Algebra-Intermedia 2-páginas-48

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652 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 9.7
La función logaritmo natural es
donde e L 2.7183.
Logaritmos naturales son logaritmos con base e. Los logaritmos
naturales se indican mediante las letras ln.
Para x � 0, si y � ln x, entonces ey � x.
La función logaritmo natural es
donde la base e L 2.7183.
Para determinar los valores de exponenciales naturales y de loga-
ritmos naturales, utilice una calculadora científica o graficadora.
La función exponencial natural, f(x) � ex, y la función logaritmo
natural, g(x) � ln x, son inversas una de la otra.
g1x2 = ln x
loge x = ln x
f1x2 = ex
Grafique f(x) � ex y g(x) � ln x en el mismo conjunto de ejes.
Si ln N � �2.09, entonces N � e�2.09 � 0.1237.
ln 5.83 = 1.7630
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
4321�4 �3 �2 �1
y � x
f(x) � ex
g(x) � ln x
x
y
Fórmula de cambio de base
Para cualesquiera bases a y b de logaritmos y cualquier número
positivo x.
loga x =
logb x
logb a
log5 98 =
log 98
log 5
L
1.9912
0.6990
L 2.8486
Propiedades de los logaritmos naturales
Regla del producto
Regla del cociente
Regla de la potencia 1x 7 02 ln xn
= n ln x
 1x 7 0 y y 7 02 ln 
x
y
= ln x - ln y
 1x 7 0 y y 7 02 ln xy = ln x + ln y
 ln m5
= 5 ln m
 ln 
x + 1
x + 8
= ln 1x + 12 - ln 1x + 82
 ln 7 # 30 = ln 7 + ln 30
Propiedades adicionales para expresiones con
logaritmos naturales y exponenciales naturales
Propiedad 7
Propiedad 8 eln x
= x, x 7 0
 ln ex
= x
Ejercicios de repaso del capítulo 9
[9.1] Dadas y determine lo siguiente.
1. 2. 2 3. 4.
Dadas y determine lo siguiente.
5. 6.
Determine si cada función es una función uno a uno.
7. yes 8. no 9.
10. no 11. yes 12. y = x2
- 9y = 1x + 8, x Ú -8e 10, -22, 16, 12, 13, -22, a1
2
, 4b f
{16, 22, 14, 02, 1-5, 72, 13, 82}
x
y
x
y
1g � f21x21f � g21x2
g1x2 = 1x - 3, x Ú 3,f1x2 = 6x + 7
1g � f21-321g � f21x21f � g21321f � g21x2
g1x2 = 2x - 5,f1x2 = x2
- 3x + 4
 eln 2
= 2
 ln e19
= 19
Ejercicios de repaso 653
En los ejercicios 13 y 14, para cada función, determine el dominio y el rango de f(x) y de f�1(x).
13. 14.
En los ejercicios 15 y 16, determine f�1(x) y grafique f(x) y f�1(x) en los mismos ejes.
x
y
4
{15, 32, 16, 22, 1-4, -32, 1-1, 82}
15.
16.
17. Yardas a pies La función f(x) � 36x convierte yardas, x, en
pulgadas. Determine la función inversa que convierte pulga-
das en yardas. En la función inversa, ¿qué representan x y
f�1(x)?
18. Galones a cuartos de galón La función f(x) � 4x convierte
galones, x, en cuartos de galón (o simplemente cuartos). De-
termine la función inversa que convierte cuartos en galones.
En la función inversa, ¿qué representan x y f�1(x)?
[9.2] Grafique las funciones siguientes.
19.
20.
21. Dispositivos inteligentes manuales Desde 1999, las ventas
de dispositivos inteligentes manuales ha estado creciendo
exponencialmente (vea la gráfica de la derecha). Las ventas,
f(t), en millones de dispositivos, puede calcularse mediante
la función f(t) � 7.02e0.365t, en donde t es el número de años
y = a1
2
bx
y = 2x
y = f1x2 = 13 x - 1
y = f1x2 = 4x - 2 a partir de 1999. Utilice esta función para calcular el número
de dispositivos vendidos a nivel mundial en a) 2003, b) 2005.
c) 2008.
0
10
20
30
40
50
Año
D
is
po
si
ti
vo
s 
(m
ill
on
es
)
Envíos mundiales de dispositivos
inteligentes manuales
Fuente: International Data Corp.; MSN MoneyCentral;
CSI Inc.; investigación adicional.
’99 ’00 ’01 ’02 ’03 ’04
[9.3] Escriba cada ecuación en forma logarítmica.
22. 23. 24.
Escriba cada ecuación en forma exponencial.
25. 26. 27.
Escriba cada ecuación en forma exponencial y determine el valor que falta.
28. 29. 30.
Grafique las funciones siguientes.
31. 32.
[9.4] Utilice las propiedades de los logaritmos para desarrollar cada expresión.
33. 34.
35. 36.
Escriba lo siguiente como el logaritmo de una sola expresión.
37. 38.
39. 40. 3 ln x +
1
2
 ln 1x + 12 - 6 ln 1x + 421
3
 [ln x - ln 1x + 22] - ln 2
41log 2 + log x2 - log y5 log x - 3 log 1x + 12
log 
x4
712x + 325log 
61a + 12
19
log3 1x - 9log5 178
y = log1>2 xy = log3 x
-3 = log1>5 x4 = loga 83 = log4 x
log6 
1
36
= -2log1>4 
1
16
= 2log2 32 = 5
5-3
=
1
125
811>4
= 382
= 64
654 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
Evalúe.
41. 42. 43. 44.
[9.5, 9.7] Utilice una calculadora para determinar cada logaritmo. Redondee sus respuestas al diezmilésimo más cercano.
45. log 819 46. ln 0.0281
Utilice una calculadora para determinar el antilogaritmo de cada número. Proporcione el antilogaritmo con tres dígitos significativos.
47. 3.159 48.
Utilice una calculadora para determinar N; redondee su respuesta a tres dígitos significativos.
49. 50.
Evalúe.
51. 52. 9 53. 54.
[9.6] Resuelva sin utilizar calculadora.
55. 56. 57. 58.
Utilice una calculadora para resolver lo siguiente. Redondee sus respuestas al milésimo más cercano.
59. 60. 61. 62.
Resuelva la ecuación logarítmica.
63. 64. 5
65. 66. 3
[9.7] Despeje la variable restante en cada ecuación exponencial. Redondee su respuesta al milésimo más cercano.
67. 68.
Despeje la variable que se indica.
69. despeje t 70. despeje k
71. despeje y 72. despeje y
Utilice la fórmula de cambio de base para evaluar. Escriba la respuesta redondeada al milésimo más cercano.
73. 74. log3 47log2 196
ln 1y + 12 - ln 1x + 82 = ln 3,ln y - ln x = 6,
200 = 800ekt,A = A0 ekt,
100 = A0 e-0.4213250 = 25e0.6t
ln 1x + 12 - ln 1x - 22 = ln 4log3 x + log3 12x + 12 = 1
log x + log 14x - 192 = log 5log7 12x - 32 = 2
3x + 2
= 8x12.5x + 1
= 3813.1x
= 8567x
= 152
27x
= 32x + 523x - 1
= 3249x
=
1
7
625 = 5x
2110log 4.727 log 103.210log 9log 105
log N = -1.2262log N = 4.063
-3.157
9log8 1811log9 81log4 4
58log8 10
[9.2–9.7]
75. Interés compuesto Determine el monto de dinero, si Justine
Elwood invierte $12,000 durante un periodo de 8 años, en
una cuenta de ahorros que produce 6% de interés anual. Uti-
lice A � p(1 � r)n.
76. Interés compuesto de manera continua Si $6,000 se colocan
en una cuenta de ahorros que paga 4% de interés compuesto
de manera continua, determine el tiempo que se necesita pa-
ra que la cuenta duplique su valor.
77. Bacterias Las bacterias Escherichia coli por lo regular se en-
cuentran en la vejiga de los humanos. Suponga que hay 2000
bacterias en el instante 0, y que el número de bacterias pre-
sentes t minutos después puede determinarse mediante la
función N(t) � 2000(2)0.05t.
a) ¿Cuándo habrá 50,000 bacterias?
b) Suponga que se cataloga como infectada una vejiga hu-
mana que contenga 120,000 bacterias; ¿cuánto tardará en
desarrollar una infección de este tipo una persona cuya
vejiga contiene inicialmente 2000 bacterias?
78. Presión atmosférica La presión atmosférica, P, en libras por
pulgada cuadrada, a una altura de x pies por arriba del nivel
del mar, puede determinarse mediante la fórmula
P � 14.7e�0.00004x. Determine la presión atmosférica a una al-
titud de 8842 pies.
79. Retención de conocimientos Al final de un curso de historia,
los alumnos se sometieron a un examen. Como parte de un pro-
yecto de investigación, los estudiantes seguirán respondiendo
pruebas semejantes cada mes durante n meses. La calificación
promedio del grupo después de n meses puede determinarse
mediante la función 
a) ¿Cuál fue la calificación promedio del grupo cuando se
aplicó el examen original (n � 0)?
b) ¿Cuál fue la calificación promedio del grupo a los dos
meses?
c) ¿Después de cuántos meses la calificación promedio del
grupo fue 58.0?
A1n2 = 72 - 18 log1n + 12, n Ú 0.
Examen de repaso acumulativo 655
Examen de práctica del capítulo 9
Para determinar el nivel de comprensión del material del capítulo, haga este examen de práctica. Las respuestas y la sección
en la que se estudia por primera vez el material, se proporciona en la parte final del libro. Además, cada problema está
completamente resuelto en el Chapter Test Prep Video CD. Revise el material de aquellas preguntas que respondió de forma
incorrecta.
1. a) Determine sila siguiente es una función uno a uno.
yes
b) Liste el conjunto de pares ordenados de la función inversa.
2. Dadas y determine
a) b)
3. Dadas y determine
a) b)
En los ejercicios 4 y 5, a) determine f�1(x) y b) grafique f(x) y
f�1(x) en los mismos ejes.
4.
5.
6. ¿Cuál es el dominio de y � log5 x?
7. Evalúe
8. Grafique
9. Grafique
10. Escriba en forma logarítmica.
11. Escriba en forma exponencial.
Escriba los ejercicios 12 y 13 en forma exponencial y determine el
valor que falta.
12.
13. y = log64 16
4 = log2 1x + 32
log5 125 = 3
2-5
=
1
32
y = log2 x.
y = 3x.
log4 
1
256
.
y = f1x2 = 1x - 1, x Ú 1
y = f1x2 = -3x - 5
1g � f2172.1g � f21x2.
g1x2 = 1x - 5, x Ú 5,f1x2 = x2
+ 8
1f � g2162.1f � g21x2.
g1x2 = x + 2,f1x2 = x2
- 3
{14, 22, 1-3, 82, 1-1, 32, 16, -72} 14. Desarrolle
15. Escriba como el logaritmo de una sola expresión.
16. Evalúe
17. a) Determine log 4620 redondeado a 4 lugares decimales.
b) Determine log 0.0692 redondeado a 4 lugares decimales.
18. Resuelva 3x � 19 para x.
19. Resuelva log 4x � log (x � 3) � log 2 para x.
20. Resuelva log (x � 5) � log (x � 2) � log 6 para x.
21. Si ln N � 2.79, determine N; redondee su respuesta a 4 deci-
males.
22. Evalúe log6 40; utilice la fórmula de cambio de base y redon-
dee su respuesta a 4 decimales.
23. Resuelva 100 � 250e�0.03t; redondee a 4 decimales.
24. Cuenta de ahorros Si Kim Lee invierte $3500 en una cuenta
de ahorros que genera 6% de interés compuesto cada tri-
mestre, ¿cuánto dinero tendrá después de 10 años?
25. Carbono 14 La cantidad de carbono 14 que queda después
de t años se determina mediante la fórmula v � v0e
�0.0001205t,
en donde v0 es la cantidad original de carbono 14. Si al prin-
cipio un fósil tenía 60 gramos de carbono 14 y ahora contiene
40 gramos de dicho elemento, ¿cuál es la edad del fósil?
10 log9 19.
7 log6 1x - 42 + 2 log6 1x + 32 -
1
2
 log6 x.
log2 
x31x - 42
x + 2
.
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen y verifique sus respuestas con las que aparecen al final. Revise las preguntas que haya respondido incorrectamente.
Los números de la sección y el objetivo en donde se analiza el material correspondiente se indican después de cada respuesta.
1. Simplifique
2. Evalúe
3. Cena Thomas Ferguson llevó a su esposa a cenar a un agra-
dable restaurante. El costo de los alimentos antes de impues-
tos fue $92. Si el precio total, incluyendo el impuesto, fue
$98.90, determine la tasa de impuesto.
52
- 12 - 3222 + 43.
12xy2
 z-322
13x-1
 yz22-1 . 4. Resuelva la desigualdad �3 � 2x � 7 � 8 y escriba la respues-
ta como un conjunto solución y en notación de intervalos.
5. Despeje y en .
6. Sea Determine 0
7. Determine la pendiente de la recta que se muestra en la figu-
ra siguiente. Luego escriba la ecuación de la recta dada.
y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
1
431�3�4 �1
h1-42.h1x2 =
x2
+ 4x
x + 6
.
2x - 3y = 8
656 Capítulo 9 Funciones exponenciales y logarítmicas
14. Resuelva
15. Despeje d en an � a1 � nd � d.
16. Si L varía inversamente respecto del cuadrado de P. Deter-
mine L cuando P � 4 y K � 100.
17. Simplifique
18. Resuelva
19. Resuelva
20. Sea
a) Exprese a g(x) en la forma g(x) � a(x � h)2 � k.
b) Trace la gráfica y marque el vértice.
g1x2 = x2
- 4x - 5.
1x2
- 522 + 31x2
- 52 - 10 = 0.
12a + 9 - a + 3 = 0.
4245x3
+ 15x .
2x + 3
x + 1
=
3
2
.
8. Grafique
9. Grafique
10. Resuelva el sistema de ecuaciones
11. Divida
12. Factorice
13. Resuelva 12x + 122 - 9 = 0.
x2
- 2xy + y2
- 64.
x3
+ 3x2
+ 5x + 9
x + 1
.
 
1
5
 x +
1
8
 y = 5
 
1
2
 x +
1
3
 y = 13
y …
1
3
 x + 6.
4x = 3y - 3.
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