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492 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
2 Resolver ecuaciones que contienen dos radicales
A continuación analizaremos algunas ecuaciones que contienen dos radicales.
EJEMPLO 5 � Resuelva
Solución Como los dos radicales aparecen en lados diferentes de la ecuación, ele-
vamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Elevar al cuadrado ambos lados.
Propiedad distributiva.
se restó 9x2 de ambos lados.
Una comprobación mostrará que es la solución.
� Ahora resuelva el ejercicio 27
En cursos superiores de matemáticas, en ocasiones las ecuaciones utilizan expo-
nentes en lugar de radicales. El ejemplo 6 ilustra una de tales ecuaciones.
EJEMPLO 6 � Para y determine todos
los valores de x para los que
Solución Debe darse cuenta que f(x) y g(x) también se pueden escribir
y Por consiguiente, podríamos resolver este
ejemplo mediante radicales; sin embargo, lo haremos con exponentes racionales. Pri-
mero igualamos las dos funciones y despejamos x.
Elevar al cubo ambos lados.
Una comprobación mostrará que la solución es 4. Si sustituye 4 en f(x) y en g(x), des-
cubrirá que ambas ecuaciones se simplifican a Compruébelo.
� Ahora resuelva el ejercicio 69
En el ejemplo 6, si resuelve la ecuación obtendrá la solu-
ción 4. Ahora, para practicar, compruébelo.
3 Resolver ecuaciones que contienen dos términos
radicales y un término no radical
Cuando una ecuación radical contiene dos términos radicales y un tercer término no
radical, a veces es necesario elevar ambos lados de la ecuación a una determinada po-
tencia dos veces para obtener la solución. En primer lugar, aísle un término radical.
313 x - 2 = 13 17x - 14
313 2.
 x = 4
 10x = 40
 10x - 54 = -14
 27x - 54 = 17x - 14
 271x - 22 = 17x - 14
 331x - 22 = 17x - 14
 [31x - 221>3]3
= [117x - 1421>3]3
 31x - 221>3 = 117x - 1421>3
 f1x2 = g1x2
g1x2 = 13 17x - 14.f1x2 = 313 x - 2
f1x2 = g1x2. g1x2 = 117x - 1421>3,f1x2 = 31x - 221>3
8
3
 
8
3
= x
 24 = 9x
 6 = 9x - 18
 9x2
+ 6 = 9x2
+ 9x - 18
 9x2
+ 6 = 91x2
+ x - 22
 A 29x2
+ 6 B 2 = A32x2
+ x - 2 B 2
29x2
+ 6 = 32x2
+ x - 2.
Sección 7.6 Resolución de ecuaciones con radicales 493
Después eleve ambos lados de la ecuación a una potencia dada. Esto eliminará uno de
los radicales. A continuación, aísle el radical restante en un lado de la ecuación; des-
pués eleve ambos lados de la ecuación a la potencia dada una segunda vez. Este proce-
dimiento se ilustra en el ejemplo 7.
EJEMPLO 7 � Resuelva
Solución Debemos aislar un término radical en un lado de la ecuación. Comenzare-
mos por sumar a ambos lados de la ecuación para aislar Después ele-
varemos al cuadrado ambos lados de la ecuación y reduciremos los términos semejantes.
Aislar 
Elevar ambos lados al cuadrado.
Escribir como un producto.
Multiplicar.
Reducir términos semejantes; 
Reducir términos semejantes.
Aislar el término radical.
Ambos lados se dividieron entre 2.
Hemos aislado el término radical restante. Después de esto elevaremos al cuadrado
ambos lados de la ecuación y despejaremos x.
Elevar al cuadrado ambos lados.
o
Una comprobación mostrará que 2 y 1 son soluciones de la ecuación.
� Ahora resuelva el ejercicio 61
EJEMPLO 8 � Para determine todos los valores de
x para los que f(x) � 1.
Solución Sustituya f(x) por 1. Esto da
Como ésta es la misma ecuación que la que resolvimos en el ejemplo 7, las respuestas
son x � 2 y x � 1. Verifique que f(2) � 1 y f(1) � 1.
� Ahora resuelva el ejercicio 121
1 = 15x - 1 - 13x - 2
f1x2 = 15x - 1 - 13x - 2,
 x = 1 x = 2
 x - 1 = 0 x - 2 = 0
 1x - 221x - 12 = 0
 x2
- 3x + 2 = 0
 x2
= 3x - 2
 x2
= 1 13x - 222
 x = 13x - 2
 x = 13x - 2
 2x = 213x - 2
 5x - 1 = 3x - 1 + 213x - 2
 5x - 1 = 1 + 213x - 2 + 3x - 2
 5x - 1 = 1 + 13x - 2 + 13x - 2 + 1 13x - 222
 5x - 1 = 11 + 13x - 2211 + 13x - 22
 1 15x - 122 = 11 + 13x - 222
15x - 1 . 15x - 1 = 1 + 13x - 2
15x - 1.13x - 2
15x - 1 - 13x - 2 = 1.
Cómo evitar errores comunes
En el capítulo 5 establecimos que Sea cuidadoso cuando eleve al cua-
drado un binomio como Analice con atención los siguientes cálculos, para que
no cometa el error que se muestra a la derecha.
CORRECTO INCORRECTO
P I E S
 = 1 + 21x + x
 = 1 + x = 1 + 1x + 1x + 1x 1x
 11 + 1x22 = 12
+ 1 1x22 11 + 1x22 = 11 + 1x211 + 1x2
1 + 1x .
1a + b22 Z a2
+ b2.
simplificar.
FIGURA 7.6
494 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
310 pies
Home
El
Monstruo
Verde
Distancia
por determinar
37 pies
FIGURA 7.5
* tiene dos soluciones: y Como lo que estamos tratando
de determinar es una longitud (que debe ser una cantidad positiva), utilizamos la raíz positiva.
c = -197,469.c = 197,469c2
= 97,469
4 Resolver problemas de aplicación mediante
ecuaciones radicales
Ahora veremos algunas de las muchas aplicaciones de los radicales para resolver pro-
blemas.
EJEMPLO 9 � El Monstruo Verde En el parque Fenway, donde juegan béisbol los
Medias Rojas de Boston, la distancia de home a la pared del jardín izquierdo, por la lí-
nea de tercera base, es de 310 pies. En el jardín izquierdo al final de la línea existe una
barda perpendicular al jardín que tiene una altura de 37 pies.A esta barda se le conoce
como El Monstruo Verde (vea la fotografía). Determine la distancia del home a la par-
te superior del Monstruo Verde a lo largo de la línea de la tercera base.
Solución Entienda el problema En la figura 7.5 se ilustra el problema. Necesita-
mos determinar la distancia que hay del home a la pared del jardín izquierdo.
Traduzca Para resolver el problema utilizaremos el teorema de Pitágoras que se co-
mentó anteriormente: cateto2 � cateto2 � hipotenusa2, o a2 � b2 � c2.
Sustituir los valores conocidos.
Realice los cálculos
Tomar la raíz cuadrada de ambos lados.
* Vea la nota a pie de página.
Responda La distancia entre el home y la parte superior de la barda es de alrededor
de 312.20 pies.
�Ahora resuelva el ejercicio 99
EJEMPLO 10 � Periodo de un péndulo El tiempo que tarda un péndulo en reali-
zar una oscilación completa se denomina periodo. Vea la figura 7.6. El periodo de un
péndulo, T, en segundos, puede calcularse mediante la fórmula donde L es
la longitud del péndulo, en pies. Determine el periodo de un péndulo si su longitud de
5 pies.
Solución Sustituya L por 5 y p por 3.14 en la fórmula. Si su calculadora tiene la te-
cla utilícela para introducir p.
Así, el periodo es de más o menos 2.48 segundos. Si tiene un reloj de pared con un pén-
dulo de 5 pies, le tomará alrededor de 2.48 segundos dar una oscilación completa.
� Ahora resuelva el ejercicio 103
 L 213.14210.15625 L 2.48
 L 213.142A 5
32
 T = 2pA L
32
 p
T = 2pA L
32
,
 312.20 L c
 197,469 = c
 197,469 = 2c2
 97,469 = c2
 96,100 + 1369 = c2
 3102
+ 372
= c2
Sección 7.6 Resolución de ecuaciones con radicales 495
5 Despejar una variable en un radicando
Es posible que le den una fórmula y le pidan que despeje una variable que está en un
radicando. Para hacerlo, siga el mismo procedimiento general que usó para resolver
una ecuación radical. Empiece por aislar la expresión radical; luego eleve ambos lados
de la ecuación a la misma potencia que el índice del radical. Este procedimiento se ilus-
tra en el ejemplo 11 b).
EJEMPLO 11 � Error de estimación Una fórmula estadística para determinar el
error máximo de estimación es
a) Determine E si y 
b) Despeje n de esta ecuación.
Solución
a)
b) Primero multiplique ambos lados de la ecuación por para eliminar las fraccio-
nes. Luego aísle Por último, despeje n elevando al cuadrado ambos lados de la
ecuación.
Eliminar fracciones.
Aislar el término con radical.
Elevar ambos lados al cuadrado.
� Ahora resuelva el ejercicio 75
 n = aZs
E
b 2
 o n =
Z2s2
E2
 1 1n22 = aZs
E
b 2
 1n =
Zs
E
 1n 1E2 = Zs
 1n 1E2 = aZ 
s
 1n 
b 1n 
 E = Z 
s1n
1n .
1n
E = Z 
s1n
= 1.28¢ 10136
≤ = 1.28a10
6
b L 2.13
n = 36.Z = 1.28, s = 10
E = Z 
s1n
.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 7.6
Ejercicios de concepto/redacción
1. a) Explique cómo resolver una ecuación radical.
b) Utilizando el procedimiento queindicó en la parte a), re-
suelva 5
2. Considere la ecuación Explique por
qué esta ecuación no puede tener soluciones reales.
3. Analice la ecuación ¿puede determinar
su solución? Explique.
4. Analice la ecuación ¿puede determinar su
solución? Explique.
23 x2
= -23 x2 .
-2x2
= 21-x22 .
1x + 3 = -12x - 1.
12x + 26 - 2 = 4
5. Sin resolver la ecuación, explique cómo puede saber que
no tiene solución.
6. ¿Por qué es necesario comprobar las soluciones de las ecua-
ciones radicales?
7. La ecuación ¿tiene una o dos soluciones? Explique.
8. La ecuación x2 = 9, ¿tiene una o dos soluciones? Explique.
2; Answers will vary.
1x = 5
1x - 3 + 4 = 0
1. a) Answers will vary. 6. They may be extraneous solutions.
Práctica de habilidades
Resuelva y compruebe su o sus soluciones. Si la ecuación no tiene soluciones reales, indíquelo.
9. 16 10. 169 11.
12. 64 13. 14.
15. 11 16. 10 17. 9
18. 11 19. 20.
21. 81 22. no real solution 23. 7114 x + 10 = 314 x = -314 x = 3
13 6x + 2 = -413 2x + 29 = 3214x + 5 = 14
13 3x + 4 = 713 7x - 6 = 412x + 3 = 5
1a + 5 = 013 x = -413 x = 4
1x = -91x = 131x = 4
496 Capítulo 7 Raíces, radicales y números complejos
83. 84. 85. 86.
Resuelva. Necesitará elevar al cuadrado dos veces ambos lados de la ecuación.
87. 88.
89. 90.
91. 3 92.
93. 7 94.
Resuelva. Necesitará elevar al cuadrado dos veces ambos lados de la ecuación.
95. 96.
97. 98. 31 + 1x - 1 = 1x - 632 + 1x + 1 = 17 - x
36 + 1x + 4 = 12x - 122 - 1x = 1x
1r - 1 - 1r + 6 = 1r - 91a + 2 - 1a - 3 = 1a - 6
12t - 1 + 1t - 4 = 13t + 11c + 1 + 1c - 2 = 13c
12b - 2 + 1b - 5 = 14b14y + 6 + 1y + 5 = 1y + 1
12x - 1x - 4 = 112 - x1x + 5 - 1x = 1x - 3
6
4
x5
x
�65
x�70
�10�6
x 9
24. 6 25. no real solution 26. 18
27. no real solution 28. 4 29.
30. 1 31. 8 32.
33. 7 34. 35.
36. no real solution 37. 16 38.
39. 2 40. 41.
42. 6, 2 43. 6 44. 5
45. 8 46. 7 47.
48. 49. 50.
51. 52. 53.
54.
Resuelva. Tendrá que elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación dos veces para eliminar todos los radicales.
55. 56. 4 57.
58. 59. 60.
61. 62. 63.
64. 65. 66.
Determine todos los valores reales de x donde f(x) � g(x) en cada par de funciones.
67. 7 68.
69. 4 70.
71. 5 72.
Despeje la variable indicada en cada fórmula.
73. para 74. para r 75. para g
76. para E 77. para F 78. para 
79. para m 80. para L 81. para A
82. para V
Resolución de problemas
Utilice el teorema de Pitágoras para determinar la longitud del lado desconocido de cada triángulo. Escriba la respuesta como un
radical en forma simplificada.
r = A3 
3V
4p
,
r = AA
p
,T = 2pA L
32
,x = Am
k
 V0 ,
b0w = Aa0
b0
 ,v = AFR
M
,v = A2E
m
,
v = 12gh ,l = 14r ,vp = 12v ,
f1x2 = 21x + 2, g1x2 = 8 - 1x + 14f1x2 = 218x + 2421>3, g1x2 = 412x - 221>3
f1x2 = 114x - 821>2, g1x2 = 213x + 221>2f1x2 = 13 5x - 19, g1x2 = 13 6x - 23
f1x2 = 2x2
- 6x + 10, g1x2 = 1x - 2f1x2 = 1x + 8, g1x2 = 12x + 1
3 + 1x + 1 = 13x + 121y + 1 = 1y + 10 - 31r + 10 + 2 + 1r - 5 = 0
14x - 3 = 2 + 12x - 51b - 3 = 4 - 1b + 51x + 7 = 6 - 1x - 5
1y + 1 = 2 + 1y - 71x + 3 = 1x - 31x + 1 = 2 - 1x
13a + 1 = 1a - 4 + 331b - 1 = 1b + 2114x + 1 = 12x + 1
2x2
+ x - 1 = -1x + 3
14 x + 5 = -215b + 321>4 = 12b + 1721>415x + 721>4 = 19x + 121>4
17x + 621>3 + 4 = 01r + 421>3 = 13r + 1021>312x + 121>2 + 7 = x
12x2
+ 4x + 921>2 = 12x2
+ 921>213x + 421>2 - x = -212a + 921>2 - a + 3 = 0
14b + 5 + b = 1015x + 6 = 2x - 614x + 1 =
1
2
 x + 2
12y + 5 + 5 - y = 01x + 6x = 12z2
+ 5 = z + 1
2b2
- 2 = b + 415c + 1 - 9 = 02x2
+ 3x + 12 = x
2m2
+ 6m - 4 = m2x2
+ 12x + 3 = -x15x + 1 - 6 = 0
14 3x - 1 + 4 = 014 x + 8 = 14 2x13 6t - 1 = 13 2t + 3
213 x - 1 = 23 x2
+ 2x1r + 5 + 7 = 101x + 8 = 1x - 8
12x + 7 = 1314 2x + 1 + 6 = 214 3x - 2 = 2
Sección 7.6 Resolución de ecuaciones con radicales 497
dad. En la Tierra, la gravedad es de 32 pies/segundo2. La
fórmula, cuando se utiliza para la Tierra, se convierte en 
a) Determine el periodo de un péndulo que mide 8 pies de
longitud.
b) Si la longitud de un péndulo se duplica, ¿qué efecto tie-
ne en el periodo? Explique.
c) La gravedad en la Luna es 1/6 de la terrestre. Si un pén-
dulo tiene un periodo de 2 segundos en la Tierra, ¿cuál
será el periodo del mismo péndulo en la Luna?
104. Diagonal de un portafolio Una fórmula para determinar la
longitud de la diagonal de una caja (es decir la distancia
que hay entre su esquina superior y su esquina inferior
opuesta) es donde L, W y H son el
largo, ancho y altura de la caja, respectivamente.
a) Determine la longitud de la diagonal de un portafolio
que mide 22 pulgadas de largo, 15 pulgadas de ancho y
12 pulgadas de altura.
b) Si el largo, ancho y la altura se duplican, ¿cómo cambia-
rá la diagonal? It will double.
c) Despeje W en la fórmula.
105. Flujo de sangre en una arteria La fórmula
se utiliza para determinar el flujo de sangre que pasa a tra-
vés de las arterias. En la fórmula, R representa la resistencia
que ofrece la arteria al paso de la sangre, m es la viscosidad
de la sangre, l es la longitud de la arteria, y r es el radio de la
arteria. Despeje R de esta ecuación.
106. Objeto que cae La fórmula
puede usarse para establecer el tiempo, t, en segundos, que
un objeto ha estado cayendo, si ha caído s metros. Suponga
que un objeto se ha dejado caer desde un helicóptero y ha
caído 100 metros. ¿Cuánto tiempo ha estado en caída libre?
107. Días terrestres Un “año” es el tiempo que tarda cualquiera
de los planetas de nuestro sistema solar en dar una vuelta
completa alrededor del Sol. El número de días terrestres a
que equivale un año de otro planeta, N, se calcula mediante
la fórmula donde R es la distancia media
que hay entre el planeta y el Sol, en millones de kilómetros.
Determine el número de días terrestres que dura el año del
planeta Tierra, cuya distancia media al Sol es de 149.4 mi-
llones de kilómetros.
N = 0.21 1R23,
t =
119.6s
9.8
r = A4 
8ml
pR
H
L
d
d = 2L2
+ W2
+ H2 ,
T = 2pA l
32
99. Diamante de béisbol Un diamante regular de béisbol es un
cuadrado con 90 pies de base a base. ¿A qué distancia está
la segunda base del home?
100. Poste telefónico Como se muestra en la figura, un poste te-
lefónico forma un ángulo recto o de 90° respecto del piso.
Determine la longitud del alambre que conecta al poste a
40 pies del piso, y que está anclado al piso a 20 pies desde la
base el poste.
101. Lado de un jardín Si conoce el área de un cuadrado, la longi-
tud de cada uno de sus lados puede determinarse mediante la
fórmula Determine cuánto miden los lados del jar-
dín cuadrado de Tom Kim, si su área mide 169 pies cuadrados.
102. Radio de un aro de baloncesto Si conoce el área de un 
círculo, es posible determinar su radio mediante la fórmula
a) Determine el radio de un aro de baloncesto, si su área
interior mide 254.47 pulgadas cuadradas.
b) Si un balón tiene 9 pulgadas de diámetro, ¿cuál es la dis-
tancia mínima posible entre el aro y el balón, cuando el
centro de este último está en el centro de aro?
103. Periodo de un péndulo La fórmula para determinar el pe-
riodo de un péndulo es 
donde T es el periodo en segundos, l es la longitud del pén-
dulo en pies, y g es la aceleración provocada por la grave-
T = 2pA l
g
r = 1A>p .
s = 1A .
40 pies
20 pies
l
Primera
base
Segunda base
90
90
c
Home
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