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448
Raíces, radicales 
y números complejos
OBJETIVOS DE ESTE CAPÍTULO
En este capítulo explicaremos cómo sumar,
restar, multiplicar y dividir expresiones con ra-
dicales. También graficamos funciones con
radicales y damos una introducción a los nú-
meros imaginarios y números complejos.
Asegúrese de entender los tres requisitos
para simplificar expresiones con radicales
que se analizan en la sección 7.5.
7.1 Raíces y radicales
7.2 Exponentes racionales
7.3 Simplificación de radicales
7.4 Suma, resta y multiplicación de
radicales
Examen de mitad de capítulo:
secciones 7.1-7.4
7.5 División de radicales
7.6 Resolución de ecuaciones con
radicales
7.7 Números complejos
Resumen del capítulo 7
Ejercicios de repaso del capítulo 7
Examen del capítulo 7
Examen de repaso acumulativo
MUCHAS FÓRMULAS CIENTÍFICAS, INCLUYENDO gran parte de aquellas que
tienen que ver con situaciones de la vida real, incluyen expresiones con radicales.
En el ejercicio 135 de la página 487 veremos cómo se utiliza un radical para
determinar la relación entre la iluminación sobre un objeto y la distancia del
objeto a la fuente luminosa.
7
Sección 7.1 Raíces y radicales 449
7.1 Raíces y radicales
1 Determinar raíces
cuadradas.
2 Determinar raíces cúbicas.
3 Entender raíces pares e
impares.
4 Evaluar radicales mediante
el valor absoluto.
En este capítulo analizamos con más detalle el concepto de radicales que se presentó
en el capítulo 1. En la expresión el es el signo radical. La expresión que está
dentro del signo radical recibe el nombre de radicando.
La expresión, con el signo radical y el radicando, se denomina expresión radical. Otra
parte de la expresión radical es el índice, o “raíz” de la expresión. Las raíces cuadradas
tienen un índice de 2. Por lo general, el índice de las raíces cuadradas no se escribe. Por
lo tanto,
1 Determinar raíces cuadradas
Todos los números positivos tienen dos raíces cuadradas: una positiva o principal, y
una negativa. Para cualquier número positivo x, escribimos la raíz cuadrada positiva
como y la raíz cuadrada negativa como
Raíz cuadrada Raíz cuadrada 
Número principal o positiva negativa
25
19 -119119
-125125
-1x .1x ,
1x significa 12 x
Radicando
Signo radical1x
1 1x ,
Raíz cuadrada principal
La raíz cuadrada principal de un número positivo a, escrita como es el número positi-
vo b tal que b2
= a.
1a ,
Ejemplos
Recuerde que significa el opuesto de Ya que
En este libro, siempre que se haga referencia al concepto raíz cuadrada nos esta-
remos refiriendo a la raíz cuadrada principal o positiva. Así, si se le pide determinar el
valor de su respuesta deberá ser 5.
En el capítulo 1 se mencionó que un número racional es aquel que puede repre-
sentarse como un número decimal finito o cuyos dígitos se repiten en series. Si utiliza la
tecla de raíz cuadrada de su calculadora para evaluar las soluciones de los tres
ejemplos anteriores, descubrirá que todos son números decimales finitos o con series
de dígitos que se repiten. Por lo tanto, son números racionales. Muchos radicales, como
y no son números racionales. Cuando en una calculadora se evalúan y
los resultados son números decimales que no son finitos y que no repiten series de
dígitos. Así, y son números irracionales.
Radical Resultados en la calculadora
1.414213562 Decimales que no son finitos y que no repiten series de dígitos
4.35889894 Decimales que no son finitos y que no repiten series de dígitos
Ahora piense en la expresión radical Como el cuadrado de cualquier
número real siempre será mayor o igual a 0, no existe número real tal que, elevado al
1-25.
119
12
11912
119
12119,12
� 1 � ,
125,
125 = 5, -125 = -5.125.-125
ya que a2
3
b 2
= a2
3
b a 2
3
b =
4
9
 A4
9
=
2
3
ya que 10.722 = 10.7210.72 = 0.49 10.49 = 0.7
ya que 52
= 5 # 5 = 25 125 = 5
4
3
2
1
5 1098764321 x
y
FIGURA 7.1
450 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
cuadrado, sea igual a Por esta razón, no es un número real. Ya que ningún
número real elevado al cuadrado puede dar por resultado un número negativo, la
raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Si en una calculadora eva-
lúa obtendrá un mensaje de error. Analizaremos las expresiones como
más adelante en este capítulo.
Radical Resultados en la calculadora
Error no es un número real.
Error no es un número real.
S u g e r e n c i a ú t i l
No confunda con Ya que Sin embargo, no es
un número real y, tal como se mencionó antes, la raíz cuadrada de un número negativo no es un
número real.
La función raíz cuadrada
Cuando representemos gráficamente funciones raíz cuadrada, es decir, funciones con la
forma debemos recordar siempre que el radicando, x, no puede ser negati-
vo.Así, en notación de intervalo el dominio de es o, en la notación
de intervalo, Para graficar podemos seleccionar algunos valores
convenientes de x y determinar los valores correspondientes de f(x) o y, para luego tra-
zar los puntos determinados por los pares ordenados, como se muestra en la figura 7.1.
f1x2 = 1x ,[0, q2 {x ƒx Ú 0},f1x2 = 1x
f1x2 = 1x ,
1-36 no es un número real.
 -136 = -6
 136 = 6
1-36136 = 6, -136 = -6.1-36.-136
1-31-3
1-251-25
1-251-25
1-25-25.
x y
0 0
1 1
4 2
6
9 3
L2.4
Como el valor de f(x) nunca puede ser negativo, el rango de es 
o, en notación de intervalo, .
Analice la figura 7.1; ¿cree que pueda graficar La gráfica de
sería similar a la gráfica de la figura 7.1, pero la gráfica resultante estaría
debajo del eje x. ¿Puede explicar por qué? ¿Qué ocurriría al graficar la expresión
Para graficar sólo seleccionaría valores de
ya que el radicando no puede ser negativo. El dominio de es 
o 
Para evaluar funciones con radicales podría ser necesario utilizar una calculadora.
EJEMPLO 1 � Determine el o los valores que se indican en cada función.
a) b) y g(7)
Solución
a) Sustituir x por 6.
b) Sustituir r por –5.
Sustituir r por 7.
No es un número real.
Por lo tanto, g(7) no es un número real.
� Ahora resuelva el ejercicio 77
 = -1-20
 g172 = -2-3172 + 1
 = -4
 = -116
 g1-52 = -2-31-52 + 1
 = 8
 = 164
 f162 = 211162 - 2
g1r2 = -1-3r + 1, g1-52f1x2 = 111x - 2, f162
[4, q2. {x ƒx Ú 4}h1x2 = 1x - 4
x Ú 4h1x2 = 1x - 4,h1x2 = 1x - 4 ?
g1x2 = -1x
g1x2 = -1x ?
[0, q2 {y ƒy Ú 0},f1x2 = 1x
Sección 7.1 Raíces y radicales 451
Raíz cúbica
La raíz cúbica de un número a, escrita es el número b tal que b3 � a.13 a ,
2 Determinar raíces cúbicas
El índice de una raíz cúbica es 3. En la sección 1.4 se habló de las raíces cúbicas, y se ex-
plicó cómo determinarlas con ayuda de una calculadora. Si lo considera conveniente,
revise ese material ahora.
Ejemplos
Sólo existe una raíz cúbica para cada número real. La raíz cúbica de un número po-
sitivo es positiva, y la raíz cúbica de un número negativo es negativa. La función raíz
cúbica, tiene a todos los números reales como su dominio.
EJEMPLO 2 � Determine el o los valores que se indican en cada función.
a) b) y g(1)
Solución
a) Sustituir x por 3.
b) Sustituir r por �4.
Resultado con una calculadora.
Sustituir r por 1.
� Ahora resuelva el ejercicio 83
La función raíz cúbica
En la figura 7.2 se muestra la gráfica de Para obtenerla sustituimos los valo-
res para x y determinamos los valores correspondientes de f(x) o y.
y = 13 x .
 = -2
 = 13 -8
 g112 = 23 12112 - 20
 L -4.081655102
 = 13 -68
 g1-42 = 23 121-42 - 20
 = 13 64 = 4
 f132 = 23 10132 + 34
g1r2 = 13 12r - 20, g1-42f1x2 = 13 10x + 34, f132
f1x2 = 13 x ,
ya que 1-323 = -27 13 -27 = -3
ya que 23
= 8 13 8 = 2
4
3
2
1
5 8 9764321 x
3
FIGURA 7.2
x y
0 0
1 1
8 2
-1-1
-2-8
Observe que tanto el dominio como el rango están compuestos por números rea-
les, En el conjunto de ejercicios se le pedirá que grafique funciones raíz cúbica en su
calculadora graficadora.
3 Entender raíces pares e impares
Hasta el momento hemos analizado raíces cuadradas y cúbicas, pero las expresiones
radicales pueden tener otros índices. Por ejemplo, en la expresión (se lee “raíz
quinta de xy”), el índice es 5 yel radicando es xy.
Las expresiones radicales que tienen índices 2, 4, 6,... o cualquier número entero
par, reciben el nombre de raíces pares. Las raíces cuadradas son raíces pares, ya que su
índice es 2. Las expresiones radicales que tienen índices 3, 5, 7,... o cualquier número
entero impar, se denominan raíces impares.
15 xy ,
�.
452 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
Índices pares
La raíz n-ésima de a, donde n es un índice par y a es un número real no negativo, es un
número real no negativo b tal que bn � a.
1n a ,
Índices impares
La raíz n-ésima de a, donde n es un índice impar y a es cualquier número real, es el nú-
mero real b tal que bn � a.
1n a ,
Ejemplos de raíces pares
Cualquier número real elevado a una potencia par, da por resultado un número real no
negativo.Así, cuando un radical tiene índice par, el radicando debe ser no negativo para
que el resultado sea un número real.
S u g e r e n c i a ú t i l
Existe una diferencia importante entre y El número es el opuesto de
Ya que Sin embargo, no es un número real, puesto que
ningún número real elevado a la cuarta potencia da por resultado �16.14 -16 no es un número real.
-14 16 = -1 14 162 = -2
14 -1614 16 = 2, -14 16 = -2.14 16.
-14 1614 -16.-14 16
ya que a1
4
b 4
= a1
4
b a1
4
b a1
4
b a1
4
b =
1
256
 A4 
1
256
=
1
4
ya que 36
= 3 # 3 # 3 # 3 # 3 # 3 = 729 16 729 = 3
ya que 24
= 2 # 2 # 2 # 2 = 16 14 16 = 2
ya que 32
= 3 # 3 = 9 19 = 3
Ejemplos de raíces impares
La raíz impar de un número positivo es un número positivo, y la raíz impar de un núme-
ro negativo es un número negativo.
Es importante tener en cuenta que los radicales con índice par deben tener radi-
candos no negativos para que dé por resultado un número real. Un radical con un índice
impar será un número real con cualquier número real como radicando. Observe que
sin importar si n es un índice par o impar.
EJEMPLO 3 � Indique si la expresión radical es o no un número real. Si el número
es un número real, determine su valor.
a) b) c) d)
Solución
a) No es un número real. Las raíces pares de números negativos no son números reales.
b) Número real,
c) Número real, ya que
d) Número real,
� Ahora resuelva el ejercicio 21
-15 -32 = -1-22 = 2
1-225 = -3215 -32 = -2
-14 81 = -1 14 812 = -132 = -3
-15 -3215 -32-14 8114 -81
1n 0 = 0,
ya que 1-325 = 1-321-321-321-321-32 = -243 15 -243 = -3
ya que 35
= 3 # 3 # 3 # 3 # 3 = 243 15 243 = 3
ya que 1-223 = 1-221-221-22 = -8 13 -8 = -2
ya que 23
= 2 # 2 # 2 = 8 13 8 = 2
Sección 7.1 Raíces y radicales 453
En la tabla 7.1 se resume la información acerca de las raíces pares e impares.
4 Evaluar radicales mediante el valor absoluto
Se podría pensar que pero esto no necesariamente es cierto. A continuación
evaluamos para a � 2 y a � �2. Verá que cuando
Observe que 
Observe que 
Al analizar éste y otros ejemplos, podemos concluir que siempre será un número
real positivo para cualquier número real, a, distinto de cero. Recuerde que en la sección
1.3 se mencionó que el valor absoluto de cualquier número real a, o es también un
número real positivo para cualquier número real distinto de cero. Utilizamos estos he-
chos para concluir que,
ƒa ƒ ,
2a2
21-222 Z -2. 2a2
= 21-222 = 14 = 2 a = -2:
222
= 2. 2a2
= 222
= 14 = 2 a = 2:
a = -2, 2a2
Z a.2a2
2a2
= a,
Tabla 7.1
n es par n es impar
es un número real positivo. es un número real positivo.
no es un número real. es un número real negativo.1n 0 = 01n 0 = 0a = 0
1n a1n aa 6 0
1n a1n aa 7 0
Radicales y valor absoluto
Para cualquier número real a, 2a2
= ƒa ƒ
Esto indica que la raíz cuadrada principal de a2 es el valor absoluto de a.
EJEMPLO 4 � Utilice el valor absoluto para evaluar.
a) b) c)
Solución
a) b) c)
� Ahora resuelva el ejercicio 41
Cuando se simplifica una raíz cuadrada, si el radicando contiene una variable y no
estamos seguros de que su valor sea positivo, deberemos utilizar los signos de valor ab-
soluto para simplificar.
EJEMPLO 5 � Simplifique.
a) b) c) d)
Solución Los radicandos de todas estas raíces cuadradas incluyen una variable. Co-
mo no conocemos el valor de la variable, ignoramos si ésta es positiva o negativa. Por
lo tanto, debemos utilizar los signos de valor absoluto para simplificar.
a)
b) Escriba 16x2 como (4x)2, y luego simplifique.
c) Escriba 25y6 como (5y3)2, y luego simplifique.
d) Observe que a2 � 6a � 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Escriba el trinomio co-
mo el cuadrado de un binomio; después simplifique.
� Ahora resuelva el ejercicio 63
2a2
- 6a + 9 = 21a - 322 = ƒa - 3 ƒ
225y6
= 315y322 = ƒ5y3
ƒ
216x2
= 214x22 = ƒ4x ƒ
21x + 822 = ƒx + 8 ƒ
2a2
- 6a + 9225y6216x221x + 822
2115.722 = ƒ15.7 ƒ = 15.7202
= ƒ0 ƒ = 0292
= ƒ9 ƒ = 9
2115.722202292
454 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
Si tiene una raíz cuadrada cuyo radicando contiene una variable, y se le da una ins-
trucción como: “Suponga que todas las variables representan valores positivos y que el
radicando es no negativo”, no será necesario que utilice el signo de valor absoluto pa-
ra simplificar.
EJEMPLO 6 � Simplifique. Suponga que todas las variables representan valores
positivos y que el radicando es no negativo.
a) b) c) d)
Solución
a) Escriba como 
b) Escriba 81p4 como (9p2)2.
c) Escriba 49x6 como (7x3)2.
d) Escriba 4x2 � 12xy � 9y2 como (2x � 3y)2
.
� Ahora resuelva el ejercicio 67
Sólo nos preocupamos de agregar signos de valor absoluto cuando se trabaja con
raíces cuadradas (y otras raíces pares), pero no cuando el índice es impar.
 = 2x - 3y
 24x2
- 12xy + 9y2
= 212x - 3y22
249x6
= 317x322 = 7x3
281p4
= 319p222 = 9p2
18x22.64x2264x2
= 218x22 = 8x
24x2
- 12xy + 9y2249x6281p4264x2
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.1
Ejercicios de concepto/redacción
1. a) ¿Cuántas raíces cuadradas tienen los números reales po-
sitivos? two, positive and negative
b) Determine todas las raíces cuadradas del número 49.
c) Cuando se mencione el concepto “raíz cuadrada” en este
libro, ¿a qué se estará haciendo referencia?ipal square root
d) Determine la raíz cuadrada de 49. 7
2. a) ¿Qué son las raíces pares? Dé un ejemplo.
b) ¿Qué son las raíces impares? Proporcione un ejemplo.
3. Explique por qué no es un número real.
4. Una expresión radical con índice impar y un número real co-
mo radicando, ¿siempre será un número real? Explique su
respuesta.
5. Una expresión radical con índice par y un número real como
radicando, ¿siempre será un número real? Explique su res-
puesta.
1-81
6. a) ¿A qué es igual ?
b) ¿A qué es igual si sabemos que a � 0? a
7. a) Evalúe para a � 1.3.
b) Evalúe para a = �1.3. 1.3
8. a) Evalúe para a = 5.72. 5.72
b) Evalúe para a = �5.72.
9. a) Evalúe 3
b) Evalúe
c) Evalúe
10. a) Evalúe 2
b) Evalúe
c) Evalúe not a real number14 -16.
-14 16
14 16
13 -27.
-13 27.
13 27.
2a2
2a2
2a2
2a2
2a2
2a2
Práctica de habilidades
Evalúe si cada expresión radical es un número real. Utilice una calculadora para redondear los números irracionales hasta el centésimo
más cercano. Si la expresión no es un número real, indíquelo.
11. 6 12. 13. 14. 5
15. 16. 5 17. 18. 1
19. 1 20. 2 21. not a real number 22. not a real number
23. 24. 11 25. not a real number 26.
27. not a real number 28. 29. 30. not a real number
31. 32. 33. 34.
35. 36. not a real number 37. 38. 15 93-14 18.214 -8.9A3 - 
8
27
A3 
8
27A 4
49A3 - 
1
8A3 
1
8
A - 
1
25A 1
25
153.91-45.3
145.31-36112113 -343
14 -8116 -6416 6415 1
-15 -115 -1-13 -12513 -125
13 12513 -64-136136
Sección 7.1 Raíces y radicales 455
Utilice el valor absoluto para evaluar.
39. 40. 41. 42.
43. 44. 45. 46.
47. 48. 49. 50.
Escriba como un valor absoluto.
51. 52. 53. 54.
55. 56. 57. 58.
Utilice el valor absoluto para simplificar. Tal vez necesite factorizar primero.
59. 60. 61. 62.
63. 64. 65. 66.
Simplifique. Suponga que todas las variables representan valores positivos y que el radicando es no negativo.
67. 7x 68. 69. 70.
71. 72. 73. 74.
Determine el valor indicado en cada función. Utilice su calculadorapara aproximar los números irracionales. Redondéelos al milésimo
más cercano.
75. 2 76. 77.
78. 5 79. 80.
81. 82. 83.
84. 85. 86.
Resolución de problemas
t1x2 = 24 2x3
- 3x2
+ 6x , t122f1x2 = 23 -2x2
+ x - 6, f1-32k1c2 = 14 16c - 5, k162
h1x2 = 23 9x2
+ 4, h142p1x2 = 13 8x + 9, p122g1x2 = 164 - 8x , g1-32
f1a2 = 114a - 36, f142t1a2 = 1-15a - 9, t1-62q1b2 = 19b + 34, q1-12
q1x2 = 176 - 3x , q142f1c2 = 17c + 1, f152f1x2 = 15x - 6, f122
216b2
- 40bc + 25c224x2
+ 4xy + y229a2
- 6a + 12x2
+ 4x + 4
2121z8216c62100a4249x2
24x2
+ 20xy + 25y229a2
+ 12ab + 4b22x2
- 12x + 362a2
- 8a + 16
2x2002z322y222a14
319y4
- 2z322316a3
- 5b422317y2
- 3y22313x2
- 122
217a - 11b2221x - 32221a + 102221x - 422
B a - 
101
319
b 2B a12
13
b 221-0.1922210.0622
21-201.52221235.232221-1192221192
21-1922219221-722272
87. Determine f(81) si
88. Determine g(25) si
89. Determine t(18) si
90. Determine m(36) si
91. Determine k(8) si
92. Determine r(45) si
93. Seleccione un valor para x, de modo que
94. Seleccione un valor para x, de modo que
95. ¿Para qué valores de x, será Explique
cómo determinó su respuesta.
96. ¿Para qué valores de x, será Expli-
que cómo determinó su respuesta.
97. ¿Para qué valores de x, será Expli-
que cómo determinó su respuesta.
212x - 622 = 2x - 6?
21x + 322 = x + 3?
21x - 122 = x - 1?
215x - 322 Z 5x - 3.
212x + 122 Z 2x + 1.
r1x2 =
x
9
+ Ax
5
+ 13.
k1x2 = x2
+ Ax
2
- 21.
m1x2 =
x
3
+ 14x + 10.
t1x2 =
x
2
+ 12x - 4.
g1x2 = x2
+ 1x - 13.
f1x2 = x + 1x + 7. 98. ¿Para qué valores de x, será Expli-
que cómo determinó su respuesta.
99. a) ¿Para qué valores de a es all real numbers
b) ¿Para qué valores de a es
c) ¿Para qué valores de a es all real numbers
100. ¿En qué circunstancias la expresión no es un número
real?
101. Explique por qué la expresión es un número real para
cualquier número real x.
102. ¿En qué circunstancias la expresión no es un número
real?
103. Determine el dominio de Explique cómo deter-
minó su respuesta.
104. Determine el dominio de Explique cómo deter-
minó su respuesta.
13 x - 216 x + 1
.
1x + 513 x + 5
.
2n xm
2n xn
1n x
23 a3
= a?
2a2
= a?
2a2
= ƒa ƒ?
213x - 822 = 3x - 8?
Considere los dominios de las funciones de los ejercicios 105 a 108, y relacione cada función con su gráfica correspondiente.
105.
a)
x
y
�2
2
4
2 864�2
f1x2 = 1x 106.
b)
x
y
�2
4
2 4�2�6 �4
f1x2 = 2x2 107.
c)
x
y
�2
2
4
2 4�2�4
f1x2 = 1x - 5 108. b)
d)
x
y
�2
2
4
2 864�2
f1x2 = 1x + 5
456 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
109. Proporcione una función radical cuyo dominio sea
110. Proporcione una función radical cuyo dominio sea
111. Si ¿puede f(x) ser
a) mayor que 0, no
b) igual a 0, yes
c) menor que 0? yes
Explique sus respuestas.
112. Si ¿puede f(x) ser
a) menor que 0, no
b) igual a 0, yes
c) mayor que 0? yes
Explique sus respuestas.
113. Velocidad de un objeto La velocidad, V, que alcanza un ob-
jeto, en pies por segundo, después de que ha caído cierta
distancia, h en pies, puede determinarse mediante la fórmu-
la Una grúa de percusión cuenta con un gran
mazo que se usa como martillo para enterrar pilotes en una
superficie suave, a fin de que sirvan de soporte para edifi-
cios u otras estructuras.
¿A qué velocidad golpeará el mazo al pilote si cae desde una
altura de
a) 20 pies?
b) 40 pies?
V = 164.4h .
f1x2 = 1x + 5,
f1x2 = -1x ,
{x ƒx … 5}.
{x ƒx Ú 8}. 114. Oleaje El instituto de oceanografía Scripps en La Jolla, Ca-
lifornia, desarrolló una fórmula para relacionar la veloci-
dad del viento, u, en nudos, con la altura H, en pies, de las
olas que se producen en ciertas áreas del océano. Esta
fórmula es
Si las olas que produce una tormenta alcanzan una altura de
15 pies, ¿cuál es la velocidad del viento?
115. Grafique
116. Grafique
117. Grafique
118. Grafique
Utilice su calculadora graficadora para resolver los ejercicios 119
a 124.
119. Compruebe la gráfica que trazó en el ejercicio 115.
120. Compruebe la gráfica que trazó en el ejercicio 117.
121. Determine si el dominio que dio en el ejercicio 103 es
correcto.
122. Determine si el dominio que dio en el ejercicio 104 es
correcto.
123. Grafique
124. Grafique f1x2 = 13 2x - 3.
y = 13x + 4.
f1x2 = 1x - 2.
g1x2 = 1x + 1.
g1x2 = -1x .
f1x2 = 1x + 1.
H
u = A H
0.026
Actividad en grupo
En esta actividad determinarán las condiciones en que ciertas propiedades de los radicales son verdaderas. Estudiaremos estas propieda-
des más adelante en este capítulo. Analice y responda en grupo los ejercicios siguientes.
125. La propiedad denominada propiedad de
multiplicación para radicales, es verdadera para ciertos nú-
meros reales a y b. Por medio de sustitución de valores para
a y b, determine en qué condiciones esta propiedad es ver-
dadera.
1n a # 1n b = 1n ab ,
Ejercicios de repaso acumulativo
Factorice.
[5.4] 127.
[5.5] 128.
129. 8x4
+ 10x2
- 3
3x3
- 18x2
+ 24x
9ax - 3bx + 12ay - 4by [5.6] 130. x3
-
8
27
 y3
126. La propiedad denominada propiedad de división
para radicales, es verdadera para ciertos números reales a y
b. Por medio de sustitución de valores para a y b, determine
en qué condiciones esta propiedad es verdadera.
1n a1n b
= An a
b
,
Sección 7.2 Exponentes racionales 457
7.2 Exponentes racionales
1 Convertir una expresión
radical en una expresión
exponencial.
2 Simplificar expresiones
radicales.
3 Aplicar las reglas de los
exponentes a los
exponentes racionales y a
los exponentes negativos.
4 Factorizar expresiones con
exponentes racionales.
1 Convertir una expresión radical en una expresión
exponencial
En esta sección analizaremos la conversión de las expresiones radicales en expresiones
exponenciales, y viceversa. Cuando vea un exponente racional, debe darse cuenta que
la expresión puede escribirse como una expresión con radical mediante el procedi-
miento siguiente.
Forma exponencial de 1n a
Cuando a es un número no negativo, n puede ser cualquier índice.
Cuando a es un número negativo, n debe ser un número impar.
1n a = a1>n
A menos que se indique lo contrario, en el resto de este capítulo supondremos que
todas las variables en el radicando representan números reales no negativos, y que el
radicando es un número no negativo. De esta manera no será necesario establecer que
la variable es no negativa siempre que tengamos un radical con índice par. Esto nos
permitirá escribir muchas respuestas sin signos de valor absoluto.
EJEMPLO 1 � Escriba cada expresión en forma exponencial (con exponentes ra-
cionales).
a) b) c) d)
Solución
a) Recuerde que el índice de cualquier raíz cuadrada es 2.
b) c) d)
� Ahora resuelva el ejercicio 19
Las expresiones exponenciales pueden convertirse en expresiones radicales invirtien-
do el procedimiento.
EJEMPLO 2 � Escriba cada expresión en forma radical (sin exponentes racionales).
a) b) c) d) e)
Solución
a) b)
c) d) e)
� Ahora resuelva el ejercicio 33
2 Simplificar expresiones radicales
Podemos ampliar la regla anterior, de modo que los radicales con la forma pue-
dan escribirse como expresiones exponenciales. Observe a2/3. Podemos escribir a2/3
como (a1/3)2 o (a2)1/3. Esto sugiere que a2>3
= 1 13 a22 = 23 a2 .
2n am
5rs1>2
= 5r1s110x2
 y21>7 = 27 10x2
 yy1>4
= 14 y
1-821>3 = 13 -8 = -291>2
= 19 = 3
5rs1>2110x2
 y21>7y1>41-821>391>2
A8 
5x7
2z11 = ¢ 5x7
2z11 ≤
1>827 -4x2
 y5
= 1-4x2
 y521>713 15ab = 115ab21>3
17 = 71>2
A8 
5x7
2z1127 -4x2
 y513 15ab17
Forma exponencial de 2n am
Para cualquier número a no negativo, y enteros m y n,
Potencia
Índice2n am
= A2n a Bm = am>n
458 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
Podemos usar esta regla para cambiar una expresión de la forma radical a la forma expo-
nencial, y viceversa. Cuando cambiamos una expresión radical a forma exponencial, la
potencia se coloca en el numerador y el índice o raíz en el denominador del exponente
racional. Así, por ejemplo, puede escribirse como x4/3. También puede es-
cribirse como y2/5.A continuación se dan algunos ejemplosmás.
Ejemplos
De acuerdo con esta regla, para valores no negativos de la variable podemos escribir
EJEMPLO 3 � Escriba cada expresión en forma exponencial (con exponentes ra-
cionales) y después simplifique.
a) b) c)
Solución
a) b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 45
Las expresiones exponenciales con exponentes racionales pueden convertirse en
expresiones radicales invirtiendo el procedimiento. El numerador del exponente racio-
nal es la potencia, y el denominador del exponente racional es el índice o raíz de la ex-
presión radical. Éstos son algunos ejemplos.
Ejemplos
Observe que puede seleccionar, por ejemplo, escribir 62/3 como o 
EJEMPLO 4 � Escriba cada expresión en forma radical (sin exponentes racionales).
a) b)
Solución
a) b)
� Ahora resuelva el ejercicio 35
EJEMPLO 5 � Simplifique.
a) b) c) d)
Solución
a) Algunas veces una expresión con un exponente racional puede simplificarse con
más facilidad escribiéndola como un radical, como se ilustra.
Escribir como un radical.
 = 8
 = 1223
 43>2
= 1 1423
1 215 z2524 1xy22026 1492343>2
13ab25>4 = 24 13ab25 o 114 3ab25x2>5
= 25 x2 o 115 x22
13ab25>4x2>5
1 13 622.23 62
 z10>3
= 23 z10 o 1 13 z210 x9>5
= 25 x9 o 1 15 x29
 y3>10
= 210 y3 o 1 210 y23 72>3
= 23 72 o 1 13 722
 51>3
= 13 5 x1>2
= 1x
116 x212
= x12>6
= x2
113 y215
= y15>3
= y524 x12
= x12>4
= x3
1 16 x2121 13 y21524 x12
1 14 p23 = 24 p32x5
= 1 1x25
 1 14 723 = 73>4 1 14 x23 = x3>4 1 1p23 = p3>2
 25 28
= 28>5 23 z2
= z2>3 2y3
= y3>2
1 15 y2223 x4
Sección 7.2 Exponentes racionales 459
Forma exponencial de 2n an
Para cualquier número real no negativo a,2n an
= 1 1n a2n = an>n
= a
b) A veces una expresión radical puede simplificarse con más facilidad escribiéndola
con exponentes racionales, como se ilustra en las partes b) a d).
Escribir con un exponente racional.
Reducir el exponente.
Escribirlo como un radical.
Simplificar.
c)
d)
� Ahora resuelva el ejercicio 51
Veamos ahora la expresión Al escribirla en forma exponencial, se obtiene
x5/5 = x1 = x. Esto conduce a la regla siguiente.
25 x5 .
1215 z25 = z5>15
= z1>3 o 13 z
24 1xy220
= 1xy220>4
= 1xy25
 = 7
 = 149
 = 491>2
 26 14923 = 493>6
En el recuadro anterior se especificaba que a era no negativo. Si n es un índice par
y a es un número real negativo, y no a. Por ejemplo,
De acuerdo con lo que se dijo antes en el sentido de que, a menos que se indique lo con-
trario, las variables en los radicandos representan números reales no negativos, podemos
escribir y no Esta suposición también nos permite escribir y
Ejemplos
3 Aplicar las reglas de los exponentes a los 
exponentes racionales y a los exponentes negativos
En la sección 1.5 se analizaron las reglas de los exponentes. En esa sección utilizamos 
como exponentes sólo números enteros no negativos. No obstante, éstas siguen siendo
válidas cuando los exponentes son números racionales. Demos un repaso a dichas reglas.
 1 15 z25 = z 26 1xy26 = xy
 24 y4
= y 232
= 3
1 14 z24 = z.
2x2
= xƒx ƒ .26 x6
= x
26 1-526 = ƒ -5 ƒ = 5.2n an
= ƒa ƒ
Reglas de los exponentes
Para todos los números reales a y b y todos los números racionales m y n,
Regla del producto
Regla del cociente
Regla del exponente negativo
Regla del exponente cero
Elevar una potencia a una potencia
Elevar un producto a una potencia
Elevar un cociente a una potencia a a
b
bm
=
am
bm, b Z 0
 1ab2m = am
 bm
 1am2n = am #n
 a0
= 1, a Z 0
 a-m
=
1
am , a Z 0
 
am
an = am - n, a Z 0
 am # an
= am + n
Ahora utilizaremos estas reglas para resolver algunos problemas donde los expo-
nentes son números racionales.
460 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
EJEMPLO 6 � Evalúe. a) b) c)
Solución
a) Comience por utilizar la regla del exponente negativo.
Regla del exponente negativo.
Escribir el denominador como un radical.
Simplificar el denominador.
b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 81
Observe que podríamos haber resuelto el ejemplo 6 a) como sigue:
Sin embargo, por lo general es más fácil evaluar la raíz antes de aplicar la potencia.
Considere la expresión (�16)3/4; esta expresión puede reescribirse como
Ya que no es un número real, la expresión (�16)3/4 no es un número real.
En el capítulo 1 se mencionó que
Utilizaremos esto en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 7 � Evalúe. a) b)
Solución
a)
b)
� Ahora resuelva el ejercicio 83
S u g e r e n c i a ú t i l
¿En qué difieren las expresiones �251/2 y (�25)1/2?
Recuerde que �x2 significa �(x2). El mismo principio se aplica aquí.
1-2521>2 = 1-25, el cual no es un número real.
-251>2
= -12521>2 = -125 = -5
a27
8
b -1>3
= a 8
27
b 1>3
= A3 
8
27
=
2
3
a 9
25
b -1>2
= a25
9
b 1>2
= A25
9
=
5
3
a27
8
b -1>3a 9
25
b -1>2
a a
b
b -n
= ab
a
bn
1 14 -1623
1 14 -1623.
8-2>3
=
1
82>3 =
123 82
=
113 64
=
1
4
1-322-6>5
=
1
1-3226>5 =
1
1 15 -3226 =
1
1-226 =
1
64
1-272-5>3
=
1
1-2725>3 =
1
1 13 -2725 =
1
1-325 = - 
1
243
 =
1
4
 =
1
22
 =
1
1 13 822
 8-2>3
=
1
82>3
1-322-6>51-272-5>38-2>3
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