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Sección 7.3 Simplificación de radicales 467
Si simplificamos una raíz cuadrada, debemos escribir el radicando como el produc-
to del cuadrado perfecto más grande por otro número. Si simplificamos una raíz cúbica,
debemos escribir el radicando como el producto del cubo perfecto más grande por otro
número, y así sucesivamente.
EJEMPLO 1 � Simplifique. a) b) c) d)
Solución En este ejemplo, los radicandos no tienen variables. Seguiremos el paso 1
del procedimiento.
a) Como estamos evaluando una raíz cuadrada, buscamos el cuadrado perfecto más
grande que divida a (o sea un factor de) 32, en este caso, 16.
b) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 60 es 4.
c) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27.
d) La cuarta potencia perfecta más grande que es factor de 96 es 16.
� Ahora resuelva el ejercicio 19
S u g e r e n c i a ú t i l
En el ejemplo 1 a), si primero pensó que 4 era el cuadrado perfecto más grande que dividía
a 32, podría proceder como sigue
Observe que el resultado final es el mismo, pero debe realizar más pasos. La explicación de
potencias perfectas de la página 465 puede ayudarle a determinar el cuadrado perfecto o el
cubo perfecto más grandes que son factores de un radicando.
El ejemplo 1 b) también puede tener factores como sin embargo, como ni
5 ni 3 son cuadrados perfectos, no puede simplificarse.
Cuando el radicando es una potencia perfecta del índice, el radical puede simplifi-
carse escribiéndolo en forma exponencial, como en el ejemplo 2.
EJEMPLO 2 � Simplifique. a) b) c)
Solución
a) b) c)
� Ahora resuelva el ejercicio 33
25 z40
= z40>5
= z823 x12
= x12>3
= x42x4
= x4>2
= x2
25 z4023 x122x4
115
15 # 3;115
 = 214 # 2 = 214 12 = 2 # 212 = 412
 132 = 14 # 8 = 14 18 = 218
14 96 = 14 16 # 6 = 14 16 14 6 = 214 6
13 54 = 13 27 # 2 = 13 2713 2 = 313 2
160 = 14 # 15 = 14 115 = 2115
132 = 116 # 2 = 116 12 = 412
14 9613 54160132
Para simplificar radicales mediante la regla del producto
1. Si el radicando contiene un coeficiente distinto de 1, escríbalo como el producto de
dos números, uno de los cuales es la máxima potencia perfecta del índice.
2. Escriba cada factor variable como el producto de dos factores, donde uno de los cua-
les sea la máxima potencia perfecta de la variable del índice.
3. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un producto de radi-
cales. Coloque todas las potencias perfectas (números y variables) bajo el mismo radical.
4. Simplifique el radical que contiene las potencias perfectas.
468 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
EJEMPLO 3 � Simplifique. a) b) c)
Solución Como los radicandos tienen coeficiente 1, iniciamos con el paso 2 del pro-
cedimiento.
a) El cuadrado perfecto más grande menor o igual a x9 es x8.
b) La quinta potencia perfecta más grande menor o igual a x23 es x20.
c) La cuarta potencia más grande menor o igual a y33 es y32.
� Ahora resuelva el ejercicio 39
Si observa las respuestas al ejemplo 3, verá que el exponente de la variable del ra-
dicando siempre es menor que el índice. Cuando un radical se simplifica, el radicando
no tiene una variable con un exponente mayor o igual al índice.
En el ejemplo 3 b) simplificamos Si dividimos 23, el exponente en el radi-
cando, entre 5, el índice, obtenemos
4 —
5�23
20
3 —
25 x23 .
24 y33
= 24 y32 # y = 24 y32 14 y = y32>414 y = y814 y
25 x23
= 25 x20 # x3
= 25 x20 25 x3
= x20>525 x3
= x425 x3
2x9
= 2x8 # x = 2x8 # 1x = x8>21x = x41x
24 y3325 x232x9
Cociente
Residuo
Observe que se simplifica a y
Cociente Residuo
Cuando simplificamos un radical, si dividimos el exponente dentro del radical en-
tre el índice, el cociente será el exponente de la variable fuera del signo radical, y el re-
siduo será el exponente de la variable dentro del signo radical. Ahora, simplifique el
ejemplo 3 c) mediante esta técnica.
EJEMPLO 4 � Simplifique. a) b)
Solución
a) x12 es un cuadrado perfecto. El cuadrado perfecto más grande que es factor de y17
es y16. Escriba y17 como
b) Empezamos por encontrar la cuarta potencia perfecta más grande que sea factor
de x6 y y23. Para un índice de 4, la potencia perfecta más grande que es factor de x6
es x4. La potencia perfecta más grande que es factor de y23 es y20.
� Ahora resuelva el ejercicio 51
Con frecuencia los pasos donde cambiamos la expresión radical a forma exponen-
cial se realizan de forma mental y, por lo tanto, esos pasos no se ilustran. Por ejemplo,
en el ejemplo 4 b) cambiamos a xy5 mentalmente, así que no se mostraron los
pasos intermedios.
24 x4
 y20
 = xy524 x2
 y3
 = 24 x4y20 24 x2
 y3
 = 24 x4y20 # x2
 y3
 24 x6
 y23
= 24 x4 # x2 # y20 # y3
 = x6y81y
 = x12>2
 y16>21y
 = 2x122y16 1y
 2x12
 y17
= 2x12 # y16 # y = 2x12
 y16 1y
y16 # y.
24 x6
 y232x12
 y17
¡x425 x3 —
x425 x325 x23
Sección 7.3 Simplificación de radicales 469
Regla del cociente para radicales
Para números reales no negativos a y b,
b Z 0
1n a1n b
= An a
b
,
EJEMPLO 5 � Simplifique. a) b)
Solución
a) El cuadrado perfecto más grande que es factor de 80 es 16. El cuadrado perfecto
más grande que es un factor de x5 es x4. La expresión y12 es un cuadrado perfecto.
El cuadrado perfecto más grande que es factor de z3 es z2. Coloque todos los cua-
drados perfectos bajo el mismo radical y luego simplifique.
b) El cubo perfecto más grande que es factor de 54 es 27. El cubo perfecto más grande
que es factor de x17 es x15. El cubo perfecto más grande que es factor de y25 es y24.
� Ahora resuelva el ejercicio 57
S u g e r e n c i a ú t i l
En el ejemplo 4 b), mostramos que
Como se mencionó en la página 468, este radical también puede simplificarse dividiendo los
exponentes de las variables dentro del radicando, 6 y 23, entre el índice, 4, y observando
los cocientes y los residuos.
¿Puede explicar por qué este procedimiento también funciona? Tal vez quiera usar este pro-
cedimiento para resolver o comprobar ciertos problemas.
A continuación se presentan las reglas del cociente para radicales.
3 Simplificar radicales mediante la regla del cociente 
para radicales
A veces en matemáticas es necesario simplificar un cociente de dos radicales; para ha-
cerlo se utiliza la regla del cociente para radicales.
Cociente Cociente Residuo Residuo
24 x6y23
= x1y524 x2y3
23 , 46 , 423 , 46 , 4
24 x6
 y23
= xy524 x2
 y3
 = 3x5
 y823 2x2
 y
 = 23 27x15
 y24 # 23 2x2
 y
 = 23 27x15
 y24 # 2x2
 y
 23 54x17
 y25
= 23 27 # 2 # x15 # x2 # y24 # y
 = 4x2
 y6
 z15xz
 = 216x4
 y12
 z2 # 15xz
 = 216x4
 y12
 z2 # 5xz
 280x5
 y12
 z3
= 216 # 5 # x4 # x # y12 # z2 # z
23 54x17
 y25280x5
 y12
 z3
470 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
Ejemplos de la regla del cociente para radicales
Los ejemplos 6 y 7 ilustran cómo utilizar la regla del cociente para simplificar ex-
presiones radicales.
EJEMPLO 6 � Simplifique. a) b) c)
Solución En cada parte utilizamos la regla del cociente para escribir el cociente de
radicales como un solo radical. Luego simplificamos.
a)
b)
c) Regla del cociente para radicales.
Simplificar el radicando.
� Ahora resuelva el ejercicio 93
Cuando se presentaron los radicales en la sección 7.1, se indicó que ya que
La regla del cociente puede ser útil en la evaluación de raíces cuadradas que
tienen fracciones, como se ilustra en el ejemplo 7 a).
EJEMPLO 7 � Simplifique. a) b) c)
Solución En cada parte, primero simplificamos el radicando, si esto es posible. Luego
utilizamos la regla del cociente para escribir el radical dado como cociente de radicales.
a)
b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 97
A4 
18xy5
3x9
 y
= A4 
6y4
x8 =
24 6y424 x8
=
24 y4 14 6
x2 =
y14 6
x2
A3 
8x4
 y
27xy10 = A3 
8x3
27y9 =
23 8x323 27y9
=
2x
3y3
A121
25
=
1121125
=
11
5
A4 
18xy5
3x9
 yA3 
8x4
 y
27xy10A121
25
2
3
#
2
3
=
4
9
.
A4
9
=
2
3
 = xy4
 = 23 x3
 y12
 
23 x4
 y723 xy-5
= A3 
x4
 y7
xy-5
13 24x13 3x
= A3 24x
3x
= 13 8 = 2
17513
= A75
3
= 125 = 5
23 x4
 y723 xy-5
13 24x13 3x
17513
A3z9
27
=
23 z913 27
23 y523 y2
= A3 
y5
y2
Ax4
y2 =
2x42y2
2x31x
= Ax3
x
A 9
25
=
19125
11813
= A18
3
Sección 7.3 Simplificación de radicales 471
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.3
Ejercicios de concepto/redacción
Cómo evitar errores comunes
Las simplificaciones siguientes son correctas, ya que los números y variables cancelados
no están dentro de raíces cuadradas.
CORRECTO CORRECTO
Cuando una expresión está dentro de una raíz cuadrada, no puede dividirse entre una
expresión que está fuera de ella.
CORRECTO INCORRECTO
No puede simplificarse más
 
2x 3 
2
 x 
= 2x2
= x
2x3
x
=
2x2 1x
x
=
x1x
x
= 1x
 
2 2 
1
 2 
1
= 11 = 1
12
2
 x 12
 x 
= 12
 6 
2
 12
 3 
1
= 212
1. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cuadrados per-
fectos? square the natural numbers
b) Liste los primeros seis cuadrados perfectos.
2. a) ¿Cómo se obtienen los números que son cubos perfectos?
b) Liste los primeros seis cubos perfectos. 1, 8, 27, 64, 125, 216
3. a) ¿Cómo se obtienen números que sean quintas potencias
perfectas? Raise the natural numbers to the fifth power.
b) Liste los primeros cinco números que son quintas poten-
cias perfectas.
4. Establezca la regla del producto para radicales.
5. Cuando proporcionamos la regla del producto, mencionamos
que para números reales no negativos a y b,
¿Por qué es necesario especificar que a y b son números reales
no negativos?
6. Establezca, con sus propias palabras, la regla del cociente
para radicales.
7. Al establecer la regla del cociente, mencionamos que para
números reales no negativos a y b, ¿Por
qué es necesario especificar que a y b son números reales no
negativos?
8. En la regla del cociente que se analizó en el ejercicio 7, ¿por
qué el denominador nunca puede ser igual a cero? possible
1n a1n b
= An a
b
, b Z 0.
1n a # 1n b = 1n ab .
Práctica de habilidades
En este conjunto de ejercicios, suponga que todas las variables representan números reales positivos.
Simplifique.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23. 24.
25. 26. 27. 28.
29. 30. 31. 32.
33. 34. 35. 36.
37. 38. 39. 40.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48.
49. 50. 51. 52.
53. 54. 55. 56.
57. 58. 59. 60.
61. 62. 63. 64. 26 64x12
 y23
 z5025 32a10
 b12
-24 32x18
 y3124 81a8
 b9
24 48x11
 y2124 32x8
 y9
 z1923 128a10
 b11
 c1223 81a6
 b8
23 16x3
 y6224x15
 y20
 z27
-220x6
 y7
 z1225 a6
 b23
2x5
 y923 x3
 y7275a7
 b112250y9
224x3325 y2327 y1526 x9
25 z724 b2323 a7823 z32
23 b132a11
-2x52x3
25 y2023 x662y1223 b9
-15 243-15 6414 16214 48
14 8013 4013 10813 32
13 8113 5413 2413 16
16001401300175
172150112132
11812412818
472 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
Simplifique.
65. 5 66. 3 67. 68.
69. 3 70. 6 71. 72.
73. 74. 75. 76. 2
77. 78. 3 79. 2 80.
81. 82. 83. 84.
85. 86. 87. 88.
89. 90. 91. 92.
93. 94. 95. 96.
97. 98. 99. 100.
Resolución de problemas
A4 
3a6
 b5
16a-6
 b13A4 
10x4
 y
81x-8A3 
54xy4
 z17
18x13
 z4A3 
25x2
 y9
5x8
 y2
A3 
64a5
 b12
27a14
 b5A3 
5xy
8x13
2300a10
 b1122ab4
248x6
 y926x2
 y6
272x3
 y528x3
 y7
227x623x2
264x522x3
12413
A4 
16x16
 y32
81x-4A3 
a8
 b12
b-8A3 
27x6
y12A3 
c6
64
A49a8
 b10
121c14A 16x4
25y10A100a8
49b6A r4
4
15 215 64A5 
96
3
14 24314 3A4 
3
48
13 3213 4
13 313 81A3 
2
54A3 
3
24
115160
13148
17212
12713
A 8
50A 81
100A36
4A75
3
101. Pruebe que convirtiendo a forma
exponencial.
102. El producto de dos radicales, ¿siempre será un radical? Pro-
porcione un ejemplo para apoyar su respuesta.
103. El cociente de dos radicales, ¿siempre será un radical? Pro-
porcione un ejemplo para apoyar su respuesta.
104. Pruebe que convirtiendo a forma exponencial.An 
a
bAn a
b
=
1n a1n b
1a # b1a # b = 1a 1b
Ejercicios de repaso acumulativo
[2.2] 106. Despeje C de la fórmula .
[2.6] 107. Resuelva para x: ` 2x - 4
5
` = 12
F =
9
5
 C + 32
105. a) La expresión ¿siempre será igual a 1?
b) Si su respuesta a la parte a) fue no, ¿en qué condiciones
será igual a 1?
1n x1n x
1n x1n x
[5.3] 108. Divida
[5.6] 109. Factorice 1x - 323 + 8.
15x12
- 5x9
+ 20x6
5x6 .
1 Sumar y restar radicales.
2 Multiplicar radicales.
1 Sumar y restar radicales
Los radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo radicando y el mismo ín-
dice. Los radicales no semejantes son los que difieren en el radicando o en el índice.
Ejemplos de radicales semejantes Ejemplos de radicales no semejantes
Los índices difieren.
Los radicandos difieren.
Los radicandos difieren.
Los índices difieren.
Los radicandos difieren.13 xy , 23 x2
 y24 x2
 y5 , -24 x2
 y5
1x , 13 x13 2x , -413 2x
1x , 12x1x , 51x
16, 17617, -217
15, 13 515, 315
7.4 Suma, resta y multiplicación de radicales
Sección 7.4 Suma, resta y multiplicación de radicales 473
Los radicales semejantes se suman y restan de manera similar a como se suman y
restan los términos semejantes. Para sumar o restar radicales semejantes, se suman o res-
tan sus coeficientes numéricos y se multiplica el resultado por el radical semejante.
Ejemplos de sumas y restas de radicales semejantes
EJEMPLO 1 � Simplifique.
a) b)
Solución
a) Coloque juntos los términos
semejantes.
b)
� Ahora resuelva el ejercicio 15
Como se mencionó en la sección 7.3, a veces es posible convertir radicales no se-
mejantes en radicales semejantes simplificando uno o más de ellos.
EJEMPLO 2 � Simplifique.
Solución Como y son radicales no semejantes, no se pueden sumar como
están ahora. Sin embargo, podemos simplificar para obtener radicales semejantes.
� Ahora resuelva el ejercicio 19
 = 13 + 313 = 413
 13 + 127 = 13 + 19 13
127
12713
13 + 127.
213 x + 8x + 413 x - 3 = 613 x + 8x - 3
 = 13 + 312 1o 312 + 132
 = 13 + 14 - 1212
 6 + 412 - 12 + 7 = 6 + 7 + 412 - 12
213 x + 8x + 413 x - 36 + 412 - 12 + 7
 415x - y15x = 14 - y215x
 23 4x2
+ 523 4x2
= 11 + 5223 4x2
= 623 4x2
 51x - 71x = 15 - 721x = -21x
 316 + 216 = 13 + 2216 = 516
EJEMPLO 3 � Simplifique.
a) b) c)
Solución
a)
b)
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 23
 = 3 + 313 3 - 713 3 = 3 - 413 3
 13 27 + 13 81 - 713 3 = 3 + 13 27 # 13 3 - 713 3
 = 615 - 415 + 215 = 415
 = 2 # 315 - 415 + 215
 2145 - 180 + 120 = 2 # 19 # 15 - 116 # 15 + 14 # 15
 = 1016 + 316 = 1316
 = 5 # 216 + 316
 5124 + 154 = 5 # 14 # 16 + 19 # 16
13 27 + 13 81 - 713 32145 - 180 + 1205124 + 154
Para sumar o restar radicales
1. Simplifique cada expresión radical.
2. Combine (sume o reste) los radicales semejantes (si existen).
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