Algebra-Intermedia 2-páginas-45

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636 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
80. Terremoto De acuerdo con la escala Richter, la magnitud,
R, de un terremoto de intensidad I se define por R � log I,
donde I es el número de veces que es más intenso el terremoto
respecto del nivel mínimo que se utiliza para comparar.
a) ¿Cuántas veces fue más intenso el terremoto de San
Francisco, que midió 8.25 grados en la escala Richter, que
el nivel mínimo de comparación?
b) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto que mide
8.3 grados en la escala Richter que uno que mide 4.7?
81. Magnitud del sonido La escala de decibeles se utiliza para
medir la magnitud del sonido. La magnitud d, en decibeles,
de un sonido se define como d � 10 log I, donde I es el núme-
ro de veces que es más intenso respecto de la magnitud del
mínimo sonido audible.
a) El sonido del motor de un aeroplano tiene una intensi-
dad de casi 120 decibeles. ¿Cuántas veces es más intenso
ese sonido que el mínimo sonido audible?
b) El ruido en la calle de una ciudad con tráfico tiene una
intensidad de 50 decibeles. ¿Cuántas veces es más inten-
so el sonido del motor del aeroplano que el sonido de la
calle de la ciudad?
82. En el siguiente procedimiento empezamos con una afirma-
ción verdadera y terminamos con una falsa. ¿Puede encon-
trar el error?
Verdadero.
Multiplicar ambos lados por log (0.1).
Propiedad 3
Propiedad 6d
Falso.
83. Resuelva 8x � 16x�2.
84. Resuelva 27x � 81x�3.
85. Utilice ecuaciones de forma cuadrática para resolver la ecua-
ción 22x � 6(2x) � 8 � 0.
86. Utilice ecuaciones de forma cuadrática para resolver la ecua-
ción 22x � 18(2x) � 32 � 0.
 0.01 6 0.001
 10.122 6 10.123
 log 10.122 6 log 10.123
 2 log 10.12 6 3 log 10.12
 2 6 3
Cambie la ecuación exponencial o logarítmica a la forma ax � by � c, y luego resuelva el sistema de ecuaciones.
[2.2] 95. Considere las dos figuras siguientes. ¿Cuál tiene ma-
yor volumen y por cuánto es mayor?
[3.6] 96. Sea f(x) � x2 � x y g(x) � x � 1. Determine
(g � f)(3).
3 pies
3 pies
4 pies4 pies
3 pies
[4.6] 97. Determine el conjunto solución del sistema de de-
sigualdades.
[7.5] 98. Simplifique
[8.3] 99. Despeje c en E � mc2.
[8.5] 100. Escriba la función para la parábola que tiene la forma
de f(x) � 2x2 y vértice en (3, �5).
21xy - 1xy1x + 1y
.
y 7 -x + 4
3x - 4y … 6
87.
x + y = 4
2x
= 8y 88.
x - 2y = -3
32x
= 9y + 1 89.
x - y = 8
log 1x + y2 = 2 90.
2x - y = 5
log 1x + y2 = 3
Utilice su calculadora para determinar las soluciones al décimo más cercano. Si no existe solución real, indíquelo.
91. 92.
93. 94.
Ejercicios de repaso acumulativo
5.6 log 1x + 12.22 - 1.6 log 1x - 42 = 20.3 log 12x - 625.6 log 15x - 122 = 2.3 log 1x - 5.42
log 13x + 52 = 2.3x - 6.4log 1x + 32 + log x = log 16
Sección 9.7 Función exponencial natural y función logaritmo natural 637
1 Identificar la función
exponencial natural.
2 Identificar la función
logaritmo natural.
3 Determinar valores
mediante una calculadora.
4 Determinar logaritmos
naturales mediante la
fórmula de cambio de base.
5 Resolver ecuaciones
logarítmicas naturales y
exponenciales naturales.
6 Resolver problemas de
aplicación.
La función exponencial natural y su inversa, la función logarítmo natural, son funcio-
nes exponenciales y funciones logarítmicas del tipo que se presentó en las secciones
anteriores, así que comparten todas las propiedades que hemos venido analizando. La
importancia de estas funciones especiales radica en la gran variedad de aplicaciones de
la vida real de un número irracional único, designado por la letra e.
1 Identificar la función exponencial natural
En la sección 9.2 se indicó que las funciones exponenciales tienen la forma f(x) � ax,
a � 0 y a Z 1. A continuación, sin embargo, presentaremos una función exponencial
muy especial, denominada función exponencial natural, que utiliza el número e. Al
igual que el número irracional p, e es un número irracional cuyo valor sólo puede apro-
ximarse mediante un número decimal. El número e desempeña un papel muy importante
en cursos de matemáticas superiores, y su valor aproximado es de 2.7183. A continua-
ción se define la función exponencial natural.
La función exponencial natural
La función exponencial natural es
donde e L 2.7183.
f1x2 = ex
Logaritmos naturales
Los logaritmos naturales son logaritmos de base e, y se indican mediante las letras ln.
loge x = ln x
Logaritmo natural en forma exponencial
Para x � 0, si y � ln x, entonces ey � x.
2 Identificar la función logaritmo natural
En la sección 9.5 comentamos los logaritmos comunes; ahora analizaremos los logarit-
mos naturales.
La notación ln x se lee el “logaritmo natural de x”. La función f(x) � ln x se deno-
mina función logaritmo natural.
Recuerde que la base del logaritmo natural es e y que, por lo tanto, cuando cam-
bie un logaritmo natural a forma exponencial, la base de la expresión exponencial
será e.
EJEMPLO 1 � Determine el valor de la expresión mediante el cambio de la forma
logarítmica natural a la forma exponencial.
a) ln 1 b) ln e
Solución
a) Sea y � ln 1; entonces ey � 1. Como cualquier valor diferente de cero a la potencia
cero es igual a 1, y debe ser igual a 0. Así, ln 1 � 0.
b) Sea y � ln e; entonces ey � e, por lo que y debe ser igual a 1. Así, ln e � 1.
� Ahora resuelva el ejercicio 1
9.7 Función exponencial natural y función logaritmo natural
638 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4 �3 �2 �1
y � x
y � ex
y � ln x
x
y
FIGURA 9.27
CÓMO USAR SU CALCULADORA Determinación de logaritmos naturales
Los logaritmos naturales pueden determinarse mediante una calculadora que tenga una tecla Para lograrlo, se sigue un
procedimiento semejante al que realizamos para determinar logaritmos comunes, pero esta vez se debe utilizar la tecla del loga-
ritmo natural, , en lugar de la tecla del logaritmo común, .
Calculadora científica
EJEMPLO TECLAS A PRESIONAR RESPUESTA MOSTRADA
Determine ln 242. 242 5.4889377
Determine ln 0.85. .85 
Calculadora graficadora*
En la TI-84 Plus, después de presionar la tecla en la pantalla se muestra ln(.
EJEMPLO TECLAS A PRESIONAR RESPUESTA MOSTRADA
Determine ln 242. (242 5.488937726
Determine ln 0.85. (.85 
*Esta secuencia de teclas corresponde a la calculadora TI-84 Plus. Si usted tiene otro modelo de calculadora graficadora, lea su manual para
aprender a determinar logaritmos naturales en ella.
- .1625189295� ENTER �� 2 �� LN �
� ENTER �� 2 �� LN �
� LN �
-0.1625189� LN �
� LN �
� LOG �� LN �
� LN �
Las funciones y � ax y y � loga x son funciones inversas. De manera análoga, las
funciones y � ex y y � ln x son funciones inversas. (Recuerde, y � ln x significa
y � loge x.) Es decir, si f(x) � ex, entonces f�1(x) � ln x.
Las gráficas de y � ex y y � ln x se ilustran en la figura 9.27. Observe que éstas son
simétricas respecto de la recta y � x, tal como sucede con todas las funciones inversas.
Observe que la gráfica de y � ex es similar a las gráficas de la forma y � ax, a � 1,
y que la gráfica de y � ln x es similar a las gráficas de la forma y � loga x, a � 1.
3 Determinar valores mediante una calculadora
Ahora aprenderemos cómo determinar logaritmos naturales con una calculadora.
CÓMO USAR SU CALCULADORA Determinación de valores de ex
Calculadora científica
Para determinar valores de ex, primero introduzca el exponente de e y luego presione , o , dependiendo de su calcula-
dora. A continuación presione la tecla del logaritmo natural, . Después de que se presione la tecla , el valor de ex aparecerá
en la pantalla.
EJEMPLO TECLAS A PRESIONAR RESPUESTA MOSTRADA
Determine e5.24. 5.24 188.6701
Determine e�1.639. 1.639 0.1941741
Calculadora graficadora*
En la TI-84 Plus, después de presionar , en la pantalla se muestra e^.
EJEMPLO TECLAS A PRESIONAR RESPUESTA MOSTRADA
Determine e5.24. (5.24 188.6701024
Determine e�1.639. ( 1.639 .1941741194
*Esta secuencia de teclas corresponde a la calculadora TI-84 Plus. Si usted tiene otro modelo de calculadora graficadora,lea su manual para
aprender a determinar expresiones exponenciales naturales en ella.
� ENTER �� 2 �� 1-2 �� LN �� 2nd
 �
� ENTER �� 2 �� LN �� 2nd
 �
� LN �� 2nd
 �
� LN �� INV �� + /- �
� LN �� INV �
� LN �� LN �
� INV �� 2nd
 �� shift �
Cuando determinamos el logaritmo natural de un número, estamos buscando un
exponente. El logaritmo natural de un número es el exponente al que debe elevarse la
base e para obtener ese número. Por ejemplo,
Como y � ln x y y � ex son funciones inversas, podemos utilizar la tecla en
combinación con la tecla del logaritmo natural, para obtener valores de ex.� LN � ,
� INV � ,
 Si ln 0.85 = -0.1625189, entonces e-0.1625189
= 0.85.
 Si ln 242 = 5.4889377, entonces e5.4889377
= 242.
Sección 9.7 Función exponencial natural y función logaritmo natural 639
Recuerde que el valor de e es de aproximadamente 2.7183. Cuando evaluamos e5.24
o (2.7183)5.24 en el recuadro anterior, obtuvimos un valor cercano a 188.6701. Si deter-
mináramos ln 188.6701 en una calculadora, obtendríamos un valor cercano a 5.24.
¿Qué cree que obtendríamos si evaluáramos ln 0.1941741 en una calculadora? Si res-
pondió, “un valor cercano a �1.639”, lo hizo correctamente.
EJEMPLO 2 � Determine N si a) ln N � 5.26 y b) ln N � �0.0253.
Solución
a) Si escribimos ln N � 5.26 en forma exponencial, obtenemos e5.26 � N. Por lo tanto,
sólo necesitamos evaluar e5.26 para determinar N.
Con una calculadora.
Por lo tanto, N � 192.48149.
b) Si escribimos ln N � �0.0253 en forma exponencial, obtenemos e�0.0253 � N.
Con una calculadora.
Por lo tanto, N � 0.9750174.
� Ahora resuelva el ejercicio 19
4 Determinar logaritmos naturales mediante
la fórmula de cambio de base
Si le dan un logaritmo en una base diferente a 10 o e, no podrá evaluarlo directamente
en su calculadora. Cuando esto ocurra, puede utilizar la fórmula de cambio de base.
e-0.0253
= 0.9750174
e5.26
= 192.48149
Podemos demostrar la fórmula de cambio de base empezando con loga x � m.
Cambiar a forma exponencial.
De acuerdo con la propiedad 6c
de la página 630.
Regla de la potencia.
Sustituir m.
Dividir ambos lados entre logb a.
En la fórmula de cambio de base, con frecuencia se coloca 10 como valor de b, ya
que podemos determinar más fácilmente los logaritmos comunes en una calculadora.
Al reemplazar b con 10, obtenemos
EJEMPLO 3 � Utilice la fórmula de cambio de base para determinar log3 24.
Solución Si sustituimos 3 por a y 24 por x en obtenemos
Observe que 32.8929
L 24.
� Ahora resuelva el ejercicio 23
log3 24 =
log 24
log 3
L
1.3802
0.4771
L 2.8929
loga x =
log x
log a
,
loga x =
log10 x
log10 a
 o loga x =
log x
log a
 loga x =
logb x
logb a
 1loga x21logb a2 = logb x
 m logb a = logb x
 logb a
m
= logb x
 am
= x
 loga x = m
Fórmula de cambio de base
Para cualesquiera bases de logaritmos a y b, y cualquier número positivo x,
loga x =
logb x
logb a
640 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
S u g e r e n c i a ú t i l
En el ejemplo 3, si calculamos los valores reales del cociente mediante una calculadora,
el valor es L 2.8928 en lugar del valor de L 2.8929, que obtuvimos en el ejemplo 3. Para ob-
tener la respuesta de L 2.8929, dividimos la aproximación del numerador, 1.3802, entre la
aproximación del denominador, 0.4771. Cuando, en la sección de respuestas, proporcionemos
las respuestas a los ejercicios que incluyen la fórmula de cambio de base, no redondearemos los
valores del numerador y del denominador. Sólo redondearemos la respuesta final.
Podemos utilizar el mismo procedimiento del ejemplo 3 para determinar logarit-
mos naturales mediante la fórmula de cambio de base. Por ejemplo, para evaluar ln 20 
(o loge 20), podemos sustituir e por a y 20 por x en la fórmula
Por lo tanto, ln 20 L 2.9956. Si determina ln 20 en una calculadora, obtendrá un valor
muy cercano.
Como log e L 0.4343, para evaluar logaritmos naturales mediante logaritmos co-
munes utilizamos la fórmula
EJEMPLO 4 � Utilice la fórmula de cambio de base para determinar ln 95.
Solución
Si evalúa ln 95 en su calculadora, obtendrá un valor muy cercano a 4.5538. Hágalo,
en consecuencia, y compruebe su resultado.
� Ahora resuelva el ejercicio 33
5 Resolver ecuaciones logarítmicas naturales
y exponenciales naturales
Las propiedades de los logaritmos que analizamos en la sección 9.4 se cumplen tam-
bién en el caso de los logaritmos naturales. A continuación se muestra un resumen de
estas propiedades en la notación de logaritmos naturales.
ln 95 =
log 95
log e
L
1.9777
0.4343
L 4.5538
ln x =
log x
log e
L
log x
0.4343
loge 20 =
log 20
log e
L
1.3010
0.4343
L 2.9956
loga x =
log x
log a
.
log 24
log 3
Propiedades para logaritmos naturales
Regla del producto.
Regla del cociente.
Regla de la potencia.1x 7 02 ln xn
= n ln x 
1x 7 0 y y 7 02 ln 
x
y
= ln x - ln y
1x 7 0 y y 7 02 ln xy = ln x + ln y
Considere la expresión ln ex, que significa loge ex. De acuerdo con la propiedad 4
de la página 621, loge ex � x. Por lo tanto, ln ex � x. De forma análoga,
con base en la propiedad 5.Aunque ln ex � x y eln x � x sólo son casos especiales de las
propiedades 4 y 5, respectivamente, debido a su importancia llamaremos a estas pro-
piedades 7 y 8, de modo que podamos hacer referencia a ellas.
eln x
= eloge x = x
Propiedades adicionales para los logaritmos naturales
y las expresiones exponenciales naturales
Propiedad 7
Propiedad 8 eln x
= x, x 7 0
 ln ex
= x
Sección 9.7 Función exponencial natural y función logaritmo natural 641
Usando la propiedad 7, ln ex � x, podemos establecer que ln ekt � kt y
ln e�2.06t � �2.06t. Y usando la propiedad 8, eln x � x, podemos establecer, por ejem-
plo, que eln(t�2) � t � 2 y eln kt � kt.
EJEMPLO 5 � Despeje y en la ecuación ln y � ln(x � 9) � t.
Solución
Regla el cociente.
Cambiar a la forma exponencial.
Despejar y.
� Ahora resuelva el ejercicio 63
EJEMPLO 6 � Despeje t en la ecuación 225 � 450e�0.4t.
Solución Comenzamos dividiendo ambos lados de la ecuación entre 450 para aislar
a e�0.4t.
Ahora tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la
expresión exponencial del lado derecho.
Propiedad 7.
� Ahora resuelva el ejercicio 49
EJEMPLO 7 � Despeje t en la ecuación P � P0e
kt.
Solución Podemos seguir el mismo procedimiento que se utilizó en el ejemplo 6.
Dividir ambos lados entre P0.
Tomar el logaritmo natural de
ambos lados.
Regla del cociente.
Propiedad 7.
Despejar t.
� Ahora resuelva el ejercicio 59
 
ln P - ln P0
k
= t
 ln P - ln P0 = kt
 ln P - ln P0 = ln ekt
 ln 
P
P0
= ln ekt
 
P
P0
= ekt
 
P
P0
=
 P0 ekt
 P0 
 P = P0 ekt
 1.732868 = t
 
-0.6931472
-0.4
= t
 -0.6931472 = -0.4t
 ln 0.5 = -0.4t
 ln 0.5 = ln e-0.4t
 0.5 = e-0.4t
 
225
450
=
450e-0.4t
450
 y = et1x + 92
 
y
x + 9
= et
 ln 
y
x + 9
= t
 ln y - ln 1x + 92 = t
642 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
6 Resolver problemas de aplicación
Veamos ahora algunos problemas cuya solución incluye la aplicación de la función ex-
ponencial natural y de los logaritmos naturales.
Cuando una cantidad aumenta o disminuye a una velocidad exponencial, una
fórmula que se utiliza con frecuencia para determinar el valor de P después de cierto
tiempo t, es
donde P0 es el valor inicial y k es la tasa de aumento o disminución constantes. Haremos
referencia a esta fórmula como la fórmula de crecimiento (o decaimiento) exponen-
cial. En ella pueden usarse otras letras en lugar de P. Cuando k � 0, P aumenta confor-
me t aumenta. Cuando k � 0, P disminuye y se acerca cada vez más a cero conforme t
aumenta.
EJEMPLO 8 � Interés capitalizable de forma continua A menudo los bancos capi-
talizan el interés de manera continua. Cuando esto ocurre, la modificación del saldo de
la cuenta, P, a lo largo del tiempo, t, puede calcularse mediante la fórmula de creci-
miento exponencial P � P0e
kt, donde P0 es el capital inicial que se invirtió y k es la tasa
de interés.
a) Suponga que la tasa de interés que pagauna cuenta de ahorro es de 6%, capitali-
zable de manera continua. Si se invierten $1000, determine el saldo que tendrá la
cuenta al cabo de 3 años.
b) ¿Cuánto tiempo pasará para que la cuenta duplique su valor?
Solución a) Entienda el problema y traduzca Se nos ha dicho que el capital ini-
cial que se invirtió, P0 fue de $1000. También se dice que el tiempo, t, es 3 años, y que la
tasa de interés, k, es de 6% o 0.06. Sustituyamos estos valores en la fórmula dada y des-
pejemos P.
Realice los cálculos Con una calculadora.
Responda Al cabo de tres años, el saldo de la cuenta es de L $1197.22.
b) Entienda el problema y traduzca Para que el valor de la cuenta se duplique, el
saldo tendría que ser de $2000. Por lo tanto, sustituimos P por 2000 y despejamos t.
Dividir ambos lados entre 1000.
Realice los cálculos Tome el logaritmo natural de ambos lados.
Propiedad 7.
Responda Así, con una tasa de interés de 6% capitalizable de manera continua, la
cuenta se duplica en aproximadamente 11.6 años.
� Ahora resuelva el ejercicio 69
 11.552453 L t
 
0.6931472
0.06
= t
 
ln 2
0.06
= t
 ln 2 = 0.06t
 ln 2 = ln e0.06t
 2 = e0.06t
 2000 = 1000e0.06t
 P = P0 ekt
 L 1197.22
 = 1000e0.18
= 100011.19721742
 P = 1000e10.062132
 P = P0 ekt
P = P0 ekt
Sección 9.7 Función exponencial natural y función logaritmo natural 643
EJEMPLO 9 � Decaimiento radiactivo El estroncio 90 es un isótopo radiactivo
que decae exponencialmente a una velocidad de 2.8% cada año. Suponga que al inicio
hay 1000 gramos de estroncio 90 en una sustancia.
a) Determine el número de gramos de estroncio 90 que quedarán después de 50 años.
b) Determine la vida media del estroncio 90.
Solución a) Entienda el problema Como el estroncio 90 decae al paso del tiem-
po, el valor de k en la fórmula P � P0e
kt es negativo. Como la tasa de decaimiento es
2.8% anual, usamos k � �0.028. Por lo tanto, la fórmula que usamos es P � P0e
�0.028t.
Traduzca
Realice los cálculos
Responda Por lo tanto, al cabo de 50 años quedarán 246.597 gramos de estroncio 90.
b) Para determinar la vida media, necesitamos determinar cuándo quedan 500 gramos
de estroncio 90.
Dividir ambos lados entre 1000.
Tomar el logaritmo natural en ambos lados.
Propiedad 7.
Por lo tanto, la vida media del estroncio 90 es de aproximadamente 24.8 años.
� Ahora resuelva el ejercicio 71
EJEMPLO 10 � Venta de juguetes La fórmula para calcular la cantidad de dinero,
A, que se gasta en la publicidad de ciertos juguetes es A � 350 � 650 ln n, en donde n
es el número esperado de juguetes que se venderán.
a) Si la compañía desea vender 2200 juguetes, ¿cuánto dinero gastará en publicidad?
b) ¿Cuántos juguetes puede vender si destina $6000 a la publicidad?
Solución
a)
Sustituir n por 2200.
Por lo tanto, la compañía gastará $5352.54 en publicidad.
b) Entienda el problema y traduzca Nos piden determinar el número de juguetes
que la compañía puede vender, n, si destinan $6000 a publicidad. Sustituyamos los va-
lores dados en la ecuación y despejemos n.
Realice los cálculos Sustituir A por 6000.
Restar 350 en ambos lados.
Dividir ambos lados entre 650.
Cambiar a forma exponencial.
Obtener la respuesta con una calculadora.
Responda Por lo tanto, si se destinan $6000 a publicidad, la compañía puede esperar
vender alrededor de 5957 juguetes.
� Ahora resuelva el ejercicio 75
 5957 L n
 e8.69231
L n
 8.69231 L ln n
 
5650
650
= ln n
 5650 = 650 ln n
 6000 = 350 + 650 ln n
 A = 350 + 650 ln n
 = 5352.54
 = 350 + 65017.69621262
 = 350 + 650 ln 2200
 A = 350 + 650 ln n
 24.755257 L t
 
-0.6931472
-0.028
= t
 -0.6931472 = -0.028t
 ln 0.5 = ln e-0.028t
 0.5 = e-0.028t
 500 = 1000e-0.028t
 P = P0 e-0.028t
 = 1000e-1.4
= 100010.2465972 = 246.597
 = 1000e-0.0281502
 P = P0 e-0.028t
644 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
CONJUNTO DE EJERCICIOS 9.7
Ejercicios de concepto/redacción
7. ¿A qué es igual ln ex?
8. ¿A qué es igual eln x?
9. ¿Cuál es la inversa de ln x?
10. En la fórmula P � P0e
kt, ¿bajo qué circunstancias P aumen-
tará cuando t aumente?
11. En la fórmula P � P0e
kt, ¿bajo qué circunstancias P dismi-
nuirá cuando t aumente?
12. ¿Es posible determinar el valor de ln (�3.52)? Explique.
CÓMO USAR SU CALCULADORA GRAFICADORA
Las ecuaciones que tienen logaritmos naturales y funciones exponenciales naturales pueden resolverse en una calculadora
graficadora. Por ejemplo, para resolver la ecuación ln x � ln (x � 3) � ln 8, hacemos
y determinamos la intersección de las gráficas, como se muestra en la figura 9.28.
En la figura 9.28 usamos la opción CALC, INTERSECT para determinar la intersección de
las gráficas. La solución es la coordenada x de la intersección. Redondeada al diezmilésimo más
cercano, la solución de la ecuación es x � 1.7016.
Para resolver la ecuación 4e0.3x � 5 � x � 3, hacemos
y determinamos la intersección de las gráficas, como se muestra en la figura 9.29. Esta ecuación
tiene dos soluciones, ya que hay dos intersecciones.
Las soluciones de la ecuación son aproximadamente x � �7.5896 y x � 3.5284. En los ejer-
cicios 93 a 97 utilizaremos una calculadora graficadora para comprobar o resolver ecuaciones.
 Y2 = x + 3
 Y1 = 4e0.3x
- 5
 Y2 = ln 8
 Y1 = ln x + ln 1x + 32
FIGURA 9.29
FIGURA 9.28
1. a) ¿Cuál es la base de una función exponencial natural?e
b) ¿Cuál es el valor aproximado de e?
2. ¿De qué otra forma escribimos loge x?
3. ¿Cuál es el dominio de ln x?
4. ¿Bajo qué condiciones será ln x � 0?
5. Enuncie la fórmula de cambio de base.
6. ¿Se cumple n loge x � ln xn? Explique.
Práctica de habilidades
Determine los siguientes valores. Redondee los valores a cuatro lugares decimales.
13. ln 62 14. ln 791 15. ln 0.813 16. ln 0.000568
Determine el valor de N. Redondee los valores a tres dígitos significativos.
17. 18. 181 19.
20. 21. 0.972 22.
Utilice la fórmula de cambio de base para determinar el valor de los logaritmos siguientes. No redondee los logaritmos en la fórmula.
Escriba la respuesta redondeada al diezmilésimo más cercano.
23. 24. 25. 26.
27. 28. 29. 30.
31. 32. 33. ln 51 34. ln 3294
35. 36.
Resuelva las ecuaciones logarítmicas siguientes.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. ln 1x + 122 - ln 1x - 42 = ln 5ln 1x2
- 42 - ln 1x + 22 = ln 4
ln x =
3
2
 ln 16ln x = 5 ln 2 - ln 8ln 1x + 32 + ln 1x - 32 = ln 40
ln x + ln 1x + 42 = ln 5ln 1x + 42 + ln 1x - 22 = ln 16ln x + ln 1x - 12 = ln 12
log3 0.0365log5 0.463
log6 806log6 185
log5 1893log5 82log4 316log4 11
log2 89log2 21log3 198log3 56
ln N = -0.674ln N = -0.0287ln N = 0.543
ln N = -2.85ln N = 5.2ln N = 1.6
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