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388 Capítulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
CONJUNTO DE EJERCICIOS 6.1
Ejercicios de concepto/redacción
1. a) ¿Qué es una expresión racional?
b) Proporcione su propio ejemplo de una expresión racional.
2. Explique por qué no es una expresión racional.
3. a) ¿Qué es una función racional?
b) Proporcione su propio ejemplo de una función racional.
4. Explique por qué no es una función racional.
5. a) ¿Qué es el dominio de una función racional?
b) ¿Cuál es el dominio de
6. a) Explique cómo simplificar una expresión racional.
b) Mediante el procedimiento que estableció en la parte a),
simplifique
6x2
+ 19x + 10
4x2
- 25
f1x2 =
3
x2
- 25
?
f1x2 =
21x + 4
1x
x + 3
7. a) Explique cómo simplificar una expresión racional en
donde el numerador y del denominador sólo difieren en
el signo.
b) Mediante el procedimiento que explicó en la parte a),
simplifique
8. a) Explique cómo multiplicar expresiones racionales.
b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a), multi-
plique
1
9. a) Explique cómo dividir expresiones racionales.
b) Mediante el procedimiento indicado en la parte a), divida
10. Considere ¿Será f(x) � 1 para todos los valores
de x? no; not 0
f1x2 =
x
x
.
r + 2
r2
+ 9r + 18
,
1r + 222
r2
+ 5r + 6
6a2
+ a - 1
3a2
+ 2a - 1
#
3a2
+ 4a + 1
6a2
+ 5a + 1
3x2
- 2x - 7
-3x2
+ 2x + 7
EJEMPLO 9 � Divida
Solución
Invierta el divisor.
Factorice.
Factorice una vez
más; divida entre los
factores comunes.
� Ahora resuelva el ejercicio 69
S u g e r e n c i a ú t i l Consejo de estudio
A lo largo de este capítulo necesitaremos factorizar polinomios. Es importante que usted
entienda las técnicas de factorización que se trataron en el capítulo 5. Si tiene dificultad al
factorizar, repase ahora ese tema.
 =
1x2
+ y221x - y22
x
 =
1x2
+ y22 1x + y2 1x - y2 
 x - y 
#
1x - y21x - y2
x 1x + y2 
 =
1x2
+ y221x2
- y22
x - y
#
1x - y21x - y2
x1x + y2
 =
x4
- y4
x - y
#
x2
- 2xy + y2
x2
+ xy
 
x4
- y4
x - y
,
x2
+ xy
x2
- 2xy + y2
x4
- y4
x - y
,
x2
+ xy
x2
- 2xy + y2 .
Práctica de habilidades
Determine los valores que deben excluirse en las expresiones siguientes.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
x2
- 36
x2
+ 36
x2
+ 81
x2
- 81
-2
49 - r2
x - 3
x2
+ 12
2
1x - 622
4
2x2
- 15x + 25
x + 2
x2
- 64
4x
5x - 20
Sección 6.1 Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones racionales 389
Determine el dominio de cada función.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28.
Simplifique cada expresión racional.
29. 30. 31.
32. 33. x 34.
35. 36. 37.
38. 39. 40.
41. 42. 43.
44. 45. 46.
47. 48.
Multiplique o divida como se indica. Simplifique todas las respuestas.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68. 1
69. 70.
71. 72.
r2
- 16
r3
- 64
,
r2
+ 8r + 16
r2
+ 4r + 16
1a - b23
a3
- b3
#
a2
- b2
1a - b22
8a3
- 1
4a2
+ 2a + 1
,
a2
- 2a + 1
1a - 122
2x4
+ 4x2
6x2
+ 14x + 4
,
x2
+ 2
3x2
+ x
1x2
- y222
1x2
- y223 ,
x2
+ y2
x4
- y4
x2
- y2
x2
- 2xy + y2 ,
1x + y22
1x - y22
x4
- y8
x2
+ y4 ,
x2
- y4
x2
x + 2
x3
- 8
#
1x - 222
x2
+ 4
6x3
- x2
- x
2x2
+ x - 1
#
x2
- 1
x3
- 2x2
+ x
3x2
- x - 4
4x2
+ 5x + 1
#
2x2
- 5x - 12
6x2
+ x - 12
2x2
+ 8xy + 8y2
x2
+ 4xy + 4y2
#
2x2
+ 7xy + 6y2
4x2
+ 14xy + 12y2
a - b
9a + 9b
,
a2
- b2
a2
+ 2a + 1
x + 1
x2
- 17x + 30
,
8x + 8
x2
+ 7x - 18
x2
+ 12x + 35
x2
+ 4x - 5
,
x2
+ 3x - 28
7x - 7
1x - 32 ,
x2
+ 3x - 18
x3
r2
+ 10r + 21
r + 7
,
1r2
- 5r - 242
r3
p2
+ 7p + 10
p + 5
#
1
p + 2
x2
+ 3x - 10
4x
#
x2
- 3x
x2
- 5x + 6
7a + 7b
5
,
a2
- b2
a - b
3 - r
r - 3
#
r - 9
9 - r
10m4
49x5
 y7 ,
25m5
21x12
 y5
9x3
4
,
3
16y2
32x2
y4
#
5x3
8y2
2x
5y
#
y3
6
a3
- b3
a2
- b2
x2
- x - 12
x3
+ 27
xy - yw + xz - zw
xy + yw + xz + zw
a2
+ 7a - ab - 7b
a2
- ab + 5a - 5b
12x - 121x + 42 + 12x - 121x + 12
312x - 12
1x + 621x - 32 + 1x + 621x - 22
21x + 62
64x3
- 27z3
3z - 4x
8x3
- 125y3
2x - 5y
y2
- 10yz + 24z2
y2
- 5yz + 4z2
a2
- 3a - 10
a2
+ 5a + 6
4x2
- 9
2x2
- x - 3
p2
- 2p - 24
6 - p
4x2
- 16x4
+ 6x5
 y
14x3
 y2
5r - 8
8 - 5r
4x2
 y + 12xy + 18x3
 y3
10xy2
x3
- x
x2
- 1
x2
+ 7x
x2
- 2x
5x2
- 20xy
15x
x2
- 5x
x
x - xy
x
k1b2 =
b2
- 36
b2
+ 36
m1a2 =
a2
+ 36
a2
- 36
h1x2 =
x3
- 64x
x2
+ 81
g1x2 =
x2
- x + 8
x2
+ 4
f1x2 =
10 - 3x
x3
+ 8x
f1a2 =
3a2
- 6a + 4
2a2
+ 3a - 2
y =
9
x2
+ 4x - 21
y =
5
x2
+ x - 6
f1z2 =
3
-18z + 9
f1p2 =
p + 1
p - 2
390 Capítulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
73. 74.
75. 76.
77. 78.
Resolución de problemas
x3
- 4x2
+ x - 4
x5
- x4
+ x3
- x2
#
2x3
+ 2x2
+ x + 1
2x3
- 8x2
+ x - 4
3r2
+ 17rs + 10s2
6r2
+ 13rs - 5s2 ,
6r2
+ rs - 2s2
6r2
- 5rs + s2
2p2
+ 2pq - pq2
- q3
p3
+ p2
+ pq2
+ q2 ,
p3
+ p + p2
 q + q
p3
+ p + p2
+ 1
ac - ad + bc - bd
ac + ad + bc + bd
#
pc + pd - qc - qd
pc - pd + qc - qd
2x3
- 7x2
+ 3x
x2
+ 2x - 3
#
x2
+ 3x
1x - 322
4x + y
5x + 2y
#
10x2
- xy - 2y2
8x2
- 2xy - y2
79. Construya una expresión racional que no esté definida en
x � 2 y x � �3. Explique cómo determinó su respuesta.
80. Construya una expresión racional que no esté definida en
x � 4 y x � �5. Explique cómo determinó su respuesta.
81. Considere la función racional Explique por qué
esta función nunca puede ser igual a 0.
82. Considere la función racional Explique por
qué esta función nunca puede ser igual a 0.
83. Considere la función racional ¿Para cuáles
valores de x, si los hay, esta función a) es igual a 0? b) no es-
tá definida? Explique.
f1x2 =
x - 4
x2
- 36
.
g1x2 =
2
x + 3
.
f1x2 =
1
x
.
84. Considere la función ¿Para cuáles valores
de x, si los hay, esta función a) es igual a 0; b) no está defini-
da? Explique.
85. Proporcione una función que no esté definida en x � 3 y
x � �1, y que tenga un valor de 0 en x � 2. Explique cómo
determinó su respuesta.
86. Proporcione una función que no esté definida en x � �4 y
x � �2, y que tenga un valor de 0 en x � 5. Explique cómo
determinó su respuesta.
f1x2 =
x - 2
x2
- 81
.
Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó su
respuesta.
87. 88.
89. 90.
Determine el polinomio que debe colocarse en el área sombreada para obtener un enunciado verdadero. Explique cómo determinó su
respuesta.
91. 92.
93. 94.
4r2
- r - 18
........
,
4r3
- 9r2
6r2
- 9r + 3
=
31r - 12
r2
x2
- 9
2x2
+ 3x - 2
,
2x2
- 9x + 9
.........
=
x + 3
2x - 1
x2
- 4
1x + 222 #
2x2
+ x - 6
........
=
x - 2
2x + 5
x2
- x - 12
x2
+ 2x - 3
#
........ 
x2
- 2x - 8
= 1
......... 
6p2
+ p - 15
=
2p - 1
2p - 3
y2
- y - 20
........
=
y + 4
y + 1
..... 
3x + 2
= x - 3
......... 
x2
+ 2x - 15
=
1
x - 3
95. Área Considere el siguiente rectángulo. Su área es
3a2 � 7ab � 2b2, y su longitud es 2a � 4b. Determine su ancho,
w, en términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud.
w
2a � 4b
96. Área Considere el siguiente rectángulo. Su área es
a2 � 2ab � b2, y su longitud es 3a � 3b. Determine su ancho,
w, en términos de a y b, dividiendo su área entre su longitud.
w
3a �3b
97. Área Considere el siguiente triángulo. Si su área es
a2 � 2ab � 3b2 y su base es a � 3b, determine su altura, h.
Utilice la fórmula área � (base)(altura).
h
a � 3b
1
2
 
98. Área Considere el siguiente trapecio.Si su área es a2 � 2ab � b2
determine su altura, h. Utilice la fórmula 
h
b
a
área =
1
2
 h1a + b2.
Sección 6.1 Dominios de funciones racionales y multiplicación y división de expresiones racionales 391
Realice cada operación indicada.
99. 100.
101. 102. 1
103. 104.
Simplifique.
105. 106.
En los ejercicios 107 a 110,
a) Determine el dominio de la función.
b) Grafique la función en modo de conexión.ee graphing answer sección.
c) ¿La función crece, decrece o permanece igual conforme x se aproxima a 2, acercándose a 2 por el lado izquierdo?
d) ¿La función crece, decrece o permanece igual conformex se aproxima a 2, acercándose a 2 desde el lado derecho?
m2x
- mx
- 2
m2x
- 4
x5y
+ 3x4y
3x3y
+ x4y
x-3
1a - b2r ,
x-5
1a - b2r + 2
1x - p2n
x-2 ,
1x - p22n
x-6
x213x - y2 - 5x13x - y2 - 2413x - y2
x213x - y2 - 9x13x - y2 + 813x - y2 #
x - 1
x + 3
5x21x - 12 - 3x1x - 12 - 21x - 12
10x21x - 12 + 9x1x - 12 + 21x - 12 #
2x + 1
x + 3
¢ a2
- b2
2a2
- 3ab + b2
#
2a2
- 7ab + 3b2
a2
+ ab
≤ ,
ab - 3b2
a2
+ 2ab + b2¢2x2
- 3x - 14
2x2
- 9x + 7
,
6x2
+ x - 15
3x2
+ 2x - 5
≤ #
6x2
- 7x - 3
2x2
- x - 3
107. f1x2 =
1
x - 2
108. f1x2 =
x
x - 2
109. f1x2 =
x2
x - 2
110.
d) same
f1x2 =
x - 2
x - 2
c) Trace la gráfica de Considere qué le sucede a 
la función conforme x se aproxima a 0, tanto por la iz-
quierda como por la derecha.
d) ¿Esta gráfica puede tener un valor de 0? Explique su
respuesta.erator can never be 0
f1x2 =
1
x
.111. Con base en la función racional
a) Determine el dominio de la función.
b) Complete la tabla siguiente.
x 0.01 0.1 0.5 1 10
y
-0.01-0.1-0.5-1-10
f1x2 =
1
x
.
Actividad en grupo
c) Comparen sus respuestas a la parte b), y pónganse de
acuerdo acerca de cuáles son los valores correctos de la
tabla.
d) Tracen en grupo la gráfica de ¿La fun-
ción está definida cuando x � 2?
e) ¿Esta gráfica puede tener algún valor de 0? Si es así,
¿para qué valor o valores de a es f(a) � 0?
f1x2 =
x2
- 4
x - 2
.
112. Consideren la función racional
a) Determinen en equipo su dominio.
b) De manera individual cada miembro del grupo comple-
te la siguiente tabla para la función.
x 0 1 1.9 1.99 2.01 2.1 3 4 5 6
y
-1-2
f1x2 =
x2
- 4
x - 2
.
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 113. Despeje y de 6(x � 2) � 6y � 12x.
[2.5] 114. Resuelva y proporcione la respuesta en
notación de intervalo.
[2.6] 115. Resuelva ` 2x - 4
12
` = 5.
4 +
4x
3
6 6
[3.2] 116. Sea f(x) � |6 � 3x| � 2. Determine f(1.3).
[4.1] 117. Resuelva el sistema de ecuaciones.
[5.6] 118. Factorice 9x2 � 6xy � y2 � 4.
 2x + 5y = -1
 3x + 4y = 2
392 Capítulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
6.2 Suma y resta de expresiones racionales
1 Sumar y restar expresiones
con un denominador
común.
2 Determinar el mínimo
común denominador
(MCD).
3 Sumar y restar expresiones
sin denominadores
comunes.
4 Analizar una aplicación de
expresiones racionales.
1 Sumar y restar expresiones con un
denominador común
Al sumar (o restar) dos expresiones racionales con un común denominador, sumamos
(o restamos) los numeradores y conservamos el denominador común.
Para sumar o restar expresiones racionales
Para sumar o restar expresiones racionales, utilice las siguientes reglas.
SUMA RESTA
Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común.
1. Sume o reste los numeradores, tal como indican las reglas anteriores.
2. Si es posible, simplifique las expresiones.
a
c
-
b
c
=
a - b
c
, c Z 0
a
c
+
b
c
=
a + b
c
, c Z 0
EJEMPLO 1 � Sume.
a) b)
Solución
a) Como los denominadores son iguales, sumamos los numeradores y conservamos el
denominador común.
Sumar numeradores.
b) Sumar numeradores.
Reducir términos
semejantes.
Factorizar; dividir
entre los factores
comunes.
� Ahora resuelva el ejercicio 11
Al restar expresiones racionales, asegúrese de restar todo el numerador de la frac-
ción. Lea con atención el recuadro siguiente. Cómo evitar errores comunes.
 =
x + 2
x - 3
 =
 1x + 52 1x + 22
 1x + 52 1x - 32
 =
x2
+ 7x + 10
1x + 521x - 32
 
x2
+ 3x - 2
1x + 521x - 32 +
4x + 12
1x + 521x - 32 =
x2
+ 3x - 2 + 14x + 122
1x + 521x - 32
 =
x - 1
x + 6
 
3
x + 6
+
x - 4
x + 6
=
3 + 1x - 42
x + 6
x2
+ 3x - 2
1x + 521x - 32 +
4x + 12
1x + 521x - 32
3
x + 6
+
x - 4
x + 6
Sección 6.2 Suma y resta de expresiones racionales 393
Cómo evitar errores comunes
En ocasiones, los estudiantes cometen el error siguiente. Estudie la información que se
presenta para evitarlo.
¿Cómo simplificaría este problema?
CORRECTO INCORRECTO
El procedimiento del lado derecho es incorrecto, ya que hay que restar todo el numerador,
2x � 1, de 4x, y no sólo 2x. Observe que debe cambiar el signo de cada término del nume-
rador de la fracción restada (no sólo el signo del primer término). Observe que, de acuerdo
con la propiedad distributiva, �(2x � 1) � �2x � 1.
 =
2x - 1
x - 2
 =
2x + 1
x - 2
 =
4x - 2x - 1
x - 2
 
4x
x - 2
-
2x + 1
x - 2
=
4x - 2x + 1
x - 2
 
4x
x - 2
-
2x + 1
x - 2
=
4x - 12x + 12
x - 2
4x
x - 2
-
2x + 1
x - 2
EJEMPLO 2 � Reste
Solución Restar numeradores.
Reducir términos
semejantes.
Factorizar �1.
Factorizar; dividir entre
los factores comunes.
� Ahora resuelva el ejercicio 13
2 Determinar el mínimo común denominador (MCD)
Para sumar o restar dos fracciones numéricas con denominadores distintos, primero
debemos obtener un denominador común. Para obtener el denominador común,
muchas veces es necesario escribir los valores numéricos como productos de números
primos. Un número primo es un número mayor que 1 que sólo tiene dos divisores,
él mismo y 1.Algunos números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17.A continuación se mues-
tra cómo los números 36 y 48 se escriben como un producto de números primos:
 48 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 = 24 # 3
 36 = 2 # 2 # 3 # 3 = 22 # 32
 = -1a + 12 o -a - 1
 =
- 1a - 62 1a + 12
 a - 6 
 =
-1a2
- 5a - 62
a - 6
 =
-a2
+ 5a + 6
a - 6
 =
a - a2
+ 4a + 6
a - 6
 
a
a - 6
-
a2
- 4a - 6
a - 6
=
a - 1a2
- 4a - 62
a - 6
a
a - 6
-
a2
- 4a - 6
a - 6
.
394 Capítulo 6 Expresiones racionales y ecuaciones
Para determinar el mínimo común denominador (MCD)
de expresiones racionales
1. Escriba como producto de números primos cada coeficiente no primo (distinto de 1)
de los monomios del denominador.
2. Factorice por completo cada denominador. Cualquier factor que aparezca más de
una vez debe expresarse como potencia. Por ejemplo, (x � 5)(x � 5) debe expresarse
como (x � 5)2.
3. Liste todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparezcan en cualquiera de los
denominadores. Cuando el mismo factor aparezca en más de un denominador, escrí-
balo con la mayor potencia.
4. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores encontrados en
el paso 3.
Para determinar el mínimo común denominador de una expresión racional, po-
dríamos necesitar escribir coeficientes numéricos como productos de números primos.
EJEMPLO 3 � Determine el MCD de cada expresión.
a) b) c) d)
Solución
a) Los factores que aparecen en el denominador son 5 y x. Liste cada factor con su
máxima potencia. El MCD es el producto de estos factores.
b) Los coeficientes numéricos escritos como productos de números primos son
y Los factores variables que aparecen son x y y. Utilizamos
las máximas potencias de los factores para obtener el MCD.
c) Los factores son x y x � 5. Observe que la x del segundo denominador, x � 5, no
es un factor del denominador, ya que la operación es una suma y no una multipli-
cación.
d) Los factores son x y x � 1. La mayor potencia de x es 2, y la mayor potencia de
x � 1 es 3.
� Ahora resuelva el ejercicio 31
En ocasiones es necesario factorizar todos los denominadores para obtener el MCD.
Esto se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 4 � Determine el MCD de cada expresión.
a) b)
Solución
a) Factorice ambos denominadores.
Los factores son 2, x y x �2. Multiplique los factores elevados a la mayor potencia
a la que aparezca cada uno.
MCD = 2 # x # 1x - 222 = 2x1x - 222
3
2x2
- 4x
+
8x
x2
- 4x + 4
=
3
2x1x - 22 +
8x
1x - 222
4x
x2
- x - 12
-
6x2
x2
- 7x + 12
3
2x2
- 4x
+
8x
x2
- 4x + 4
MCD = x21x + 123
MCD = x1x + 52
MCD = 2 # 33 # x3
 y3
= 54x3
 y3
27 = 33.18 = 2 # 32
Mayor potencia de x
MCD = 5 # x2
= 5x2
7
x21x + 12 +
3z
x1x + 123
3
x
-
2y
x + 5
1
18x3
 y
+
5
27x2
 y3
3
5x
-
2
x2
Sección 6.2 Suma y resta de expresiones racionales 395
Para sumar o restar expresiones racionales con denominadores distintos
1. Determine el MCD.
2. Reescriba cada fracción como una fracción equivalente con el MCD. Esto se hace mul-
tiplicandoel numerador y el denominador de cada fracción por los factores necesarios
para obtener el MCD.
3. Conserve el denominador en forma factorizada, pero desarrolle el numerador.
4. Sume o reste los numeradores, conservando el MCD.
5. Cuando sea posible reducir la fracción mediante factorización del numerador, hágalo.
b) Factorice ambos denominadores.
Observe que aunque x � 4 es un factor común a cada denominador, la máxima poten-
cia de ese factor que aparece en cada denominador es 1.
� Ahora resuelva el ejercicio 29
3 Sumar y restar expresiones sin denominadores comunes
El procedimiento que se usa para sumar o restar expresiones racionales sin denomina-
dores comunes, se explica a continuación.
MCD = 1x + 321x - 421x - 32
4x
x2
- x - 12
-
6x2
x2
- 7x + 12
=
4x
1x + 321x - 42 -
6x2
1x - 321x - 42
EJEMPLO 5 � Sume. a) b)
Solución
a) Primero determinamos el MCD.
A continuación escribimos cada fracción con el MCD. Para esto, multiplicamos
tanto el numerador como el denominador de cada fracción por los factores necesa-
rios para obtener el MCD.
En este problema, la primera fracción debe multiplicarse por y la segunda
por
Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo factor, en realidad
estamos multiplicando por 1, lo cual no cambia el valor de la fracción, pero sí su
apariencia. Así, la nueva fracción es equivalente a la fracción original.
Ahora sumamos los numeradores y dejamos solo al MCD.
Por lo tanto,
2
x
+
9
y
=
9x + 2y
xy
.
2y
xy
+
9x
xy
=
2y + 9x
xy
 o 
9x + 2y
xy
2
x
+
9
y
=
 
 
y
y
#
2
x
+
9
y
#
 
 
x
x
=
2y
xy
+
9x
xy
x
x
.
y
y
MCD = xy
5
4a2 +
3
14ab3
2
x
+
9
y
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