Cuando un polinomio se divide entre 2x � 3, el cociente es
¿Cuál es el polinomio? Explique
cómo determinó su respuesta.
En los ejercicios 113 y 114, divida. Suponga que todas las variables
de los exponentes son números naturales.
113.
114.
115. ¿Es x � 1 factor de Explique.no
116. ¿Es x � 1 factor de Explique.no
117. ¿Es x � 1 factor de Explique.yes
118. Divida 0.2x3 � 4x2 � 0.32x � 0.64 entre x � 0.4.
x99
+ x98
+
Á
+ x1
+ 1?
x100
+ x99
+
Á
+ x1
+ 1?
x100
+ x99
+
Á
+ x1
+ 1?
3xn
+ 6xn - 1
- 2xn - 2
2xn - 1
4xn + 1
+ 2xn
- 3xn - 1
- xn - 2
2xn
2x2
+ 6x - 5 +
5
2x - 3
.
x2
- 3x + 4 +
5
x - 3
.
3a � 2
b
a
2r � 2
w
r
3x3
- 7
3x - 2
2x2
+ 2x - 2
2x - 3
x3
+ y3
x + y
93. Área El área de un rectángulo es 6x2 � 8x � 8. Si su longi-
tud es 2x � 4, determine su ancho.
94. Área El área de un rectángulo es 15x2 � 29x � 14. Si su
ancho es 5x � 2, determine su longitud.
Área y volumen En los ejercicios 95 y 96, ¿cuántas veces es
mayor el área o volumen de la figura de la derecha que el de la
figura de la izquierda? Explique cómo determinó su respuesta.
95.
3 times greater
96.
24 times greater
97. ¿Es posible dividir un binomio entre un monomio y obte-
ner un monomio como cociente? Explique.
98. a) ¿La suma, diferencia y producto de dos polinomios es
siempre un polinomio?
b) ¿El cociente de dos polinomios es siempre un polino-
mio? Explique.
99. Explique cómo puede determinarse, mediante la división
sintética, si una expresión con la forma x � a es un factor de
un polinomio en x.
100. Dados P(x) � ax2 � bx � c y un valor d tal que P(d) � 0,
explique por qué d es una solución de la ecuación
ax2 � bx � c � 0.
101. Si determine P(x).
102. Si determine P(x).
103. Si determine P(x).
104. Si determine P(x).
En los ejercicios 105 y 106, divida.
105.
2x3
- x2
 y - 7xy2
+ 2y3
x - 2y
P1x2
2x - 3
= 2x - 1 -
8
2x - 3
,
P1x2
x + 4
= x + 5 +
6
x + 4
,
P1x2
2x + 4
= 2x - 3,
P1x2
x - 4
= x + 2,
3x � 6
4x � 4
2x
x � 2
x
x � 1
12x � 24
qx � 4
2x � 4
x � 8
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.6] 119. Divida y exprese la respuesta en nota-
ción científica.
[2.3] 120. Triángulo Determine los tres ángulos de un triángulo, si
uno de ellos mide el doble del ángulo más pequeño, y el
tercero mide 60° más que el ángulo más pequeño.
8.45 * 1023
4.225 * 1013
[2.6] 121. Determine el conjunto solución para
[3.6] 122. Sea f(x) � x2 � 4 y g(x) � �5x � 3. Determine
f(6) g(6).
[5.1] 123. Sume (6r � 5s – t) � (�3r – 2s – 7t).
#
` 5x - 3
2
` + 4 = 8.
Sección 5.4 Cómo factorizar un monomio de un polinomio y factorización por agrupación 327
1 Determinar el máximofactor común.
2 Factorizar un monomio de
un polinomio.
3 Factorizar un factor binomial
común.
4 Factorizar por agrupación.
La factorización es la operación opuesta a la multiplicación. Factorizar una expresión
significa escribirla como un producto de otras expresiones. Por ejemplo, en la sección
5.2 aprendimos a realizar las multiplicaciones siguientes:
y
En esta sección aprenderemos a determinar los factores de una expresión dada. Por
ejemplo, aprenderemos cómo realizar cada una de las factorizaciones siguientes.
y
[1 Determinar el máximo factor común
Para factorizar un monomio de un polinomio, factorizamos al máximo factor común
(MFC) de cada término del polinomio. El MFC es el producto de los factores comunes
a todos los términos del polinomio. Por ejemplo, el MFC para 6x � 21 es 3, ya que 3
es el número más grande que es factor tanto de 6x como de 21. Para factorizar, utiliza-
mos la propiedad distributiva.
El 3 y el 2x � 7 son factores del polinomio 6x � 21.
Considere los términos x3, x4, x5 y x6. El MFC de estos términos es x3, ya que x3 es
la potencia de x más alta que divide a los cuatro términos.
EJEMPLO 1 � Determine el MFC de los términos siguientes.
a) b) c)
Solución
a) Observe que y4 es la potencia más alta de y común a los cuatro términos. Por lo
tanto, el MFC es y4.
b) La potencia más alta de x común a los tres términos es x (o x1). La potencia más
alta de y común a los tres términos es y2. Así, el MFC de los tres términos es xy2.
c) El MFC es 3x2. Como y no aparece en 24x2z5, no es parte del MFC; como z no
aparece en 9x3y4, no es parte del MFC.
� Ahora resuelva el ejercicio 3
EJEMPLO 2 � Determine el MFC de los términos siguientes.
Solución Los tres números 6, 5 y 18, no tienen factor común distinto de 1. La po-
tencia más alta de (x � 2) común a los tres términos es (x � 2). Así, el MFC de los tres
términos es (x � 2).
� Ahora resuelva el ejercicio 5
61x - 222, 51x - 22, 181x - 227
6x2
 y3
 z, 9x3
 y4, 24x2
 z5x3
 y2, xy4, x5
 y6y12, y4, y9, y7
6x + 21 = 312x + 72
12x2
- 24xy - 15y2
= 16x + 3y212x - 5y2
18x3
+ 9x2
 y + 12x5
= 3x216x + 3y + 4x32
16x + 3y212x - 5y2 = 12x2
- 24xy - 15y2
3x216x + 3y + 4x32 = 18x3
+ 9x2
 y + 12x5
5.4 Cómo factorizar un monomio de un polinomio
y factorización por agrupación
328 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
Para factorizar un monomio de un polinomio
1. Determine el máximo factor común de todos los términos del polinomio.
2. Escriba cada término como el producto del MFC y otro factor.
3. Use la propiedad distributiva para factorizar el MFC.
2 Factorizar un monomio de un polinomio
Cuando factorizamos un monomio de un polinomio estamos factorizando el máximo
factor común. El primer paso en cualquier problema de factorización consiste en deter-
minar y luego factorizar el MFC.
EJEMPLO 3 � Factorice 15x4 � 5x3 � 25x2.
Solución El MFC es 5x2. Escriba cada término como producto del MFC y otro pro-
ducto. Luego factorice el MFC.
� Ahora resuelva el ejercicio 15
Para comprobar el procedimiento de factorización, multiplique los factores utili-
zando la propiedad distributiva. El producto debe ser la expresión con la que se inició.
Pongamos el ejemplo 3,
Comprobación
EJEMPLO 4 � Factorice
Solución El MFC es 2xy3. Escriba cada término como producto del MFC y otro
producto. Luego factorice el MFC.
Comprobación
� Ahora resuelva el ejercicio 19
Cuando el coeficiente principal de un polinomio es negativo, por lo general factoriza-
mos un factor común con un coeficiente negativo. Esto da como resultado que el poli-
nomio restante tenga un coeficiente principal positivo.
EJEMPLO 5 � Factorice a) b)
Solución Como los coeficientes principales en las partes a) y b) son negativos, fac-
torizamos factores comunes con un coeficiente negativo.
a) Factorizar �6.
b) Factorizar �2b.
� Ahora resuelva el ejercicio 27
EJEMPLO 6 � Lanzamiento de una pelota Cuando se lanza una pelota hacia arri-
ba con una velocidad de 32 pies por segundo desde la parte más alta de un edificio de
160 pies de altura, su distancia, d, respecto del piso en cualquier instante t, puede deter-
minarse mediante la función d(t) � �16t2 � 32t � 160.
a) Determine la distancia de la pelota respecto del piso después de 3 segundos; es de-
cir, determine d(3).
b) Factorice el MFC del lado derecho de la función.
-2b3
+ 6b2
- 16b = -2b1b2
- 3b + 82
-12a - 18 = -612a + 32
-2b3
+ 6b2
- 16b-12a - 18
2xy3110x2
+ 3xy - 6y22 = 20x3
 y3
+ 6x2
 y4
- 12xy5
 = 2xy3110x2
+ 3xy - 6y22
 20x3
 y3
+ 6x2
 y4
- 12xy5
= 2xy3 # 10x2
+ 2xy3 # 3xy - 2xy3 # 6y2
20x3
 y3
+ 6x2
 y4
- 12xy5.
 = 15x4
- 5x3
+ 25x2
 5x213x2
- x + 52 = 5x213x22 + 5x21-x2 + 5x2152
 = 5x213x2
- x + 52 15x4
- 5x3
+ 25x2
= 5x2 # 3x2
- 5x2 # x + 5x2 # 5
Sección 5.4 Cómo factorizar un monomio de un polinomio y factorización por agrupación 329
c) Evalúe d(3) en la forma factorizada.
d) Compare sus respuestas de las partes a) y c).
Solución
a)
Sustituya t por 3.
La distancia es 112 pies.
b) Factorice �16 de los tres términos a la derecha del signo igual.
c)
Sustituya t por 3.
d) Las respuestas son iguales. Puede determinar los cálculos de la parte c) con mayor
facilidad que los cálculos de la parte a).
� Ahora resuelva el ejercicio 65
3 Factorizar un factor binomial común
Algunas veces la factorización exige factorizar un binomio como el máximo factor co-
mún, como se ilustra en los ejemplos 7 a 9.
EJEMPLO 7 � Factorice 3x(5x � 6) � 4(5x � 6).
Solución El MFC es (5x � 6). Al factorizar el MFC se obtiene
� Ahora resuelva el ejercicio 37
En el ejemplo 7 también podríamos haber colocado el factor común a la derecha
para obtener
Las formas factorizadas (5x � 6)(3x � 4) y (3x � 4)(5x � 6) son equivalentes de
acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, y ambas son correctas. Por
lo general, cuando listamos la respuesta a un ejemplo o ejercicio, colocamos el término
común que se ha factorizado a la izquierda.
EJEMPLO 8 � Factorice 9(2x � 5) � 6(2x � 5)2.
Solución EL MFC es 3(2x � 5). Reescriba cada término como producto del MFC y
otro factor.
Factorizar 3(2x � 5).
Propiedad distributiva.
Simplificar.
� Ahora resuelva el ejercicio 39
 = 312x - 5214x - 72
 = 312x - 52[3 + 4x - 10]
 = 312x - 52 [3 + 212x - 52]
 912x - 52 + 612x - 522 = 312x - 52 # 3 + 312x - 52 # 212x - 52
3x 15x - 62 + 4 15x - 62 = 13x + 4215x - 62
3x 15x - 62 + 4 15x - 62 = 15x - 6213x + 42
 = 112
 = -161-72
 = -1619 - 6 - 102
 d132 = -16[32
- 2132 - 10]
 d1t2 = -161t2
- 2t - 102
d1t2 = -161t2
- 2t - 102
 = 112
 = -16192 + 96 + 160
 d132 = -161322 + 32132 + 160
 d1t2 = -16t2
+ 32t + 160
330 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
Para factorizar cuatro términos por agrupación
1. Determine si los cuatro términos tienen un factor común. Si es así, factorice el máxi-
mo factor común de cada término.
2. Acomode los cuatro términos en dos grupos de dos términos cada uno. Cada grupo
debe tener un MFC.
3. Factorice el MFC de cada grupo de dos términos.
4. Si los dos términos formados en el paso 2 tienen un MFC, factorícelo.
EJEMPLO 9 � Factorice (3x � 4)(a � b) � (x � 1)(a � b).
Solución El binomio a � b es el MFC de los dos términos. Por lo tanto, lo factorizamos.
Factorizar (a � b).
Simplificar.
Factores.
� Ahora resuelva el ejercicio 43
EJEMPLO 10 � Área En la figura 5.13, el área del rectángulo grande es 7x(2x � 9),
y el área del rectángulo pequeño es 3(2x � 9). Determine una expresión, en forma fac-
torizada, para calcular la diferencia entre las áreas de estos dos rectángulos.
Solución Para determinar la diferencia entre las áreas, reste el área del rectángulo
pequeño del área del rectángulo grande.
Restar las áreas.
Factorizar (2x � 9).
La diferencia de las áreas para los dos rectángulos es (2x � 9)(7x � 3).
� Ahora resuelva el ejercicio 59
4 Factorizar por agrupación
Cuando un polinomio tiene cuatro términos, se le podría factorizar por agrupación.
Para factorizar por agrupación, quitamoslos factores comunes de grupos de términos.
Este procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 11 � Factorice ax � ay � bx � by.
Solución No hay factor común (diferente de 1) para todos los términos. Sin embar-
go, a es común a los primeros dos términos, y b es común a los últimos dos. Factorice a
de los primeros dos términos y b de los últimos.
Ahora (x � y) es común a ambos términos. Factorice (x � y).
Así, ax � ay � bx � by � (x � y)(a � b) o (a � b)(x � y).
� Ahora resuelva el ejercicio 49
 a 1x + y2 + b 1x + y2 = 1x + y2 1 a + b 2
 a x +
 a y +
 b x +
 b y =
 a 1x + y2 +
 b 1x + y2
 = 12x + 9217x - 32
 7x12x + 92 - 312x + 92
 = 1a + b212x - 32
 = 1a + b213x - 4 - x + 12
 13x - 42 1a + b2 - 1x - 12 1a + b2 = 1a + b2[13x - 42 - 1x - 12]
A � 7x(2x � 9)
A � 3(2x � 9)
FIGURA 5.13
EJEMPLO 12 � Factorice por agrupación x3 � 5x2 � 2x � 10.
Solución No hay factores comunes a los cuatro términos. Sin embargo, x2 es común
a los primeros dos términos, y 2 es común a los últimos dos.
� Ahora resuelva el ejercicio 55
 = 1x - 521x2
+ 22
 x3
- 5x2
+ 2x - 10 = x21x - 52 + 21x - 52
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