Algebra-Intermedia 2-páginas-15

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Sección 7.2 Exponentes racionales 461
EJEMPLO 8 � Simplifique cada expresión y escriba la respuesta sin exponentes
negativos.
a) b) c) d)
Solución
a) Regla del producto.
Determinar el MCD y restar los exponentes.
Regla del exponente negativo.
b) Elevar el producto a una potencia.
Multiplicar los exponentes.
Regla del exponente negativo.
c) Comience aplicando la propiedad distributiva.
Propiedad distributiva.
Regla del producto.
d) Regla del cociente.
Restar los exponentes.
Elevar el producto a una potencia.
Multiplicar los exponentes.
Simplificar el exponente.
Regla del exponente negativo.
� Ahora resuelva el ejercicio 105
EJEMPLO 9 � Simplifique. a) b) c)
Solución
a) Escribir con un exponente racional.
Simplificar el exponente.
Escribir como un radical.
b) Escribir con un exponente racional.
Elevar el producto a una potencia.
c) Escribir como x1/3.
Escribir con un exponente racional.
Elevar la potencia a una potencia.
Escribir como radical.
� Ahora resuelva el ejercicio 53
 = 112 x
 = x1>12
 = 1x1>321>4
13 x 24 13 x = 24 x1>3
 = a10
 b15
 c5
 = 1a2
 b3
 c25
 A 24 a2
 b3
 c B 20
= 1a2
 b3
 c220>4
 = 13 7y
 = 17y21>3
 215 17y25 = 17y25>15
24 13 xA 24 a2
 b3
 c B 202F 17y25
 =
91>8
 z1>8
x1>2
 = 91>8
 x-1>2
 z1>8
 = 91>8
 x-4>8
 z1>8
 = 91>8
 x-411>82
 z1>8
 = 19x-4
 z21>8
 ¢9x-4
 z2>5
z-3>5 ≤
1>8
= 19x-4
 z12>52- 1-3>5221>8
 = 7.68x5>6
+ 3.2x1>12
 = 13.2212.421x11>32+ 11>222 + 3.2x11>32- 11>42
 3.2x1>312.4x1>2
+ x-1>42 = 13.2x1>3212.4x1>22 + 13.2x1>321x-1>42
 =
y2
61>2
 x
 ¢o 
y2
x16
≤
 = 6-1>2
 x-1
 y2
 16x2
 y-42-1>2
= 6-1>2
 x21-1>22
 y-41-1>22
 =
1
a1>6
 = a-1>6
 a1>2 # a-2>3
= a11>22- 12>32
¢9x-4
 z2>5
z-3>5 ≤
1>8
3.2x1>312.4x1>2
+ x-1>4216x2
 y-42-1>2a1>2 # a-2>3
462 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA Determinación de raíces o expresiones con exponentes racionales en una calculadora graficadora o en
una calculadora científica
En general hay muchas formas de evaluar una expresión como u en una calculadora. El procedimiento
varía según el modelo. Un método general consiste en escribir la expresión con un exponente racional y utilizar las teclas o 
o junto con las teclas de paréntesis, como se muestra a continuación.*
Calculadora científica
Para evaluar 8453/5, presione
Para evaluar 845�3/5, presione
Calculadora graficadora
Para evaluar 8453/5, presione las teclas siguientes.
Para evaluar 845�3/5, presione las siguientes teclas.
*La secuencia de teclas que se utiliza varía según el modelo de cada calculadora. Lea el manual de su calculadora para aprender a evaluar ex-
presiones exponenciales con ella.
Respuesta que se obtiene
845 3 5 .01753420081 1,¿ ENTER1-2
845 3 5 57.031399031 1,¿ ENTER
Respuesta que se obtiene
845 3 5 0.0175342011 1yx ±
–/ , =
Respuesta que se obtiene
845 3 5 57.031399031 1yx
, =
Respuesta que se obtiene
� ¿ �
� ax
 �� yx
 �
8453>51 15 84523
4 Factorizar expresiones con exponentes racionales
En cursos de matemáticas de nivel superior quizá tenga que factorizar variables con
exponentes racionales. Para factorizar una expresión racional, factorice el término con
el exponente más pequeño (o más negativo).
EJEMPLO 10 � Factorice x2/5 � x�3/5.
Solución El más pequeño de los dos exponentes es �3/5. Por lo tanto, factorizare-
mos x�3/5 en ambos términos. Para determinar el nuevo exponente en la variable que
tenía el exponente más grande, restamos el exponente que se factorizó del exponente
original.
Podemos comprobar nuestra factorización por medio de la multiplicación.
Como obtuvimos la expresión original, la factorización es correcta.
� Ahora resuelva el ejercicio 135
 = x2>5
+ x- 3>5
 = x1- 3>52+ 1
+ x- 3>5
 x- 3>51x + 12 = x- 3>5 # x + x- 3>5 # 1
Exponente 
factorizado
Exponente
original
 =
x + 1
x3>5
 = x 
- 3>5
- 3>5
- 3>5 - 3>5 - 3>52>5 2>5
 1x + 12
 = x 
 
 1x1
+ 12
 x + x = x a x - a b
+ 1b
Sección 7.2 Exponentes racionales 463
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.2
Ejercicios de concepto/redacción
1. a) ¿En qué condiciones es un número real?
b) Cuando es un número real, ¿cómo puede expresarse
con exponentes racionales?
2. a) ¿En qué condiciones es un número real?
b) ¿En qué condiciones es un número real?
c) Cuando es un número real, ¿cómo puede expresar-
se con exponentes racionales?
3. a) ¿En qué condiciones es un número real? always real
b) Cuando n es un número par y a � 0, ¿a qué es igual ?
c) Cuando n es un número impar, ¿a qué es igual ? a2n an
2n an
2n an
2n am
1 1n a2m
2n am
1n a
1n a d) Cuando n es un número par y a es cualquier número real,
¿a qué es igual ?
4. a) Explique la diferencia entre �161/2 y (�16)1/2.
b) Evalúe cada expresión de la parte a), si esto es posible.
5. a) ¿ Explique. no
b) ¿Es Explique. no
6. a) ¿Es Explique. no
b) ¿Es Explique. yes21ab24 = 1ab22?
26 13y23 = 13y26>3?
1xy2-1>2
=
x1>2
y-1>2?
1xy21>2 = xy1>2?
2n an
Práctica de habilidades
En este conjunto de ejercicios supondremos que todas las variables representan números reales positivos. Escriba cada expresión en for-
ma exponencial.
7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26.
Escriba cada expresión en forma radical.
27. 28. 29. 30.
31. 32. 33. 34.
35. 36. 37. 38.
39. 40.
Simplifique cada expresión radical, cambiándola a forma exponencial. Cuando sea apropiado, escriba la respuesta en forma radical.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48.
49. 50. 51. 52.
53. 54. 55. 56.
57. 58. 59. 60.
61. 62.
Evalúe, si es posible. Si la expresión no es un número real, indíquelo.
63. 5 64. 65. 66.
67. 68. 69. 70.
71. 72. 73. 74.
75. 76. 77. 78.
79. 80. 81. 82.
83. 84. 85. 86.
87. 88. 89. 90. 16-1>2
- 256-3>4343-1>3
+ 16-1>249-1>2
+ 36-1>21211>2
+ 1691>2
- a25
49
b -1>21-10023>21-8123>4a64
27
b -1>3
64-2>316-3>249-1>264-1>3
1-6421>3-641>31-8121>2-811>2
a 1
32
b 1>5a1
8
b 1>3a100
49
b 1>2a25
9
b 1>2
1-6421>41-4921>2272>3642>3
811>4641>31211>2251>2
25 14 ab325 a9
24 13 7y33 23 x2
 y23 14 b214 y
213 a21xA 29 a2
 bc4 B 31 18 xyz24
A 24 a4
 bc3 B 40A 23 xy2 B 1524 16.83241 119.322
212 z426 y328 b426 y2
24 x1223 x924 a82a6
17x2
- 2y32-1>61b3
- d2-1>3
18x2
+ 9y27>316a + 5b21>518x3
 y227>4111b2
 c23>5
185a325>2124x321>2y17>6185>3
191>2c5>2b2>3a1>2
A4 
3a8
11b5A5 
2x6
11y729 3x + 5z416 3a + 8b
26 y11
 z24 x9
 z523 x4
 y24 a3
 b
2ab51 13 y2141 1x2924 97
25 91123 71023 x1123 z5
13 y2952y72a3
464 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
Simplifique. Escriba la respuesta en forma exponencial sin exponentes negativos.
91. 92. 93. 94.
95. 96. 97. 98.
99. 100. 101. 102.
103. 104. 105. 106.
107. 108. 109. 110.
Multiplique.
111. 112. 113.
114. 115. 116.
Utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Redondee la respuesta al centésimo más cercano.
117. 118. 119. 120.
121. 122. 123. 124.
Resolución de problemas
8060-3>21000-1>238.23>2932>3
14 109615 402.8313 1681180
1
2
 x-2110x4>3
- 38x-1>22-6x5>31-2x1>2
+ 3x1>32-9z3>21z3>2
- z-3>22
5x-11x-4
+ 4x-1>22-3a-4>915a1>9
- a224z-1>212z4
- z1>22
¢250a-3>4
 b5
2a-2
 b2 ≤
2>3¢x3>4
 y-3
x1>2
 y2 ≤
4¢27z1>4
 y3
3z1>4 ≤
1>2¢ a4
4a-2>5 ≤
-3
¢x-1>3
x-2 ≤
2¢22x3>7
2x1>2 ≤
2¢ 52
2x4 ≤
1>3a 3
24x
b 1>3
1x-4>521>34x5>33x-7>2x-1>2
 x-2>55y-1>3
60y-2
x4
x-1>219-1>3201a-1>32-1>21x1>22-2
x-6>5x1>2
x1>3x6 # x1>2x4 # x1>2
125. ¿En qué condiciones se cumplirá
126. Elija valores para a y b para demostrar que (a2 � b2)1/2 no
es igual a a � b.
127. Elija valores para a y b para demostrar que (a1/2 � b1/2)2 no
es igual a � b.
2n an
= 1 1n a2n = a? 128. Elija valores para a y b para demostrar que (a3 � b3)1/3 no
es igual a a � b.
129. Elija valores para a y b para demostrar que (a1/3 � b1/3)3 no
es igual a � b.
130. Determine si 23 1x = 213 x , x Ú 0.
En los ejercicios 137 a 142, utilice una calculadora donde sea apropiado.
137. Cultivo de bacterias La función sirve para
aproximar el número de bacterias que hay en cultivo des-
pués de t horas.
a) El número inicial de bacterias se determinócuando 
t = 0. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
b) ¿Cuántas bacterias hay después de
138. Determinación de antigüedad Los científicos emplean un
método denominado “fechado con carbono” para determinar
la antigüedad de fósiles, huesos y otros objetos. La fórmula
que se usa es P = P02
�t/5600, donde P0 representa la cantidad
original de carbono 14 (C14) presente en un objeto, y P repre-
senta la cantidad de C14 que hay en él después de t años. Si en
un hueso de un animal recientemente desenterrado están
presentes 10 mg de C14, ¿cuántos mg estarán presentes dentro
de 5000 años?
139. Planes de retiro Cada año es mayor el número de estadou-
nidenses que contribuyen al plan de retiro denominado
401(k). El total de activos, A(t), de los planes 401(k), en mi-
les de millones de dólares, puede aproximarse mediante la
función A(t) = 2.69t3/2,donde t es años desde 1993,y 1 � t � 16.
(Por lo tanto, esta función aplica para los años 1994 a 2009.)
Estime el total de activos que habrá en los planes 401(k) en
a) 2000 y b) 2009.
1
2
 hora?
B1t2 = 210 # 2t, 140. Ventas por Internet Las ventas por Internet han aumenta-
do cada año. La cantidad total, I(t), en miles de millones de
dólares, de ventas realizadas por Internet, puede aproxi-
marse mediante la función I(t) = 0.25t5/3, donde t son los
años desde 1999, y 1 � t � 9. Determine la cantidad total en
ventas realizadas por Internet en a) 2000 y b) 2008.
141. Evalúe Explique cómo determinó su respuesta.1312212.
Factorice. Escriba la respuesta sin exponentes negativos.
131. 132. 133.
134. 135. 136. a6>5
+ a-4>5y-2>5
+ y8>5x-1>2
+ x1>2
y1>3
- y7>3x1>4
- x5>4x3>2
+ x1>2
Sección 7.3 Simplificación de radicales 465
142. a) Evalúe en su calculadora 3p.
b) Explique por qué el valor que indicó en la parte a) tiene
sentido o no.
143. Determine el dominio de
144. Determine el dominio de
145. Suponga que x puede ser cualquier número real. Simplifi-
que
a) n es un número par.
b) n es un número impar.
2n 1x - 622n
f1x2 = 1x + 421>21x - 32-1>2.
f1x2 = 1x - 721>21x + 32-1>2.
Determine el índice que debe colocarse en el área sombreada pa-
ra que la expresión sea verdadera. Explique cómo determinó su
respuesta.
146.
147.
148. a) Escriba en forma exponencial.
b) Utilizando su calculadora graficadora, compruebe que
la respuesta que dio en la parte a) es correcta; para ello,
grafique f(x) tanto en su forma original como en la for-
ma exponencial que usted determinó.answer section.
f1x2 = 12x + 3
Ejercicios de repaso acumulativo
[3.2] 149. Determine cuáles de las relaciones siguientes tam-
bién son funciones.
a) b) c)
149. c) is a function.
y
x
y
x
y
x
[6.3] 150. Simplifique
[6.4] 151. Resuelva la ecuación
[6.5] 152. Piloteando un avión Amy Mayfiel puede pilotear su
aeroplano en un trayecto de 500 millas con el viento en
contra, en el mismo tiempo que le toma pilotearlo 
en un trayecto de 560 millas con el viento a favor. Si el
viento sopla a 25 millas por hora, determine la veloci-
dad del aeroplano con viento en calma.
3x - 2
x + 4
=
2x + 1
3x - 2
.
a-2
+ ab-1
ab-2
- a-2
 b-1.
1 Entender potencias
perfectas.
2 Simplificar radicales
mediante la regla del
producto para radicales.
3 Simplificar radicales
mediante la regla del
cociente para radicales.
1 Entender potencias perfectas
En esta sección simplificaremos radicales mediante la regla del producto para radica-
les y la regla del cociente para radicales, pero antes se presentará un concepto que nos
ayudará a comprenderlas: las potencias perfectas.
Un número o expresión es un cuadrado perfecto si es el cuadrado de una expre-
sión. Los siguientes son ejemplos de cuadrados perfectos.
Tal como se ilustra a continuación, las variables con exponentes también pueden
ser cuadrados perfectos.
Observe que todos los exponentes de las variables de los cuadrados perfectos son múl-
tiplos de 2.
Al igual que existen cuadrados perfectos, también hay cubos perfectos. Un núme-
ro o expresión es un cubo perfecto si puede escribirse como el cubo de una expresión.
Los siguientes son algunos ejemplos.
Observe que todos los exponentes de las variables de los cubos perfectos son múltiplos
de 3.
x3, x6, x9, x12, x15, Á
p p p p p 1x23, 1x223, 1x323, 1x423, 1x523, Á
Cubos perfectos
 
Cubo de una expresión
1, 8, 27, 64, 125, 216, Á
p p p p p p 
13, 23, 33, 43, 53, 63, Á
Cubos perfectos
 
Cubo de un número
x2, x4, x6, x8, x10, Á
p p p p p 1x22, 1x222, 1x322, 1x422, 1x522, Á
Cuadrados perfectos
 
Cuadrado de una expresión
1, 4, 9, 16, 25, 36, Á
p p p p p p 
12, 22, 32, 42, 52, 62, Á
Cuadrados perfectos
 
Cuadrado de un número
7.3 Simplificación de radicales
4 3 
5 2 
● 13 z = z1>120
3 
4 2 
● 1x = x1>24
4
466 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
Regla del producto para radicales
Para números reales no negativos a y b,1n a # 1n b = 1n ab
Podemos ampliar nuestro análisis respecto de potencias perfectas de una variable
para cualquier radicando. En general, el radicando xn es una potencia perfecta cuando
n es un múltiplo del índice del radicando (o donde n es divisible entre el índice).
Ejemplo
Por ejemplo, si el índice de una expresión radical es 5, entonces x5, x10, x15, x20, etcé-
tera, son potencias perfectas del índice.
S u g e r e n c i a ú t i l
Un método rápido para saber si un radicando xn es una potencia perfecta para un índice, con-
siste en determinar si el exponente n es divisible entre el índice del radical. Por ejemplo, en
Como el exponente, 20, es divisible entre el índice, 5, x20 es una quinta potencia per-
fecta. En cambio, en El exponente, 20, no es divisible entre el índice, 6; entonces, x20 no
es una sexta potencia perfecta. Sin embargo, x18 y x24 sí lo son, ya que 6 divide a 18 y a 24.
Observe que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto se simplifica a una expresión sin
signo radical; la raíz cúbica de un cubo perfecto se simplifica a una expresión sin signo
radical, y así sucesivamente.
Ejemplos
Estamos listos para analizar la regla del producto para radicales.
2 Simplificar radicales mediante la regla del producto 
para radicales
Para introducir la regla del producto para radicales, observe que
También Vemos que Éste es un ejemplo de la
regla del producto para radicales.
14 # 19 = 14 # 9.14 # 9 = 136 = 6.
14 # 19 = 2 # 3 = 6.
 25 n35
= n35>5
= n7
 23 z12
= z12>3
= z4
 2x6
= x6>2
= x3
 13 27 = 23 33
= 33>3
= 3
 136 = 262
= 62>2
= 6
26 x20 .
25 x20 .
Potencias perfectas de xn para el índice n xn, x2n, x3n, x4n, x5n, Á
Ejemplos de la regla del producto para radicales13 20 = c
13 1 # 13 2013 2 # 13 1013 4 # 13 5
120 = c
11 # 12012 # 11014 # 15
puede factorizarse en
cualquiera de estas formas.
120 puede factorizarse en
cualquiera de estas formas.
13 20
23 x7
= c
13 x # 23 x623 x2 # 23 x523 x3 # 23 x4
2x7
= c
1x # 2x62x2 # 2x52x3 # 2x4
puede factorizarse en
cualquiera de estas formas.
2x7 puede factorizarse en
cualquiera de estas formas.
23 x7
Ahora que conocemos la regla del producto para radicales, la usaremos para sim-
plificar radicales. A continuación mostramos un procedimiento general que puede
usarse para simplificar radicales mediante la regla del producto.
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