Algebra-Intermedia 2-páginas-52

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Sección 10.3 La hipérbola 679
2 Repaso de secciones cónicas
La tabla siguiente muestra un resumen de las secciones cónicas.
En la parte (d), el “ajuste de ventana amigable”, la razón de la longitud del eje x (28.2 unidades) a la longitud del eje y (18.6
unidades) es de alrededor de 1.516, que es la misma razón de la longitud al ancho de la ventana de visualización de la calculado-
ra TI�84 Plus.
�10, 10, 1, �10, 10, 1 ��15.2, �15.2, 1, �10, 10, 1 �4.7, 4.7, 1, �3.1, 3.1, 1 �14.1, 14.1, 1, �9.3, 9.3, 1
Ajuste
estándar
Ajuste ZSquared,
ZOOM: opción 5
Ajuste ZDecimal,
ZOOM: opción 4
Ajuste la ventana con los
valores que se muestran abajo
(denominados “ajustes de
ventana amigable”)
(a) (b) (c) (d)FIGURA 10.34
Parábola Circunferencia Elipse Hipérbola
 o y = ax2
+ bx + c
 y = a1x - h22 + k
x2
a2 -
y2
b2 = 1
x2
a2 +
y2
b2 = 1x2
+ y2
= r2
y
x
y
x�a
�b
b
ax
y
r
a � 0
(h, k)
x
y
a � 0
(h, k)
x
y
y2
b2 -
x2
a2 = 1
1x - h22
a2 +
1y - k22
b2 = 11x - h22 + 1y - k22 = r2
 o x = ay2
+ by + c
 x = a1y - k22 + h
y
xx
y
k
h � a h � a
k � b
k � b
h
a(h, k)
b
x
y
rk
h
(h, k)
a � 0
(h, k)
x
y
Asíntotas
y y = - 
b
a
 xy =
b
a
 x
a � 0
(h, k)
x
y
680 Capítulo 10 Secciones cónicas
EJEMPLO 3 � Indique si cada ecuación representa una parábola, una circunferen-
cia, una elipse o una hipérbola.
a) b) c)
Solución
a) Esta ecuación tiene un término cuadrático de x y un término cuadrático de y; colo-
que todos los términos cuadráticos del lado izquierdo de la ecuación.
Sumar 6y2 a ambos lados.
Como los coeficientes de los dos términos cuadráticos tienen el mismo número, di-
vidimos ambos lados entre este número. Divida ambos lados entre 6.
Esta ecuación es de la forma x2 � y2 � r2 donde r2 � 8.
La ecuación 6x2 � �6y2 � 48 representa una circunferencia.
b) Esta ecuación tiene un término cuadrático de y, pero no de x. Despejamos x en la
ecuación.
Sumar y2 a ambos lados.
Esta ecuación es de la forma x � ay2 � by � c, en la que a � 1, b � 9 y c � 3.
La ecuación x � y2 � 9y � 3 representa una parábola que abre hacia la derecha.
c) Esta ecuación tiene términos cuadráticos de x y de y. Coloque todos los términos
cuadráticos del lado izquierdo de la ecuación.
Restar 8y2 de ambos lados.
Como los coeficientes de los términos cuadráticos son números diferentes,
necesitamos dividir la ecuación entre la constante del lado derecho. Divida ambos
lados entre 72.
Esta ecuación es de la forma en la que a2 � 36 (o a � 6) y b2 � 9
(o b � 3).
La ecuación 2x2 � 8y2 � 72 representa una hipérbola.
� Ahora resuelva el ejercicio 53
x2
a2 -
y2
b2 = 1
 
x2
36
-
y2
9
= 1
 
2x2
72
-
8y2
72
= 1
 
2x2
- 8y2
72
=
72
72
 2x2
- 8y2
= 72
 2x2
= 8y2
+ 72
 x = y2
+ 9y + 3
 x - y2
= 9y + 3
 x2
+ y2
= 8
 
6x2
+ 6y2
6
=
48
6
 6x2
+ 6y2
= 48
 6x2
= -6y2
+ 48
2x2
= 8y2
+ 72x - y2
= 9y + 36x2
= -6y2
+ 48
CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.3
Ejercicios de concepto/redacción
1. ¿Cuál es la definición de una hipérbola?
2. ¿Qué son las asíntotas? ¿Cómo determina las ecuaciones de
las asíntotas de una hipérbola?
3. Analice la gráfica de para números reales dife-
rentes de cero a y b. Incluya los ejes transversales, vértices y
asíntotas.
x2
a2 -
y2
b2 = 1
Sección 10.3 La hipérbola 681
4. Analice la gráfica de para números reales dife-
rentes de cero a y b. Incluya los ejes transversales, vértices y
asíntotas.
5. ¿Es la ecuación de una hipérbola? Explique.
6. ¿Es la ecuación de una hipérbola? Explique.- 
x2
81
-
y2
64
= 1
x2
81
+
y2
64
= 1
y2
b2 -
x2
a2 = 1 7. ¿Es la ecuación 4x2 � 25y2 � 100 de una hipérbola? Explique.
8. ¿Es la ecuación 36x2 � 9y2 � �324 de una hipérbola? Ex-
plique.
9. ¿Cuál es el primer paso al graficar la hipérbola cuya ecua-
ción es x2 � 9y2 � 81? Explique.
10. ¿Cuál es el primer paso al graficar la hipérbola cuya ecua-
ción es 4x2 � y2 � �64? Explique.
Práctica de habilidades
a) Para cada ecuación, determine las ecuaciones de las asíntotas. b) Grafique la ecuación.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
19. 20. 21. 22.
23. 24. 25. 26.
En los ejercicios 27 a 36, a) escriba cada ecuación en la forma general y determine las ecuaciones de las asíntotas. b) Dibuje la gráfica.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
En los ejercicios 37 a 60, indique si la ecuación representa una parábola, una circunferencia, una elipse o una hipérbola. Vea el ejemplo 3.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47. 48.
49. 50. 51.
52. 53. 54.
55. 56. 57.
58. 59. 60.
Resolución de problemas
x - y2
= 15-3x2
- 3y2
= -2717x2
= -2y2
+ 34
y - x + 4 = x2
-8x2
= -9y2
- 7212x2
= 4y2
+ 48
2x2
= -2y2
+ 32x + y = 2y2
+ 69x2
= -18y2
+ 36
14y2
= 7x2
+ 359x2
= -9y2
+ 996x2
+ 6y2
= 36
12x2
- 3y2
= 483x = -2y2
+ 9y - 159.2x2
+ 9.2y2
= 46
6x2
+ 9y2
= 544y2
- 6x2
= 722y = 12x2
- 8x + 16
11x2
+ 11y2
= 994x2
- 4y2
= 29x = 5y2
+ 15y + 1
x2
+ 16y2
= 6415x2
- 5y2
= 7510x2
+ 10y2
= 40
64y2
- 25x2
= 16004y2
- 36x2
= 144
9y2
- 25x2
= 22525x2
- 9y2
= 225
x2
- 9y2
= 99y2
- x2
= 9
16x2
- 4y2
= 644y2
- 16x2
= 64
25y2
- x2
= 25x2
- 25y2
= 25
y2
16
-
x2
81
= 1
x2
81
-
y2
16
= 1
x2
4
-
y2
25
= 1
y2
25
-
x2
4
= 1
x2
16
-
y2
9
= 1
y2
9
-
x2
16
= 1
x2
36
-
y2
25
= 1
y2
25
-
x2
36
= 1
y2
16
-
x2
25
= 1
x2
25
-
y2
16
= 1
y2
25
-
x2
9
= 1
x2
9
-
y2
25
= 1
y2
1
-
x2
4
= 1
x2
4
-
y2
1
= 1
y2
4
-
x2
9
= 1
x2
9
-
y2
4
= 1
61. Determine una ecuación de la hipérbola cuyos vértices son
(0, 2) y (0, �2) y cuyas asíntotas son y 
62. Determine una ecuación de una hipérbola cuyos vértices son 
(0, 6) y (0, �6) y cuyas asíntotas son y y = - 
3
2
 x.y =
3
2
 x
y = - 
1
2
 x.y =
1
2
 x
63. Determine una ecuación de la hipérbola cuyos vértices son
(�3, 0) y (3, 0) y cuyas asíntotas son y � 2x y y � �2x.
64. Determine una ecuación de una hipérbola cuyos vértices son
(7, 0) y (�7, 0) y cuyas asíntotas son y y = - 
4
7
 x.y =
4
7
 x
682 Capítulo 10 Secciones cónicas
Ejercicios de repaso acumulativo
[3.4] 75. Escriba la ecuación, en la forma pendiente intercep-
ción, de la recta que pasa por los puntos (�6, 4) y
(�2, 2).
[3.6] 76. Sea f(x) � 3x2 � x � 5 y g(x) � 6 � 4x2. Determine
(f � g)(x).
[4.4] 77. Resuelva el sistema de ecuaciones.
 5x + 6y = -3
 -4x + 9y = 7
[6.2] 78. Sume 
[8.3] 79. Despeje v de la fórmula .
[9.6] 80. Resuelva la ecuación log(x � 4) � log 5 � log x.1
E =
1
2
 mv2
3x
2x - 3
+
2x + 4
2x2
+ x - 6
.
65. Determine una ecuación de una hipérbola cuyo eje transver-
sal está a lo largo del eje x y cuyas ecuaciones de las asíntotas 
son y La solución que encontró, ¿es la
única posible? Explique.
66. Determine una ecuación de una hipérbola cuyo eje transver-
sal está a lo largo del eje y y cuyas ecuaciones de las asíntotas
son y La solución que encontró, ¿es la
única posible? Explique.
67. Las hipérbolas de la forma , ¿son funciones? Ex-
plique.
68. Las hipérbolas de la forma , ¿son funciones? Ex-
plique.
69. Con base en la gráfica de determine el dominio
y rango de la relación.
x2
25
-
y2
4
= 1,
y2
b2 -
x2
a2 = 1
x2
a2 -
y2
b2 = 1
y = - 
2
3
 x.y =
2
3
 x
y = - 
5
3
 x.y =
5
3
 x
70. Considerando la gráfica de determine el domi-
nio y el rango de la relación.
71. Si se grafica la ecuación donde a � b, y luego se 
intercambian los valores de a y b, y se grafica la ecuación que
se obtiene, ¿cómo son las gráficas? Compárelas y explique su
respuesta.
72. Si se grafica la ecuación donde a � b, luego se 
cambian los signos de los términos del lado izquierdo y se
grafica la nueva ecuación, ¿cómo son las gráficas? Compáre-
las y explique su respuesta.
73. Con su calculadora graficadora compruebe su respuesta al
ejercicio 15.
74. Con su calculadora graficadora compruebe su respuesta al
ejercicio 21. 73. and 74. Answers will vary.
x2
a2 -
y2
b2 = 1,
x2
a2 -
y2
b2 = 1,
y2
36
-
x2
9
= 1,
10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales y sus aplicaciones
1 Resolver sistemas no
lineales mediantesustitución.
2 Resolver sistemas no
lineales mediante
eliminación.
3 Resolver aplicaciones.
1 Resolver sistemas no lineales mediante sustitución
En el capítulo 4 estudiamos sistemas de ecuaciones lineales. Aquí analizamos sistemas
de ecuaciones no lineales. Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de ecua-
ciones en el que al menos una ecuación no es lineal (esto es, una cuya gráfica no es una
línea recta).
La solución a un sistema de ecuaciones es el punto o puntos que satisfacen todas
las ecuaciones del sistema. Considere el sistema de ecuaciones
En la figura 10.35, ambas ecuaciones se grafican en los mismos ejes. Observe que las
gráficas parece que se intersecan en los puntos (�4, 3) y (4, �3). La comprobación
muestra que estos puntos satisfacen ambas ecuaciones del sistema y por lo tanto son
soluciones para el sistema.
Compruebe
Verdadero Verdadero 0 = 0 25 = 25
 -12 + 12 � 0 16 + 9 � 25
 31-42 + 4132 � 0 1-422 + 32 � 25
 3x + 4y = 0 x2
+ y2
= 251-4, 32
 3x + 4y = 0
 x2
+ y2
= 25y
x
�4
�3
�2
�1
4
3
2
1
431 2�3�4 �2�1
(�4, 3)
(4, �3)
x2 � y2 � 25
3x � 4y � 0
FIGURA 10.35
Sección 10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales y sus aplicaciones 683
Compruebe
Verdadero Verdadero
El procedimiento gráfico para resolver un sistema de ecuaciones puede ser impreciso
ya que tenemos que estimar el punto o puntos de intersección. Una solución exacta se
puede obtener de forma algebraica.
Para resolver un sistema de ecuaciones de forma algebraica, con frecuencia despe-
jamos una variable de una o varias de las ecuaciones y luego utilizamos la sustitución.
Este procedimiento se ilustra en los ejemplos 1 y 2.
EJEMPLO 1 � Resuelva el sistema de ecuaciones anterior de forma algebraica
usando el método de sustitución.
Solución Primero despejamos x o y de la ecuación lineal 3x � 4y � 0. Lo haremos
para y,
Ahora sustituimos por y en la ecuación x2 � y2 � 25 y resolvemos la ecuación
para x.
A continuación, sustituyendo cada valor de x (uno a la vez) en la ecuación en que está
despejada y, determinamos los valores correspondientes para y.
Las soluciones son (4, �3) y (�4, 3). Esto coincide con las soluciones que obtuvimos de
forma gráfica en la figura 10.35.
� Ahora resuelva el ejercicio 9
 = 3 = -3
 = - 
31-42
4
 = - 
3142
4
 y = - 
3x
4
 y = - 
3x
4
x � �4x � 4
 x = ;116 = ;4
 x2
=
400
25
= 16
 25x2
= 400
 16x2
+ 9x2
= 400
 16¢x2
+
9x2
16
≤ = 161252
 x2
+
9x2
16
= 25
 x2
+ a - 
3x
4
b 2
= 25
 x2
+ y2
= 25
- 
3x
4
 y = - 
3x
4
 4y = -3x
 3x + 4y = 0
 3x + 4y = 0
 x2
+ y2
= 25
 0 = 0 25 = 25
 12 - 12 � 0 16 + 9 � 25
 3142 + 41-32 = 0 42
+ 1-322 = 2514, -32
y
x
�5
�2
�1
5
4
2
1
541 2�5�4 �2�1
x2 � y2 � 9
y � x2 � 3
(��5, 2) (�5, 2)
(0,�3)
FIGURA 10.36
684 Capítulo 10 Secciones cónicas
Nuestro objetivo al usar la sustitución es obtener una sola ecuación con una sola
variable.
S u g e r e n c i a ú t i l Consejo de estudio
En esta sección utilizaremos el método de sustitución y el método de eliminación (o de su-
ma) para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Ambos métodos se introdujeron en el
capítulo 4 para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Si no recuerda cómo utilizarlos, es
buen momento para repasar el capítulo 4.
En los ejemplos 1 y 2 resolvemos sistemas mediante el método de sustitución, mientras
que en los ejemplos 3 y 4, resolvemos los sistemas mediante el método de eliminación.
Si el método de eliminación no lleva a una ecuación que pueda resolverse con facili-
dad, puede elegir el método de sustitución, como es el caso con los sistemas de los ejem-
plos 1 y 2.
EJEMPLO 2 � Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de
sustitución.
Solución Como ambas ecuaciones tienen a x2, despejamos x2 de una de las ecuacio-
nes. Elegimos hacerlo de y � x2 � 3,
Ahora sustituimos y � 3 por x2 en la ecuación x2 � y2 � 9.
o
Ahora determinamos los valores correspondientes para x sustituyendo los valores que
se encontraron para y.
Este sistema tiene tres soluciones y 
Observe que la gráfica de la ecuación y � x2 � 3 es una parábola y la gráfica de
la ecuación x2 � y2 � 9 es una circunferencia. Ambas gráficas se ilustran en la figu-
ra 10.36.
� Ahora resuelva el ejercicio 19
S u g e r e n c i a ú t i l
En ocasiones los estudiantes resuelven para una variable y suponen que tienen la solución.
Recuerde que la solución, si existe, para un sistema con dos variables, consiste en una o más
parejas ordenadas.
1-15, 22.10, -32, 115, 22
 ;15 = x 0 = x
 5 = x2 0 = x2
 2 = x2
- 3 -3 = x2
- 3
 y = x2
- 3 y = x2
- 3
y � 2y � �3
 y = 2 y = -3
 y - 2 = 0 y + 3 = 0
 1y + 321y - 22 = 0
 y2
+ y - 6 = 0
 y2
+ y + 3 = 9
 y + 3 + y2
= 9
 x2
+ y2
= 9
 y + 3 = x2
 y = x2
- 3
x2
+ y2
= 9
y = x2
- 3
y
x
�5
�4
�2
�1
5
4
2
1
541 2�5�4 �2�1
x2 � y2 � 9
2x2 � y2 � �6
(�1, 2�2) (1, 2�2)
(�1, �2�2) (1, �2�2)
FIGURA 10.37
Sección 10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales y sus aplicaciones 685
2 Resolver sistemas no lineales mediante eliminación
Con frecuencia podemos resolver sistemas de ecuaciones con mayor facilidad median-
te el método de eliminación que se analizó en la sección 4.1. Al igual que en el método
de sustitución, nuestro objetivo es obtener una sola ecuación con una sola variable.
EJEMPLO 3 � Resuelva el sistema de ecuaciones mediante el método de eliminación.
Solución Si sumamos las dos ecuaciones, obtendremos una ecuación que sólo tiene
una variable
Ahora resolvemos para y sustituyendo x � �1 en cualquiera de las ecuaciones originales.
Existen cuatro soluciones para este sistema de ecuaciones:
En la figura 10.37 se muestran las gráficas de las ecuaciones del sistema. Observe
los cuatro puntos de intersección de las dos gráficas.
� Ahora resuelva el ejercicio 25
Es posible que un sistema de ecuaciones no tenga solución real (por lo tanto, las
gráficas no se intersecan). Tal caso se ilustra en el ejemplo 4.
EJEMPLO 4 � Resuelva el sistema de ecuaciones mediante el método de eliminación.
Solución Multiplique la (ec. 2) por �1 y sume la ecuación resultante a la (ec. 1).
(ec. 2) multiplicada por �1.
x2
+ 4y2
= 16
-x2
- y2
= -1
3y2
= 15
y2
= 5
y = ;15
 x2
+ y2
= 1 1ec. 22
 x2
+ 4y2
= 16 1ec. 12
11, 2122, 11, -2122, 1-1, 2122 y 1-1, -2122
 = ;212 = ;212
 y = ;18 y = ;18
 y2
= 8 y2
= 8
 1 + y2
= 9 1 + y2
= 9
 1-122 + y2
= 9 12
+ y2
= 9
 x2
+ y2
= 9 x2
+ y2
= 9
x � �1x � 1
x2
+ y2
= 9
2x2
- y2
= -6
3x2
= 3
x2
= 1
x = ;1
 2x2
- y2
= -6
 x2
+ y2
= 9
y x
FIGURA 10.39
y
x
�4
�5
�3
5
4
3
5431 2�3�4�5 �2�1
x2 � 4y2 � 16
x2 � y2 � 1
FIGURA 10.38
686 Capítulo 10 Secciones cónicas
Ahora resuelva x.
Como x es un número imaginario para ambos valores de y, este sistema de ecuaciones
no tiene solución real.Al resolver sistemas de ecuaciones no lineales lo que nos intere-
sa es encontrar todas las soluciones que son números reales.
En la figura 10.38 se muestran las gráficas de las ecuaciones. Observe que las dos
gráficas no se intersecan; por lo tanto, no existe solución real. Esto coincide con la res-
puesta que obtuvimos de forma algebraica.
� Ahora resuelva el ejercicio 37
3 Resolver aplicaciones
Ahora estudiaremos algunas aplicaciones de sistemas no lineales.
EJEMPLO 5 � Jardín floral Fred y Judy Vespucci quieren construir un jardín flo-
ral rectangular atrás de su casa. Fred compró suficiente mantillo para cubrir 150 metros
cuadrados de terreno. Judy compró 50 metros de cerca para el perímetro del jardín.
¿Cómo deben construir el jardín para utilizar todo el mantillo y toda la cerca que com-
praron?
Solución Entienda el problema y traduzca Empezamos haciendo un bosquejo
(vea la figura 10.39).
Sea x � longitud del jardín,
y � ancho del jardín.
Como A � xy y Fred compró mantillo para cubrir 150 metros cuadrados, tenemos
Como P � 2x � 2y y Judy compró 50 metros de cerca para el perímetro del jardín, te-
nemos
El sistema de ecuaciones es
Realice los cálculos Resolveremos el sistema mediante sustitución. La ecuación2x � 2y � 50 es lineal, de la cual despejaremos y. (Podríamos también despejar x).
 y =
50 - 2x
2
=
50
2
-
2x
2
= 25 - x
 2y = 50 - 2x
 2x + 2y = 50
 2x + 2y = 50
 xy = 150
2x + 2y = 50
xy = 150
 x = ;2i x = ;2i
 x = ;1-4 x = ;1-4
 x2
= -4 x2
= -4
 x2
+ 5 = 1 x2
+ 5 = 1
x2
+ 1-1522 = 1 x2
+ 11522 = 1
x2
+ y2
= 1 x2
+ y2
= 1
y � - 15y � 15
Número de
bicicletas
9000
8000
10000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
100 200 x
Región de utilidad
(cuando el ingreso es mayor que el costo)
C
os
to
 e
 in
gr
es
o 
(d
ól
ar
es
)
Ingreso:
R � 100x � 0.3x2
Costo:
C � 50x � 400
FIGURA 10.40
Sección 10.4 Sistemas de ecuaciones no lineales y sus aplicaciones 687
Ahora sustituimos 25 � x por y en la ecuación xy � 150.
o
Responda Si x � 10, entonces y � 25 � 10 � 15.Y, si x � 15, entonces y � 25 � 15 � 10.
Así, que en cualquier caso, las dimensiones del jardín floral son de 10 por 15 metros.
� Ahora resuelva el ejercicio 43
EJEMPLO 6 � Bicicletas Una compañía que produce y vende bicicletas tiene una
ecuación de costo semanal C � 50x � 400, 0 � x � 160, y una ecuación de ingreso se-
manal R � 100x � 0.3x2, 0 � x � 160, donde x es el número de bicicletas producidas y
vendidas cada semana. Determine el número de bicicletas que debe producir y vender
para estar en el punto de equilibrio.
Solución Entienda el problema y traduzca Una compañía está en el punto de
equilibrio cuando sus costos y sus ingresos son iguales. Cuando el costo es mayor que
los ingresos, la compañía tiene pérdidas. Cuando el ingreso excede a los costos, la com-
pañía tiene una ganancia.
El sistema de ecuaciones es
Para que la compañía esté en el punto de equilibrio, sus costos deben ser iguales a sus
ingresos. Por lo tanto, escribimos
Realice los cálculos Al escribir esta ecuación cuadrática en la forma general, obtenemos
Resolveremos esta ecuación mediante la fórmula cuadrática.
o
Responda El costo será igual a los ingresos y la compañía estará en el punto de equi-
librio cuando se vendan aproximadamente 8 bicicletas. El costo también será igual a
los ingresos cuando se vendan aproximadamente 158 bicicletas. La compañía tendrá
ganancias cuando se vendan entre 9 y 158 bicicletas. Cuando se vendan menos de 9 y
más de 158 bicicletas la compañía tendrá pérdidas (vea la figura 10.40).
Ahora resuelva el ejercicio 55
x =
50 - 12020
0.6
L 8.4x =
50 + 12020
0.6
L 158.2
 =
50 ; 12020
0.6
 =
-1-502 ; 21-5022 - 410.3214002
210.32
 x =
-b ; 2b2
- 4ac
2a
a = 0.3, b = -50, c = 400
0.3x2
- 50x + 400 = 0, 0 … x … 160
 50x + 400 = 100x - 0.3x2
 C = R
 R = 100x - 0.3x2
 C = 50x + 400
 x = 15 x = 10
 x - 15 = 0 x - 10 = 0
 0 = 1x - 1021x - 152
 0 = x2
- 25x + 150
 25x - x2
= 150
 x125 - x2 = 150
 xy = 150
688 Capítulo 10 Secciones cónicas
CÓMO UTILIZAR SU CALCULADORA GRAFICADORA
Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales de forma gráfica, grafique las ecuaciones y determine las intersecciones de
las gráficas. Considere el sistema del ejemplo 1, x2 � y2 � 25 y 3x � 4y � 0. Para graficar x2 � y2 � 25, utilizamos
Si resolvemos 3x � 4y � 0 para y obtenemos Así que usamos Por lo tanto, para resol-
ver este sistema determinamos las intersecciones de
En la figura 10.41a, el sistema se graficó con la característica ZOOM:5 (ZSquared)*. En la figura 10.41b, graficamos estas
ecuaciones utilizando los “números adecuados” que se muestran debajo de la figura. Por medio de la calculadora con la caracte-
rística TRACE o ZOOM, o la característica INTERSECT, determinará que las soluciones son (4, �3) y (�4, 3).
*Para obtener esta gráfica, inicie con la ventana estándar y luego seleccione ZOOM:5.
 Y3 = - 
3
4
 x
 Y2 = -225 - x2
 Y1 = 225 - x2
Y3 = - 
3
4
 x.y = - 
3
4
 x.
Y2 = -225 - x2 .
Y1 = 225 - x2
��15.2, �15.2, 1, �10, 10, 1 �9.4, 9.4, 1, �6.2, 6.2, 1
(a) (b)
FIGURA 10.41
Práctica de habilidades
Mediante el método de sustitución, determine todas las soluciones reales para cada sistema de ecuaciones.
Por medio del método de eliminación (suma), determine todas las soluciones reales para cada sistema de ecuaciones.
CONJUNTO DE EJERCICIOS 10.4
Ejercicios de concepto/redacción
4. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales tener exacta-
mente dos soluciones? Si es así, proporcione un ejemplo. Ex-
plique.
5. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales tener exacta-
mente tres soluciones? Si es así, proporcione un ejemplo. Ex-
plique.
6. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales carecer de solu-
ciones reales? Si es así, proporcione un ejemplo. Explique.
1. ¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineales?
2. Explique cómo pueden resolverse gráficamente sistemas de
ecuaciones no lineales.
3. ¿Puede un sistema de ecuaciones no lineales tener exacta-
mente una solución? Si es así, proporcione un ejemplo. Ex-
plique.
7.
 x + y = 0
 x2
+ y2
= 18 8.
 x - y = 0
 x2
+ y2
= 18 9.
 x + 2y = 3
 x2
+ y2
= 9 10.
 x - 2y = 4
 x2
+ y2
= 4
11.
3x + 2y = 10
y = x2
- 5 12.
 x2
- y2
= 4
 x + y = 4 13.
y = x2
+ 4
x2
+ y = 6 14.
 x2
- y2
= 4
 y - x = 2
15.
 x2
- y2
= -4
 2x2
+ y2
= 16 16.
 x2
+ y2
= 6
 x + y2
= 4 17.
y = x2
- 6
x2
+ y2
= 4 18.
 x2
+ 2y2
= 5
 x2
- 4y2
= 36
19.
 y = x2
- 3
 x2
+ y2
= 9 20.
y = x2
- 4
x2
+ y2
= 16 21.
 x - y = 6
 2x2
- y2
= -8 22.
 y - x = 3
 x2
+ y2
= 1
23.
 2x2
+ y2
= 8
 x2
- y2
= 4 24.
 x2
- y2
= 36
 x2
+ y2
= 36 25.
 2x2
- 5y2
= 25
 x2
+ y2
= 16 26.
 x2
- 2y2
= 7
 x2
+ y2
= 25
<<
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 /FRA <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>
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