Algebra-Intermedia 2-páginas-59

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Resumen 729
Resumen del capítulo 11
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 11.1
Una sucesión de números es una lista de números acomodados
en un orden específico. Cada número se denomina término de
la sucesión.
2, 6, 10, 14, 18, 22, es una sucesión.
7, 14, 21, 28, 35, 42, es una sucesión.Á
Á
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto
de los números naturales.
La sucesión infinita es 7, 14, 21, 28, Á .
Dominio: {1, 2, 3, 4, Á , n, Á }
 p p p p p 
Rango: {7, 14, 21, 28, Á 7n, Á }
Una sucesión finita es una función cuyo dominio sólo incluye a
los primeros n números naturales.
La sucesión finita es 4, 8, 12, 16.
Dominio: {1, 2, 3, 4}
 p p p p
Rango: {4, 8, 12, 16}
El término general de una sucesión, an, puede determinar la suce-
sión.
Sea an � n2 � 3. Escriba los primeros tres términos de esta sucesión
Los primeros tres términos de la sucesión son �2, 1, 6.
 a3 = 32
- 3 = 6
 a2 = 22
- 3 = 1
 a1 = 12
- 3 = -2
Una sucesión creciente es una sucesión en la que cada término es
mayor que el término que le precede.
Una sucesión decreciente es una sucesión en la que cada término
es menor que el término que le precede.
�2, 5, 7, 11 es una sucesión creciente.
50, 48, 46, 44 es una sucesión decreciente.
Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Una serie
puede ser finita o infinita.
Si la sucesión es 1, 3, 5, 7, 9, entonces la serie es
Si la sucesión es
entonces la serie es
1
3
+
1
9
+
1
27
+
Á
+ a1
3
bn
+ Á .
1
3
, 
1
9
, 
1
27
, Á , a1
3
bn
, Á
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.
Una suma parcial, sn, de una sucesión infinita, a1, a2, a3, Á , an, Á
es la suma de los primeros n términos. Esto es,
 sn = a1 + a2 + a3 +
Á
+ an
oo
 s3 = a1 + a2 + a3
 s2 = a1 + a2
 s1 = a1
Sea Calcule s1 y s3.
 =
6
1
+
7
4
+
8
9
= 8 
23
36
 =
5 + 1
12 +
5 + 2
22 +
5 + 3
32
 s3 = a1 + a2 + a3
 s1 = a1 =
5 + 1
12 =
6
1
= 6
an =
5 + n
n2 .
Una serie puede escribirse mediante la notación de suma:
i es el índice de la suma, n es el límite superior de la suma y 1 es el
límite inferior de la suma.
a
n
i = 1
 ai = a1 + a2 + a3 +
Á
+ an .
Si an � 6n2 � 11, la tercera suma parcial, s3, en la notación de su-
ma, se escribe como a
3
i = 1
 16i2
+ 112.
 = -4 - 1 + 2 + 5 = 2
 a
4
i = 1
 13i - 72 = 13 # 1 - 72 + 13 # 2 - 72 + 13 # 3 - 72 + 13 # 4 - 72
730 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 11.2
Una sucesión aritmética es una sucesión en la que cada término
después del primero difiere del término que le precede en una
diferencia común, d.
Sucesión aritmética Diferencia común, d
3, 8, 13, 18, 23,
20, 14, 8, 2, d = 14 - 20 = -6-4, Á
d = 8 - 3 = 5Á
El n-ésimo término, an, de una sucesión aritmética es
an = a1 + 1n - 12d
El n-ésimo término de la sucesión aritmética con a1 � 7 y d � �5 es
Para esta sucesión, el vigésimo término es
 = -88
 a20 = -51202 + 12 = -100 + 12
 = -5n + 12
 = 7 - 5n + 5
 an = 7 + 1n - 121-52
Una serie aritmética es la suma de los términos de una sucesión
aritmética. La suma de los primeros n términos, sn, de una suce-
sión aritmética, también conocida como la n-ésima suma par-
cial es
Para una serie aritmética, esta suma está determinada por la fórmula
sn =
n1a1 + an2
2
sn = a1 + a2 + a3 +
Á
+ an
Determine la suma de los primeros 30 números naturales. Esto
es, determine la suma de
Como a1 � 1, a30 � 30 y n � 30, la suma es
s30 =
3011 + 302
2
=
301312
2
= 465
1 + 2 + 3 +
Á
+ 30
Sección 11.3
Una sucesión geométrica es una sucesión en la que cada término,
a partir del segundo, es un múltiplo común del término que le
precede. El múltiplo común se denomina razón común, r.
Sucesión geométrica Razón común, r
2, 6, 18, 54, 162,
r =
-2
8
= - 
1
4
8, -2, 
1
2
, - 
1
8
, 
1
32
, Á
r =
6
2
= 3Á
El n-ésimo término, an, de una sucesión geométrica es
an = a1 rn - 1
Para la sucesión geométrica con a1 � 5, y se de-
termina como sigue.
a6 = 5a1
2
b 6 - 1
= 5a1
2
b 5
=
5
32
n = 6, a6r =
1
2
Una serie geométrica es la suma de los términos de una sucesión
geométrica. La suma de los primeros n términos, sn, de una su-
cesión geométrica también conocida como la n-ésima suma par-
cial, es
Para una serie geométrica, esta suma está determinada por la
fórmula
sn =
a111 - rn2
1 - r
, r Z 1
sn = a1 + a2 + a3 +
Á
+ an .
Para determinar la suma de los seis términos de una sucesión
geométrica con a1 � 12 y utilice la fórmula con n � 6 pa-
ra obtener
 = 12a728
729
b a 3
1
b =
2912
81
 o 35 
77
81
 s6 =
12B1 - a1
3
b 6R
1 -
1
3
=
12 c1 -
1
729
d
2
3
=
12a728
729
b
1
3
r =
1
3
,
La suma de una serie geométrica infinita es
s
q
=
a1
1 - r
 donde ƒr ƒ 6 1
Para determinar la suma de la serie infinita
utilice la fórmula con a1 � 4 y
para obtener
s
q
=
4
1 - a - 
1
2
b
=
4
3
2
= 4 #
2
3
=
8
3
 or 2 
2
3
r = - 
1
2
4 - 2 + 1 -
1
2
+
1
4
+
Á,
Ejercicios de repaso 731
HECHOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES EJEMPLOS
Sección 11.4
n factorial
para cualquier entero positivo n.
Observe que 0! se define como 1.
n! = n1n - 121n - 221n - 32Á 112
 8! = 8 # 7 # 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 = 40,320
 5! = 5 # 4 # 3 # 2 # 1 = 120
Coeficientes binomiales
Para n y r enteros no negativos, n � r.
y an
0
b = 1an
n
b = 1
an
r
b =
n!
r! # 1n - r2!
a10
10
b = 1, a10
0
b = 1
a7
3
b =
7!
3! # 17 - 32! =
7!
3! # 4!
=
7 # 6 # 5 # 4 # 3 # 2 # 1 
3 # 2 # 1 # 4 # 3 # 2 # 1 
= 35
Teorema del binomio
Para cualquier entero positivo, n.
an
3
ban - 3
 b3
+
Á
+ an
n
ba0
 bn
1a + b2n = an
0
ban
 b0
+ an
1
ban - 1
 b1
+ an
2
ban - 2
 b2
+ 
 = x4
+ 8x3
 y + 24x2
 y2
+ 32xy3
+ 16y4
 = 1 # x4
+ 4 # x312y2 + 6 # x214y22 + 4 # x18y32 + 1 # 16y4
 + a4
3
bx12y23 + a4
4
b12y24
 1x + 2y24 = a4
0
bx4
+ a4
1
bx312y2 + a4
2
bx212y22
Ejercicios de repaso del capítulo 11
[11.1] Escriba los primeros cinco términos de cada sucesión.
1. 2. 3. 4.
Determine el término indicado de cada sucesión.
5. séptimo término. 6. séptimo término.
7. noveno término. 8. décimo primer término.
Para cada sucesión, determine la primera y la tercera suma parcial, s1 y s3.
9. 10.
11. 12.
Escriba los siguientes tres términos de cada sucesión. Luego escriba una expresión para el término general, an.
13. 14.
15. 16.
Desarrolle cada serie. Luego determine la suma de cada serie.
17. 18.
19. 20.
Para el conjunto de valores x1 � 3, x2 � 9, x3 � 7, x4 � 10, evalúe la suma que se indica.
21. 22.
23. 24. aa
4
i = 1
 xib
2
a
3
i = 2
 1xi
2
+ 12
a
4
i = 1
 1xi22a
4
i = 1
 xi
a
4
i = 1
 
i
i + 1a
5
i = 1
 
i2
6
a
4
i = 1
 i1i + 52a
3
i = 1
 i2
+ 9
13, 9, 5, 1, Á
1
7
, 
2
7
, 
4
7
, 
8
7
, Á
-27, 9, -3, 1, Á2, 4, 8, 16, Á
an = 1-12n1n + 82an =
n + 3
n + 2
an = n2
+ 8an = 2n + 5
an = 1n21n - 32,an =
n + 17
n2 ,
an = 1-12n + 5,an = 3n - 10,
an =
n2
n + 4
an =
6
n
an = n2
+ n - 3an = n + 5
732 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
En los ejercicios 25 y 26, considere los rectángulos siguientes. Para el rectángulo n-ésimo, la longitud es n � 3 y el ancho es n.
25. Perímetro
a) Determine los perímetros de los cuatro rectángulos, y luego liste los perímetros en una sucesión.
b) Determine el término general para el perímetro del rectángulo n-ésimo en la sucesión. Utilice pn para el perímetro.
26. Área
a) Determine las áreas para los cuatro rectángulos, y luego liste las áreas en una sucesión.8
b) Determine el término general para el área del rectángulo n-ésimo en la sucesión. Utilice an para el área.
[11.2] Escriba los primeros cinco términos de la sucesión aritmética con el primer término y la diferencia común indicados.
27. 28.
29. 30.
Para cada sucesión aritmética, determine el valor que se indica.
31. determine 32. a1 � 10, a8 � �18; determine d.
33. a1 � �3, a11 � 2; determine d. 34. a1 � 22, an � �3, d � �5; determine n.
Determine sn y d para cada sucesión aritmética.
35. 36.
37. 38.
Escriba los primeros cuatro términos de cada sucesión aritmética.Luego determine a10 y s10.
39. 40.
41. 42.
Determine el número de términos en cada sucesión aritmética. Luego determine sn.
43. 4, 9, 14, 64 44.
45. 46.
[11.3] Determine los primeros cinco términos de cada sucesión geométrica.
47. 48.
49. 50.
Determine el término que se indica de cada sucesión geométrica.
51. determine 52. determine
53. determine 216 54. determine a5a1 =
1
12
, r =
2
3
;a4a1 = -8, r = -3;
a6a1 = 15, r = 2;a5a1 = 6, r =
1
3
;
a1 = -20, r =
1
5
a1 = 20, r = - 
2
3
a1 = -12, r =
1
2
a1 = 6, r = 2
-9, -3, 3, 9, Á , 45
6
10
, 
9
10
, 
12
10
, Á , 
36
10
-7, -4, -1, Á , 11Á ,
a1 = -60, d = 5a1 =
5
6
, d =
2
3
a1 = 4, d = -3a1 = -7, d = 4
a1 = - 
10
3
, a9 = -6, n = 9a1 =
3
5
, a6 =
13
5
, n = 6
a1 = -12, a7 = -48, n = 7a1 = 7, a8 = 21, n = 8
a9a1 = 6, d = 3;
a1 = -100, d =
1
5
a1 =
1
2
, d = -2
a1 = 5, d = - 
1
3
a1 = 5, d = 3
1
2
3
n
, , , …,
4 5 6 n � 3
Ejercicios de repaso 733
Determine cada suma.
55. determine 56. determine
57. determine 58. determine
Para cada sucesión geométrica, determine la razón común, r, y luego escriba una expresión para el término general, an.
59. 60.
61. 62.
Determine la suma de los términos en cada sucesión geométrica infinita.
63. 64.
65. 66.
Determine la suma de cada serie infinita.
67. 68.
69. 70.
Escriba cada número con decimales periódicos como una razón de enteros.
71. 72.
[11.4] Utilice el teorema del binomio para desarrollar la expresión.
73. 74.
Escriba los cuatro primeros términos del desarrollo.
75. 76. 12a2
+ 3b281x - 2y29
12x - 3y22313x + y24
0.621621 Á0.363636 Á
-4, - 
8
3
-
16
9
, - 
32
27
, Á5 - 1 +
1
5
-
1
25
+
Á
9 +
9
3
+
9
9
+
9
27
+
Á16 + 8 + 4 + 2 + 1 +
Á
-6, -4, - 
8
3
, - 
16
9
, Á-8, 
8
3
, - 
8
9
, 
8
27
, Á
5
2
, 1, 
2
5
, 
4
25
, Á5, 
5
2
, 
5
4
, 
5
8
, Á
9
5
, 
18
15
, 
36
45
, Á10, 
10
3
, 
10
9
, Á
-4, -20, -100, Á6, 12, 24, Á
s7a1 = 8, r =
1
2
;s4a1 = 9, r =
3
2
;
s5a1 = -84, r = - 
1
4
;s6a1 = 7, r = 2;
[11.2]
77. Suma de enteros Determine la suma de los enteros entre 101
y 200, inclusive.
78. Barriles de petróleo Los barriles de petróleo están apilados
con 21 barriles en la fila inferior, 19 barriles en la segunda fi-
la, 18 barriles en la tercera fila, y así sucesivamente, hasta la
fila superior que sólo tiene un barril. ¿Cuántos barriles hay?
79. Salario Ahmed Mocanda acaba de iniciar en un trabajo nuevo
con un salario anual de $36,000. Se le ha dicho que su salario
aumentará $1000 por año durante los próximos 10 años.
a) Escriba una sucesión que muestre su salario para los pri-
meros 4 años.
b) Escriba un término general de esta sucesión.
c) ¿Cuál será su salario dentro de 6 años?
d) ¿Cuánto dinero obtendrá en total en los primeros 11
años? $451,000
[11.3]
80. Dinero Usted inicia con $100, lo duplica para obtener $200,
nuevamente lo duplica para obtener $400, y así sucesivamente.
¿Cuánto tendrá después de realizar este proceso 10 veces?
81. Salario Gertude Dibble inició un trabajo nuevo el día 1 de
enero de 2006, con un salario mensual de $1600. Su jefa ha
acordado darle 4% de aumento cada mes, durante el resto
del año.
a) ¿Cuál será el salario de Gertude en julio?
b) ¿Cuál será el salario de Gertude en diciembre?
c) ¿Cuánto dinero ganará Gertude en 2006?
82. Inflación Si la tasa de inflación fuese constante del 8%
anual (cada año el costo de la vida es 8% mayor que el año
anterior), ¿cuánto costaría dentro de 12 años un producto
que ahora cuesta $200?
83. Péndulo En cada oscilación (de izquierda a derecha o de de-
recha a izquierda), un péndulo recorre el 92% de lo que re-
corrió en la oscilación que le precede. Si la primera
oscilación es de 12 pies, determine la distancia recorrida por
el péndulo hasta el momento en que se detiene.0 ft
734 Capítulo 11 Sucesiones, series y el teorema del binomio
Examen de práctica del capítulo 11
Para determinar el nivel de comprensión del material del capítulo, haga este examen de práctica. Las respuestas y la sección
donde se estudia por primera vez el material, se proporciona en la parte final del libro. Además, cada problema está
completamente resuelto en el Chapter Test Prep Video CD. Revise el material de aquellas preguntas que respondió de forma
incorrecta.
15. Determine s7 cuando y 
16. Determine la razón común y escriba una expresión para el
término general de la sucesión
17. Determine la suma de esta serie geométrica infinita.
18. Escriba 0.3939Á como una razón de enteros.
19. Evalúe
20. Utilice el teorema del binomio para desarrollar (x � 2y)4.
21. Media aritmética Las calificaciones de los exámenes de Paul 
Misselwitz son 76, 93, 83, 87 y 71. Utilice para deter-
minar la media aritmética de las calificaciones de Paul.
22. Una pila de troncos Se apilan troncos con 13 piezas en la fila
inferior, 12 troncos en la segunda fila, 11 troncos en la terce-
ra fila, y así sucesivamente hasta la parte superior. ¿Cuántos
troncos hay?
23. Ahorro para el retiro Con la finalidad de ahorrar para su re-
tiro, Jamie Monroe planea ahorrar $1000 el primer año, $2000
el segundo año, $3000 el tercer año, e incrementar la cantidad
ahorrada en $1000 en cada año sucesivo. ¿Cuánto habrá aho-
rrado al final del vigésimo año de estar ahorrando?
24. Ingresos Yolanda Rivera gana $700 a la semana trabajando
en una oficina de seguros. Su jefe le ha garantizado un au-
mento de 4% a la semana durante las siguientes 7 semanas.
¿Cuánto recibirá en la sexta semana?
25. Cultivo de bacterias El número de bacterias en un cultivo se
triplica cada hora. Si al inicio había 500 bacterias en el culti-
vo, ¿cuántas bacterias habrá en el cultivo al final de la sexta
hora?
x =
©x
n
a8
3
b .
4 +
8
3
+
16
9
+
32
27
+
Á
15, 5, 
5
3
, 
5
9
, Á .
r = -5.a1 =
3
5
1. ¿Qué es una serie?
2. a) ¿Qué es una serie aritmética?
b) ¿Qué es una serie geométrica?
3. Escriba los cinco primeros términos de la sucesión, si
4. Determine la primera y la tercera sumas parciales, si
5. Desarrolle la serie siguiente y determine la suma de la serie.
6. Para x1 � 4, x2 � 2, x3 � 8 y x4 � 10, determine 184
7. Escriba el término general de la sucesión aritmética siguiente.
8. Escriba el término general de la sucesión geométrica si-
guiente.
En los ejercicios 9 y 10, escriba los primeros cuatro términos de
cada sucesión.
9.
10.
11. Determine a11 cuando a1 � 40 y d � �8.
12. Determine s8 para la sucesión aritmética con a1 � 7 y
a8 � �12.
13. Determine el número de términos en la sucesión aritmética
14. Determine a6 cuando a1 � 8 y r =
2
3
.
-4, -16, -28, Á , -136.
a1 =
5
12
, r =
2
3
a1 = 15, d = -6
5, 10, 20, 40, Á
1
3
, 
2
3
, 
3
3
, 
4
3
, Á
a
4
i = 1
 1xi22.
a
5
i = 1
 12i2
+ 32
an =
2n + 1
n2 .
an =
n - 2
3n
.
Examen de repaso acumulativo
Resuelva el examen siguiente y verifique sus respuestas con las que aparecen al final del libro. Revise las preguntas que haya respondido
en forma incorrecta. La sección y objetivo donde se estudia el material se indica después de la respuesta.
1. Despeje b de .
2. Determine una ecuación de la recta que pasa por (4, �2) y
(1, 9). Escriba la ecuación en la forma pendiente intercep-
ción.
3. Resuelva el sistema de ecuaciones.
 3x + 3y + 3z = 3
 2x + 2y + 2z = 2
 x + y + z = 1
A =
1
2
 bh 4. Multiplique
5. Factorice
6. Factorice
7. Reste
8. y varía directamente con el cuadrado de z. Si y es 80 cuando
z es 20, determine y cuando z es 50.
9. Si y determine todos
los valores de x para los cuales f(x) � g(x).
g1x2 = 13 5x - 15,f1x2 = 213 x - 3
5 -
x - 1
x2
+ 3x - 10
.
1a + b22 + 81a + b2 + 16.
x3
+ 2x - 6x2
- 12.
15x3
+ 4x2
- 6x + 221x + 52.
Examen de repaso acumulativo 735
10. Resuelva
11. Resuelva completando el cuadrado.
12. Resuelva por medio de la fórmula cuadrática
13. Números El doble del cuadrado de un número positivo, dis-
minuido en nueve veces el mismo número da como resultado
5. Determine el número.
14. Grafique y � x2 � 4x y etiquete los vértices.
x2
-
x5
-
1
3
= 0
x2
+ 2x + 15 = 0
16x - 5 - 12x + 6 - 1 = 0. 15. Despeje a de .
16. Grafique y � 2x � 1.
17. Determine una ecuación de una circunferencia con centro en
(�6, 2) y radio 7.
18. Grafique
19. Grafique
20. Determine la suma de la serie geométrica infinita.
186 + 4 +
8
3
+
16
9
+
32
27
+
Á
9x2
+ 16y2
= 144.
1x + 322 + 1y + 122 = 16.
loga 
1
64
= 6
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