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Sección 5.4 Cómo factorizar un monomio de un polinomio y factorización por agrupación 331
En el ejemplo 12, (x2 � 2)(x � 5) también es una respuesta aceptable. ¿Cambiaría
la respuesta del ejemplo 12 si intercambiamos el orden de 2x y �5x2? Inténtelo en el
ejemplo 13.
EJEMPLO 13 � Factorice x3 � 2x � 5x2 � 10.
Solución No hay factor común para los cuatro términos. Factorice x de los primeros
dos términos y �5 de los últimos dos.
Observe que obtuvimos resultados equivalentes en los ejemplos 12 y 13.
� Ahora resuelva el ejercicio 51
S u g e r e n c i a ú t i l
Cuando utilizamos la agrupación para factorizar cuatro términos, si los términos primero y
tercero son positivos debemos factorizar una expresión positiva tanto de los primeros dos
términos como de los segundos dos términos para obtener un factor común para los dos tér-
minos restantes (vea el ejemplo 12). Si el primer término es positivo y el tercero es negativo,
debemos factorizar una expresión positiva de los primeros dos términos y una expresión
negativa de los últimos dos términos para obtener un factor común para los dos términos
restantes (vea el ejemplo 13).
El primer paso para resolver cualquier problema de factorización consiste en de-
terminar si todos los términos tienen un factor común. Si es así, empiece por factorizar
el factor común. Por ejemplo, para factorizar x4 � 5x3 � 2x2 � 10x, primero factoriza-
mos x de cada término. Luego factorizamos los cuatro términos restantes por agrupa-
ción, como se hizo en el ejemplo 12.
Factorizar el MFC, x, de los
cuatro términos.
Factores del ejemplo 12. = x1x - 521x2
+ 22
 x4
- 5x3
+ 2x2
- 10x = x1x3
- 5x2
+ 2x - 102
 = 1x2
+ 221x - 52
 x3
+ 2x - 5x2
- 10 = x1x2
+ 22 - 51x2
+ 22
CONJUNTO DE EJERCICIOS 5.4
Ejercicios de concepto/redacción
1. ¿Cuál es el primer paso en cualquier problema de factori-
zación?
2. ¿Qué es el máximo factor común de los términos de una ex-
presión?
3. a) Explique cómo determinar el máximo factor común de
los términos de un polinomio.ers will vary.
b) Utilizando su procedimiento de la parte a), determine el
máximo factor común del polinomio
c) Factorice el polinomio de la parte b).
4. Determine el MFC de los siguientes términos:
Explique cómo determinó su respuesta.
x4
 y6, x3
 y5, xy6, x2
 y4
6x2
 y5
- 2x3
 y + 12x9
 y3
5. Determine el MFC de los siguientes términos:
Explique cómo determinó su respuesta.
6. Si uno de los términos de un polinomio es también el MFC,
¿qué se escribe en lugar de ese término cuando se factoriza
el MFC? Explique.
7. a) Explique cómo factorizar por agrupación un polinomio
de cuatro términos. will vary.
b) Factorice 6x3 � 2xy3 � 3x2y2 � y5 mediante el procedi-
miento que indicó en la parte a).
8. ¿Cuál es el primer paso para factorizar �x2 � 8x � 15? Ex-
plique su respuesta.
121x - 423, 61x - 426, 31x - 429
Práctica de habilidades
Factorice el máximo factor común.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16. 17.
18. 19. 20.
21. 22. 23.
24. 25. 26. -15y3
 z5
- 28y3
 z6
+ 9xy2
 z2
-22p2
 q2
- 16pq3
+ 26r24m6
+ 8m4
- 4m3
 n
9p4
 q5
 r - 3p2
 q2
 r2
+ 12pq5
 r336xy2
 z3
+ 36x3
 y2
 z + 9x2
 yz80a5
 b4
 c - 16a4
 b2
 c2
+ 24a2
 c
24a2
 b2
+ 16ab4
+ 72ab33x2
 y + 6x2
 y2
+ 3xy-16c5
- 12c4
+ 6c3
-24a7
+ 9a6
- 3a245y12
+ 60y109x4
- 3x3
+ 11x2
12x3
- 8x2
- 6x12y2
- 16y + 286x2
- 12x + 27
2x2
- 4x + 1015p + 257n + 14
332 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
Factorice un factor con un coeficiente negativo.
27. 28. 29.
30. 31. 32.
33. 34. 35.
36.
Factor.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46. 47.
48. 49. 50.
51. 52. 53.
54. 55. 56.
57. 58.
Resolución de problemas
b4
- b3
- b + b2c5
- c4
+ c3
- c2
2r4
- 2r3
- 7r2
+ 7r5a3
+ 15a2
- 10a - 3012x2
+ 9xy - 4xy - 3y2
10m2
- 12mn - 25mn + 30n22z3
+ 4z2
- 5z - 10x3
- 3x2
+ 4x - 12
cx - cy - dx + dyam + an + bm + bn18m2
+ 30m + 9m + 15
8y2
- 4y - 20y + 10a2
+ 3a - 6a - 18x2
+ 4x - 5x - 20
16b - 121b + 42 + 16b - 1212b + 5212a + 421a - 32 - 12a + 4212a - 12
1z + 421z + 32 + 1z - 121z + 321x - 2213x + 52 - 1x - 2215x - 42
4y1y + 12 - 71y + 1227x1x - 42 + 21x - 422
y1b - 22 - 51b - 22x1a + 32 + 11a + 32
-20x5
 y3
 z - 4x4
 yz2
- 8x2
 y5
-a4
 b2
 c + 5a3
 bc2
+ a2
 b-5p6
 q3
- 10p4
 q4
+ 25pq7
-6r4
 s3
+ 4r2
 s4
+ 2rs5
-12t2
+ 48t - 60-3r2
- 6r + 9-y5
- 6y2
- 4
-x2
- 4x + 22-20a - 30-8x + 4
Área En los ejercicios 59 a 62, A representa una expresión para
el área de la figura. Determine una expresión, en forma factorizada,
para calcular la diferencia entre las áreas de las figuras geométricas.
Vea el ejemplo 10.
59.
60.
61.
62.
Volumen En los ejercicios 63 y 64, V representa una expresión
para el volumen de la figura. Determine una expresión, en forma
factorizada, para calcular la diferencia entre los volúmenes de los
sólidos geométricos.
63.
64.
V � 18x2 � 24x V � 3x � 4
V � 9x(3x � 2) V � 5(3x � 2)
A � 6x2 � 2x A � 3x � 1
A � 3x2 � 12x
A � 2x � 8
A � 2(3x � 4)A � 7x(3x � 4)
65. Bengala Cuando se dispara hacia arriba una bengala con una
velocidad de 80 pies por segundo, su altura, h, en pies, respec-
to del piso a los t segundos, puede determinarse mediante la
función h(t) � �16t2 � 80t.
a) Determine la altura de la bengala tres segundos después
de ser disparada.6 ft
b) Exprese la función con el lado derecho en forma factori-
zada.
c) Evalúe h(3) usando la forma factorizada de la parte b). ft
66. Tiro en movimiento Cuando un basquetbolista lanza un tiro
mientras salta, la altura, h, en pies, del balón por encima del
piso en cualquier instante t, bajo ciertas circunstancias, puede
determinarse mediante la función h(t) � �16t2 � 20t � 8.
a) Determine la altura del balón en el segundo 1.ft
b) Exprese la función con el lado derecho en forma facto-
rizada.
c) Evalúe h(1) utilizando la forma factorizada en la parte b).
67. Pista de patinaje El área de la pista de patinaje con extre-
mos semicirculares que se muestra es A � pr2 � 2rl.
a) Determine A cuando r � 20 pies y l � 40 pies.
b) Escriba el área, A, en forma factorizada.
l
r r
PATINAJE
AMÉRICA
Sección 5.4 Cómo factorizar un monomio de un polinomio y factorización por agrupación 333
c) Determine A cuando r � 20 pies y l � 40 pies; utilice la
forma factorizada que indicó en la parte b).
68. Área La fórmula para determinar el área de un trapecio puede
escribirse como Exprese esta fórmula
en forma factorizada.
69. Compra de una computadora Fred Yang acaba de comprar
una computadora en $975 mediante un préstamo sin interés.
Fred debe pagar $75 cada mes hasta que se liquide la compu-
tadora. El monto adeudado de la computadora es una fun-
ción del tiempo, donde.
y t es el número de meses desde que Fred compró la compu-
tadora.
a) Determine el monto adeudado 6 meses después de que
Fred compró la computadora.
b) Escriba la función en forma factorizada.
c) Utilice el resultado de la parte b) para determinar el
monto que se adeuda 6 meses después de que Fred com-
pró la computadora.5
70. Salario El 2 de enero de 2006, Jill Ferguson inició un nuevo
empleo con un salario anual de $33,000. Su salario se incre-
mentará $1500 cada año. Así, su salario es una función del
número de años que ella trabaja, donde
y n es los años desde 2006.
a) Determine el salario de Jill en 2010.00
b) Escriba la función en forma factorizada.
c) Utilice el resultado de la parte b) para determinar el sala-
rio de Jill en 2010.
71. Precio de automóviles Cuando salieron a la venta los auto-
móviles modelo 2006, su precio de lista era superior en 6%
respecto del de los modelos 2005. Más tarde, el precio de to-
dos los automóviles 2006 se redujo en 6%. El precio de venta
puede representarse mediante (x � 0.06x) � 0.06(x � 0.06x),
donde x es el precio de lista del modelo 2005.
a) Factorice (x � 0.06x) de cada término.
b) ¿El precio es mayor o menor que el precio del modelo
2005?
S1n2 = 33,000 + 1500n
A1t2 = 975 - 75t
A =
1
2
 hb1 +
1
2
 hb2 .
Lea el ejercicio 71 antes de resolver los ejercicios 72 a 74.
72. Precio de un vestido El precio de un vestido se reduce en10%, y luego se le aplica un nuevo descuento de 10%.
a) Escriba una expresión para calcular el precio final del
vestido.
b) Compare el precio final con el precio normal del vestido;
¿cómo son? Utilice factorización para obtener su res-
puesta.
73. Precio de una segadora El precio de una segadora aumentó
15%. Más tarde, en una venta especial, su precio se redujo en
20%.
a) Escriba una expresión para calcular el precio final de la
segadora.
b) Compare el precio final con el precio normal; ¿cómo
son? Utilice factorización para obtener su respuesta.
74. Determinación de precio ¿En cuál de las siguientes partes,
a) o b), el precio final será menor y por cuánto?
a) Disminuya el precio de un artículo en 6% y luego au-
méntelo en 8%.
b) Aumente el precio de un artículo en 6% y luego disminú-
yalo en 8%.
Factorice.
75. 76.
77. 78.
79. 80. 6a2
- a2
 c + 18a - 3ac + 6ab - abcax2
+ 2ax - 3a + bx2
+ 2bx - 3b
121p + 2q24 - 401p + 2q23 + 121p + 2q224x21x - 323 - 6x1x - 322 + 41x - 32
4p12r - 327 - 312r - 3265a13x + 225 + 413x + 224
Factorice. Suponga que todas las variables de los exponentes representan números naturales.
81. 82.
83. 84.
85. 86. 6ak
 bk
- 2ak
 ck
- 9bk
+ 3ckar
 br
+ cr
 br
- ar
 dr
- cr
 dr
ry + 4
+ ry + 3
+ ry + 23x4m
- 2x3m
+ x2m
x2mn
+ x6mnx6m
- 2x4m
87. a) yes
b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser el
valor de 6x3 � 3x2 � 9x � [3x(2x2 � x � 3)] para cual-
quier valor de x? Explique.
c) Seleccione un valor para x y evalúe la expresión de la par-
te b). ¿Obtuvo lo que esperaba? Si no, explique por qué.
6x3
- 3x2
+ 9x = 3x12x2
- x + 32? 88. a) Determine si la siguiente factorización es correcta.
yes
b) Si la factorización anterior es correcta, ¿cuál debe ser el
valor de 3(x � 2)2 � 6(x � 2) � [3(x � 2)(x � 4)] para
cualquier valor de x? Explique.
c) Seleccione un valor para x y evalúe la expresión de la par-
te b). ¿Obtuvo lo que esperaba? Si no, explique por qué.
 = 31x - 221x - 42
 31x - 222 - 61x - 22 = 31x - 22[1x - 22 - 2]
334 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
Ejercicios de repaso acumulativo
[1.4] 91. Evalúe
[2.1] 92. Resuelva
[3.1] 93. Grafique y = x2
- 1.
312x - 42 + 31x + 12 = 9.
a ` 1
2
` - ` - 
1
3
` b 2
- ` 1
3
` # ` - 
2
5
`
. [4.3] 94. Ejercicio Jason Richter hace ejercicio todos los días:
camina a 3 mph y luego trota a 5 mph. Si tarda 0.9 ho-
ras en recorrer un total de 3.5 millas, ¿cuánto tiempo
trota?
[5.2] 95. Multiplique 17a - 321-2a2
- 4a + 12.
Examen de mitad de capítulo: 5.1-5.4
Para determinar su comprensión del material que se ha abordado hasta este momento, resuelva este pequeño examen. Las respuestas, y
la sección en donde se trató el material por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repase el material de las preguntas que
respondió de forma incorrecta.
1. Escriba el polinomio �7 � 2x � 5x4 � 1.5x3, en orden des-
cendente. Proporcione el grado de este polinomio.
2. Evalúe dado que P(x) � 8x2 � 7x � 3.
3. Simplifique
4. Reste de
5. Determine una expresión polinomial, en forma simplificada,
para el perímetro del triángulo.
Multiplique.
6.
7.
8.
9.
10.
11. Escriba x2 � 14x � 49 como el cuadrado de un binomio. Ex-
plique cómo determinó su respuesta.
14m - 3n213m2
+ 2mn - 6n22
a8p -
1
5
b a8p +
1
5
b
13x + 1212x3
- x2
+ 5x + 92
17x - 6y213x + 2y2
2x513xy4
+ 5x2
- 7x3
 y2
2x2 � x � 4 3x2 � 2x � 3
4x2 � 5x � 6
1-9x2
 y + 4xy2.17x2
 y - 10xy2
12n2
- n - 122 + 1-3n2
- 6n + 82.
Pa1
2
b
Divida.
12.
13.
14.
Utilice división sintética para dividir.
15.
16.
17. Factorice el máximo factor común en
32b3c3 � 16b2c � 24b5c4.
Factorice completamente.
18.
19.
20. 5a13x - 225 - 413x - 226
2b4
- b3
 c + 4b3
 c - 2b2
 c2
7b12x + 92 - 3c12x + 92
3a4
- 2a3
- 14a2
+ 11a + 2
a - 2
x2
- x - 72
x + 8
2y3
- y2
+ 7y - 10
2y - 3
12x2
+ 23x + 7
4x + 1
4x4
 y3
+ 6x2
 y2
- 11x
2x2
 y2
89. Considere la factorización 8x3 � 16x2 � 4x � 4x(2x2 � 4x � 1).
a) Si hacemos
y graficamos cada función, ¿qué debería suceder? Expli-
que. get the same graph
b) En su calculadora graficadora, grafique y1 y y2, cómo se
dieron en la parte a).hing answer sección.
c) ¿Obtuvo los resultados que esperaba?nswers will vary.
d) Al verificar un procedimiento de factorización mediante
esta técnica, ¿qué significa si las gráficas no se interse-
can? Explique. factoring is not correct
 y2 = 4x12x2
- 4x - 12
 y1 = 8x3
- 16x2
- 4x
90. Considere la factorización 2x4 � 6x3 � 8x2 � 2x2(x2 � 3x � 4).
a) Introduzca
en su calculadora.
b) Si utiliza la característica TABLE de su calculadora, al
comparar la tabla de valores para y1 con la tabla de valo-
res para y2, ¿qué esperaría? Explique. be the same.
c) Utilice la característica TABLE para mostrar los valores
de y1 y y2 para valores de x de 0 a 6.phing answer sección.
d) ¿Obtuvo los resultados que esperaba?will vary.
e) Cuando comprueba un proceso de factorización utili-
zando la característica TABLE, ¿qué significa que los
valores de y1 y y2 sean diferentes?ing is not correct
 y2 = 2x21x2
- 3x - 42
 y1 = 2x4
- 6x3
- 8x2
Sección 5.5 Factorización de trinomios 335
5.5 Factorización de trinomios
1 Factorizar trinomios con la
forma x2 � bx � c.
2 Factorizar un factor común.
3 Factorizar trinomios con la
forma ax2 � bx � c, a Z 1,
mediante prueba y error.
4 Factorizar trinomios con la
forma ax2 � bx � c, a Z 1
mediante agrupación.
5 Factorizar trinomios
mediante sustitución.
1 Factorizar trinomios con la forma x2 � bx � c
En esta sección aprenderemos a factorizar trinomios con la forma ax2 � bx � c, a Z 0.
Observe que a representa el coeficiente del término x al cuadrado, b representa el
coeficiente del término x, y c representa el término constante.
Trinomios Coeficientes
a = - 
1
2
, b = -4, c = 3- 
1
2
 x2
- 4x + 3
a = 3, b = 2, c = -53x2
+ 2x - 5
Para factorizar trinomios con la forma x2 � bx � c (nota: a � 1)
1. Determine dos números (o factores) cuyo producto sea c y cuya suma sea b.
2. Los factores del trinomio tendrán la forma
Un factor
determinado
en el paso 1
qq
1x + 21x + 2
Otro factor
determinado
en el paso 1
Si los números determinados en el paso 1 son, por ejemplo, 3 y �5, los factores se escri-
birían (x � 3)(x � 5). Este procedimiento se ilustra en los ejemplos siguientes.
EJEMPLO 1 � Factorice x2 � x � 12.
Solución a � 1, b � �1, c � �12. Debemos determinar dos números cuyo produc-
to sea c, que es –12, y cuya suma es b, que es �1. Iniciamos listando los factores de �12
para intentar encontrar un par cuya suma sea �1.
Factores de �12 Suma de factores
Los números que estamos buscando son 3 y –4, ya que su producto es �12 y su suma es
�1. Ahora factorizamos el trinomio utilizando estos números.
� Ahora resuelva el ejercicio 13
Observe que, en el ejemplo 1, listamos todos los factores de –12. Sin embargo, des-
pués de que se han encontrado dos factores cuyo producto es c y cuya suma es b, no
hay necesidad de listar los demás factores. Los factores se listaron para mostrar, por
ejemplo, que (2)(�6) es un conjunto de factores diferente que (�2)(6). Observe que
conforme el factor positivo aumenta, también lo hace la suma de los factores.
Otro factor
de - 12
Un factor
de - 12
ææ
()* ()*
x2
- x - 12 = 1x + 321x - 42
 12 + 1-12 = 1111221-12
 6 + 1-22 = 41621-22
 4 + 1-32 = 11421-32
 
 3 + 1-42 = -11321-42
 2 + 1-62 = -41221-62
 1 + 1-122 = -111121-122
336 Capítulo 5 Polinomios y funciones polinomiales
S u g e r e n c i a ú t i l
Considere los factores (2)(�6) y (�2)(6) y sus sumas.
Factores Suma de factores
Observe que si se cambia el signo de cada número del producto, el signo de la suma de los
factores se modifica. Podemos utilizar este hecho para determinar con más rapidez los fac-
tores que estamos buscando. Si al buscar una suma específica obtiene el opuesto de esa su-
ma, cambie el signo de cada factor para obtener la suma que está buscando.
EJEMPLO 2 � Factorice p2 � 7p � 6.
Solución Debemos determinar dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea�7. Puesto que la suma de dos números negativos es un número negativo, y el produc-
to de dos números negativos es un número positivo, ambos números deben ser negati-
vos. Los factores negativos de 6 son (�1)(�6) y (�2)(�3). Como se muestra a
continuación, los números que estamos buscando son �1 y �6.
Factores de 6 Suma de los factores
Por lo tanto,
Como los factores pueden colocarse en cualquier orden, (p � 6)(p � 1) también es una
respuesta aceptable.
� Ahora resuelva el ejercicio 23
S u g e r e n c i a ú t i l
Comprobación de la factorización
Las respuestas a problemas de factorización pueden verificarse multiplicando los factores
que se obtuvieron. Si la factorización es correcta, usted obtendrá el polinomio con el que
inició. Para comprobar el ejemplo 2, multiplicaremos los factores utilizando el método
PIES.
Como el producto de los factores es el trinomio con el que empezamos, nuestra factoriza-
ción es correcta. No olvide verificar siempre su factorización.
El procedimiento utilizado para factorizar trinomios con la forma x2 � bx � c
puede utilizarse con otros trinomios, como en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 3 � Factorice x2 � 2xy � 15y2.
Solución Debemos determinar dos números cuyo producto sea �15 y cuya suma
sea 2. Los dos números son 5 y �3.
Factores de �15 Suma de los factores
Como el último término del trinomio contiene a y2, el segundo término de cada factor
debe contener a y.
Comprobación
� Ahora resuelva el ejercicio 75
 = x2
+ 2xy - 15y2
 1x + 5y21x - 3y2 = x2
- 3xy + 5xy - 15y2
 x2
+ 2xy - 15y2
= 1x + 5y21x - 3y2
5 + 1-32 = 251-32
1p - 121p - 62 = p2
- 6p - p + 6 = p2
- 7p + 6
p2
- 7p + 6 = 1p - 121p - 62
-2 + 1-32 = -51-221-32
-1 + 1-62 = -71-121-62
 -2 + 6 = 4-2162
 2 + 1-62 = -421-62
Sección 5.5 Factorización de trinomios 337
2 Factorizar un factor común
El primer paso para factorizar cualquier trinomio consiste en determinar si los tres tér-
minos tienen un factor común. Si es así, factorice ese factor común y luego el polinomio
restante.
EJEMPLO 4 � Factorice 3x4 � 6x3 � 72x2.
Solución El factor 3x2 es común a los tres términos del trinomio. Primero factorícelo.
Factorizar 3x2.
El término 3x2 que se factorizó es parte de la respuesta, pero ya no desempeña papel
alguno en el procedimiento de factorización.Ahora continúe factorizando x2 � 2x � 24.
Determine dos números cuyo producto sea �24 y cuya suma sea �2. Los números son
�6 y 4.
Por lo tanto,
� Ahora resuelva el ejercicio 33
3 Factorizar trinomios con la forma ax2 � bx � c, a Z 1,
mediante prueba y error
A continuación analizaremos algunos ejemplos de factorización de trinomios con la
forma
Se ilustrarán dos métodos para factorizar este tipo de trinomios. El primer método,
llamado de prueba y error, implica ensayar diferentes combinaciones hasta encontrar
la correcta. El segundo método hace uso de la factorización por agrupación, un proce-
dimiento que se presentó en la sección 5.4.
Analicemos primero el método de prueba y error para factorizar trinomios. En
ocasiones, a este procedimiento se le denomina el método PIES (o PIES inverso). Para
facilitar nuestra explicación, multiplicaremos (2x � 3)(x � 1) mediante el método
PIES.
Por lo tanto, si factoriza el trinomio 2x2 � 5x � 3 se dará cuenta de que el produc-
to de los primeros términos de los factores debe ser 2x2, el producto de los segundos
términos debe ser 3, y la suma de los productos de los términos externos e internos de-
be ser 5x.
Para factorizar 2x2 � 5x � 3, empezamos como se muestra aquí.
El producto de los primeros términos es 2x2.
Ahora completamos los segundos términos utilizando enteros positivos cuyo producto
sea 3. Sólo tomaremos en cuenta enteros positivos, ya que el producto de los últimos
términos es positivo y la suma de los productos de los términos externos e internos
también lo es. Las dos posibilidades son
12x + 121x + 32
12x + 321x + 12 r
2x2
+ 5x + 3 = 12x 21x 2
P I E S
Suma de los productos de los 
términos externos e internos
Producto de segundos términos
Producto de primeros términos
12x + 321x + 12 = 2x1x2 2x112+ 31x2 + 3112 = 2x2
+ 5x + 3+
ax2
+ bx + c, a Z 1
3x4
- 6x3
- 72x2
= 3x21x - 621x + 42.
3x21x2
- 2x - 242 = 3x21x - 621x + 42
3x4
- 6x3
- 72x2
= 3x21x2
- 2x - 242
El producto de los segundos
términos es 3.
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