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708 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
Si consideramos el último término como an, el penúltimo término será an � d, el
antepenúltimo término será an � 2d, y así sucesivamente.
Una fórmula para la n-ésima suma parcial, sn, se puede obtener sumando sn a sí
mismo, pero siguiendo el orden inverso.
Como el lado derecho de la ecuación contiene n términos iguales a (a1 � an), podemos
escribir
Ahora dividimos ambos lados de la ecuación entre 2, para obtener la fórmula siguiente.
2sn = n1a1 + an2
sn = a1 + 1a1 + d2 + 1a1 + 2d2 +
Á
+ 1an - 2d2 + 1an - d2 + an
sn = an + 1an - d2 + 1an - 2d2 +
Á
+ 1a1 + 2d2 + 1a1 + d2 + a1
2sn = 1a1 + an2 + 1a1 + an2 + 1a1 + an2 +
Á
+ 1a1 + an2 + 1a1 + an2 + 1a1 + an2
EJEMPLO 4 � Determine la suma de los primeros 25 números naturales.
Solución La sucesión aritmética es 1, 2, 3, 4, 5, 6, Á , 25. El primer término, a1, es 1;
el último término, an, es 25. Hay 25 términos; así, n � 25. Mediante la fórmula para la
n-ésima suma parcial, tenemos
La suma de los primeros 25 números naturales es 325, Así, s25 � 325.
� Ahora resuelva el ejercicio 57
EJEMPLO 5 � El primer término de una sucesión aritmética es 4 y el último tér-
mino es 31, y si además, sn � 175, determine el número de términos en la sucesión y la
diferencia común.
Solución Sustituimos los valores apropiados, a1 � 4, an � 31 y sn � 175, en la fórmu-
la para la n-ésima suma parcial y despejamos n.
Existen 10 términos en la sucesión. Podemos determinar ahora la diferencia común
mediante la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión aritmética.
La diferencia común es 3, la sucesión es 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31.
� Ahora resuelva el ejercicio 31
 3 = d
 27 = 9d
 31 = 4 + 9d
 31 = 4 + 110 - 12d
 an = a1 + 1n - 12d
 10 = n
 350 = 35n
 175 =
35n
2
 175 =
n14 + 312
2
 sn =
n1a1 + an2
2
sn =
n1a1 + an2
2
=
2511 + 252
2
=
251262
2
= 251132 = 325
n-ésima suma parcial de una sucesión aritmética
sn =
n1a1 + an2
2
Sección 11.2 Sucesiones y series aritméticas 709
Los ejemplos 6 y 7 ilustran algunas aplicaciones de las sucesiones y series aritméticas.
EJEMPLO 6 � Salario Mary Tufts recibe un salario inicial de $35,000 y se le pro-
mete un aumento de $1200 después de cada uno de los 8 años siguientes. Determine su
salario durante su octavo año de trabajo.
Solución Entienda el problema Su salario después de los primeros años sería
Ya que se suma una cantidad constante cada año, ésta es una sucesión aritmética. El
término general de una sucesión aritmética es an � a1 � (n �1)d.
Traduzca En este ejemplo, a1 � 35,000 y d � 1200.Así, para n � 8, el salario de Mary sería
Realice los cálculos
Responda Durante su octavo año de trabajo, el salario de Mary sería de $43,400. Si
enumeramos todos los salarios para el periodo de 8 años, éstos serían $35,000, $36,200,
$37,400, $38,600, $39,800, $41,000, $42,200, $43,400
� Ahora resuelva el ejercicio 83
EJEMPLO 7 � Péndulo Cada oscilación de un péndulo (de derecha a izquierda o
de izquierda a derecha) es 3 pulgadas menor que la anterior. La primera oscilación
es de 8 pies.
a) Determine la longitud de la décimo segunda oscilación.
b) Determine la distancia total recorrida por el péndulo durante las primeras 12 osci-
laciones.
Solución a) Entienda el problema Como cada oscilación decrece en una canti-
dad constante, este problema puede representarse como una serie aritmética. Como la
primera oscilación está dada en pies y la disminución de las oscilaciones está dada en
pulgadas, cambiaremos 3 pulgadas a 0.25 pies (3 � 12 � 0.25). La décimo segunda
oscilación puede considerarse como a12. La diferencia, d, es negativa, ya que la distan-
cia es decreciente con cada oscilación.
Traduzca
Realice los cálculos
Responda La décimo segunda oscilación es de 5.25 pies.
 = 5.25 pies
 = 8 - 2.75
 = 8 + 111-0.252
 a12 = 8 + 112 - 121-0.252
 an = a1 + 1n - 12d
 = 43,400
 = 35,000 + 8400
 = 35,000 + 7112002
 a8 = 35,000 + 18 - 121200
$35,000, $36,200, $37,400, $38,600, Á
b) Entienda el problema y traduzca La distancia total recorrida durante las prime-
ras 12 oscilaciones puede determinarse mediante la fórmula para la n-ésima suma par-
cial. La primera oscilación, a1, es de 8 pies y la décimo segunda, a12, es de 5.25 pies.
Realice los cálculos
Responda El péndulo recorre 79.5 pies durante sus primeras 12 oscilaciones.
� Ahora resuelva el ejercicio 75
 =
1218 + 5.252
2
=
12113.252
2
= 6113.252 = 79.5 pies.
 s12 =
121a1 + a122
2
 sn =
n1a1 + an2
2
710 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
CONJUNTO DE EJERCICIOS 11.2
Ejercicios de concepto/redacción
1. ¿Qué es una sucesión aritmética?
2. ¿Qué es una serie aritmética?
3. ¿Cómo llamamos a la diferencia constante entre dos térmi-
nos sucesivos en una sucesión aritmética?
4. ¿Cómo puede determinarse la diferencia común en una su-
cesión aritmética?
5. Si una sucesión aritmética es creciente, ¿el valor de d es un
número positivo o un número negativo?
6. Si una sucesión aritmética es decreciente, ¿el valor de d es un
número positivo o un número negativo?
7. ¿Una sucesión aritmética, puede constar sólo de números
negativos? Explique.
8. ¿Una sucesión aritmética, puede constar sólo de números
impares? Explique.
9. ¿Una sucesión aritmética, puede constar sólo de números
pares? Explique.
10. ¿Una sucesión alternante, puede ser una sucesión aritméti-
ca? Explique.
Práctica de habilidades
Escriba los primeros cinco términos de la sucesión aritmética con el primer término y diferencia común dados. Escriba la expresión para
el término general, o n-ésimo, an, de la sucesión aritmética.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
Determine la cantidad indicada de la sucesión aritmética.
19. determine 20. determine
21. determine 22. determine
23. determine 24. determine d
25. determine d 26. determine d
27. determine n 28. determine n
29. determine n 30. determine n
Determine la suma, sn , y la diferencia común, d, de cada sucesión.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
Escriba los primeros cuatro términos de cada sucesión; luego determine a10 y s10.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
45. 46.
47. 48. a1 = 35, d = 6a1 = 100, d = -7
a1 =
9
5
, d =
3
5
a1 =
7
2
, d =
5
2
a1 = -15, d = 4a1 = -8, d = -5
a1 = -7, d = -4a1 = -6, d = 2
a1 = 11, d = -6a1 = 4, d = 3
a1 = 14.25, a31 = 18.75, n = 31a1 = 7, a11 = 67, n = 11
a1 =
7
5
, a5 =
23
5
, n = 5a1 = -5, a6 = 13.5, n = 6
a1 = 12, a8 = -23, n = 8a1 =
3
5
, a8 = 2, n = 8
a1 = -8, a7 = 10, n = 7a1 = 1, a10 = 19, n = 10
a1 = - 
4
3
, an = - 
14
3
, d = - 
2
3
;a1 = 82, an = 42, d = -8;
a1 = -9, an = -27, d = -3;a1 = 4, an = 28, d = 3;
a1 =
1
2
, a7 =
19
2
;a1 = 11, a9 = 27;
a1 = 5, a8 = -21;a13a1 = -8, d =
5
3
;
a12a1 = -1, d = -2;a10a1 = -9, d = 4;
a5a1 = 10, d = -3;a4a1 = 5, d = 3;
a1 =
7
4
, d = - 
3
4
a1 = 100, d = -5
a1 = - 
5
3
, d = - 
1
3
a1 =
1
2
, d =
3
2
a1 = 3, d = -5a1 = 7, d = -2
a1 = -11, d = 4a1 = 4, d = 3
1. each term differs by a constant amount 2. the sum of the terms of an
arithmetic sequence 3. common difference
Sección 11.2 Sucesiones y series aritméticas 711
Determine el número de términos en cada sucesión y determine sn.
49. 1, 4, 7, 10, 43 50.
51. 52. 6, 13, 20, 27, 62
53. 54.
55. 7, 10, 13, 16, 91 56.
Resolución de problemas
-11, -15, -19, Á , -51Á ,
- 
5
6
, - 
7
6
, - 
9
6
, - 
11
6
, Á , - 
21
6
1
2
, 
2
2
, 
3
2
, 
4
2
, 
5
2
, Á , 
17
2
Á ,-9, -5, -1, 3, Á , 31
-10, -8, -6, -4, Á , 40Á ,
57. Determine la suma de los primeros 50 números naturales.
58. Determine la suma de los primeros 50 números naturales pares.
59. Determine la suma de los primeros 50 números naturales im-
pares.
60. Determine la suma de los primeros 40 múltiplos positivos de 5.
61. Determine la suma de los primeros 30 múltiplos positivos de 3.
62. Determine la suma de los números entre 50 y 150, inclusive.
63. Determine cuántos números entre 7 y 1610 son divisibles en-
tre 6.
64. Determine cuántos números entre 14 y 1470 son divisiblesentre 8.
Las pirámides aparecen en todos lados; en eventos deportivos, las
porristas pueden formar una pirámide en la que las personas de
arriba se paran sobre los hombros de las personas de abajo. La
ilustración de la derecha muestra una pirámide con 1 porrista en
la parte superior, 2 en la fila de en medio y 3 porristas en la fila
de abajo. Observe que a1 � 1, a2 � 2 y a3 � 3. También note que
d � 1, n � 3 y s3 � 6.
En una pista de boliche, los bolos forman una pirámide. La
primera fila tiene 1 bolo, la segunda fila tiene 2 bolos, la tercera fila
tiene 3 bolos y la cuarta tiene 4. Así, a1 � 1, d � 1, n � 4 y s4 � 10.
a1
a2
a3
a4
a3
a2
a1
Utilice la idea de una pirámide para resolver los ejercicios 65 a 70.
65. Auditorio Un auditorio tiene 20 asientos en la primera fila.
Cada fila sucesiva tiene dos asientos más que la fila anterior.
¿Cuántos asientos hay en la fila décimo segunda? ¿Cuántos
asientos hay en las primeras 12 filas?
66. Auditorio Un auditorio tiene 22 asientos en la primera fila.
Cada fila sucesiva tiene cuatro asientos más que la fila ante-
rior. ¿Cuántos asientos hay en la novena fila? ¿Cuántos
asientos hay en las primeras nueve filas?
67. Troncos Wolfang Schmidt apila troncos de modo que hay
26 troncos en la parte inferior, y cada fila tiene un tronco me-
nos que la fila anterior. ¿Cuántos troncos hay en la pila?
68. Troncos Suponga que Wolfgang, en el ejercicio 67, deja de
apilar troncos después de terminar con la fila que tiene 8
troncos. ¿Cuántos troncos hay en la pila?
69. Copas apiladas En su 50 aniversario de bodas, el señor y la se-
ñora Carlson están a punto de verter champaña en la copa su-
perior, como se muestra en la foto. La fila superior tiene 1 copa,
la segunda fila tiene 3 copas, la tercera fila tiene 5 copas, y así
sucesivamente. Cada fila tiene 2 copas más que la fila superior
anterior. Esta pirámide tiene 14 filas.
a) ¿Cuántas copas hay en la décimo cuarta fila (la fila infe-
rior)?
b) ¿Cuántas copas hay en total?
712 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
70. Dulces en una pila Unos dulces que están envueltos de for-
ma individual, se apilan en filas de modo que la fila superior
tiene un dulce, la segunda fila tiene 3 dulces, la tercera fila
tiene 5 dulces, y así sucesivamente. Cada fila tiene 2 dulces
más que la fila arriba de ella. En total hay siete filas de dulces.
a) ¿Cuántos dulces hay en la séptima fila (la fila inferior)?
b) ¿Cuántos dulces hay en total?
71. Suma de números Karl Friedrich Gauss (1777�1855), un fa-
moso matemático, cuando era niño determinó mentalmente
y de forma rápida la suma de los primeros 100 números natu-
rales (1 � 2 � 3 � p � 100). Explique cómo podría haberlo
hecho y determine de esa forma la suma de los primeros
100 números naturales como cree que lo pudo haber hecho
Gauss. (Sugerencia: 1 � 100 � 101, 2 � 99 � 101, etcétera).
72. Suma de números Utilice el mismo proceso del ejercicio 71
para determinar la suma de los números del 101 al 150.
73. Suma de números Determine una fórmula para la suma de
los primeros n números impares consecutivos iniciando con 1.
74. Suma de números pares Determine una fórmula para la su-
ma de los primeros n números pares consecutivos iniciando
con 2.
75. Balanceándose en una liana Una larga liana se ata a la rama
de un árbol. Sally Wyn se columpia en la liana y cada osci-
lación (izquierda a derecha o derecha a izquierda) es pie 
menor que la oscilación anterior. Si su primera oscilación es
de 22 pies, determine
a) la longitud de la séptima oscilación.19 ft
b) la distancia recorrida durante las siete oscilaciones.43.5 ft
76. Péndulo Cada oscilación de un péndulo es 2 pulgadas más
corta que la oscilación que le precede (izquierda a derecha o
de derecha a izquierda). La primera oscilación es de 6 pies.
Determine
1
2
2 + 4 + 6 + 8 +
Á
+ 2n
1 + 3 + 5 +
Á
+ 12n - 12
a) la longitud de la octava oscilación y
b) la distancia total recorrida por el péndulo durante las
ocho oscilaciones.
77. Rebote de una pelota Frank Holyton deja caer una pelota
desde una ventana que está en un segundo piso. Cada vez
que la pelota rebota, la altura que alcanza es 6 pulgadas me-
nor que la del rebote anterior. Si el primer rebote alcanza
una altura de 6 pies, determine la altura que alcanza la pelo-
ta en el décimo primer rebote.
78. Pelota de ping-pong Una pelota de ping-pong cae de la me-
sa y rebota a una altura de 3 pies. Si cada rebote sucesivo es
3 pulgadas menor que el rebote que le precede, determine la
altura que alcanza la pelota en el décimo rebote.
79. Paquetes El lunes 17 de marzo, Brian Nguyen inició un nue-
vo trabajo en una compañía de paquetería. Ese día, él fue ca-
paz de preparar 105 paquetes para envío. Su jefe espera que
con la experiencia que vaya obteniendo Brian sea más pro-
ductivo. Cada día de la primera semana, se espera que Brian
prepare 10 paquetes más que el total del día anterior.
a) ¿Cuántos paquetes se espera que prepare Brian el 22 de
marzo?
b) ¿Cuántos paquetes se espera que prepare Brian en sus
primeros seis días de trabajo?
80. Salario Marion Nickelson gana un salario anual de $37,500
en la compañía en que trabaja. Su jefe le ha prometido un
aumento de $1500 a su salario en cada año, durante los si-
guientes 10 años.
a) ¿Dentro de 10 años, cuál será el salario de Marion?52,500
b) ¿Cuánto ganará en total durante esos 11 años?95,000
81. Dinero Si Craig Campanella ahorra $1 el día 1, $2 el día 2, $3
el día 3, y así sucesivamente, en total, ¿cuánto habrá ahorra-
do al final de 1 año (365 días)?
82. Dinero Si Dan Currier ahorra 50 centavos el día 1, $1.00 el
día 2, $1.50 el día 3, y así sucesivamente, ¿cuánto habrá aho-
rrado al final de 1 año (365 días)?
83. Dinero Carrie Dereshi, recientemente jubilada, se entrevis-
tó con su asesor financiero. Acordó recibir $42,000 el primer
año, y debido a la inflación, cada año recibiría $400 más de lo
que recibiera el año anterior.
a) ¿Cuál fue el ingreso que recibió en su décimo año de re-
tiro?600
b) ¿Cuánto dinero recibirá en total durante los primeros 10
años de retiro?
84. Salario A Susan Forman se le da un salario inicial de $23,000
y le dicen que recibirá un aumento de $1000 al final de cada
año.
a) Determine el salario de ella durante el año 12.
b) En total, ¿cuánto recibirá durante sus primeros 12
años?42,000
85. Ángulos La suma de los ángulos interiores de un triángulo,
un cuadrilátero, un pentágono y un hexágono, son 180°, 360°,
540° y 720°, respectivamente. Utilice este patrón para deter-
minar una fórmula para la suma de los ángulos interiores de
un polígono de n lados.
86. Otra fórmula que puede usarse para determinar la n-ésima
suma parcial de una serie aritmética es
Deduzca esta fórmula, usando las dos fórmulas que se pre-
sentaron en esta sección.
sn =
n
2
 [2a1 + 1n - 12d]
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