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9.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
1 Resolver ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas.
2 Resolver aplicaciones.
1 Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En las secciones 9.2 y 9.3 hablamos de las ecuaciones exponenciales y logarítmicas; en
ésta daremos más ejemplos de su uso, y analizaremos procedimientos adicionales para
resolver tales ecuaciones.
Para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, con frecuencia utilizamos
las propiedades siguientes.
Propiedades para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
a. Si x � y, entonces ax � ay.
b. Si ax � ay, entonces x � y.
c. Si x � y, entonces logb x � logb y (x � 0, y � 0).
d. Si logb x � logb y, entonces x � y (x � 0, y � 0). Propiedades 6a a 6d
630 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
Retos
99. Despeje I en la fórmula R � log I. 100. Despeje E en la fórmula log E � 11.8 � 1.5m.
101. Despeje t en la fórmula R � 26 � 41.9 log (t � 1). 102. Despeje x en la fórmula f � 76 � log x.
Actividad en grupo
103. En la sección 9.7 analizaremos la fórmula de cambio de ba-
se, donde a y b son bases y x es un número
positivo.
a) Miembro 1 del grupo: Utilice la fórmula de cambio de
base para evaluar log3 45. (Pista: Haga b � 10).
loga x =
logb x
logb a
,
b) Miembro 2: Repita la parte a) para log5 30.
c) Miembro 3: Repita la parte a) para log6 40.
d) Utilicen el hecho de que donde b � 10,
para graficar en equipo la ecuación y � log2 x para x � 0.
Si tienen una calculadora graficadora, utilícenla.
loga x =
logb x
logb a
,
Ejercicios de repaso acumulativo
[4.3] 104. Automóviles Dos automóviles parten del mismo pun-
to y viajan en direcciones opuestas. Uno viaja 5 millas
por hora más rápido que el otro. Al cabo de 4 horas,
los dos automóviles están separados por una distan-
cia de 420 millas. Determine la velocidad de cada au-
tomóvil.
[4.5] 105. Resuelva el sistema de ecuaciones
 3s = -5r + 1
 3r = -4s - 6
[5.8] 106. Despeje x en la ecuación 3x3 � 3x2 � 36x � 0.
[7.1] 107. Escriba como un valor absoluto.
[8.6] 108. Resuelva (x � 5)(x � 4)(x � 2) � 0 y proporcione
la solución en notación de intervalos.
213x2
- y22
Cuando expliquemos cómo resolver los ejemplos de esta sección, haremos referencia a
estas propiedades.
EJEMPLO 1 � Resuelva la ecuación
Solución Para resolver esta ecuación escribimos ambos lados con la misma base, 2,
y luego utilizamos la propiedad 6b.
Escribir 8 como 23.
Escribir como 2-1.
1
2
 23x
= 2-1
 1232x =
1
2
 8x
=
1
2
8x
=
1
2
.
Sección 9.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 631
Usando la propiedad 6b, podemos escribir
Ahora resuelva el ejercicio 7
Cuando ninguno de los dos lados de la ecuación exponencial pueden escribirse co-
mo una potencia de la misma base, con frecuencia empezamos tomando logaritmos de
ambos lados de la ecuación, como en el ejemplo 2. En los ejemplos siguientes redon-
dearemos los logaritmos al diezmilésimo más cercano.
EJEMPLO 2 � Resuelva la ecuación 5n � 28.
Solución Tome el logaritmo de ambos lados de la ecuación y despeje n.
Regla de la potencia.
Dividir ambos lados entre log 5.
� Ahora resuelva el ejercicio 23
Algunas ecuaciones logarítmicas pueden resolverse expresándolas en forma expo-
nencial. Pero recuerde: es necesario comprobar las ecuaciones logarítmicas para ver si
tienen soluciones extrañas. Si al verificar una solución se obtiene el logaritmo de un
número no positivo, significa que ésta es extraña.
EJEMPLO 3 � Resuelva la ecuación log2 (x � 3)3 � 4.
Solución Escriba la ecuación en forma exponencial.
Escribir en forma exponencial.
Tomar la raíz cúbica de ambos lados.
Despejar x.
Compruebe
Escribir en forma exponencial.
Verdadero
� Ahora resuelva el ejercicio 43
Otras ecuaciones logarítmicas pueden resolverse mediante las propiedades de los
logaritmos explicadas en las secciones anteriores.
 16 = 16
 24 � 16
113 1623 = 16 log2 16 � 4
 log2 113 1623 � 4
 log2 [1-3 + 13 162 + 3]3 � 4
 log2 1x + 323 = 4
 x = -3 + 13 16
 x + 3 = 13 16
 1x + 323 = 16
 1x + 323 = 24
 L
1.4472
0.6990
L 2.0704
 n =
log 28
log 5
 n log 5 = log 28
 log 5n
= log 28
 x = - 
1
3
 3x = -1
632 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA GRAFICADORA
Hemos explicado cómo se pueden resolver de manera gráfica las ecuaciones con una varia-
ble. Las ecuaciones logarítmicas y exponenciales también pueden resolverse de forma gráfica;
para hacerlo graficamos cada lado de la ecuación y determinamos la coordenada x del punto de
intersección de las dos gráficas. En el ejemplo 5 determinamos que la solución a la ecuación
log x � log (x � 1) � log 12 es 3. La figura 9.26 muestra la solución gráfica de esta ecuación. La
recta horizontal es la gráfica de y � log 12, ya que log 12 es una constante. Observe que la coor-
denada x del punto de intersección de las dos gráficas, 3, es la solución de la ecuación.
EJEMPLO 4 � Resuelva la ecuación log (3x � 2) � log 9 � log (x �5).
Solución
Regla del producto.
Propiedad 6d.
Compruebe que la solución es
� Ahora resuelva el ejercicio 51
EJEMPLO 5 � Resuelva la ecuación log x � log (x � 1) � log 12.
Solución
Regla del producto.
Propiedad 6d.
o
Compruebe
Verdadero log 12 = log 12
 log [132142] � log 12
 log 3 + log 4 � log 12 log 1-42 + log 1-32 � log 12
 log 3 + log 13 + 12 � log 12 log 1-42 + log 1-4 + 12 � log 12
 log x + log 1x + 12 = log 12 log x + log 1x + 12 = log 12
x � 3x � �4
 x = 3 x = -4
 x - 3 = 0 x + 4 = 0
 1x + 421x - 32 = 0
 x2
+ x - 12 = 0
 x2
+ x = 12
 x1x + 12 = 12
 log x1x + 12 = log 12
 log x + log 1x + 12 = log 12
- 
1
2
.
 x = - 
1
2
 26x = -13
 26x + 18 = 5
 27x + 18 = x + 5
 13x + 22192 = 1x + 52
 log [13x + 22192] = log 1x + 52
 log 13x + 22 + log 9 = log 1x + 52
¡Alto!
Los logaritmos de números negativos no son
números reales.
Por lo tanto, �4 es una solución extraña. La única solución es 3.
� Ahora resuelva el ejercicio 65
q q
log 12
FIGURA 9.26
Sección 9.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 633
EJEMPLO 6 � Resuelva la ecuación log (3x � 5) � log 5x � 1.23.
Solución
Regla del cociente.
Tomar el antilogaritmo de
ambos lados.
Redondear a tres dígitos
significativos.
Multiplicar ambos lados por 5x.
Compruebe
¡Alto!
Como tenemos logaritmos de números negativos, �0.061 es una solución extraña.
Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución o, en otras palabras, su solución es el con-
junto vacío,
� Ahora resuelva el ejercicio 57
S u g e r e n c i a ú t i l
A continuación se muestran algunos de los pasos empleados en las soluciones de los ejem-
plos 3 y 6 de esta sección.
Ejemplo 3 Ejemplo 6
Observe que en cada caso los pasos que se siguieron fueron distintos. En el ejemplo 3 escri-
bimos la ecuación en forma exponencial, mientras que en el ejemplo 6 tomamos el antiloga-
ritmo de ambos lados de la ecuación. En este último ejemplo también podríamos escribir el
segundo paso (línea) como y luego evaluar 101.23 en una calculadora para
obtener 17.0 (redondeado a tres dígitos significativos). Entonces podríamos continuar de-
terminando la solución. Sin embargo, como el ejemplo 6 está dado en la base 10, decidimos
tomar sólo el antilogaritmo de ambos lados. Los antilogaritmos de base 10 son fáciles de
evaluar con una calculadora. Puede resolver problemas similares al ejemplo 6 por medio
de cualquier método.
2 Resolver aplicaciones
Veamos ahora una aplicación que incluye una ecuación exponencial.
EJEMPLO 7 � Bacterias Si en un inicio hay 1000 bacterias en un cultivo, y este nú-
mero se duplica cada hora, entonces el número de bacterias al cabo de t horas puede
calcularse mediante la fórmula
¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30,000 bacterias?
N = 1000122t
101.23
=
3x - 5
5x
,
Tomar el anti-
logaritmo de
ambos lados.
 
3x - 5
5x
= antilog 1.23
Escribir en
forma
exponencial.
 1x + 323 = 24
 log 
3x - 5
5x
= 1.23 log2 1x + 323 = 4
¤.
 log 1-5.1832 - log 1-0.3052 � 1.23
 log [31-0.0612 - 5] - log [1521-0.0612] � 1.23
 log 13x - 52 - log 5x =1.23
 x = - 
5
82
L -0.061
 -5 = 82x
 3x - 5 = 85x
 3x - 5 = 5x117.02
 
3x - 5
5x
= 17.0
 
3x - 5
5x
= antilog 1.23
 log 
3x - 5
5x
= 1.23
log 13x - 52 - log 5x = 1.23
634 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
Solución
Sustituir N por 30,000.
Dividir ambos lados entre 1000.
Queremos determinar el valor de t; para hacerlo utilizaremos logaritmos. Comen-
zamos tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación.
Regla de la potencia.
Dividir ambos lados entre log 2.
 4.91 L t
 
1.4771
0.3010
L t
 
log 30
log 2
= t
 log 30 = t log 2
 log 30 = log 122t
 30 = 122t
 30,000 = 1000122t
 N = 1000122t
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.6
Ejercicios de concepto/redacción
1. Si log c � log d, ¿cuál es la relación entre c y d?
2. Si cr � cs, ¿cuál es la relación entre r y s?
3. ¿Qué se debe hacer después de resolver una ecuación loga-
rítmica?
4. En las propiedades 6c y 6d, especificamos que x y y deben
ser positivos. Explique por qué.
5. ¿Cómo puede darse cuenta rápidamente de que
log (x � 4) � log (�2) no tiene solución real?
6. ¿Puede x � �1 ser solución de la ecuación
log3 x � log3 (x � 8) � 2? Explique.
Práctica de habilidades
Resuelva cada una de estas ecuaciones exponenciales sin utilizar la calculadora.
7. 3 8. 7 9. 4 10.
11. 12. 13. 2 14.
15. 16. 17. 4 18.
19. 3 20. 21. 3 22.
Utilice la calculadora para resolver cada ecuación. Redondee sus respuestas al centésimo más cercano.
23. 24. 25. 3.56 26.
27. 28. 29. 6.34 30.
Resuelva cada ecuación logarítmica. Cuando lo considere apropiado, utilice una calculadora. Si la respuesta es irracional, redondee la
respuesta al centésimo más cercano.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47. 48. log3 2x + log3 x = 4log2 x + log2 5 = 2log 13x - 82 = 1
log 1x + 82 = 2log2 1p - 322 = 6log2 1r + 422 = 4
log3 1a - 222 = 2log5 1x + 122 = 2log4 13x + 72 = 3
log2 15 - 3x2 = 3log x = 4log x = 2
log7 x = -2log2 x = -4log81 x =
1
4
log125 x =
1
3
log81 x =
1
2
log36 x =
1
2
5x
= 2x + 53x + 4
= 6x4x
= 9x - 21.63x + 1
= 25
2.3x - 1
= 26.24x - 1
= 351.05x
= 237x
= 50
a1
2
bx
= 1627x
= 32x + 364x
= 44x + 123x - 2
= 128
3x - 6
= 812x + 2
= 6425x
=
1
5
27x
=
1
3
6-x
=
1
216
7-x
=
1
49
81x
= 364x
= 8
4x
= 2563x
= 812x
= 1285x
= 125
Será necesario que transcurran casi 4.91 horas para que el cultivo tenga 30,000 bacterias.
� Ahora resuelva el ejercicio 69
Sección 9.6 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 635
49. 50. 51. 4
52. 53. 2 54.
55. 56. 0.26 57.
58. 59. 5 60.
61. 62. 63.
64. 65. 3 66.
67. 9 68.
Resolución de problemas
Resuelva cada problema. Redondee sus respuestas al centésimo más cercano.
log 1x - 72 - log 1x + 32 = log 6log2 1x + 32 - log2 1x - 62 = log2 4
log7 1x + 62 - log7 1x - 32 = log7 4log5 1x + 32 + log5 1x - 22 = log5 6log4 x + log4 16x - 72 = log4 5
log8 x = 4 log8 2 - log8 8log7 x =
3
2
 log7 9log x =
1
3
 log 64
2 log2 x = 4log x + log 1x - 32 = 1log 6000 - log 1x + 22 = 3.15
2 log x - log 9 = 2log 1x + 42 - log x = 1.22log 6 + log y = 0.72
log 1x + 42 - log x = log 1x + 12log n + log 13n - 52 = log 2log 1x - 52 + log 3 = log 12x2
log 12x + 12 + log 4 = log 17x + 82log 2a = log 11 - a2log 1r + 22 = log 13r - 12
76. Homicidios A partir de 1993, el número de homicidios en la
ciudad de Nueva York ha estado disminuyendo. El número
de homicidios puede calcularse mediante la función
donde t es el número de años desde 1993. Si esta tendencia
continúa, utilice esta función para calcular el número de ho-
micidios en la ciudad de Nueva York en 2008.
77. Depreciación A fin de reducir el pago de impuestos, los em-
presarios acostumbran calcular la depreciación de la maqui-
naria de producción. El valor que tiene la maquinaria al final
de su vida útil se denomina valor de desecho. Cuando la maqui-
naria se deprecia anualmente en un porcentaje fijo, su valor
de desecho es S � c(1 � r)n, donde c es el costo original, r es
la tasa anual de depreciación, dada en forma decimal, y n es la
vida útil en años. Determine el valor de desecho de una ma-
quinaria que cuesta $50,000, tiene una vida útil de 12 años y
su tasa de depreciación anual es de 15%.
78. Depreciación Si la maquinaria del ejercicio 77 cuesta
$100,000, tiene una vida útil de 15 años y su tasa de deprecia-
ción anual es de 8%, determine su valor de desecho.
79. Ganancia de potencia de un amplificador La ganancia de
potencia, P, de un amplificador se define como
donde Psal es la potencia de salida y Pent es la potencia de en-
trada, ambas en watts. Si un amplificador tiene una potencia
de salida de 12.6 watts y una potencia de entrada de 0.146
watts, determine la ganancia de potencia.
P = 10 log ¢ Psal
Pent
≤
f1t2 = 1997 - 1576 log 1t + 12
69. Bacterias Si el número inicial de bacterias, en el cultivo del
ejemplo 7, es 4500 bacterias, ¿cuándo habrá en él 50,000 bac-
terias? Utilice N � 4500(2)t.
70. Bacterias Si después de 4 horas en un cultivo, en el que cada
hora se duplica el número de bacterias, hay 2224 bacterias,
¿cuántas bacterias había al principio?
71. Decaimiento radiactivo La cantidad, A, de material radiacti-
vo que queda al cabo de t años en una muestra de 200 gramos,
puede determinarse mediante la ecuación A � 200(0.75)t.
¿Cuándo quedarán 80 gramos?
72. Decaimiento radiactivo La cantidad, A, de material radiactivo
que queda al cabo de t años en una muestra de 70 gramos,
puede determinarse mediante la ecuación A � 70(0.62)t.
¿Cuándo quedarán 10 gramos?
73. Cuenta de ahorros Paul Trapper invierte $2000 en una cuen-
ta de ahorros que genera interés a una tasa de 5% capitaliza-
ble anualmente. ¿Cuánto tiempo pasará para que los $2000
se conviertan en $4600? Utilice la fórmula de interés com-
puesto, que se analizó en la página 606.
74. Cuenta de ahorros Si Tekar Werner invierte $600 en una
cuenta de ahorros que genera interés a una tasa de 6% capi-
talizable semestralmente, ¿cuánto tiempo pasará para que
los $600 se conviertan en $1800?
75. Tasa de mortalidad infantil La tasa de mortalidad infantil
(muertes por cada 1000 nacidos vivos) en Estados Unidos ha
disminuido desde antes de 1959. (Aunque en otros países
ha ocurrido lo mismo, la disminución ha sido menos signifi-
cativa.) La tasa de mortalidad infantil en Estados Unidos
puede calcularse mediante la función
donde t es el número de años a partir de 1960 y 0 � t � 45.
Utilice esta función para calcular la tasa de mortalidad infan-
til en Estados Unidos en a) 1990, b) 2005.
0
5
15
20
25
30
10
1960 1970 1980 1985 1990 1995 2000
Año
M
ue
rt
es
 p
or
 c
ad
a 
10
00
na
ci
do
s 
vi
vo
s
Tasa de mortalidad infantil en Estados Unidos
f1t2 = 26 - 12.1 log 1t + 12
A = pa1 +
r
n
bnt
,
<<
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