Algebra-Intermedia 2-páginas-58

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722 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
91. Población El 1 de julio de 2005, la población de Estados
Unidos era alrededor de 296.5 millones de personas. Si la po-
blación crece a una tasa de 1.1% por año, determine
a) la población al cabo de 10 años.
b) el número de años para que la población se duplique.
92. Equipo para granja Un equipo para la granja cuesta
$105,000 y su valor disminuye 15% cada año. Determine el
valor del equipo al cabo de 4 años.
93. Luz filtrada La cantidad de luz que se filtra a través de un la-
go, disminuye un medio por cada metro de profundidad.
a) Escriba una sucesión que indique la cantidad de luz que
se tiene en las profundidades de 1, 2, 3, 4 y 5 metros.
b) ¿Cuál es el término general de la sucesión?
c) ¿Cuál es la cantidad de luz que llega a una profundidad
de 7 metros?
94. Péndulo En cada oscilación (de izquierda a derecha o de de-
recha a izquierda), un péndulo recorre 80% de la oscilación
que le precede. Si la primera oscilación es de 10 pies, deter-
mine la distancia total que recorrió el péndulo hasta el mo-
mento que se detuvo.
95. Inversión Usted invierte $10,000 en una cuenta de ahorros
que paga 6% de interés anual. Determine la cantidad en su
cuenta al cabo de 8 años.
96. Líquido de contraste Por razones médicas, un líquido de
contraste se inyecta a Mark Damion. Después de cada hora
quedan dos tercios del líquido de contraste que había una
hora antes. Después de 10 horas, ¿cuánto líquido permanece
en el sistema de Mark?
97. Salto de bungee Shawn Kelly salta de un bungee desde un
puente. En el salto inicial, la cuerda del bungee se estira
220 pies. Suponga que el primer rebote alcanza una altura
del 60% del salto original y que cada rebote adicional alcan-
za una altura del 60% del rebote anterior.
a) ¿Cuál es la altura del cuarto rebote?
b) En teoría, Shawna nunca pararía de rebotar, pero en la
realidad, sí lo hará. Utilice la serie geométrica infinita
para estimar la distancia total que Shawna recorre en di-
rección descendente.
98. Salto de bungee Repita el ejercicio 97 b), pero esta vez de-
termine la distancia total recorrida en dirección ascendente.
Rebote 1
Rebote 2
Rebote 3
99. Pelota de ping-pong Una pelota de ping-pong cae de una
mesa de 30 pulgadas de altura. Suponga que el primer rebo-
te alcanza 70% de la distancia desde que cayó y cada rebote
adicional alcanza 70% de la altura del rebote anterior.
a) ¿A qué altura llegará la pelota en el tercer rebote?
b) En teoría, la pelota nunca dejaría de rebotar, pero en la
realidad lo hará. Estime la distancia total que recorre
la pelota en dirección descendente. in.
100. Pelota de ping-pong Repita el ejercicio 99 b), pero esta vez
determine la distancia total recorrida en dirección ascen-
dente.
101. Montón de fichas Suponga que forma montones de fichas
de color negro, de tal forma que en cada montón hay el do-
ble de fichas que en el montón anterior.Así, tendría monto-
nes con 1, 2, 4, 8, etcétera de fichas negras. También forma
pilas de fichas rojas, iniciando con una ficha roja y luego tri-
plicando el número de fichas en cada montón sucesivo. Así,
los montones tendrían 1, 3, 9, 27, etcétera fichas rojas.
¿Cuántas fichas más habrá en el sexto montón de fichas ro-
jas que en el sexto montón de fichas negras?
102. Montón de monedas Si inicia con $1 y duplica su dinero ca-
da día, ¿cuántos días tardará en superar $1,000,000?
103. Depreciación Un método de depreciación de un artículo
en los impuestos a los ingresos es el método de disminución
de saldo. Con este método se deprecia cada año un porcen-
taje dado del costo del artículo. Suponga que un artículo
tiene una vida de 5 años y se deprecia por medio del méto-
do de disminución de saldo. Entonces, al final del primer
año, pierde de su valor y conserva de su valor. Al final
del segundo año pierde de los restantes y así sucesiva-
mente. Un automóvil tiene una expectativa de vida de 5 años
y cuesta $15,000.
a) Escriba una sucesión que muestre el valor del automó-
vil para cada uno de los primeros 3 años.
b) ¿Cuál es el término general de esta sucesión?
c) Determine el valor del automóvil al final de los 5 años.
104. Valor de desecho En el ejercicio 77, de la página 635, en el
conjunto de ejercicios 9.6, se dio una fórmula para el valor
de desecho. Este valor, S, es S � c(1 � r)n donde c es el cos-
to original, r es la tasa de depreciación anual y n es el núme-
ro de años que el objeto se deprecia.
a) Si no ha resuelto el problema 103 anterior, hágalo aho-
ra para determinar el valor del automóvil al final de los
5 años.
b) Utilice la fórmula dada para determinar el valor de de-
secho del automóvil al final de los 5 años y compare esta
respuesta con la respuesta que encontró en la parte a).
105. Rebote de una pelota Una pelota se deja caer desde
una altura de 10 pies. La pelota rebota hasta una altura
de 9 pies. En cada rebote sucesivo, la pelota se eleva hasta
el 90% de la altura anterior. Determine la distancia vertical
total que recorre la pelota hasta que se detiene.
4
5
1
5
4
5
1
5
Examen de mitad de capítulo 723
107. La fórmula para el n-ésimo término de la sucesión geomé-
trica es Si 
a) Compare las gráficas de y1 � 2n�1 y y2 � 3n�1. ¿Cómo
son?
b) Grafique y1 y y2 y determine si su respuesta a la parte a)
fue correcta.
108. Utilice su calculadora graficadora para decidir el valor de n,
al centésimo más cercano, de modo que 100 = 3 # 2n - 1.
a1 = 1, an = rn - 1.an = a1 rn - 1.
Reto
109. Determine la suma de la sucesión 1, 2, 4, 8, Á , 1,048,576 y el número de términos en la sucesión.
Ejercicios de repaso acumulativo
[3.6] 110. Sea y 
Determine 
[5.2] 111. Multiplique
[6.4] 112. Despeje r de .S =
2a
1 - r
12x - 3y213x2
+ 4xy - 2y22.
1f # g2142.
g1x2 = x - 3.f1x2= x2
- 4 [9.1] 113. Sea Determine
[9.6] 114. Resuelva log x � log (x � 1) � log 20.
[10.4] 115. Vela de un velero Una vela de un velero tiene la for-
ma de un triángulo rectángulo con un perímetro de
36 metros y una hipotenusa de 15 metros. Determine
la longitud de cada cateto del triángulo.
g-11x2.g1x2 = x3
+ 9.
Examen de mitad de capítulo: 11.1-11.3
106. Acción de las ondas Una partícula sigue la trayectoria que
se muestra en la onda. Determine la distancia vertical total
que recorre la partícula.
0.50
0.75
1.00
0.25
0.00
�0.25
�0.50
�0.75
�1.00
pi
es
Para determinar su comprensión del material que se ha abordado hasta este momento, resuelva este pequeño examen. Las respuestas,
y la sección en la que se trató el material por primera vez, se proporcionan al final del libro. Repase el material de las preguntas que
respondió de forma incorrecta.
1. Escriba los primeros cinco términos de la sucesión cuyo
n-ésimo término es an � �3n � 5.
2. Si an � n(n � 6), determine el séptimo término.
3. Determine la primera y la tercera suma parcial, s1 y s3, para
la sucesión cuyo término n-ésimo es an � 2n � 1.
4. Escriba los tres términos siguientes de la sucesión 5, 1, �3,
�7, �11, Á .
5. Evalúe la serie
6. Si el término general de una sucesión es escriba
una expresión mediante © para representar la quinta suma
parcial.
7. Escriba los primeros cuatro términos de la sucesión aritméti-
ca con a1 � �6 y d � 5. Determine una expresión para el tér-
mino general an.
8. Determine d para la sucesión aritmética con y
9. Determine n para la sucesión aritmética con a1 � 22, an � �3
y d � �5.
10. Determine la diferencia común, d, y la suma, s6, para la suce-
sión aritmética con a1 � �8 y a6 � 7.
a7 = - 
1
2
.
a1 =
11
2
an =
1
3
 n + 7,
a
5
i = 1
 14i - 32.
11. Determine s10 para la sucesión aritmética con y
12. Determine el número de términos en la sucesión aritmética
�7, 0, 7, 14, Á , 63.
13. Se apilan troncos en una pila con 16 troncos en la fila infe-
rior, 15 en la siguiente, 14 en la otra, y así sucesivamente has-
ta que la fila superior termina con un tronco. Cada fila tiene
un tronco menos que la fila que le precede. ¿Cuántos troncos
hay en la pila?
14. Escriba los primeros cinco términos de la seriegeométrica
con a1 � 80 y 
15. Determine a7 para la sucesión geométrica con a1 � 81 y
16. Determine s6 para la sucesión geométrica con a1 � 5 y r � 2.
17. Para la sucesión geométrica determine r.
18. Determine la suma de la serie infinita
19. Escriba el decimal periódico 0.878787Á como un cociente
de dos enteros.
20. a) ¿Qué es una sucesión?
b) ¿Qué es una sucesión aritmética?
c) ¿Qué es una sucesión geométrica?
d) ¿Qué es una serie?eries is the sum of the terms of a sequence.
12, 4, 
4
3
, 
4
9
, Á .
8, - 
16
3
, 
32
9
, - 
64
27
, Á ,
r =
1
3
.
r = - 
1
2
.
d =
1
2
.
a1 =
5
2
11.4 Teorema del binomio
1 Evaluar factoriales.
2 Utilizar el triángulo de
Pascal.
3 Utilizar el teorema del
binomio.
1 Evaluar factoriales
Para comprender el teorema del binomio debe entender lo que son los factoriales. La
notación n! se lee “n factorial”. Su definición es la siguiente.
724 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
n factorial
para cualquier entero positivo n.
n! = n1n - 121n - 221n - 32Á 112
CÓMO USAR SU CALCULADORA
Calculadora científica
Los factoriales se pueden obtener en calculadoras que tienen una tecla o Con frecuencia, la tecla de factorial es una tecla
de segunda función. En los ejemplos siguientes, las respuestas aparecen después de .
Evaluar 6! 6 720
Evaluar 9! 9 362880
Calculadora graficadora
Las calculadoras graficadoras no tienen una tecla de factorial. En algunas calculadoras graficadoras los factoriales se
determinan en , en el menú de funciones de probabilidad.
En la calculadora TI-84 Plus, para obtener el menú de funciones de probabilidad, PRB, presione , y luego
desplácese hacia la derecha, con la tecla de flecha , tres veces hasta que obtenga PRB. La n! (o !) es el cuarto elemento del me-
nú descendente.
Para determinar 5! o 6!, siga esta secuencia de teclas.
SECUENCIA DE TECLAS RESPUESTA
120
720� ENTER �� 4 �� N �� N �� N �� MATH �� 6 �
� ENTER �� 4 �� N �� N �� N �� MATH �� 5 �
� N �
� MATH �
� MATH �
� n! �� 2nd
 �
� n! �� 2nd
 �
� n! �
� x! �� n! �
Ejemplos
Observe que, por definición, 0! es 1.
A continuación explicamos cómo determinar factoriales por medio de una calcu-
ladora.
 7! = 7 # 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 = 5040
 6! = 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 = 720
2 Utilizar el triángulo de Pascal
Mediante la multiplicación de polinomios podemos obtener los siguientes desarrollos
de las potencias del binomio a � b:
 1a + b26 = a6
+ 6a5
 b + 15a4
 b2
+ 20a3
 b3
+ 15a2
 b4
+ 6ab5
+ b6
 1a + b25 = a5
+ 5a4
 b + 10a3
 b2
+ 10a2
 b3
+ 5ab4
+ b5
 1a + b24 = a4
+ 4a3
 b + 6a2
 b2
+ 4ab3
+ b4
 1a + b23 = a3
+ 3a2
 b + 3ab2
+ b3
 1a + b22 = a2
+ 2ab + b2
 1a + b21 = a + b
 1a + b20 = 1
Sección 11.4 Teorema del binomio 725
Blaise Pascal
Observe que al desarrollar un binomio de la forma (a � b)n,
1. Existen n � 1 términos en el desarrollo.
2. El primer término es an y el último término es bn.
3. Si se leen de izquierda a derecha, los exponentes de a decrecen en 1 de un térmi-
no a otro, mientras que los exponentes de b aumentan en 1 de un término a otro.
4. La suma de los exponentes de las variables de cada término es n.
5. Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
Si sólo examinamos las variables en (a � b)5, tenemos a5, a4b, a3b2, a2b3, ab4 y b5.
Podemos determinar los coeficientes numéricos de cada término del desarrollo de
(a � b)n con el triángulo de Pascal, llamado así en honor de Blaise Pascal, matemático
francés del siglo diecisiete. Por ejemplo, si n � 5, podemos determinar los coeficientes
numéricos de (a � b)5 como sigue.
Exponente en el binomio Triángulo de Pascal
Examinemos el renglón 5 (n � 4) y el renglón 6 (n � 5).
Observe que el primero y el último número de cada renglón son 1, y que los números
interiores se obtienen sumando los dos números del renglón anterior (a la izquierda y
a la derecha). Los coeficientes numéricos de (a � b)5 son 1, 5, 10, 10, 5 y 1. Así, pode-
mos escribir el desarrollo de (a � b)5 mediante la información de los incisos 1 a 5 ante-
riores para las variables y sus exponentes, y utilizando el triángulo de Pascal para sus
coeficientes.
Este método de desarrollo de un binomio no es práctico cuando n es grande.
3 Utilizar el teorema del binomio
En breve presentaremos un método más práctico, llamado teorema del binomio, para
desarrollar expresiones de la forma (a � b)n. Sin embargo, antes de presentar esta
fórmula necesitamos explicar cómo determinar los coeficientes binomiales de la for-
ma an
r
b .
1a + b25 = a5
+ 5a4
 b + 10a3
 b2
+ 10a2
 b3
+ 5ab4
+ b5
1 5 10 10 5 1
1 + 4 + 6 + 4 + 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
Coeficientes binomiales
Para n y r enteros no negativos, n � r.
an
r
b =
n!
r! # 1n - r2!
726 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
CÓMO USAR SU CALCULADORA GRAFICADORA
Todas las calculadoras graficadoras pueden evaluar los coeficientes binomiales. En la mayoría se utiliza nCr en lugar de
Así, se representaría como 7C4 en esas calculadoras.
En la calculadora TI-84 Plus, la notación nCr se puede encontrar en el menú de funciones de probabilidad, PRB. En esta oca-
sión, el elemento 3 es nCr. Para determinar 7C4 o bien 8C2 utilice la secuencia de teclas siguiente:
SECUENCIA DE TECLAS RESPUESTA
35
28
Si utiliza una calculadora graficadora diferente, consulte el manual para aprender a evaluar combinaciones.
� ENTER �� 2 �� 3 �� N �� N �� N �� MATH �� 8 �8C2
� ENTER �� 4 �� 3 �� N �� N �� N �� MATH �� 7 �7C4
a 7
4
ba n
r
b .
El coeficiente binomial se lee “el número de combinaciones de n elementos 
tomando r a la vez”. Las combinaciones se utilizan en muchas áreas de las matemáti-
cas, incluyendo el estudio de la probabilidad.
EJEMPLO 1 � Evalúe
Solución Por la definición, si sustituimos 5 en vez de n y 2 en vez de r, obtenemos
Así, es igual a 15.
� Ahora resuelva el ejercicio 9
EJEMPLO 2 � Evalúe
a) b) c)
Solución
a)
b) Recuerde que 0! � 1,
c)
� Ahora resuelva el ejercicio 17
Al estudiar los ejemplos 2 b) y c) puede deducir que para cualquier entero positivo n,
an
n
b = 1 y an
0
b = 1
a5
0
b =
5!
0! # 15 - 02! =
 5! 
0! # 5! 
=
1
1
= 1
a8
8
b =
8!
8! 18 - 82! =
 8! 
 8! # 0!
=
1
1
= 1
a7
4
b =
7!
4! # 17 - 42! =
7!
4! # 3!
=
7 # 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 
 14 # 3 # 2 # 12 13 # 2 # 12 = 35
a5
0
ba8
8
ba7
4
b
a6
2
b
a6
2
b =
6!
2! # 16 - 22! =
6!
2! # 4!
=
6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 
12 # 12 # 1 4 # 3 # 2 # 1 2 = 15
a6
2
b .
an
r
b
Teorema del binomio
Para cualquier entero positivo n,
1a + b2n = an
0
ban
 b0
+ an
1
ban - 1
 b1
+ an
2
ban - 2
 b2
+ an
3
ban - 3
 b3
+
Á
+ an
n
ba0
 bn
Ahora presentaremos el teorema del binomio.
Sección 11.4 Teorema del binomio 727
Observe en el teorema del binomio que la suma de los exponentes de las variables
en cada término es n. En la combinación, el número de arriba siempre es n y el núme-
ro inferior siempre es igual al del exponente de la segunda variable del término.
Por ejemplo, si consideramos el término la suma de los exponentes de 
las variables es (n �3) � 3 � n. Además, el exponente de la variable b es 3, y el núme-
ro inferior de la combinación también es 3.
Si las variables y los exponentes en un término del teorema del binomio son a7b5,
entonces n debe ser 7 � 5 � 12. También, la combinación que precede a a7b5 debe ser
Así, el término sería
Ahora desarrollaremos (a � b)5 mediante el teorema del binomio y veremos si ob-
tenemos la misma expresión que cuando utilizamos la multiplicación de polinomios y
el triángulo de Pascal.
a12
5
ba7
 b5.a12
5
b .
an
3
ban - 3
 b3,
 = a5
+ 5a4
 b + 10a3
 b2
+ 10a2
 b3
+ 5ab4
+ b5
 =
5!
0! # 5!
 a5
+
5!
1! # 4!
 a4
 b +
5!
2! # 3!
 a3
 b2
+
5!
3! # 2!
 a2
 b3
+
5!
4! # 1!
 ab4
+
5!
5! # 0!
 b5
 = a5
0
ba5
 b0
+ a5
1
ba4
 b1
+ a5
2
ba3
 b2
+ a5
3
ba2
 b3+ a5
4
ba1
 b4
+ a5
5
ba0
 b5
 1a + b25 = a5
0
ba5
 b0
+ a5
1
ba5 - 1
 b1
+ a5
2
ba5 - 2
 b2
+ a5
3
ba5 - 3
 b3
+ a5
4
ba5 - 4
 b4
+ a5
5
ba5 - 5
 b5
Ésta es la misma expresión que obtuvimos antes.
En el teorema del binomio, el primero y último términos de un desarrollo contie-
nen un factor elevado a la potencia cero. Como cualquier número distinto de cero ele-
vado a la potencia 0 es igual a uno, podríamos haber omitido esos factores, pero los
hemos incluido para que observe mejor el patrón.
EJEMPLO 3 �Utilice el teorema del binomio para desarrollar (2x � 3)6.
Solución Si utilizamos 2x como a y 3 como b, obtenemos
 = 64x6
+ 576x5
+ 2160x4
+ 4320x3
+ 4860x2
+ 2916x + 729
 = 112x26 + 612x25132 + 1512x24192 + 2012x231272 + 1512x221812 + 612x212432 + 117292
 12x + 326 = a6
0
b12x261320 + a6
1
b12x251321 + a6
2
b12x241322 + a6
3
b12x231323 + a6
4
b12x221324 + a6
5
b12x211325 + a6
6
b12x201326
� Ahora resuelva el ejercicio 19
EJEMPLO 4 � Utilice el teorema del binomio para desarrollar (5x � 2y)4.
Solución Escribimos (5x � 2y)4 como [5x � (�2y)]4. En el teorema del binomio,
utilizamos 5x en vez de a y �2y en vez de b.
 = 625x4
- 1000x3
 y + 600x2
 y2
- 160xy3
+ 16y4
 = 115x24 + 415x231-2y2 + 615x221-2y22 + 415x21-2y23 + 11-2y24
 [5x + 1-2y2]4
= a4
0
b15x241-2y20 + a4
1
b15x231-2y21 + a4
2
b15x221-2y22 + a4
3
b15x211-2y23 + a4
4
b15x201-2y24
� Ahora resuelva el ejercicio 25
728 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
CONJUNTO DE EJERCICIOS 11.4
Ejercicios de concepto/redacción
1. Explique cómo construir el triángulo de Pascal. Construya
los primeros cinco renglones del triángulo de Pascal.
2. Explique cómo determinar n! para cualquier entero no negativo.
3. Proporcione el valor de 1!
4. Proporcione el valor de 0!
5. ¿Puede evaluar (�3)!? Explique.
6. ¿Puede evaluar (�6)!? Explique.
7. ¿Cuántos términos hay en el desarrollo de (a � b)13? Ex-
plique.
8. ¿Cuántos términos hay en el desarrollo de (x � y)20? Ex-
plique.
Práctica de habilidades
Evalúe cada una de las combinaciones.
9. 10 10. 20 11. 1 12. 84 13. 1
14. 120 15. 70 16. 220 17. 28 18. 330
Utilice el teorema del binomio para desarrollar cada expresión.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
Escriba los cuatro primeros términos de cada desarrollo.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
Resolución de problemas
a2x +
y
7
b 91x2
- 3y28
13p - 2q21113x - y27
12x + 3281x + 10210
13x2
+ y25ax
2
- 3b 4
a2
3
 x +
3
2
b 4a2x +
1
2
b 4
1x + 2y2513a - b25
12r + s2241a - b24
12x + 32312x - 323
1x - 4231x + 423
a11
4
ba8
2
ba12
3
ba8
4
ba10
7
b
a7
0
ba9
3
ba5
5
ba6
3
ba5
2
b
37. ¿n! es igual a n (n � 1)!? Explique y proporcione un ejem-
plo que apoye su respuesta.
38. ¿(n � 1)! es igual a (n � 1) n!? Explique y proporcione un
ejemplo que apoye su respuesta.
39. ¿Es (n � 3)! igual a (n � 3)(n � 4)(n � 5)! para n � 5? Ex-
plique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta.
40. ¿Es (n � 2)! igual a (n � 2)(n � 1)(n)(n � 1)! para n � 1?
Explique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta.
41. ¿Bajo qué condiciones tendrá un valor de 1? Considere
que n y m son enteros no negativos.
a n
m
b ,
#
# 42. ¿Puede llegar a tener un valor de 0? Explique.
43. ¿Cuáles son el primero, segundo, penúltimo y último térmi-
nos del desarrollo de (x � 3)8?
44. ¿Cuáles son el primero, segundo, penúltimo y último térmi-
nos del desarrollo de (2x � 5)6?
45. Escriba el teorema del binomio usando notación de suma.
46. Demuestre que para cualesquiera enteros
no negativos n y r, con r � n.
an
r
b = a n
n - r
b
a n
m
b
Ejercicios de repaso acumulativo
[3.4] 47. Determine la intersección con el eje y de la recta
2x � y � 10.
[4.1] 48. Resuelva el sistema de ecuaciones.
 
2
3
 x - y =
8
3
 
1
5
 x +
1
2
 y = 4
[5.8] 49. Resuelva x(x � 11) � �18.
[7.4] 50. Simplifique
[9.1] 51. Determine si f1x2 = 3x + 8.f-11x2
220xy4 26x5
 y7 .
<<
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