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Sección 8.4 Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática 549
En los ejercicios 16 al 18, despeje la variable que se indica.
Suponga que todas las variables son positivas.
16. Despeje r de y � x2 – r2.
17. Despeje x de .
18. Despeje y de .D = 2x2
+ y2
A =
1
3
 kx2
19. Área La longitud de un rectángulo es dos pies mayor que el
doble del ancho. Determine las dimensiones, si su área es de
60 pies cuadrados.
20. Relojes La utilidad de una compañía que vende n relojes es
p(n) � 2n2 � n – 35, donde p(n) está en cientos de dólares.
¿Cuántos relojes deben venderse para tener una utilidad de
$2000?cks
8.4 Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática
1 Resolver ecuaciones con
forma cuadrática.
2 Resolver ecuaciones con
exponentes racionales.
1 Resolver ecuaciones con forma cuadrática
En ocasiones se nos presenta la necesidad de resolver ecuaciones que, aunque no son
cuadráticas, pueden reescribirse en forma cuadrática para darles solución ya sea me-
diante factorización, completando el cuadrado o a través de la fórmula cuadrática.
Ecuaciones en la forma cuadrática
Una ecuación que puede escribirse en la forma au2 � bu � c � 0, para a Z 0, en donde u es
una expresión algebraica, se dice que está en la forma cuadrática.
Para resolver ecuaciones con la forma cuadrática
1. Haga una sustitución que tenga como resultado una ecuación de la forma
au2 � bu � c � 0, a Z 0, donde u es una función de la variable original.
2. Despeje u en la ecuación au2 � bu � c � 0.
3. Reemplace u con la función de la variable original del paso 1 y resuelva la ecuación re-
sultante para la variable original.
4. Verifique si hay soluciones extrañas, sustituyendo las soluciones aparentes en la ecua-
ción original.
Cuando le den una ecuación en la forma cuadrática, haga una sustitución para
transformarla a au2 � bu � c � 0. En general, si los exponentes son positivos y la
expresión está en orden descendente de la variable, hacemos u igual al término de en
medio, sin el coeficiente numérico. Por ejemplo,
Ecuación de la forma cuadrática Sustitución Ecuación con la sustitución
Para resolver ecuaciones con la forma cuadrática utilizamos el procedimiento si-
guiente, ilustrado en el ejemplo 1.
u2
+ 4u - 3 = 0u = x1>3x2>3
+ 4x1>3
- 3 = 0
2u2
- 5u - 12 = 0u = x + 521x + 522 - 51x + 52 - 12 = 0
u2
- u - 6 = 0u = y2y4
- y2
- 6 = 0
EJEMPLO 1 �
a) Resuelva la ecuación
b) Determine las intersecciones del eje x de la función
Solución
a) Para obtener una ecuación en la forma cuadrática, escribimos x4 como
Reemplazar x4 con (x2)2 para obtener
una ecuación en la forma deseada. 1x222 - 5x2
+ 4 = 0
 x4
- 5x2
+ 4 = 0
1x222.
f1x2 = x4
- 5x2
+ 4.
x4
- 5x2
+ 4 = 0.
�3, 3, 1, �3, 6, 1
FIGURA 8.6
550 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
Ahora, sea Esto produce una ecuación en la forma cuadrática.
Sustituir x2 por u.
Despejar u.
o
Reemplazar u por x2.
Despejar x.
 x = ;1 x = ;2
 x = ;11 x = ;14
 x2
= 1 x2
= 4
 u = 1 u = 4
 u - 1 = 0 u - 4 = 0
 1u - 421u - 12 = 0
 u2
- 5u + 4 = 0
u = x2.
Compruebe las cuatro soluciones posibles en la ecuación original.
Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero
 0 = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0
 1 - 5 + 4 � 0 1 - 5 + 4 � 0 16 - 20 + 4 � 0 16 - 20 + 4 � 0
 1-124 - 51-122 + 4 � 0 14
- 51122 + 4 � 0 1-224 - 51-222 + 4 � 0 24
- 51222 + 4 � 0
 x4
- 5x2
+ 4 = 0 x4
- 5x2
+ 4 = 0 x4
- 5x2
+ 4 = 0 x4
- 5x2
+ 4 = 0
x � -1x � 1x � -2x � 2
Por lo tanto, las soluciones son 2, �2, 1, �1.
b) Las intersecciones del eje x ocurren donde f(x) � 0. Por consiguiente, la gráfica
cruzará el eje x en las soluciones de la ecuación x4 � 5x2 � 4 � 0.
Con base en la parte a), sabemos que las soluciones son 2, �2, 1 y �1. Así, las
intersecciones del eje x son (2, 0), (�2, 0), (1, 0) y (�1, 0). La figura 8.6 es la gráfica
de f(x) � x4 � 5x2 � 4 � 0, como se ilustra en una calculadora graficadora. Ob-
serve que la gráfica cruza el eje x en x � 2, x � �2, x � 1 y x � �1.
� Ahora resuelva el ejercicio 7
EJEMPLO 2 � Resuelva la ecuación
Solución
Igualar la ecuación a 0.
Escribir p4 como (p2)2 para obtener
una ecuación en la forma deseada.
Ahora determine Esto da una ecuación en forma cuadrática.
Sustituir p2 por u.
Despejar u en la ecuación.
o
No hemos terminado. Como la variable de la ecuación original es p, debemos resolver
p, no u. En consecuencia, sustituimos por u y despejamos p.
Reemplazar u con p2.
Despejar p.
Compruebe las cuatro posibles soluciones en la ecuación original.
 p = ;2i
 p = ;12 p = ;1-4
 p2
= 2 p2
= -4
p2
 u = 2 u = -4
 u - 2 = 0 u + 4 = 0
 1u + 421u - 22 = 0
 u2
+ 2u - 8 = 0
u = p2.
 1p222 + 2p2
- 8 = 0
 p4
+ 2p2
- 8 = 0
p4
+ 2p2
= 8.
Verdadero Verdadero
Verdadero Verdadero
 16 - 8 = 8 16 - 8 = 8
 8 = 8 8 = 8 16112 + 81-12 � 8 16112 + 81-12 � 8
 4 + 2122 � 8 4 + 2122 � 8 1-224 i4
+ 21-222 i2 � 8 24
 i4
+ 212221i22 � 8
 1-1224 + 21-1222 � 8 11224 + 211222 � 8 1-2i24 + 21-2i22 � 8 12i24 + 212i22 � 8
 p4
+ 2p2
= 8 p4
+ 2p2
= 8 p4
+ 2p2
= 8 p4
+ 2p2
= 8
p � �12p � 12p � �2ip � 2i
Por lo tanto, las soluciones son y 
� Ahora resuelva el ejercicio 17
-12.2i, -2i, 12
Sección 8.4 Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática 551
Las soluciones para ecuaciones como p4 � 2p2 � 8 deben comprobarse. En gene-
ral, en este tipo de ecuaciones no se introducen soluciones extrañas, a menos que se co-
meta algún error. Sin embargo, pueden introducirse soluciones extrañas cuando se
trabaja con exponentes racionales, como se mostrará en el ejemplo 6.
S u g e r e n c i a ú t i l
En ocasiones los estudiantes despejan u en la ecuación, pero luego olvidan terminar el pro-
blema despejando la variable original. Recuerde que si la ecuación original está en términos
de x, debe obtener valores para x. Si la ecuación está en términos de p (como en el ejemplo 2),
debe obtener valores para p, y así sucesivamente.
EJEMPLO 3 � Resuelva la ecuación
Solución Si hacemos la ecuación se transforma en
Sustituir 2w � 1 por u.
Ahora podemos factorizar y resolver.
o
No hemos terminado, ya que la variable original en la ecuación es w, así que debemos
despejar w no u. Por lo tanto, ahora sustituimos u por 2w � 1 y despejamos w.
Sustituir u por 2w � 1.
Una comprobación mostrará que y son soluciones de la ecuación original.
� Ahora resuelva el ejercicio 29
EJEMPLO 4 � Determine las intersecciones del eje x de la gráfica de la función
f(x) � 2x�2 � x�1 � 1.
Solución Las intersecciones del eje x ocurren donde f(x) � 0. Por lo tanto, para de-
terminar las intersecciones del eje x debemos resolver la ecuación
Esta ecuación puede expresarse como
Cuando hacemos la ecuación se transforma en
o
 u = -1 u =
1
2
 u + 1 = 0 2u - 1 = 0
 12u - 121u + 12 = 0
 2u2
+ u - 1 = 0
u = x-1,
21x-122 + x-1
- 1 = 0
2x-2
+ x-1
- 1 = 0
3
4
1
4
 w =
3
4
 w =
1
4
 2w =
3
2
 2w =
1
2
 2w + 1 =
5
2
 2w + 1 =
3
2
 u =
5
2
 u =
3
2
 u =
5
2
 u =
3
2
 2u = 5 2u = 3
 2u - 5 = 0 2u - 3 = 0
12u - 3212u - 52 = 0
 4u2
- 16u + 15 = 0
 412w + 122 - 1612w + 12 + 15 = 0
u = 2w + 1,
412w + 122 - 1612w + 12 + 15 = 0.
552 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
Ahora sustituimos u por x�1.
o
Una comprobación mostrará que 2 y �1 son soluciones de la ecuación original. Por lo
tanto, las intersecciones del eje x son (2, 0) y (�1, 0).
� Ahora resuelva el ejercicio 61
La ecuación del ejemplo 4 también podría expresarse como
Un segundo método para resolver esta ecuación consiste en multiplicar ambos lados
de la ecuación por el mínimo común denominador, x2, y luego simplificar.
o
Muchas de las ecuaciones resueltas en esta sección se pueden resolver por más de un
método.
2 Resolver ecuaciones con exponentes racionales
Al resolver ecuaciones que tienen la forma cuadrática y exponentes racionales, primero
debemos eliminar los exponentes elevando ambos lados de la ecuación a alguna poten-
cia. Recuerde que hicimos esto en la sección 7.6, cuando resolvimos ecuaciones con ra-
dicales. Al elevar ambos lados de una ecuación a una potencia, podemos introducir
soluciones extrañas. Por lo tanto,siempre que elevemos ambos lados de una ecuación
a una potencia, debemos verificar todas las soluciones en la ecuación original para ase-
gurarnos de que ninguna es extraña. Ahora resolvamos dos ejemplos para mostrar cómo
trabajar con ecuaciones que tienen exponentes racionales. Utilizaremos el procedi-
miento que ya conocemos.
EJEMPLO 5 � Resuelva la ecuación
Solución Esta ecuación puede reescribirse como
Sea Entonces, la ecuación se transforma en
o
Ahora sustituimos u por x1/5 y elevamos ambos lados de la ecuación a la quinta poten-
cia para eliminar los exponentes racionales.
o
 x = 32 x = -243
 1x1>525 = 25 1x1>525 = 1-325
 x1>5
= 2 x1>5
= -3
 u = 2 u = -3
 u - 2 = 0 u + 3 = 0
 1u + 321u - 22 = 0
 u2
+ u - 6 = 0
u = x1>5.
1x1>522 + x1>5
- 6 = 0
x2>5
+ x1>5
- 6 = 0.
 x = -1 x = 2
 x + 1 = 0 x - 2 = 0
 1x - 221x + 12 = 0
 x2
- x - 2 = 0
 2 + x - x2
= 0
 x2¢ 2
x2 +
1
x
- 1≤ = x2 # 0
2
x2 +
1
x
- 1 = 0
 x = -1 x = 2
 
1
x
= -1 
1
x
=
1
2
 x-1
= -1 x-1
=
1
2
Sección 8.4 Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática 553
Las dos posibles soluciones son �243 y 32. Recuerde que siempre que eleve ambos la-
dos de una ecuación a una potencia, como hicimos aquí, necesita comprobar si hay so-
luciones extrañas.
Compruebe
Verdadero Verdadero
Como ambos valores satisfacen la ecuación, las soluciones son �243 y 32.
� Ahora resuelva el ejercicio 63
EJEMPLO 6 � Resuelva la ecuación
Solución Podemos expresar esta ecuación como
Si hacemos esta ecuación tiene la forma cuadrática.
o
Sin embargo, como en la ecuación original la variable es p, debemos despejar p. Por lo
tanto, sustituimos u por p1/2.
Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.
Para terminar, debemos comprobar las dos posibles soluciones en la ecuación original.
Compruebe
Verdadero Falso
Como 4 no satisface la ecuación, es una solución extraña; la única solución es
� Ahora resuelva el ejercicio 25
El ejemplo 6 también podría resolverse escribiendo la ecuación como
y elevando ambos lados al cuadrado. Resuélvala de esta manera; si olvidó cómo hacer-
lo, revise la sección 7.6.
1p = 2p - 10
25
4
.
 -4 = 0 0 = 0
 8 - 2 - 10 � 0 
25
2
-
5
2
- 10 � 0
 2142 - 14 - 10 � 0 2a25
4
b - A25
4
- 10 � 0
 2p - 1p - 10 = 0 2p - 1p - 10 = 0
p � 4p �
25
4
 p = 4 p =
25
4
 1p1>222 = 1-222 1p1>222 = a5
2
b 2
 p1>2
= -2 p1>2
=
5
2
 u =
5
2
 u = -2 2u = 5
 u + 2 = 0 2u - 5 = 0
 12u - 521u + 22 = 0
 2u2
- u - 10 = 0
u = p1>2,
 21p1>222 - p1>2
- 10 = 0
 2p - p1>2
- 10 = 0
2p - 1p - 10 = 0.
 0 = 0 0 = 0
 4 + 2 - 6 � 0 9 - 3 - 6 � 0
 22
+ 2 - 6 � 0 1-322 - 3 - 6 � 0
 115 3222 + 15 32 - 6 � 0 115 -24322 + 15 -243 - 6 � 0
 13222>5 + 13221>5 - 6 � 0 1-24322>5 + 1-24321>5 - 6 � 0
 x2>5
+ x1>5
- 6 = 0 x2>5
+ x1>5
- 6 = 0
x � 32x � �243
554 Capítulo 8 Funciones cuadráticas
CONJUNTO DE EJERCICIOS 8.4
Ejercicios de concepto/redacción
1. Explique cómo se puede determinar si una ecuación dada
puede expresarse como una ecuación en la forma cuadrática.
2. Al resolver una ecuación que está en la forma cuadrática,
¿en qué situaciones es esencial comprobar si hay soluciones
extrañas? Explique por qué.
3. Para resolver la ecuación 3x4 � 5x2 � 1 � 0, ¿cuál es la elec-
ción correcta para u a fin de transformar la ecuación a la for-
ma cuadrática? Explique.
4. Para resolver la ecuación 2y4/3 � 9y2/3 � 7 � 0, ¿cuál es la
elección correcta para u a fin de transformar la ecuación a la
forma cuadrática? Explique.
5. Para resolver la ecuación z�2 � z�1 � 56, ¿cuál es la elección
correcta para u a fin de transformar la ecuación a la forma
cuadrática? Explique.
6. Para resolver la ecuación
¿cuál es la elección correcta para u a fin de transformar la
ecuación a la forma cuadrática? Explique.
3ax + 2
x + 3
b 2
+ ax + 2
x + 3
b - 9 = 0,
Práctica de habilidades
Resuelva cada ecuación.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47. 48.
49. 50. 51.
52. 53. 54.
55. 56.
Determine todas las intersecciones del eje x de cada función.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. 66.
67. 68. h1x2 = x4
- 4x2
+ 3f1x2 = x4
- 29x2
+ 100
g1x2 = 1x2
- 6x22 - 51x2
- 6x2 - 24g1x2 = 1x2
- 3x22 + 21x2
- 3x2 - 24
f1x2 = x1>2
+ 6x1>4
- 7f1x2 = x2>3
- x1>3
- 6
g1x2 = 4x-2
+ 12x-1
+ 9p1x2 = 4x-2
- 19x-1
- 5
k1x2 = x + 71x + 12h1x2 = x + 141x + 45
g1x2 = x - 151x + 56f1x2 = x - 51x + 4
x2>5
- 5x1>5
+ 6 = 0c2>5
+ 3c1>5
+ 2 = 0
r2>3
- 7r1>3
+ 10 = 0-2a - 5a1>2
+ 3 = 0c2>3
- 4 = 0
b2>3
- 9b1>3
+ 18 = 0x2>3
= 3x1>3
+ 4x2>3
- 4x1>3
= -3
x2>3
- 5x1>3
+ 6 = 0x-2
= 4x-1
+ 126a-2
= a-1
+ 12
x-2
+ 9x-1
= 1010z-2
- 3z-1
- 1 = 02b-2
= 7b-1
- 3
5x-2
+ 4x-1
- 1 = 012b-2
- 7b-1
+ 1 = 0x-2
+ 10x-1
+ 25 = 0
a-2
+ 4a-1
+ 4 = 0281x2
- 822 - 231x2
- 82 - 15 = 0181x2
- 522 + 271x2
- 52 + 10 = 0
1z2
- 622 + 21z2
- 62 - 24 = 021b + 322 + 51b + 32 - 3 = 01a2
- 122 - 51a2
- 12 - 14 = 0
1x2
- 322 - 1x2
- 32 - 6 = 0101z + 222 = 31z + 22 + 161a - 222 = -191a - 22 - 10
1x + 122 + 41x + 12 + 3 = 01x + 322 + 21x + 32 = 248x + 21x = 1
9x + 31x = 2x - 4 = -31xx - 1x = 6
x - 21x = 81x = 2x - 69b4
= 57b2
- 18
-c4
= 4c2
- 5a4
+ a2
= 42z4
- 7z2
= 18
p4
- 8p2
= -12r4
- 8r2
= -159d4
- 13d2
+ 4 = 0
4x4
- 17x2
+ 4 = 0b4
+ 7b2
+ 12 = 0a4
- 7a2
+ 12 = 0
x4
+ 13x2
+ 36 = 0x4
- 13x2
+ 36 = 0x4
+ 50x2
+ 49 = 0
x4
+ 17x2
+ 16 = 0x4
- 37x2
+ 36 = 0x4
- 10x2
+ 9 = 0
Sección 8.5 Graficación de funciones cuadráticas 555
Resolución de problemas
69. Indique un procedimiento general para resolver una ecua-
ción de la forma ax4 � bx2 � c � 0.
70. Indique un procedimiento general para resolver una ecua-
ción de la forma ax2n � bxn � c � 0.
71. Indique un procedimiento general para resolver una ecua-
ción de la forma ax�2 � bx�1 � c � 0.
72. Indique un procedimiento general para resolver una ecua-
ción de la forma a(x � r)2 � b(x � r) � c � 0.
73. Escriba una ecuación de la forma ax4 � bx2 � c � 0 que ten-
ga como soluciones �2 y �1. Explique cómo obtuvo su res-
puesta.
74. Escriba una ecuación de la forma ax4 � bx2 � c � 0 que ten-
ga como soluciones �3 y �2i. Explique cómo obtuvo su res-
puesta.
75. Escriba una ecuación de la forma ax4 � bx2 � c � 0 que ten-
ga como soluciones y Explique cómo obtuvo su
respuesta.
;15.;12
76. Escriba una ecuación de la forma ax4 � bx2 � c � 0 que ten-
ga como soluciones �2i y �5i. Explique cómo obtuvo su res-
puesta.
77. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 � bx2 � c � 0
tenga exactamente una solución imaginaria? Explique.
78. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 � bx2 � c � 0
tenga exactamente una solución real? Explique.
79. Resuelva la ecuación .
a) multiplicando ambos lados por el MCD.
b) escribiendo la ecuación con exponentes negativos.
80. Resuelva la ecuación .
a) multiplicando ambos lados por el MCD.
b) escribiendo la ecuación con exponentes negativos.
1 =
2
x
-
2
x2
3
x2 -
3
x
= 60
Determine todas las soluciones reales de cada ecuación.
81. 82.
83. 84.
85. 86.
87. 88.
Determine todas las soluciones de cada ecuación.
89. 90.
Ejercicios de repaso acumulativo
3x4
+ 8x2
- 1 = 02n4
- 6n2
- 3 = 0
1x2
+ 3x - 222 - 101x2
+ 3x - 22 + 16 = 01x2
+ 2x - 222 - 71x2
+ 2x - 22 + 6 = 0
x6
- 28x3
+ 27 = 0x6
- 9x3
+ 8 = 0
31x - 42-2
= 161x - 42-1
+ 124 - 1x - 12-1
= 31x - 12-2
21p + 32 + 5 =
3
p + 3
151r + 22 + 22 = - 
8
r + 2
[1.3] 91. Evalúe
[2.1] 92. Resuelva 31x + 22 - 213x + 32 = -3
4
5
- a3
4
-
2
3
b .
[3.2] 93. Establezca el dominio y el rango de y � (x � 3)2.
[7.3] 94. Simplifique
[7.4] 95. Sume 175 + 148.
23 16x3
 y6 .
1 Determinar cuándo una
parábola abre hacia arriba o
hacia abajo.
2 Determinar el eje de
simetría, el vértice y las
intersecciones del eje x de
una parábola.
3 Graficar funciones
cuadráticas por medio del
eje de simetría, el vértice y
las intersecciones.
4 Resolver problemas de
máximos y mínimos.
5 Entender el desplazamiento
de las parábolas.6 Escribir funciones en la
forma f(x) � a(x � h)2 � k.
En la sección 3.2 graficamos ecuaciones cuadráticas por medio del trazado de puntos,
y en la sección 5.8 hicimos un breve análisis de las intersecciones del eje x de las fun-
ciones cuadráticas. En esta sección estudiaremos con mayor profundidad las gráficas
de funciones cuadráticas, denominadas parábolas. En la parte 3 se explica cómo grafi-
car funciones cuadráticas usando el eje de simetría, el vértice y las intersecciones. En la
parte 5 estudiaremos patrones en las gráficas de las parábolas, y utilizaremos dichos
patrones para determinar traslaciones, o desplazamientos, que puedan usarse para gra-
ficar parábolas.
1 Determinar cuándo una parábola abre hacia arriba
o hacia abajo
Las parábolas tienen una forma parecida a la de la letra U, pero su abertura
puede estar hacia arriba o hacia abajo. Para una función cuadrática de la forma
f(x) � ax2 � bx � c, el signo del coeficiente principal, a, determina si la parábola abre
8.5 Graficación de funciones cuadráticas
<<
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 >>
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