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camposfederico699
29/4/2024
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Álgebra II

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486 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
15. 16. 17. 18.
19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26.
27. 28. 29. 30.
31. 32.
Simplifique.
33. 34. 35. 36.
37. 38. 39. 40.
41. 42. 43. 44.
45. 46. 47. 48.
49. 50. 51. 52.
53. 54. 55. 56.
Multiplique.
57. 19 58. 46 59. 62 60. 29
61. 62. 63. 64.
65. 66.
Simplifique mediante la racionalización del denominador.
67. 68. 69. 70.
71. 72. 73. 74.
75. 76. 77. 78.
79. 80. 81. 82.
83. 84.
Simplifique. Estos ejercicios son una combinación de los que ya se presentaron antes en esta sección.
85. 86. 87. 88.
89. 1 90. 91. 92.
93. 94. 95. 96.
97. 98. 99. 100. A49x2
 y5
3zA4 
3y2
2xA 2xy4
50xy2- 
71x198
1x1x + 61y
11a + 7
8x13 5yA28xy4
2x3
 y4
5
4 - 1yA24x3
 y6
5zA3 
1
16
1 17 + 1621 17 - 162
Aa
bA2
9A4 
x4
16A x
16
81y - 3 + 6
41x + 2 - 3
21xy - 1xy1x + 1y
2a3
+ 2a71a
1c - 12d1c - 1d
12 - 21312 + 413
18x
x + 1y
41x1x - y
4151a - 3
3
6 + 1x
1117 - 18
15
215 - 16
612 + 13
512 - 7
3
5 - 17
1
2 + 13
412 + 1
213 + 1
151c - 41d2151c + 41d2121x - 31y2121x + 31y2
1 1x - 1y21 1x + 1y21 1a - 1b21 1a + 1b213 + 117213 - 117212 - 110212 + 1102
16 - 17216 + 17218 + 12218 - 12217 + 13217 - 13215 - 16215 + 162
A6 
r4
 s9
2r5A3 
14xy2
2z2A3 
15x6
 y7
2z2A3 
3x2
2y2
A4 
2x3
4y2A4 
5
3x3
314 a
5m14 2
A3 
7c
9y2A3 
1
2xA3 
4x
y
227 a4
x25 y4
1025 y3
1324 z3
524 z2
814 z
a14 8
z14 4
114 3
223 a2
813 y
113 4
113 2
A45y12
 z10
2xA48x6
 y5
3z3
A5xy6
3zA20y4
 z3
3xy-4A7pq4
2rA18x4
 y3
2z3
A120x
4y3
2n118n
9132y3A5m
8
2131a
1x1y
15x1x
61316
1191q
1y17
m113
p12
Sección 7.5 División de radicales 487
101. 102. 103. 104.
105. 106. 107. 108.
Simplifique.
109. 110. 111.
112. 113. 114.
115. 116. 117.
118. 119. 120.
121. 122. 123.
124. 125. 126.
Simplifique.
127. 128. 129. 130.
131. 132. 133. 134.
Resolución de problemas
26 4m8
 n424 m4
 n2
25 x4
 y623 1xy22
2a2
 b423 ab2
23 r2
 s41rs
26 1r + 32523 1r + 325
25 1a + 2b2423 1a + 2b22
13 c + 224 1c + 223
21a + b2413 a + b
61x +
11x
+ A 1
x
31a
- A9
a
+ 21a-5xA y
y2 + 9xA 1
y
-2Ax
y
+ 3Ay
x
2A8
3
- 4A100
6A3
8
+ A3
2
13
3
+
513
+ 112
2150
- 3150 -
118
1
2
 118 -
312
- 9150
A1
2
+ 712 + 118
2
3
+
113
+ 175512 -
218
+ 150
513 -
313
+ 21184A1
6
+ 124
16
2
-
216
15 -
215
113
+
13
3
112
+
12
2
91y + 9 - 1yA4 
2x7
 y12
 z4
3x9
23 16m2
 n23 2mn2
13 6x13 5xy
A4 
2
9x
1ar1a - 21r
13 + 212 + 13A3 
32y12
 z10
2x
135. Iluminación En determinadas condiciones, la fórmula 
se usa para mostrar la relación entre la iluminación sobre
un objeto I, en lúmenes por metro, y la distancia en metros,
d, que hay entre el objeto y la fuente de luz. Si la ilumina-
ción sobre una persona que está cerca de una fuente de luz
es de 5.3 lúmenes por metro, ¿a qué distancia de la fuente
de luz se encuentra la persona?
136. Resistencia de una tabla Cuando se aplica suficiente pre-
sión sobre una tabla, ésta se rompe. Cuanto mayor sea el
grosor de la tabla, mayor será la presión que se necesita pa-
ra que se rompa. La fórmula
relaciona el grosor de una tabla, T, en pulgadas, su longitud,
L, en pulgadas, la presión que se ejerce sobre ella, B, en li-
bras y el módulo de ruptura, M, en libras por pulgadas cua-
dradas. El módulo de ruptura es una constante que se
determina de acuerdo con el tipo específico de tabla.
Determine el grosor de una tabla de 36 pulgadas de lar-
go, si el módulo de ruptura es 2560 libras por pulgada cua-
drada y la tabla se rompe cuando se le aplica una presión de
800 libras. 0.75 in.
T = A0.05 LB
M
d = A72
I
137. Volumen de una pecera Un restaurante quiere colocar una
pecera esférica en su vestíbulo. El radio, r, en pulgadas, de
un tanque esférico se determina mediante la fórmula 
donde V es el volumen del tanque en pulgadas cúbicas. De-
termine el radio de un tanque esférico cuyo volumen es de
7238.23 pulgadas cúbicas.
138. Números consecutivos Si consideramos el conjunto de nú-
meros naturales consecutivos 1, 2, 3, 4, p , n como la pobla-
ción, la desviación estándar, s, que es una medida de
dispersión de los datos respecto a la media, puede calcular-
se mediante la fórmula
donde n representa la cantidad de números naturales en la
muestra. Determine la desviación estándar para los prime-
ros 100 números naturales consecutivos.
s = An2
- 1
12
r = A3 
3V
4p
488 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
139. Granjas en Estados Unidos El número de granjas en Estados
Unidos está disminuyendo anualmente (aunque el tamaño de
las que quedan ha aumentado). Una función que puede usar-
se para aproximar el número de granjas, N(t), en millones, es
donde t es años desde 1959 y 1 � t � 50. Estime el número
de granjas en Estados Unidos en a) 1960, y b) 2008.2.35 mil-
lion
140. Tasa de mortalidad infantil La tasa de mortalidad infantil, en
Estados Unidos, ha disminuido de manera constante. La tasa
de mortalidad infantil, N(t), definida como muertes por 1000
niños nacidos vivos, puede aproximarse mediante la función
donde t es años desde 1969 y 1 � t � 37. Estime la tasa de
mortalidad infantil en a) 1970, y b) 2006.2.56
N1t2 =
28.4623 t2
N1t2 =
6.2114 t
141. ¿Cuál es mayor, or Explique.
142. ¿Cuál es mayor, o Explique.
143. ¿Cuál es mayor, o (No utilice una calcu-
ladora). Explique cómo determinó su respuesta.
144. ¿Cuál es mayor, o 
(No utilice calculadora.) Explique cómo determinó su res-
puesta.
145. Considere las funciones y 
a) Liste tres valores para a, de tal manera que xa/2 sea un
cuadrado perfecto. 4, 8, 12
b) Liste tres valores para b, de tal manera que xb/3 sea un
cubo perfecto. 9, 18, 27
c) Si determine
d) Si determine (f/g)(x).
Racionalice cada denominador.
146.
147.
312a - 3b
11a + b
x Ú 0,
1f # g21x2.x Ú 0,
g1x2 = xb>3.f1x2 = xa>2
2112
+ 148 + 213 ?
113
+ 175
2 + 13 ?
113 + 2
213
 ?
13
2
313
 ?
212
En cursos superiores de matemáticas, puede ser necesario racionalizar los numeradores de las expresiones radicales. Racionalice los nu-
meradores de las expresiones siguientes. (Sus respuestas contendrán radicales en los denominadores.)
148. 149. 150. 151.
Actividad en grupo
Figuras semejantes Los dos ejercicios siguientes reforzarán muchos de los conceptos que se han presentado en este capítulo. Resuélva-
los en grupo. Asegúrese de que todos los miembros del equipo entiendan cada paso para obtener la solución. Las figuras de cada ejerci-
cio son semejantes; utilice una proporción para determinar la longitud del lado x en cada caso. Escriba la respuesta en forma radical con
un denominador racionalizado.
152. 153.
Ejercicios de repaso acumulativo
�80
x6 � 2�5
2 � 2�5
�12
x
5 � �3
1 � �3
1x + h - 1x
h
61x - 13
x
5 - 15
6
17
3
bos automóviles hay 270 millas de distancia después
de 3 horas, determine la velocidad de cada uno.
[5.2] 156. Multiplique
[6.4] 157. Resuelva
x
2
-
4
x
= - 
7
2
.
1x - 2214x2
+ 9x - 22.
[2.2] 154. Despeje b2 de la ecuación .
[2.4] 155. Vehículos en movimiento Dos automóviles comien-
zan un recorrido al mismo tiempo y desde el mismo
punto, viajando en direcciones opuestas. Uno viaja 10
millas por hora más rápido que el otro. Si entre am-
A =
1
2
 h1b1 + b22
Sección 7.6 Resolución de ecuaciones con radicales 489
1 Resolver ecuaciones que
contienen un radical.
2 Resolver ecuaciones que
contienen dos radicales.
3 Resolver ecuaciones que
contienen dos términos
radicales y un término no
radical.
4 Resolver problemas de
aplicación mediante
ecuaciones radicales.
5 Despejar una variable en un
radicando.
1 Resolver ecuaciones que contienen un radical
Una ecuación radical es aquella que contiene una variable en un radicando.
Ejemplos de ecuaciones con radicales1x - 2 = 7 + 1x + 813 y + 4 = 9,1x = 5,
Para resolver ecuaciones radicales
1. Reescriba la ecuación de modo que el radical que contiene a la variable quede solo
(aislado) en un lado de la ecuación.
2. Eleve cada lado de la ecuación a una potencia igual al índice del radical.
3. Combine (agrupe y sume) lostérminos semejantes.
4. Si la ecuación aún contiene un término con una variable en un radicando, repita los
pasos 1 a 3.
5. Despeje la variable en la ecuación resultante.
6. Compruebe todas las soluciones en las ecuaciones originales, para detectar la presen-
cia de soluciones extrañas, si las hay.
Recuerde que en la sección 6.4 se dijo que una solución extraña es un número que se
obtiene al resolver una ecuación, pero que no es solución de la ecuación original.
Los ejemplos siguientes ilustran el procedimiento para resolver ecuaciones radicales.
EJEMPLO 1 � Resuelva la ecuación
Solución La raíz cuadrada que contiene a la variable se encuentra sola en un lado
de la ecuación. A continuación elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Compruebe
Verdadero
� Ahora resuelva el ejercicio 11
EJEMPLO 2 � Resuelva.
a) b) c)
Solución El primer paso en cada caso consistirá en aislar el término que contiene al
radical.
a)
Aislar el radical que contiene
a la variable.
Elevar al cuadrado ambos lados.
Despejar la variable.
Una verificación mostrará que 40 es la solución.
b)
Aislar el radical que contiene
la variable.
Elevar al cubo ambos lados.
Una comprobación mostrará que �8 es la solución.
 x = -8
 1 13 x23 = 1-223
 13 x = -2
 13 x + 10 = 8
 x = 40
 x - 4 = 36
 1 1x - 422 = 62
 1x - 4 = 6
 1x - 4 - 6 = 0
1x + 3 = 013 x + 10 = 81x - 4 - 6 = 0
 5 = 5
 125 � 5
 1x = 5
 x = 25
 1 1x22 = 1522
 1x = 5
1x = 5.
7.6 Resolución de ecuaciones con radicales
490 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
c)
Aislar el radical que contiene a la
variable.
Elevar ambos lados al cuadrado.
Compruebe
Falso
Una comprobación mostrará que 9 no es una solución. La respuesta a la parte c) es
“no hay solución real”. Podría haberse dado cuenta de que no hay solución real
para el problema cuando obtuvo la ecuación ya que no puede ser
igual a un número real negativo.
� Ahora resuelva el ejercicio 17
S u g e r e n c i a ú t i l
No olvide verificar sus soluciones en la ecuación original. Recuerde que cuando ambos la-
dos de una ecuación se elevan a una potencia, es posible obtener soluciones extrañas.
Considere la ecuación x � 2. Observe lo que ocurre cuando usted eleva al cuadrado
ambos lados de la ecuación.
Observe que la ecuación x2 � 4 tiene dos soluciones, �2 y �2. Como la ecuación original
x � 2 sólo tiene una solución, 2, hemos obtenido la solución extraña, �2.
EJEMPLO 3 � Resuelva
Solución Como el radical ya está aislado, elevamos al cuadrado ambos lados de la
ecuación. Luego resolvemos la ecuación cuadrática resultante.
Ahora factorizamos y utilizamos la propiedad del factor nulo.
o
Compruebe
Verdadero Falso
Por lo tanto, 6 es una solución para la ecuación, pero 2 no lo es. El 2 es una solución ex-
traña, pues satisface la ecuación pero no la ecuación original,
� Ahora resuelva el ejercicio 43
12x - 3 = x - 3.
1 12x - 322 = 1x - 322,
 1 = -1 3 = 3
 11 �
-1 19 � 3
 12122 - 3 � 2 - 3 12162 - 3 � 6 - 3
 12x - 3 = x - 3 12x - 3 = x - 3
x � 2x � 6
 x = 2 x = 6
 x - 2 = 0 x - 6 = 0
 1x - 621x - 22 = 0
 x2
- 8x + 12 = 0
 0 = x2
- 8x + 12
 2x - 3 = x2
- 6x + 9
 2x - 3 = 1x - 321x - 32
 1 12x - 322 = 1x - 322
12x - 3 = x - 3.
 x2
= 4
 x2
= 22
 x = 2
1x1x = -3,
 6 = 0
 3 + 3 � 0
 19 + 3 � 0
 1x + 3 = 0
 x = 9
 1 1x22 = 1-322
 1x = -3
 1x + 3 = 0
Sección 7.6 Resolución de ecuaciones con radicales 491
CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA GRAFICADORA
En el ejemplo 3 encontramos que la solución de es 6. Si hacemos y y grafi-
camos y en una calculadora graficadora, obtendremos la figura 7.3. Observe que las gráficas parecen intersecarse en x � 6,
tal como esperábamos.
La tabla de valores de la figura 7.4 muestra que la coordenada y en el punto de intersección es 3. En la tabla aparece
ERROR en la columna de para los valores 0 y 1 de x. Para cualquier valor menor que el valor de 2x � 3 es negativo y, por
lo tanto, no es un número real. El dominio de la función es que puede encontrarse resolviendo la de-
sigualdad 
Puede utilizar su calculadora graficadora para resolver o comprobar ecuaciones radicales.
EJERCICIOS
Utilice su calculadora graficadora para determinar si el valor indicado es la solución para la ecuación radical. Si no es la solución,
utilice su graficadora para determinar la respuesta correcta.
1. 2. 13x + 4 = 1x + 12, 612x + 9 = 51x - 72 , 8
2x - 3 Ú 0.
ex ` x Ú
3
2
f ,Y112x - 3
3
2
,Y1
Y2Y1
Y2 = x - 3Y1 = 12x - 312x - 3 = x - 3
EJEMPLO 4 � Resuelva
Solución En primer lugar, aislamos el término con el radical dejándolo solo en un
lado de la ecuación.
Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.
o
Compruebe
Falso
Verdadero
La solución es 9. El valor 1 es una solución extraña.
� Ahora resuelva el ejercicio 41
 0 = 0
 3 - 3 � 0 -4 = 0
 9 - 6 - 3 � 0 1 - 2 - 3 � 0
 9 - 2132 - 3 � 0 1 - 2112 - 3 � 0
 9 - 219 - 3 � 0 1 - 211 - 3 � 0
 x - 21x - 3 = 0 x - 21x - 3 = 0
x � 9x � 1
 x = 9 x = 1
 x - 9 = 0 x - 1 = 0
 0 = 1x - 121x - 92
 0 = x2
- 10x + 9
 4x = x2
- 6x + 9
 121x22 = 1x - 322
 21x = x - 3
 -21x = -x + 3
 x - 21x - 3 = 0
x - 21x - 3 = 0.
Y1
Y2
FIGURA 7.3 FIGURA 7.4
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