Algebra-Intermedia 2-páginas-57

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Sección 11.3 Sucesiones y series geométricas 713
Actividad en grupo
En cálculo un tema muy importante es el de límites. Considere Los primeros cinco términos de esta sucesión son
Como el valor de se acerca cada vez más a 0 conforme n se hace cada vez más grande, decimos que el límite de cuando n tiende a
infinito es 0. Escribimos esto como o Observe que nunca es igual a 0, pero su valor se aproxima a 0 cuando
n se hace cada vez más grande.
a) Miembro 1 del grupo: Determine para los ejercicios 87 y 88. b) Miembro 2: Determine para los ejercicios 89 y 90.
c) Miembro 3: Determine para los ejercicios 91 y 92. d) Intercambien sus trabajos y verifiquen las respuestas de los demás.
87. 88. 89. 0
90. 91. 92.
Ejercicios de repaso acumulativo
an =
n2
n + 1
an =
4n - 3
3n + 1
an =
2n + 1
n
an =
1
n2
+ 2
an =
n
n + 1
an =
1
n - 2
lím
n: + q
 an
lím
n: + q
 anlím
n: + q
 an
1
n
lím
n: + q
 an = 0.lím
n: + q
 
1
n
= 0
1
n
1
n
1
1
, 
1
2
, 
1
3
, 
1
4
, 
1
5
.an =
1
n
.
[2.2] 93. Despeje r de A � P � Prt.
[4.1] 94. Resuelva el sistema de ecuaciones
3x - 2y = 1
y = 2x + 1
[5.4] 95. Factorice 12n2 � 6n � 30n � 15.
[10.1] 96. Grafique (x � 4)2 � y2 � 25.
See graphing answer sección.
1 Determinar la razón común
en una sucesión
geométrica.
2 Determinar el n-ésimo
término de una sucesión
geométrica.
3 Determinar la n-ésima suma
parcial de una serie
geométrica.
4 Identificar series
geométricas infinitas.
5 Determinar la suma de una
serie geométrica infinita.
6 Estudiar aplicaciones de
series geométricas.
1 Determinar la razón común en una sucesión geométrica
En la sección 11.1 supusimos que obtenía un trabajo con un salario inicial de $30,000.
También mencionamos que una opción de aumento salarial era 5% de aumento cada
año. Esto daría como resultado la sucesión siguiente.
Éste es un ejemplo de una sucesión geométrica.
$30,000, $31,500, $33,075, $34,728.75, Á
Sucesión geométrica
Una sucesión o progresión geométrica es una sucesión donde cada término después del
primero es el mismo múltiplo del término que le precede.
El múltiplo común es la razón común.
La razón común, r, de cualquier sucesión geométrica puede determinarse dividien-
do cualquier término, excepto el primero, entre el término que le precede. En la 
sucesión geométrica anterior, la razón común es (o 105%).
Considere la sucesión geométrica
La razón común es 3, ya que 3 � 1 � 3 (o 9 � 3 � 3, y así sucesivamente).
Sucesión geométrica Razón común
2
4
- 
1
3
5, - 
5
3
, 
5
9
, - 
5
27
, 
5
81
, Á , 5a - 
1
3
bn - 1
, Á
1
2
7, 
7
2
, 
7
4
, 
7
8
, 
7
16
, Á , 7a1
2
bn - 1
, Á
3, 12, 48, 192, 768, Á , 314n - 12, Á
4, 8, 16, 32, 64, Á , 412n - 12, Á
1, 3, 9, 27, 81, Á , 3n - 1, Á
31,500
30,000
= 1.05
11.3 Sucesiones y series geométricas
714 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
n-ésimo término de una sucesión geométrica
an = a1 rn - 1
EJEMPLO 1 � Determine los primeros cinco términos de la sucesión geométrica si
a1 � 6 y
Solución
Así, los primeros cinco términos de la sucesión geométrica son
� Ahora resuelva el ejercicio 15
2 Determinar el n-ésimo término de una sucesión geométrica
En general, una sucesión geométrica con primer término a1 y razón común r tiene los
términos siguientes:
Así, podemos ver que el n-ésimo término de una sucesión geométrica está dado por la
fórmula siguiente.
q
n -ésimo
término, an
q
Quinto
término, a5
q
Cuarto
término, a4
q
Tercer
término, a3
q
Segundo
término, a2
q
Primer
término, a1
a1 rn - 1, Áa1 r4, Á ,a1 r3,a1 r2,a1 r,a1 ,
6, 3, 
3
2
, 
3
4
, 
3
8
a1 = 6, a2 = 6 #
1
2
= 3, a3 = 3 #
1
2
=
3
2
, a4 =
3
2
#
1
2
=
3
4
, a5 =
3
4
#
1
2
=
3
8
r =
1
2
.
EJEMPLO 2 �
a) Escriba una expresión para el término general (o n-ésimo), an de la sucesión geo-
métrica con a1 � 3 y r � �2.
b) Determine el décimo segundo término de esta sucesión.
Solución
a) El término n-ésimo de la sucesión es an � a1r
n�1. Al sustituir a1 � 3 y r � �2, ob-
tenemos
Así,
b)
El décimo segundo término de la sucesión es �6144. Los primeros doce términos
de la sucesión son 3, �6, 12, �24, 48, �96, 192, �384, 768, �1536, 3072, �6144.
� Ahora resuelva el ejercicio 35
S u g e r e n c i a ú t i l Consejo de estudio
En este capítulo trabajará con exponentes y utilizará las reglas de los exponentes. Las reglas
de los exponentes se analizaron en la sección 1.5 y nuevamente en el capítulo 6. Si no las re-
cuerda, ahora es un buen momento para revisar la sección 1.5.
EJEMPLO 3 � Determine r y a1 para la sucesión geométrica con a2 � 12 y a5 � 324.
Solución La sucesión puede representarse con espacios en blanco para los términos
faltantes.
a5a2
qq
 , 12, , , 324
 a12 = 31-2212 - 1
= 31-2211
= 31-20482 = -6144
 an = 31-22n - 1
an = 31-22n - 1.
an = a1 r n - 1
= 31-22n - 1
Sección 11.3 Sucesiones y series geométricas 715
Si suponemos que a2 es el primer término de la sucesión con la misma razón común,
obtenemos
Primer Cuarto
término término
Ahora utilizamos la fórmula para el n-ésimo término de una sucesión geométrica para
determinar r. Sea el primer término, a1, 12 y el número de términos n, 4.
Así, la razón común es 3.
El primer término de la sucesión original es 12 � 3, es decir, 4. Así, a1 � 4. El pri-
mer término también podría determinarse utilizando la fórmula con an � 324, r � 3 y
n � 5. Ahora, determine a1 mediante la fórmula.
� Ahora resuelva el ejercicio 83
3 Determinar la n-ésima suma parcial de una serie geométrica
Una serie geométrica es la suma de los términos de una sucesión geométrica. La suma
de los primeros n términos, sn, de una sucesión geométrica se puede expresar como
(ec. 1)
Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por r, obtenemos
(ec. 2)
Ahora restamos los lados correspondientes de la (ec. 2) de la (ec. 1). Los términos en
color rojo se anulan, dejando
Ahora, despejamos sn.
Factorizar.
Dividir ambos lados entre 1 � r.
Así, tenemos la fórmula siguiente para la n-ésima suma parcial de una serie geométrica.
 sn =
a111 - rn2
1 - r
 sn11 - r2 = a111 - rn2
sn - rsn = a1 - a1 rn
rsn = a1 r + a1 r2
+ a1 r3
+
Á
+ a1 rn - 1
+ a1 rn
sn = a1 + a1 r + a1 r2
+ a1 r3
+
Á
+ a1 rn - 2
+ a1 rn - 1
 3 = r
 27 = r3
 
324
12
= r3
 324 = 12r3
 324 = 12r4 - 1
 an = a1 rn - 1
qq
12, , , 324
EJEMPLO 4 � Determine la séptima suma parcial de una serie geométrica cuyo
primer término es 16 y cuya razón común es
Solución Al sustituir los valores apropiados para a, r y r, tenemos:
Así,
� Ahora resuelva el ejercicio 41
s7 =
43
4
.
 s7 =
16B1 - a - 
1
2
b 7R
1 - a - 
1
2
b
=
16a1 +
1
128
b
3
2
=
16a129
128
b
3
2
=
129
8
3
2
=
129
8
#
2
3
=
43
4
 sn =
a111 - rn2
1 - r
- 
1
2
.
n-ésima suma parcial de una serie geométrica
sn =
a111 - rn2
1 - r
, r Z 1
716 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
EJEMPLO 5 � Dados sn � 93, a1 � 3 y r � 2, determine n.
Solución
Sustituir los valores para sn, a1 y r.
Ambos lados se multiplicaron por �1.
Ambos lados se dividieron entre 3.
Se restó 1 de ambos lados.
Ambos lados se dividieron entre �1.
Escribir 32 como 25.
Por lo tanto, n � 5.
� Ahora resuelva el ejercicio 65
Al trabajar con una serie geométrica, r puede ser un número positivo como vimos
en el ejemplo 5, o un número negativo como vimos en el ejemplo 4.
4 Identificar series geométricas infinitas
Todas las sucesiones geométricas que hemos analizado hasta ahora han sido finitas,
pues tenían un último término. La siguiente sucesión es un ejemplo de una sucesión
geométrica infinita.
Observe que los tres puntos suspensivos al final de la sucesión indican que ésta conti-
núa de manera indefinida de la misma forma. La suma de los términos de una sucesión
geométrica infinita forma una serie geométrica infinita. Por ejemplo,
es una serie geométrica infinita. Calculemos algunas sumas parciales.
Suma parcial Serie Suma
Segunda 1.5
Tercera 1.75
Cuarta 1.875
Quinta 1.9375
Sexta 1.96875
Para cada suma parcial sucesiva, la cantidadque se le añade es menor que la de la
suma parcial que le precede. Además, la suma parece acercarse cada vez más a 2. En el
ejemplo 6, mostraremos que la suma de esta serie geométrica infinita en realidad es 2.
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
1 +
1
2
+
1
4
1 +
1
2
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
Á
+ a1
2
bn - 1
+
Á
1, 
1
2
, 
1
4
, 
1
8
, 
1
16
, Á , a1
2
bn - 1
, Á
 25
= 2n
 32 = 2n
 -32 = -2n
 -31 = 1 - 2n
 -93 = 311 - 2n2
 93 =
311 - 2n2
-1
 93 =
311 - 2n2
1 - 2
 sn =
a111 - rn2
1 - r
Sección 11.3 Sucesiones y series geométricas 717
5 Determinar la suma de una serie geométrica infinita
Consideremos la fórmula para la suma de los primeros n términos de una serie geométrica:
¿Qué ocurre con rn, si y n cada vez que se hace más grande? Supongamos que
entonces
Podemos ver que cuando el valor de rn se acerca mucho a 0 cuando n es cada
vez más grande. Así, al considerar la suma de una serie geométrica infinita, que deno-
tamos como s
q
, la expresión rn tiende a 0 cuando . Por lo tanto, si reemplazamos
rn con 0 en la fórmula obtenemos la fórmula siguiente.sn =
a111 - rn2
1 - r
ƒr ƒ 6 1
ƒr ƒ 6 1
a1
2
b 1
= 0.5, a1
2
b 2
= 0.25, a1
2
b 3
= 0.125, a1
2
b 20
L 0.000001
r =
1
2
;
ƒr ƒ 6 1
sn =
a111 - rn2
1 - r
, r Z 1
EJEMPLO 6 � Determine la suma de la serie geométrica infinita
Solución y Observe que
Así,
� Ahora resuelva el ejercicio 69
EJEMPLO 7 � Determine la suma de la serie geométrica infinita
Solución Los términos de la sucesión correspondiente son
Observe que a1 � 3. Para determinar la razón común, r, podemos dividir el segundo
término, entre el primer término, 3.
Como
� Ahora resuelva el ejercicio 71
 =
3
1 - a - 
2
5
b
=
3
1 +
2
5
=
3
7
5
=
15
7
 sq =
a1
1 - r
` - 
2
5
` 6 1,
r = - 
6
5
, 3 = - 
6
5
#
1
3
= - 
2
5
.
- 
6
5
,
3, - 
6
5
, 
12
25
, - 
24
125
, Á
3 -
6
5
+
12
25
-
24
125
+
48
625
+
Á
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
Á
+ a1
2
bn - 1
+
Á
= 2.
sq =
a1
1 - r
=
1
1 -
1
2
=
1
1
2
= 2
` 1
2
` 6 1.r =
1
2
.a1 = 1
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
Á
+ a1
2
bn - 1
+
Á.
Suma de una serie geométrica infinita
s
q
=
a1
1 - r
 donde ƒr ƒ 6 1
718 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
EJEMPLO 8 � Escriba 0.343434 Á como una razón de dos enteros.
Solución Podemos escribir este decimal como
Ésta es una serie geométrica infinita, con r � 0.01. Puesto que
Si divide 34 entre 99 en una calculadora, verá el valor 0.34343434.
� Ahora resuelva el ejercicio 81
¿Cuál es la suma de una serie geométrica cuando Considere la sucesión
geométrica en la que a1 � 1 y r � 2.
La suma de sus términos es
¿Cuál es la suma de esta serie? Conforme n crece, la suma se hace cada vez más gran-
de. Por lo tanto, decimos que la suma “no existe”. Para la suma de una serie
geométrica no existe.
6 Estudiar aplicaciones de series geométricas
Ahora veamos algunas aplicaciones de sucesiones y series geométricas.
EJEMPLO 9 � Cuenta de ahorros Jean Simmons invierte, en una cuenta de aho-
rros, $1000 al 5% de interés compuesto cada año. Determine la cantidad en su cuenta y
el monto de interés generado al final de 10 años.
Solución Entienda el problema Suponga que P representa el capital invertido.Al
inicio del segundo año, el monto crece a P � 0.05P o 1.05P. Este monto será el capital
invertido durante el segundo año. Al inicio del tercer año, el capital del segundo año
crecerá 5% a (1.05P)(1.05) o (1.05)2P. El monto en la cuenta de Jean al inicio de los
años sucesivos es
ƒr ƒ 7 1,
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +
Á
+ 2n - 1
+
Á
1, 2, 4, 8, 16, 32, Á , 2n - 1, Á
ƒr ƒ 7 1?
sq =
a1
1 - r
=
0.34
1 - 0.01
=
0.34
0.99
=
34
99
ƒr ƒ 6 1,
0.34 + 0.0034 + 0.000034 +
Á
+ 10.34210.012n - 1
+
Á
Cuentas de ahorro5% de interés anual
Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
P 1.05P
y así sucesivamente. Ésta es una serie geométrica con r � 1.05. El monto en su cuenta
al final de 10 años, será la misma cantidad en su cuenta al inicio del año 11. Por lo tan-
to, utilizamos la fórmula,
Traduzca Tenemos una sucesión geométrica con a1 � 1000, r � 1.05 y n � 11. Al sus-
tituir estos valores en la fórmula, obtenemos lo siguiente
Realice los cálculos
Responda Al cabo de 10 años, el monto en la cuenta es alrededor de $1628.89. El
monto del interés es $1628.89 � $1000 � $628.89.
� Ahora resuelva el ejercicio 95
 L 1628.89
 L 100011.628892
 = 100011.05210
 a11 = 100011.05211 - 1
 an = a1 rn - 1
an = a1 rn - 1, con r = 1.05 y n = 11
11.0523 P11.0522 P
Sección 11.3 Sucesiones y series geométricas 719
EJEMPLO 10 � Dinero Suponga que alguien le ofrece $1000 diarios por cada día
de un mes de 30 días. O podría elegir un centavo el día 1, 2 centavos el día 2, 4 centavos
el día 3, 8 centavos el día 4, y así sucesivamente. El monto continuaría duplicándose
cada día durante 30 días.
a) Sin hacer cálculos, tome una decisión de cuál de las dos ofertas le proporcionaría el
mayor ingreso total en los 30 días.
b) Calcule el monto total que recibiría si prefiriera $1000 diarios durante 30 días.
c) Calcule el monto que recibiría el día 30, si eligiera 1 centavo el día 1 y la cantidad
se duplicara cada día durante 30 días.
d) Calcule el monto total que recibiría si eligiera 1 centavo el día 1 y se duplica la can-
tidad cada día durante 30 días.
Solución
a) Cada quien tendrá su propia respuesta para la parte a).
b) Si recibiera $1000 diarios durante 30 días, recibiría 30($1000) � $30,000.
c) Entienda el problema Como la cantidad se duplica cada día, esto representa una
serie geométrica con r � 2. La tabla siguiente muestra la cantidad que recibiría en
cada uno de los primeros 7 días.También muestra las cantidades escritas con base 2,
la razón común.
Día 1 2 3 4 5 6 7
Cantidad (centavos 1 2 4 8 16 32 64
Cantidad (centavos)
Observe que para cualquier día dado, el exponente en el 2 es 1 menos que el número
del día. Por ejemplo, el día 7, la cantidad es 26. En general, la cantidad en el día n es
2n�1.
Traduzca Para determinar la cantidad que se recibe el día 30, evaluamos an � a1r
n�1
para n � 30.
Realice los cálculos
Responda El día 30, la cantidad que recibiría es 536,870,912 centavos o $5,368,709.12.
d) Entienda el problema y traduzca Para determinar el monto total recibido duran-
te los 30 días, determinaremos la trigésima suma parcial.
Realice los cálculos 
Responda Por lo tanto, durante los 30 días el monto total que recibiría por este mé-
todo sería 1,073,741,823 centavos o $10,737,418.23. El monto recibido por este método
sobrepasa por mucho los $30,000 que recibiría si eligiera $1000 diarios durante 30 días.
� Ahora resuelva el ejercicio 87
 = 1,073,741,823
 =
111 - 1,073,741,8242
-1
 s30 =
111 - 2302
1 - 2
 sn =
a111 - rn2
1 - r
 = 536,870,912
 = 11536,870,9122
 a30 = 112229
 a30 = 112230 - 1
 an = a1 rn - 1
26252423222120
9 pies 
0 2 1
10 pies 
FIGURA 11.1
720 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
EJEMPLO 11 � Péndulo En cada oscilación (de izquierda a derecha o de derecha
a izquierda), cierto péndulo recorre el 90% de la distancia recorrida en la oscilación
anterior. Por ejemplo, si la oscilación a la derecha fue de 10 pies, la oscilación de regre-
so hacia la izquierda es de 0.9 � 10 � 9 pies (vea la figura 11.1). Si la primera oscilación
es de 10 pies, determine la distancia total recorrida por el péndulo hasta el momento en
que se detiene.
Solución Entienda el problema Este problema se puede considerar como una
serie geométrica infinita, con a1 � 10 y r � 0.9. Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula
para determinar la distancia total recorrida por el péndulo.
Traduzca y realice los cálculos
Responda Cuando el péndulo se detenga, habrá recorrido 100 pies.
� Ahora resuelva el ejercicio 99
sq =
a1
1 - r
=
10
1 - 0.9
=
10
0.1
= 100 pies
sq =
a1
1 - r
CONJUNTO DE EJERCICIOS 11.3
Ejercicios de concepto/redacción
1. ¿Qué es una sucesión geométrica?
2. ¿Qué es una seriegeométrica?
3. Explique cómo determinar la razón común en una sucesión
geométrica.
4. ¿Qué es una serie geométrica infinita?
5. En una serie geométrica, si ¿hacia dónde se aproxi-
ma rn cuando n se hace cada vez más grande?
6. ¿La suma de una serie geométrica infinita existe cuando
?ƒr ƒ 7 1
ƒr ƒ 6 1,
7. En una serie geométrica, ¿puede ser negativo el valor de r?
8. En una serie geométrica, ¿puede ser positivo el valor de r?
9. En una serie geométrica, si a1 � 6 y r � 1/4, ¿existe s
q
? Si es
así, ¿cuál es su valor? Explique.
10. En una serie geométrica, si a1 � 6 y r � �2, ¿existe s
q
? Si es
así, ¿cuál es su valor? Explique.
Práctica de habilidades
Determine los primeros cinco términos de cada sucesión geométrica.
11. 12. 13.
14. 15. 16.
17. 18. 19.
20. 21. 22.
23. 24. 25.
26.
Para cada sucesión geométrica, determine el término que se pide.
27. determine a6. 28. determine a6. 29. determine a9.
30. determine a7. 31. determine a10. 32. determine a6.
33. determine a12. 34. determine a10. 35. determine a8.a1 = 2, r =
1
2
;a1 = -10, r = -2;a1 = -3, r = -2;
a1 = 3, r = 3;a1 =
1
4
, r = 2;a1 = 27, r =
1
3
;
a1 = -12, r =
1
2
;a1 = 4, r = -2;a1 = 4, r = 2;
a1 = 60, r = - 
2
5
a1 = 3, r =
3
2
a1 =
1
2
, r = - 
1
3
a1 =
1
3
, r =
1
2
a1 = -13, r = -1a1 = 5, r = -2a1 = -1, r = -3
a1 = -1, r = 3a1 = 32, r = - 
1
4
a1 = 90, r = - 
1
3
a1 =
1
8
, r = 4a1 = 72, r =
1
3
a1 = 6, r =
1
2
a1 = 6, r = - 
1
2
a1 = 2, r = -3a1 = 2, r = 3
Sección 11.3 Sucesiones y series geométricas 721
36. determine a9. 37. determine a7. 38. determine a7.
Determine la suma indicada.
39. a1 � 3, r � 2; determine s5. 40. a1 � 7, r � �3; determine s5. 41. determine s6.
42. determine s6. 43. a1 � 80, r � 2; determine s7. 44. a1 � 2, r � �2; determine s12.
45. determine s9. 46. determine s7. 47. determine s5.
48. determine s12.
Para cada sucesión geométrica, determine la razón común, r, y luego escriba una expresión para el término general (n-ésimo), an.
49. 50. 51. 9, 18, 36, 72,
52. 2, 6, 18, 54, 53. 54.
55. 56.
Determine la suma de los términos en cada sucesión geométrica.
57. 58. 59.
60. 61. 62.
63. 64.
Dados sn, a1 y r, determine n en cada serie geométrica.
65. y 66. y 
67. y 68. y 
Determine la suma de cada serie geométrica infinita.
69. 70. 71.
72. 73. 74.
75. 76.
Escriba cada número con decimales periódicos (o que se repiten) como la razón de dos enteros.
77. 78. 79.
80. 81. 82.
Resolución de problemas
0.742742 Á0.515151 Á0.375375 Á
0.8888 Á0.454545 Á0.242424 Á
5 - 1 +
1
5
-
1
25
+
Á
-12 -
12
5
-
12
25
-
12
125
-
Á
2 +
4
3
+
8
9
+
16
27
+
Á
-60 + 20 -
20
3
+
20
9
-
Á6 - 2 +
2
3
-
4
9
+
Á
8 +
16
3
+
32
9
+
64
27
+
Á8 + 4 + 2 + 1 +
Á2 + 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
Á
r =
1
3
sn =
121
9
, a1 = 9r =
1
2
sn =
189
32
, a1 = 3
r = 3sn = 80, a1 = 2r = 2sn = 93, a1 = 3
- 
4
3
, - 
4
9
, - 
4
27
, - 
4
81
, Á5, 2, 
4
5
, 
8
25
, Á
1
3
, 
1
9
, 
1
27
, 
1
81
, Á6, 3, 
3
2
, 
3
4
, 
3
8
, Á1, - 
1
5
, 
1
25
, - 
1
125
, 
1
625
, Á
1, 
1
5
, 
1
25
, 
1
125
, 
1
625
, Á1, - 
1
2
, 
1
4
, - 
1
8
, 
1
16
, Á1, 
1
2
, 
1
4
, 
1
8
, 
1
16
, Á
4
3
, 
8
3
, 
16
3
, 
32
3
, Á
3
4
, 
1
2
, 
1
3
, 
2
9
-1, -3, -9, -18, Á2, -6, 18, -54, ÁÁ
Á3, - 
3
2
, 
3
4
, - 
3
8
, Á3, 
3
2
, 
3
4
, 
3
8
, Á
a1 = 35, r =
1
5
;
a1 = -9, r =
2
5
;a1 =
3
4
, r = 3;a1 = -15, r = - 
1
2
;
a1 = 9, r =
1
2
;
a1 = 2, r = 5;
a1 = -7, r = - 
3
4
;a1 = 50, r =
1
3
;a1 = 5, r =
2
3
;
83. En una sucesión geométrica,a2 � 15 y a5 � 405;determine r y a1.
84. En una sucesión geométrica, a2 � 27 y a5 � 1; determine r y a1.
85. En una sucesión geométrica,a3 � 28 y a5 � 112;determine r y a1.
86. En una sucesión geométrica, a2 � 12 y a5 � �324; determine
r y a1.
87. Barra de pan Actualmente una hogaza de pan cuesta $1.40.
Determine su precio al cabo de 8 años (inicio del noveno año),
si la inflación creciera a una razón constante de 3% al año. Su-
gerencia: Después de 1 año (al inicio del segundo año), el cos-
to de la hogaza es $1.40(1.03). Después de 2 años (al inicio del
tercer año), el costo sería $1.40(1.03)2 y así sucesivamente.
88. Bicicleta Actualmente cierto tipo de bicicleta cuesta $400.
Determine su costo después de 12 años, si la inflación crecie-
ra a una tasa constante de 4% anual.
89. Masa Una sustancia pierde la mitad de su masa cada día. Si
al inicio hay 300 gramos de la sustancia, determine
a) el número de días para que sólo queden 37.5 gramos de
la sustancia.
b) la cantidad de la sustancia que queda después de 9 días.
90. Bacterias El número de cierto tipo de bacterias se duplica
cada hora. Si al inicio había 1000 bacterias, ¿después de
cuántas horas el número de bacterias será 64,000?
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