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Diferenciales CAPíTULO 1 Introducción En este capítulo analizaremos la diferencial de una función. Para resolver integrales es necesario aplicar un procedimiento llamado cambio de variable, en el cual se requie- re calcular la diferencial de la expresión seleccionada. La integral ∫ cos 2xdx se resuelve por cambio de variable. Consideraciones generales En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como derivada por definición. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar todo tipo de funciones. En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda apli- car para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial. La integración es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentare- mos diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio. Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con frecuencia las tablas de integrales. Sin embargo, muchas de las fórmulas que apare- cen en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos en este texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas de- sarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además, te sugerimos no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios propuestos y los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en obtener la solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar tu conocimiento. Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en uno de sus libros señala: “Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la menor a la mayor cuando se aborda un tema nuevo (…)”. En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los temas más difíciles y dejan hasta el último los más sencillos. “Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción”. Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos para resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiem- po que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver otros problemas semejantes e incluso de mayor complejidad. Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición causa entorpecimiento. 01_Calculo_Integral.indd 1 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com 2 Cálculo integral El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro te facilitará la so- lución de los problemas que tu profesor te dicte y que seguramente propondrá para el examen. En cálculo diferencial dividimos infinitesimalmente una línea, un área, un vo- lumen o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación; es decir, hacemos divisiones cada vez más pequeñas. En cálculo integral, por el con- trario, la suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se desea: una distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro. El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales, pero difícil y compleja en su aplicación. En el libro Cálculo diferencial, los autores definen: “La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incre- mento de la función entre el incremento de la variable cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se expresa: derivada lím= = ∆ ∆∆ → dy dx y xx 0 Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada”. Diferenciales Definición La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incre- mento de la variable independiente. Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función. a) Sea la función y x= 4 Su primera derivada es y x x′ =−= 4 44 1 3 Su diferencial se expresa dy x x= ∆4 3 b) Calcula la diferencial de la función y = 3x2 para x = 4 y el Dx = 0.2 y x x dy x x ′ = ( ) = = ∆ 3 2 6 6 Sustituyendo: d x3 6 4 0 2 4 82( ) = ( )( ) =. . EJEMPLOS 1 d dx x nxn n= −1 01_Calculo_Integral.indd 2 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com Capítulo 1 Diferenciales 3 Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes: Df (x) Cauchy f ′ (x) Lagrange y ′ Lagrange dy dx Leibnitz (Se lee “derivada de y con respecto a x”) Por lo tanto: derivada lím= = ∆ ∆ = ( ) = ( ) = ∆ → dy dx y x Df x f x y x 0 ′ ′ Sea la función y = f (x) La primera derivada se expresa así: dy dx f x= ( )′ Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos: dy = f ′(x)dx la cual aceptamos como otra definición de la diferencial de una función y se lee: la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente. a) Calcula la diferencial de y x x= − +5 23 y x x y x d x x x dx = − + = − − +( ) = −( ) 5 2 15 1 5 2 15 1 3 2 3 2 ′ b) Calcula la diferencial de y x= −1 3 y x y x d x dx x = − = − − −( ) = − − 1 3 3 2 1 3 1 3 3 2 1 3 ′ EJEMPLOS 2 Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, debemos calcular su primera derivada. d dx x d dx C = = 1 0 d dx u du dx u = 2 01_Calculo_Integral.indd 3 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com 4 Cálculo integral Interpretación geométrica de la diferencial En la gráfica de la función y = f (x) observamos: AD x CD y = ∆ = ∆ D C dy A x ∆x ∆yα α ∆x x + ∆x B E F O y x En el triángulo rectángulo ADB tan tan α α ∆ ′ = = = ( ) BD AD BD AD xf x (1) Al considerar la definición inicial de la diferencial tenemos: dy f x x= ′ ( ) ∆ de donde en (1) dy BD= La diferencial de una función y = f (x) en un punto es el incremento de la tangente a la curva en ese punto. Entonces, de acuerdo con la gráfica anterior: ∆ = =y CD dy BD; serán aproxi- madamente iguales cuando ∆ =x AD sea muy pequeño. Calcula la diferencia de la función y = 5x2 para x = 4 y el Dx = 0.2 y x y x = = 5 10 2 ′ Sustituyendo: dy f x x d x = ( ) ∆ ( ) = ( )( ) = ′ 5 10 4 0 2 8 02 . . EJEMPLO 3 01_Calculo_Integral.indd 4 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com Capítulo 1 Diferenciales 5 a) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado, cuyo lado mide 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 m. Fórmula del área de un cuadrado: A = l 2 l = 5 m Dl = 0.002 m El área del cuadrado depende de la magnitud del lado, por lo que decimos que el área es función del lado A = f (l) = l 2 A ′ = f ′(l) = 2l dA = f ′(l) dl dA = 2l × dl dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2 Incremento = 0.020 m2 b) Determina el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo lado mide 2 m, al aumentar el lado 0.003 m. Fórmula del volumen de un cubo v = l 3 l = 2 m Dl = 0.003 m v ′ = f ′(l) = 3l 2 dv = f ′(l)dl dv = 3l 2 × dl dv = 3(2)2(0.003) = 0.036 m3 Incremento = 0.036 m3 c) Si 36 6= , calcula el valor aproximado de 38 . Función: y x x = = ∆ = − = 36 6 38 36 2 y x y f x x dy f x dx = = ( ) = = ( ) ′ ′ ′ 1 2 dy dx x = = = = = + = 2 2 2 36 1 6 0 166 38 6 0 166 6 166 . . . EJEMPLOS 4 Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función Los números reales tienen estructura de campo. 01_Calculo_Integral.indd 5 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com 6 Cálculo integral Fórmulas de diferenciación Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fórmula de deri- vacióndesarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferencia- ción, la cual citamos a continuación: En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, C es una constante y n un número natural. a) Calcula d x x5 2 42 − +( ) Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer y segundo términos aplicamos las fórmulas 4 y 6. Para el último término aplicamos la fórmula 1. d x x d x d x d xdx dx5 2 4 5 2 4 10 22 2− +( ) = ( ) − ( ) + ( ) = − Factorizando dx: = −( )10 2x dx EJEMPLOS 5 1. d(C) = 0(dx) = 0 2. d(x) = 1(dx) = dx 3. d(u + v − w) = du + dv − dw 4. d(Cu) = C du 5. d(uv) = udv + vdu 6. d(un) = mun − 1du 7. d u v vdu udv v = − 2 8. d(sen u) = cos u du 9. d(cos u) = −sen u du 10. d(tan u) = sec2 u du 11. d(cot u) = −csc2 u du 12. d(sec u) = tan u sec u du 13. d(csc u) = −cot u csc u du 14. d u du u arc sen( ) = −1 2 15. d u du u arc cos( ) = − −1 2 16. d u du u arc tan( ) = +1 2 17. d u du u arc cot( ) = − +1 2 18. d u du u u arc sec( ) = −2 1 19. d u du u u arc csc( ) = − −2 1 20. d u du u ln( ) = 21. d u du u b blog ln ( ) = 22. d(eu) = eudu 01_Calculo_Integral.indd 6 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com Capítulo 1 Diferenciales 7 b) Calcula d x x+ sen 2 Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer término aplicamos la fórmula 2 y para el segundo término aplicamos la fórmula 8. d x x d x d x dx x + = ( ) + = + sen sen 2 2 1 2 cos = + d dx x dx dx x dx 2 2 1 2 cos factorizando dx: = + 1 1 2 2 cos x dx Diferenciación implícita Hecha la derivación se despeja dy: Diferenciar x y y x y y d dx x y y d dx d x dx d − = − − = − −( ) = ( ) ( ) − 5 2 5 2 0 5 2 0 5 2 2 2 yy dx d y dx y dy dx dy dx dy dx y 2 2 0 1 10 2 0 10 2 ( ) − ( ) = − − = − −( ) = −− − +( ) = − 1 10 2 1dy dx y EJEMPLO 6 Multiplicando por −1 dy dx y dy y dx 10 2 1 10 2 1 +( ) = +( ) = ( ) Como: 1 10 2 dx dx dy dx y ( ) = = + 01_Calculo_Integral.indd 7 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com 8 Cálculo integral Diferenciales sucesivas de una función La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera, considerando para dx un valor fijo. dy f x dx d y f x d x = ( ) = ( ) ′ ″2 2 La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda (si dx es constante) y así sucesivamente. Calcula la tercera diferencial de y x x= − −4 5 15 2 d x x x x dx4 5 1 20 105 2 4− −( ) = −( ) d x x x x dx2 5 2 44 5 1 20 10− −( ) = −( ) = −( ) − −( ) = −( ) 80 10 4 5 1 80 10 3 3 5 2 3 2 x dx d x x d x d x = 240 2 3x d x EJEMPLO 7 Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente! • Regla de los cuatro pasos • Integración • Tablas de integrales • Diferencial de una función Lo que debes saber f x u du dx u xx ′ ′( ) = = ∆ ∆∆ → lím 0 01_Calculo_Integral.indd 8 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com Capítulo 1 Diferenciales 9 Ejercicios de repaso 1. Calcula las diferenciales de las siguientes funciones: a) y x= 5 2 Solución: dy = 10x dx b) y x x x= − + −3 5 4 14 3 Solución: dy = 12 15 43 2x x dx− +( ) c) y x= −3 5 Solución: dy = − − 5 2 3 5 dx x d) y x= −( )4 23 Solución: dy = 2 3 43 dx x − e) y x= sen Solución: dy = cos xdx x2 1 2 sen f) y x= tan 2 Solución: dy = 2 22sec xdx 01_Calculo_Integral.indd 9 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com 10 Cálculo integral g) y x = cos 3 Solución: dy = 3 3 2 sen x dx x h) f x x x ( ) = − 3 1 Solución: f (x) dx = 3 2 1 1 −( ) −( ) −( ) x dx x x i) y x x= −tan 2 Solución: dy = sec 2 2x dx−( ) j) y x a = arc sen Solución: dy = dx a x2 2− k) y x= arc cot 2 Solución: dy = − + 2 1 4 xdx x l) y x= arc cos 3 Solución: dy = − − dx x9 2 m) y x= −( )3 13 Solución: dy = 9 2x dx 01_Calculo_Integral.indd 10 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com Capítulo 1 Diferenciales 11 n) y x= 2 2 sen Solución: dy = cos x dx 2 o) y x= ln 2 Solución: dy = 2 x dx p) y x= arc cos 2 Solución: dy = − − 2 1 4 2 dx x q) Calcula el valor aproximado de 39 si 36 6= Solución: 6.25 r) Determina el valor aproximado de 1293 si 125 53 = Solución: 5.053 s) Calcula el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm. Solución: DA = 0.042 m2 t) Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el lado 0.007 m. Solución: DV = 0.589 m3 01_Calculo_Integral.indd 11 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com 12 Cálculo integral u) Determina el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm de radio cuando el radio aumenta 3 cm. Solución: DA = 603.19 cm2 2. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) La expresión dy dx f x= ( )′ representa la diferencial de la función f(x). b) dy f x dx= ( )′ es igual a dy f x x= ( ) ∆′ . c) Para calcular la diferencial de una función no es necesaria la derivada de la función. d) Es imposible calcular la diferencial de funciones implícitas. Solución: a) Falsa b) Verdadera c) Falsa d) Falsa 3. Resuelve aplicando las diferenciales a) Calcula el valor aproximado de 27 Solución: 5.2 b) Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 60 cm, si éste recibe un aumento de 0.5 cm. Solución: DA = 30 cm2 01_Calculo_Integral.indd 12 07/04/13 11:48 www.full-ebook.com Antiderivadas. Integración indefinida Introducción Para estudiar el crecimiento de las poblaciones, los expertos utilizan la fórmula dy dt ky= . Si la población (y) crece cuando aumenta el tiempo (t), se aplica la ley de cre- cimiento natural. Si la población disminuye mientras transcurre el tiempo, se aplica la ley de decrecimiento natural. La fórmula que se utiliza para estos cálculos es una derivada y para encontrar la función que pueda aplicarse a un determinado problema, necesitamos expresarla primero como una ecuación diferencial dy y kdt= y después integrar cada miembro de la igualdad, quedando de la siguiente manera: dy y k dt= ∫∫ . CAPÍTULO 2 Antiderivada La adición y la sustracción son operaciones inversas, al igual que la división y la multiplicación; lo mismo se puede decir de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente. En cálculo diferencial estudiamos el problema para obtener la de- rivada f ′(x) de una función f (x). Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f ′(x) trataremos de obtener la función f (x). Definición A una función F se le llama antiderivada de una función f, en un intervalo cerrado I, si F ′(x) = f (x) para todo valor de x en el intervalo cerrado. Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “F (x) es una antiderivada de f (x)”. Las expresiones integral indefinida y función primitiva son sinónimos de la pala- bra antiderivada. a) Integra las siguientes expresiones: • 3 2x dx es la diferencial de x3 x3 es la antidiferencial de 3 2x dx • −sen x dx es la diferencial de cos x cos x es la antidiferencial de −sen x dx EJEMPLOS 1 02_Calculo_Integral.indd 13 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com 14 Cálculo integral Las funciones (1, 2 y 3) representadas por f (x) = x4 + C, donde C es una constante (un número real no especificado) tienen por derivada F x x′( ) = 4 3 . Integral indefinida A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama integración y se denota con el símbolo ∫, que es la inicial de la palabra suma. Si F (x) es una función primitiva de f (x) se expresa: y f x dx F x C= ( ) = ( ) +∫ si y sólo si F ′(x) = f (x) La expresión f x dx( )∫ es la antiderivada de f (x) ∫ es el signo de integración y se lee "integral de" f (x) Integrando dx Diferencial de la variable x Variable de integraciónF(x) Función primitiva C Constante de integración si en la expresión y f x dx F x C= ( ) = ( ) +∫ (1) y como en la definición de la antiderivada señalamos que F ′(x) = f (x), sustituimos en la expresión anterior: ′ ( ) = ( ) +∫ F x dx f x C queda: d dx f x dx d dx F x C f x F x ( ) = ( ) +[ ] ( ) = ( ) ∫ ′ ′ Dado que la derivación y la integración son operaciones inversas, podemos obtener las fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación. b) Deriva las siguientes expresiones: • f x x( ) = 4 F x x′ ( ) = 4 3 • f x x( ) = −4 6 F x x′ ( ) = 4 3 • f x x( ) = +4 4 5 F x x′ ( ) = 4 3 02_Calculo_Integral.indd 14 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 15 Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración d dx k = 0 • La derivada de una constante respecto a x es cero. d dx kx k dx d dx kf x kf x = ( )[ ] = ( )′ k dx kx C kf x dx k f x dx = + ( ) = ( ) ∫ ∫∫ • La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función. d dx x( ) = 1 • La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad. De suma o diferencia d dx f x g x f x g x( ) ± ( )[ ] = ( ) ± ( )′ ′ f x g x dx f x dx g x dx( ) ± ( )[ ] = ( ) ± ( )∫ ∫∫ • La derivada con respecto a x de la suma o diferencia de un número finito de funciones es igual a la suma o diferencia de sus derivadas. De potencia A partir de aquí consideraremos a u como cualquier función de la variable x. d dx u nu dxn n= −1 u du u n Cn n = + + + ∫ 1 1 con n ≠ −1 • La derivada de una función u elevada a un exponente entero positivo es igual al producto del exponente por la función u elevada a ese exponente disminui- da en uno, por la derivada de la función u. Si n = −1 u du u du du u u C l u C − = = + = + ∫∫ ∫ 1 1 ln n El campo de los núme- ros complejos incluye a los números imagi- narios puros y a los números reales. 02_Calculo_Integral.indd 15 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com 16 Cálculo integral Trigonométricas d dx u u du dx sen = cos cos u du u C= +∫ sen • La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplica- do por la derivada de la función u respecto a x. d dx u u du dx cos = − sen sen u du u C= − +∫ cos • La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función u, multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x. d dx u u du dx tan sec= 2 sec 2 u du u C= +∫ tan • La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante de la función u, multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x. d dx u u du dx cot csc= − 2 csc cot2 u du u C= − +∫ • La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante cuadrada de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respec- to a x. d dx u u u du dx sec sec tan= sec tan secu u du u C= +∫ d dx u u du dx csc = − cot csc cot cscu u du u C= − +∫ tan cot sen sec u du u C u du u C u du u = + = + = + ∫ ∫ ln sec ln ln sec taan ln csc cot u C u du u u C + = − + ∫ ∫ csc Algunas de las fórmulas de integración citadas pueden estar multiplicadas por una constante. d dx uv u dv dx v du dx ( ) = + • Las derivadas de un producto de dos funciones son igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Se usará para deducir el método de integración por partes. 02_Calculo_Integral.indd 16 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 17 Conceptos básicos de la integración La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebrai- ca de las integrales de las funciones f x g x h x dx f x dx g x dx h x dx( ) + ( ) − ( )[ ] = ( ) + ( ) − ( )∫∫∫∫ A cada integral habría que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante. A continuación analizaremos con detalle los procesos que seguimos para resol- ver cada integral presentada en los ejemplos anteriores. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner como factor de la integral, como ya lo hicimos en los dos ejemplos anteriores. kf x dx k f x dx( ) = ( )∫∫ a) 5 7 22x x dx+ −( )∫ En este ejemplo f x x g x x h x( ) = ( ) = ( ) =5 7 22, , , por lo tanto: 5 7 2 5 7 2 5 3 7 2 2 2 2 3 2 x x dx x dx x dx dx x x x C + −( ) = + − = + − + ∫ ∫∫∫ b) x x x dx 4 23 4− + ∫ Primero separamos el integrando en tres fracciones y después aplicamos la fórmula. x x x dx x x x x x x x dx x 4 2 4 2 4 2 3 4 3 4 3 − + = − + = − ∫ ∫ xx dx x dx x dx x dx dx x x x x C + = − + = − + + ∫∫∫ ∫∫∫ 4 3 4 1 4 3 2 4 3 4 2 ln EJEMPLOS 2 02_Calculo_Integral.indd 17 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com 18 Cálculo integral La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente original más uno. u x du x u x n n n ( ) ( ) = ( )[ ] + + ∫ 1 1 Dado que u es una función de x, esta notación puede abreviarse de la forma siguiente: u du u n n n = + + ∫ 1 1 con n ≠ −1 Si n = −l u du u du du u − = = ∫∫ ∫ 1 1 = +ln u C = L |u| + C Esta fórmula se lee: “La integral de la diferencial de una función dividida entre la función es igual al logaritmo natural de la función”. a) 7 72 4x dx x dx= ∫∫ = +7 5 5x C b) 2 5 2 5 3 3x dx x dx= ∫∫ = + = + 2 5 4 1 10 4 4 x C x C a) x dx x c x c2 2 1 3 2 1 3 = + + = + + ∫ En este ejemplo n = 2 b) dx x x C= +∫ ln Se toma el valor absoluto de x porque no hay logaritmos de números negativos, por eso se escribe ln |x|. EJEMPLOS 3 EJEMPLOS 4 02_Calculo_Integral.indd 18 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 19 Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando. Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de agrupación y del valor absoluto, éste se coloca en el resultado final. c) x dx x dx x C x C x C= = + + = + = + + ∫∫ 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 2 3 d) dx x x dx x C x 2 1 2 1 2 3 1 1 2 23 3 3 1 2 = = − + + = − − − + − + = − +−∫∫ C x C1 4 2 En el ejemplo 3, el radical se expresó como exponente fraccionario aplicando la siguiente ley de los radicales: a amn m n= , en este caso m = 1 y n = 2 Para resolver el ejemplo 4 primero pasamos x3 al numerador de la fracción aplicando la siguiente ley de los exponentes: 1 a a m m= − x x dx x x dx2 3 2 31 1−( ) = −( )∫∫ EJEMPLO 5 x dx x x dx2 ≠ ∫∫ Este desarrollo no es correcto porque la variable de integración x quedó fuera del signo de integral. EJEMPLO 6 Por ningún motivo la variable de integración puede quedar fuera del signo de inte- gración. En algunos casos la integración se facilita si primero se realizan las operaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios). 02_Calculo_Integral.indd 19 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com 20 Cálculo integral a) 2 1 3x x dx+( ) −( )∫ Primero realizamos la multiplicación de los binomios. El producto que resulte será el integrando. 2 1 3 2 3 1 3 2 6 3 2 5 3 2 2 x x x x x x x x x x +( ) −( ) = −( ) + −( ) = − + − = − − 2 1 3 2 5 3 2 5 3 2 2 x x dx x x dx x dx x dx dx +( ) −( ) = − −( ) = − − = ∫∫ ∫ ∫∫ 22 5 3 2 3 5 2 3 2 2 3 2 x dx x dx dx x x x C − − = − − + = ∫∫∫ 33 5 2 33 2x x x C− − + b) x x dx 3 1 2 − − ∫ Primero realizaremos la división. El cociente que se obtenga será el integrando. )x x x x x x x x x x x − − − + − − +− − + + + 2 1 2 2 1 2 4 4 1 4 8 7 2 4 3 3 2 2 2 2 x x x x x 3 21 2 2 4 7 2 − − = + + + − x x dx x x x dx x dx x dx dx 3 2 2 1 2 2 4 7 2 2 4 − − = + + + − = + + ∫ ∫ ∫ ++ − = + + + − ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ 7 2 2 4 7 2 2 dx x x dx x dx dx dx x EJEMPLOS 7 La integración se facilita si primero se realizan las operaciones indicadas de productos y cocientes de polino- mios. 02_Calculo_Integral.indd 20 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 21 Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma can- tidad. En la última integral u = x − 2; du = dx = + + + = + + + + = ∫x x x du u x x x u C x 3 2 3 2 3 3 2 2 4 7 1 3 4 7 1 3 ln ++ + + − +x x x C2 4 7 2ln xdx x + ∫ 5 Para resolver este ejemplo debemos tomar el número 5 de la expresión x + 5. Este número se suma y se resta al numerador; la integral que resulte se descompone en dos integrales. xdx x x x dx x x dx x dx dx dx x + = + − + = + + + − + = − + ∫∫ ∫∫ 5 5 5 5 5 5 5 5 5 55 ∫∫ Para resolver la segunda integral, al denominador le llamaremos u y dado que la integral estará en función de u, necesitaremos obtener la diferencial de u. u = x + 5 du = 1(dx) = dx Ahora realizaremos el cambio de variable en las dos integrales: = − = − + ∫∫ dx du u x u C 5 5 ln Sustituimos el valor de u: xdx x x x C + = − + +∫ 5 5 5ln EJEMPLO 8 02_Calculo_Integral.indd 21 07/04/13 11:53 www.full-ebook.com 22 Cálculo integral Recuerda que la diferencial de una función es dy f x dx= ( )′ , donde f ′(x) es la de- rivada de la función. La derivada de x + 5 es 1 porque d dx x = 1 y d dx 5 0= . Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente! • Integral indefinida • Función primitiva • Antiderivada • Método de integración Lo que debes saber Ejercicios de repaso 1. Calcula las siguientes integrales: a) dx∫ Solución: x + C b) 3 dy∫ Solución: 3y + C c) dx x ∫ Solución: ln|x| + C d) x dx3 4∫ Solución: 4 7 34x x C+ 02_Calculo_Integral.indd 22 07/04/13 11:54 www.full-ebook.com Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 23 e) 5 3x dx∫ Solución: 5 4 4x C+ f) 2 3bx dx∫ Solución: b x C 2 4 + g) 3 4 1 2x dx∫ Solución: 1 2 x x C+ h) dy y 3 ∫ Solución: − +1 2 2y C i) dx y 3 ∫ Solución: 1 3 3x C+ j) x x x x dx4 2 3 2 1 4 1− + − ∫ Solución: x x x x C 5 3 25 3 1 2 1− − + + k) x dx4∫ Solución: 4 5 x x C+ 02_Calculo_Integral.indd 23 07/04/13 11:54 www.full-ebook.com 24 Cálculo integral l) x dx23∫ Solución: 3 5 23x x C+ m) dx x 23 ∫ Solución: 3 3 x C+ n) 3 5 3 23x x dx− ∫ Solución: − − +4 15 3 x x C o) 5 5x dx∫ Solución: 10 3 5x x C+ p) x dx x −( ) + ∫ 3 3 Solución: x − 6 ln |x + 3| + C q) x x dx+ + ∫ 2 1 Solución: x + ln |x − 1| + C r) x x x dx 2 3 5− +∫ Solución: 2 5 2 102x x x x x C− + + 02_Calculo_Integral.indd 24 07/04/13 11:54 www.full-ebook.com Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida 25 s) x dx x 3 1− ∫ Solución: x x x x C 3 2 3 2 1+ + + − +ln t) y y dy+( ) −( )∫ 2 1 Solución: y y y C 3 2 3 2 2− + u) 4 2−( )∫ x x dx Solución: 32 16 3 2 5 2x x x x x C− + + 2. Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) x dx x C− − = − +∫ 2 3 3 b) y dx y C 6 7 2 1 14 = +∫ c) 5 1x dx x C− = +∫ ln Solución: a) Falsa b) Verdadera c) Falsa 02_Calculo_Integral.indd 25 07/04/13 11:54 www.full-ebook.com 26 Cálculo integral 3. Calcula las siguientes integrales. a) x x x dx2 32 + −( )∫ Solución: 4 7 2 5 23 2x x x x x x C+ − + b) x x x dx 2 3 2 2 + + + ∫ Solución: 1 2 2x x C+ + c) x dx x −( ) + ∫ 1 1 Solución: x − 2ln |x + 1| + C 02_Calculo_Integral.indd 26 07/04/13 11:54 www.full-ebook.com Integración de una función compuesta Introducción La probabilidad y la estadística son herramientas que se utilizan en diversas disciplinas. En probabilidad mane- jamos el concepto de valor esperado o esperanza matemática, que en el caso de una variable aleatoria continua se calcula con la siguiente integral: xf x dx( ) −∞ ∞ ∫ Observa que en el integrando se tiene el producto de x por una función también en términos de x. Debido a que en cálculo integral no tenemos una fórmula directa para resol- ver esta integral, debemos realizar la multiplicación y después hacer la integra- ción, proceso que puede resultar complicado. Otra alternativa es aplicar el méto- do conocido como método de sustitución el cual resulta más sencillo. CAPÍTULO 3 Sustitución por cambio de variable A pesar de que existen varias técnicas para realizar una sustitución, el propósito de todas es identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la dife- rencial de esa función y así poder aplicar una fórmula de integración. En el método de sustitución, se escoge una literal. En nuestro caso, se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el integrando. Identifica en las siguientes integrales su función y su diferencial. a) sen 7 7x dx u x du x ( ) ( ) ( )∫ ���� Señalamos: u x u x x = ( ) = 7 7 EJEMPLOS 1 03_Calculo_Integral.indd 27 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com 28 Cálculo integral Observa que la variable de la función es y, así que la diferencial en el integrando está incompleta porque dy no se multiplica por 5, como en la diferencial que calculamos. En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos u(x) indicando con ello que u está en función de x, en seguida con du(x) calculamos su diferencial. Algunos autores y profesores, por costumbre y comodidad, proceden de la si- guiente forma cuando piden integrar una expresión como la que se muestra a con- tinuación: sen 7 7 7 7 x dx u x du dx u du ����( ) = = ∫ Desde luego que este procedimiento es correcto, pero no debes olvidar que la varia- ble u en el primer ejemplo está en función de x y en el segundo de y. Esta aclaración te será de gran ayuda en cursos superiores. Para que puedas identificar en el integrando la función y su diferencial, analiza- remos varios ejemplos. Ahora calcularemos la diferencial aplicando la fórmula dy f x dx= ( )′ . En este caso como tenemos u x x( ) = 7 , la fórmula será du x f x dx( ) = ( )′ , con f x d dx x′ ( ) = =7 7 . du x dx( ) = 7 7x es la función y 7 dx su diferencial. b) cos 5y dx u y du y( ) ( ) ∫ Señalamos: u y u y y = ( ) = 5 5 Como en el ejemplo anterior, calculamos la diferencial; en este caso como la variable es y, u y y( ) = 5 y du y f y dy( ) = ( )′ con f y ddy y′ ( ) = 5 du y dy( ) = 5 5y es la función y dy la diferencial (incompleta). x x dx2 2 3 2+( ) ( )∫ Existen dos formas de resolver este ejemplo. La primera es a partir del método de sustitución y la otra es desarrollando la operación que se indicó en la página 17, del capítulo 2. EJEMPLO 2 03_Calculo_Integral.indd 28 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 29 Primero lo resolveremos por sustitución: x x dx u x u x x u x du x 2 2 2 2 3 2 3 +( ) ( ) = = + ( ) = ( ) ( ) ∫� �� �� ��� �� ++ ( ) = 3 2du x xdx En este ejemplo du f x dx= ( )′ , donde f x ddx x x′ ( ) = +( ) 2 3 2 . El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su diferencial. Por lo tanto, se puede aplicar la fórmula de integración de la potencia de una función. Sustituyendo: = ∫ u du2 Integrando: = +u C 3 3 Con el valor de u, queda: = +( ) +x C 2 33 3 Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando: x x dx2 2 3 2+( ) ( )∫ El integrando es un polinomio, por eso podemos desarrollar su producto e integrar término a término. x x dx x x x dx2 2 4 23 2 6 9 2+() ( ) = + +( )( )∫∫ = + +( )∫ 2 12 185 3x x x dx = + + ∫∫∫2 12 185 3x dx x dx x dx = + + +2 6 12 4 18 2 6 4 2x x x C = + + +1 3 3 96 4 2x x x C u du u n cn n ∫ = + + +1 1 03_Calculo_Integral.indd 29 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com 30 Cálculo integral Los dos resultados son correctos porque si desarrollamos el primero de ellos tenemos: x C x x x C x x x C 2 3 6 4 2 6 4 2 3 3 9 27 27 3 1 3 3 9 9 +( ) + = + + + + = + + + + La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son equivalentes. cos 5x dx∫ Para poder aplicar la fórmula cos u du∫ es necesario determinar si el integrando está completo o no; es decir, si cuenta con su función y su diferencial. cos 5 5 5 5 x dx u x u x x du x dx = = ( ) = ( ) = ∫ Para completar la diferencial en este ejemplo se tiene que multiplicar y dividir entre 5, lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se está multiplicando por uno. = ( ) ( ) ( ) ∫1 5 5 5cos x dx u x du x Sustituyendo: = ∫1 5 cos u du Integrando: = +1 5 sen u C Con el valor de u, queda: = +1 5 5sen x C EJEMPLO 3 kf x dx k f x dx( ) = ( )∫∫ kf x dx k f x dx( ) = ( )∫∫ k es una constante cos u du u C= +∫ sen 03_Calculo_Integral.indd 30 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 31 Como puedes observar del desarrollo de los dos ejemplos anteriores, para completar el integrando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad. Justificando el desarrollo, y por comodidad, se acostumbra a proceder como se indica a continuación: 3 1 3 1 1 2x dx x dx− = −( )∫∫ Para poder aplicar la fórmula u dun∫ es necesario identificar u(x) y calcular su diferencial du(x). 3 1 3 1 3 1 3 1 2x dx u x u x x du x dx −( ) = − ( ) = − ( ) = ∫ Aquí observamos que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa multiplicando y dividiendo por 3. 1 3 3 1 31 2x dx u x du x −( ) ( ) ( ) ( ) ∫ � �� �� � Se sustituye: = ∫1 3 1 2u du Se integra: = + +1 3 3 2 1 2 2 2u C Con el valor de u, queda: 2 9 3 1 3 1x x C−( ) − + Los dos resultados son correctos. EJEMPLO 4 1 2 2 = =a amn m n 03_Calculo_Integral.indd 31 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com 32 Cálculo integral Como pudiste notar en este ejemplo, la selección de la fórmula correcta se hizo mentalmente y no tuvimos que desarrollar el proceso señalado para la integración por sustitución. Para poder aplicar una fórmula de integración es necesario que en el integrando esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la función u(x) y su diferencial du(x). Es común que se cometan errores en el desarrollo de la integración por no saber identificar en forma correcta la función y su diferencial. En ocasiones, sucede que a la diferencial de la función le falta algún factor numérico y tenemos que hacer las operaciones necesarias para completarla. Al igual que en este apartado, en el resto del texto se incluyen conceptos y ejem- plos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma tan , cot , sec , cscx dx x dx x dx x dx∫∫∫∫ Como ya estudiamos el método de sustitución, podemos aplicarlo para deducir las fórmulas de derivación de la tan , cot , sec , cscx dx x dx x dx x dx∫∫∫∫ Para tan x dxdd∫ Por trigonometría demostramos que: tan cos x x x = sen de donde: tan cos x dx xdx x =∫ ∫ sen u x u x x du x xdx = ( ) = ( ) = − cos cos sen Si multiplicamos dos veces por (−1) en el integrando y además sustituimos, tenemos: = ( ) = ∫ ∫ − − − sen x dx x du u cos Para integrar es necesario identificar la función u y su diferen- cial u′. a) sen sen7 1 7 7 7 1 7 7x dx x dx x C u x du x = ( ) = +∫ ∫ ( ) ( ) � ��� cos u x u x x du x dx = ( ) = ( ) 7 7 7 b) 3 3 3cos x dx x C= +∫ sen EJEMPLOS 5 03_Calculo_Integral.indd 32 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 33 Por integración: = − ( ) +ln u C Con el valor de u, tenemos: = − ( ) +ln cos x C además: − ( ) = − = − −( ) = − + L x x x cos ln sec ln ln sec ln ln 1 1 1 ssec x como − ( ) =ln 1 0 se tiene que − ( ) =ln cos ln secx x Por lo tanto: tan ln secx dx x C= +∫ Para cot x dxdd∫ Demostramos en trigonometría que: cot cos x x x = sen de donde: cot cos x dx xdx x ∫ ∫= sen sen sen u x u x x du x xdx = ( ) = ( ) = cos Si sustituimos: = ∫ du u y luego integramos: = ( ) +ln u C 03_Calculo_Integral.indd 33 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com 34 Cálculo integral con el valor de u, queda: = ( ) +ln sen x C por lo tanto: cot lnx dx x C= +∫ sen Para sec x dxdd∫ Multiplicamos y dividimos el integrando por sen x x+( )tan sec sec sec tan sec tan sec sec t x dx x x x dx x x x x ∫ ∫= +( ) + = +2 aan sec tan x dx x x ( ) + ∫ u x x u x x x du x x = + ( ) = + ( ) = sec tan sec tan sec tann secx x dx+( )2 Si sustituimos: = ∫ du u y luego integramos: = ( ) +ln u C Con el valor de u, tenemos: = +( ) +ln sec tanx x C por lo tanto: sec ln sec tanx dx x x C= + +∫ Para csc x dxdd∫ Se calcula en forma semejante a la sec x dx∫ . Multiplicamos y dividimos el inte- grando por csc cotx x−( ) . csc csc csc cot csc cot csc csc c x dx x x x dx x x x x ∫ ∫= −( ) − = −2 oot csc cot x dx x x ( ) − ∫ sen A A A A A A A = = ° −( ) = − = = 1 90 1 2 csc cos cos tan cos cos cot AA 03_Calculo_Integral.indd 34 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 35 u x x u x x x du x x = − ( ) = − ( ) = − csc cot csc cot csc c2 ssc cotx x dx Si sustituimos tenemos: = ∫ du u luego integramos: = ( ) + = −( ) + ln ln csc cot u C x x C por lo tanto: csc ln csc cotx dx x x C= − +∫ Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente! • Método de sustitución • Cambio de variable Lo que debes saber 1. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué elementos debe tener el integrando de cualquier integral para poder aplicar una fórmula de integración? b) ¿Cuál es el objetivo de aplicar el método de sustitución? c) ¿Qué debes hacer si al calcular la diferencial de una función ésta no se encuentra completa en el integrando de una determinada integral? EJERCICIOS 03_Calculo_Integral.indd 35 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com 36 Cálculo integral 2. Calcula las siguientes integrales: a) x x dx2 4 6−( )∫ Solución: 1 10 62 5 x C−( ) + b) 2 4 3 2 xdx x+ ∫ Solución: 2 3 4 3 2+ +x C c) x x x x dx3 2 1 3 23 2+( ) +( )∫ Solución: 2 9 3 33 2 3 2x x x x C+( ) + + d) − +( )∫ sen ay dy1 Solución: 1 1 a ay Ccos +( ) + e) 2 6sen x dx( )∫ Solución: − ( ) +1 3 6cos x C f) cos 3 2x dx+( )∫ Solución: 1 3 3 2sen x C+( ) + 03_Calculo_Integral.indd 36 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 37 g) − ∫ tan y dy 2 Solución: − +2 2 ln sec y C h) − ∫ sen x a dx Solución: a x a Ccos + i) 2 5 2 102x x x dx−( ) −( )∫ Solución: 1 2 2 5 2 2 x x C−( ) + j) 5 5x dx∫ Solución: 10 3 5x x C+ k) 4 2 53 4 2 3 x x x x dx−( ) − −( )∫ Solución: x x C 4 2 45 4 − −( ) + l) 4 1 3 4 x dx x+ ∫ Solución: ln 1 4+ +x C 03_Calculo_Integral.indd 37 07/04/13 11:56 www.full-ebook.com 38 Cálculo integral m) 2 1 2 dx x+ ∫ Solución: ln 1 2+ +x C n) x x dx+ + ∫ 2 1 Solución: x x C+ + +ln 1 o) x x x dx 2 3 5− +∫ Solución: 2 5 2 102x x x x x C− + + p) x dx x 3 1− ∫ Solución: x x x x C 3 2 3 2 1+ + + − +ln q) x x dx+( ) −( )∫ 2 1 Solución: x x x C 3 2 3 2 2+ − + 03_Calculo_Integral.indd 38 07/04/13 11:57 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 39 Ejerciciosde repaso 1. Calcula las siguientes integrales: a) dx∫ Solución: x + C b) dx x ∫ Solución: ln x C+ c) x dx3 4∫ Solución: 4 7 34x x C+ d) 5 3x dx∫ Solución: 5 4 4x C+ e) 2 3bx dx∫ Solución: b x C 2 4 + f) x x x x dx4 2 3 2 1 1− + − ∫ Solución: x x x x C 5 3 25 3 1 2 1− − + + 03_Calculo_Integral.indd 39 07/04/13 11:57 www.full-ebook.com 40 Cálculo integral g) 5 5 1 3x dx−( )∫ Solución: 1 4 5 1 4x C−( ) + h) xdx4∫ Solución: 4 5 4x x C+ i) dx x −( ) ∫ 1 5 Solución: − −( ) +1 4 1 4x C j) x dx23∫ Solución: 3 5 23x x C+ k) 2 5 3 23x x dx− ∫ Solución: − − +4 15 3 x x C l) 3 4 1 2x dx∫ Solución: 1 2 x x C+ 03_Calculo_Integral.indd 40 07/04/13 11:57 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 41 m) dx x 3 ∫ Solución: − +1 2 2x C n) dx x − ∫ 2 Solución: 13 3x C+ o) dx x +( ) ∫ 1 2 Solución: − + +1 1x C p) dx x 23 ∫ Solución: 3 3 x C+ q) dx x −( ) ∫ 2 4 Solución: − −( ) +1 3 2 3x C r) x dx x −( ) +( ) ∫ 3 3 Solución: x x C− + +6 3ln 03_Calculo_Integral.indd 41 07/04/13 11:57 www.full-ebook.com 42 Cálculo integral s) x x x dx3 5 25 3 5−( ) −( )∫ Solución: 1 6 53 6 x x C−( ) + t) x dx−∫ 2 Solución: 2 3 2 2x x C−( ) − + u) 3 dx∫ Solución: 3x + C v) 2 32 2 x x dx−( )∫ Solución: 1 3 32 3 x C−( ) + w) 3 12 3 3 x x dx−( )∫ Solución: 1 4 13 4 x C−( ) + x) 3 4 2x dx+( )∫ Solución: 1 9 3 4 3x C+( ) + y) x x dx2 4+∫ Solución: 1 3 4 42 2x x C+( ) + + 03_Calculo_Integral.indd 42 07/04/13 11:57 www.full-ebook.com Capítulo 3 Integración de una función compuesta 43 z) x dx x 2 3 2− ∫ Solución: − − +1 3 23ln x C aa) 5 2 32 ydy y + ∫ Solución: 5 2 2 32y C+ + ab) 5 1 3x dx−( )∫ Solución: 1 20 5 1 4x C−( ) + ac) 6 1 2 3 x dx x − ∫ Solución: 2 13ln x C− + ad) x dx x +( ) ∫ 2 2 Solución: ln x x C+ + + +2 2 2 ae) x x dx5 2−∫ Solución: − −( ) − +1 3 5 52 2x x C af) 3 3 4 2 3 x x dx − ∫ Solución: − − +1 2 3 4 3x C 03_Calculo_Integral.indd 43 07/04/13 11:57 www.full-ebook.com 44 Cálculo integral ag) x x x dx +( ) + ∫ 2 42 Solución: 1 2 42ln x x C+ + ah) x x dx3 1 2 21+( )∫ Solución: 2 9 1 13 3x x C+( ) + + ai) 5 1 3 4 3 x x dx −( )∫ Solución: − −( ) +5 8 14 2 x C aj) x x dx 2 34 1− ∫ Solución: 4 9 13 3 4 x C−( ) + ak) 2 3 2 2x x dx−∫ Solución: − −( ) − +1 3 3 2 3 22 2x x C al) x x dx3 23 −∫ Solución: − −( ) − +3 8 3 32 23x x C 03_Calculo_Integral.indd 44 07/04/13 11:57 www.full-ebook.com Constante de integración Introducción En tu curso de geometría analítica aprendiste a iden- tificar las curvas que representan a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, recordarás que y x= +2 3 es la ecuación de una parábola vertical que abre hacia arriba y cuyo vértice está en el punto (0, 3). Si calculamos la diferencial de esta misma ecuación obtenemos dy xdx= 2 . En este ejemplo realizamos la operación inver- sa, es decir, integramos y obtenemos y x C= +2 , que no es exactamente la expresión que derivamos. En este capítulo aprenderás a calcular el valor de C para así obtener la ecuación exacta de la parábola. Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y: y x dx x C= = +∫ 2 2 donde C es la constante de integración. Por cada valor de C1, C2, C3,... de C, se obtiene una función primitiva x2 + C1, x 2 + C2, x 2 + C3,... De hecho, la expresión y x C= +2 representa una familia de parábolas que se trasladan verticalmente una de la otra con el mismo valor de la pendiente para cada punto. dy dx x= 2 CAPíTULO 4 Cálculo de valor numérico de la constante C Para calcular el valor de constante de integración es necesario tener la expresión di- ferencial que se va a integrar y algunos otros lados, procedimiento que ilustraremos en los siguientes ejemplos. a) Determina la función y f x= ( ), tal que f x x x′( ) = − +9 6 12 cuando f 1 5( ) = . Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (1, 5). Como y f x= ( ) se tiene que: dy dx df x dx = ( ) EJEMPLOS 1 04_Calculo_Integral.indd 45 07/04/13 12:13 www.full-ebook.com 46 Cálculo integral pero df x dx x x( ) = − +9 6 12 entonces dy dx x x= − +9 6 12 dy x x dx= − +( )9 6 12 Integrando: dy x x dx x dx x dx dx x x x = − +( ) = − + = − + + ∫∫ ∫∫∫ 9 6 1 9 6 9 3 6 2 2 2 3 2 CC y x x x C= − + +3 33 2 Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 5 para f (1). f C C 1 3 1 3 1 1 3 3 1 3 2( ) = ( ) − ( ) + + = − + + condición que señala el problema: f C C C 1 5 5 1 5 1 4 ( ) = = + − = = al sustituir el valor de C: y f x x x x C y x x x = ( ) = − + + = − + + 3 3 3 3 4 3 2 3 2 b) Calcula el valor de la contante de integración cuya f x x x′( ) = + −2 2 cuando f (1) = 6. Determina también la función. Es una función que se cumple en el punto (1, 6) como y = f (x) se tiene que: dy dx df x dx = ( ) 04_Calculo_Integral.indd 46 07/04/13 12:13 www.full-ebook.com Capítulo 4 Constante de integración 47 pero, df x dx x x( ) = + −2 2 entonces: dy dx x x dy x x dx = + − = + −( ) 2 2 2 2 Integrando: dy x x dx x dx x dx dx y x x x C = + −( ) = + − = + − + ∫∫ ∫∫∫ 2 2 3 2 2 2 3 2 2 Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 6 para f (1). f C C C 1 1 3 1 2 2 1 1 3 1 2 2 2 3 12 6 7 6 3 2 ( ) = ( ) + ( ) − ( ) + = + − + = + − + = − ++ C condición que señala el problema: f C C C 1 6 6 7 6 6 7 6 43 6 ( ) = = − + + = = sustituyendo el valor de C: y f x x x x C y x x x = ( ) = + − + = + − + 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 43 6 Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación. a b a b n n n= 04_Calculo_Integral.indd 47 07/04/13 12:13 www.full-ebook.com 48 Cálculo integral c) Determina la función cuya f x x x′( ) = − +2 2 4 tenga el valor de 6 cuando x = 2. Es una función que se cumple en el punto (2, 6) como y = f (x), se tiene que: dy dx df x dx = ( ) pero, df x dx x x( ) = − +2 2 4 entonces: dy dx x x dy x x dx = − + = − +( ) 2 2 2 4 2 4 Integrando: dy x x dx x dx x dx dx y x x x C = − +( ) = − + = − + + ∫∫ ∫∫ 2 2 3 2 2 4 2 4 3 2 2 4 Calculamos el valor de C cuando y x x x C= − + + 3 2 3 4 tenga el valor de 6 cuando x = 2 f C C C 2 2 3 2 4 2 8 3 4 8 8 12 24 3 20 3 3 2( ) = ( ) − ( ) + ( ) + = − + + = − + + = + CC Condición que señala el problema: f C C C 2 6 6 20 3 6 20 3 2 3 ( ) = = + − = = − 04_Calculo_Integral.indd 48 07/04/13 12:13 www.full-ebook.com Capítulo 4 Constante de integración 49 Significa geométrico de la constante de integración x2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la contante de integra- ción vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y f x= ( ). Si de f x x′( ) = 2 se quiere obtener la familia de las funciones f (x) que tienen como derivada a 2x, se tiene entonces: dy dx df x dx f x dy f x dx = ( ) = ( ) = ( ) ′ ′ Integrando: dy x dx y x C y x C = = + = + ∫∫ 2 2 2 2 2 (1) donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por ejemplo 3, 0, −2 se tiene de la ecuación (1) las siguientes expresiones: y x y x y x = + = = − 2 2 2 3 2 cuyos lugares geométricos son parábolas que inter- secan al eje de las y a distancias del origen de 3, 0, −2, respectivamente. Todas estas parábolas tienen el mismo valor dy dx , es decir, tienen la misma pendiente 2x para el mismo valor de x. Además, la diferencia de sus ordenadas Comprobación Sustituyendo el valor de C: y f x x x x C= ( ) = − + + = − + ( ) − = − + − = 3 2 3 2 3 4 6 2 3 2 4 2 2 3 6 8 3 4 8 2 3 6 88 12 24 2 3 6 6 − + − = x y y x2 3 y x2 y O x2 2 04_Calculo_Integral.indd49 07/04/13 12:13 www.full-ebook.com 50 Cálculo integral permanece igual para todos los valores de x, el valor de C no afecta la pendiente de ninguna de estas parábolas. Si establecemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo pase por el punto (1, 3), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la expresión y x C= +2 , de donde: y x C C C C = + = ( ) + = − = 2 23 1 3 1 2 Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide es y x= +2 2 , se grafica tabu- lando y x= +2 2 . x 0 1 2 y 2 3 6 f x x f f f ( ) = ( ) = + = ( ) = ( ) + = ( ) = ( ) + = 2 2 2 0 0 2 2 1 1 2 3 2 2 2 6x O y (1, 3) y = x2 + 2 Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente! • Constante de integración • Valor de la constante de integración Lo que debes saber 04_Calculo_Integral.indd 50 07/04/13 12:13 www.full-ebook.com Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas CAPÍTULO 5 Introducción En el capítulo 3 analizamos el método de sustitución para resolver una integral. En una gran cantidad de inte- grales no es tan obvio el cambio por realizar, ya que en otras es necesario realizar algún procedimiento previo a la sustitución. En este capítulo aprenderás algunos de los procedimientos más comu- nes para resolver una integral donde intervienen las funciones trigonomé- tricas directas por el método de sustitución o método de cambio de variable. Recordatorio de trigonometría En tu curso de geometría y trigonometría comprobaste las funciones e identidades siguientes: sen x x x x x x x = = − = =1 1 2 cot cos tan cos cos cot cos sen sen sen x x x x x x x = = − = =1 1 2 sec cot tan tan cot sec cos x x x x x = = − =1 12 sen cot tan csc cos x x x x x = = − =1 12 sen sec cos tanx x x= = +1 1 2 csc cotx x x= = +1 1 2 sen Funciones trigonométricas recíprocas sen x csc = 1 sec cos x x = 1 sen x x = 1 csc tan cotx x = 1 cos secx x = 1 tan cot x x = 1 cos sec x x = 1 cot tan x x = 1 El cálculo se facilita si tienes presente tu cono- cimiento de álgebra y trigonometría. cos sec º cot A A A A A A = = ( ) = − = = 1 90 1 2 sen sen sen − ssen A Atan 05_Calculo_Integral.indd 51 07/04/13 12:18 www.full-ebook.com 52 Cálculo integral Identidades trigonométricas del teorema de Pitágoras sec 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x = + − = = + = tan csc cot csc cot cot cscc 2 1x − sen sen cos sen sec 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x + = = − = − − cos cos tann sec 2 2 2 1 1 x x x = = −tan Fórmulas de integración de las funciones trigonométricas directas sen sen u du u C u du u C u du u C = − + = + = + ∫ ∫ ∫ cos cos sec sec sec tan csc cot csc csc cot 2 2 u du u C u u du u C u du u = + = − + = − ∫ ∫ ++∫ C Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas El integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por su diferencial 3 sen 2 x x dxcos∫ En el integrando tenemos dos funciones: una elevada a un exponente diferente de uno y la otra elevada a la potencia uno. Como primera opción elegimos u x= sen porque es la función que está al cuadrado y podríamos usar la fórmula u du u n Cn n = + +∫ +1 1 , siempre y cuando en el integrando esté la du. u x u x x du x xdx = ( ) = ( ) = sen sen cos Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene: = ∫3 2u du Integrando: = +3 3 3u C Con el valor de u queda: = +sen 3 x C EJEMPLO 1 Si una expresión alge- braica se multiplica y divide por un mismo número diferente de cero, su valor no se altera. 05_Calculo_Integral.indd 52 07/04/13 12:18 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 53 Sustitución del integrando por una identidad pitagórica tan 2 7x dx∫ Dado que en las fórmulas de integración de funciones trigonométricas directas sólo las funciones secante y cosecante están al cuadrado, aplicamos una identidad trigonométrica para expresar la tan 2 7x en términos de una de estas funciones. Como tan sec2 2 1x x= − Sustituyendo en el integrado: = −( )∫ sec 2 7 1x dx u x u x x du x dx = ( ) = ( ) = 7 7 7 Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7: = −( ) = ( )( ) − ∫ ∫∫ 1 7 7 1 7 1 7 7 7 1 7 7 2 2 sec sec x dx x dx dx Integrando: = − +1 7 7tan x x C EJEMPLO 2 a) −∫ 32 dx xsen Como en el caso anterior, tenemos que expresar sen 2 x en función de la secante o la cosecante, que son las funciones que están al cuadrado en las fórmulas de integración. Como csc x x = 1 sen Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos: csc 2 2 1x x = sen EJEMPLOS 3 Sustitución del integrando por una identidad trigonométrica recíproca cot tan tan º csc cos A A A A A A = = −( ) = − = 1 90 12 sen 05_Calculo_Integral.indd 53 07/04/13 12:18 www.full-ebook.com 54 Cálculo integral Si sustituimos en el integrando: = − ∫3 2csc x dx Integrando: = − −( ) +3 cot x C = +3 cot x C b) dx x xcos 2 2tan + ∫ Como sec cos x x = 1 Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos: sec cos 2 2 1x x = Si sustituimos en el integrando: = + = +( ) ∫ ∫ sec tan sec tan 2 2 1 2 2 2 x dx x x dx x Si la función es: u x u x x du x xdx = + ( ) = + ( ) = tan tan sec 2 2 2 Se sustituye en el integrando: = −∫ u du1 2 Integrando: = + = + u C u C 1 2 1 2 1 2 2 Con el valor de u, queda: = +( ) +2 2 1 2 tan x C = + +2 2tan x C c) sen 3 1 3 3 x x dx −( ) ∫ cos = −( ) −∫ 1 3 33cos x x dxsen a a a a m m = = − 1 2 1 05_Calculo_Integral.indd 54 07/04/13 12:18 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 55 Multiplicación del integrando por su conjugado Si la función es: u x u x x du x x dx − − ( ) − − ( ) = ( ) 1 3 1 3 3 3 cos cos sen Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 3: = −( ) ( )−∫1 3 1 3 3 3 3 cos x x dxsen Si sustituimos en el integrando: = −∫1 3 3u du Integrando = − + = − + = − + − − 1 3 2 6 1 6 2 2 2 u C u C u C Con el valor de u, queda: = − −( ) +1 6 1 3 2 cos x C a anm mn= tan cot tan cot cot tan A A A A A A = = = 1 1 1 dx x2 2+ ∫ cos Como el conjugado de 2 2+( )cos x es 2 2−( )cos x multiplicamos el numerador y el denominador del integrando por dicho conjugado. = + − − ∫ 12 2 2 2 2 2cos cos cosx x x dx El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados. = − +( ) −( ) ∫ 2 2 2 2 2 2 cos cos cos x x x dx EJEMPLO 4 05_Calculo_Integral.indd 55 07/04/13 12:18 www.full-ebook.com 56 Cálculo integral Factorizando: = − − = −( ) −( ) ∫ ∫ 2 2 4 4 2 1 4 1 2 2 cos cos cos cos x x dx x x dx Reduciendo 24 1 2 = y extrayéndola del símbolo de integración, tenemos: = − − ∫1 2 1 1 2 cos cos x x dx Como sen 2 21x x= − cos Sustituyendo = − = − ∫ ∫ ∫ 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 cos cos x x dx x dx x x dx sen sen sen Como csc x x = 1 sen sen sen sen sen sen 2 1 x x x x x x x x = = =cot cos ; csc Al sustituir en los integrandos tenemos: = − ∫∫1 2 1 2 2csc cot cscx dx x x dx Integrando = − + +1 2 1 2 cot cscx x C a b a b a b+( ) −( ) = −2 2 a b a b a b+( ) −( ) = −2 2 Multiplicación y división del integrando por una misma cantidad tan sec2 2x x dx∫ Si multiplicamos y dividimos el integrando por sec 2x , tenemos: = = ∫ tan sec sec sec tan sec sec 2 2 2 2 2 2 2 x x x x dx x x xx dx x x x dx ∫ ∫= ( ) −sec tan sec2 2 21 2 EJEMPLO 5 05_Calculo_Integral.indd 56 07/04/13 12:18 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integralesinmediatas. Funciones trigonométricas directas 57 Descomposición de una parte del integrando en sus factores Si la función es: u x u x x du x x x dx = ( ) = ( ) = ( ) sec sec tan sec 2 2 2 2 2 Sustituyendo el integrando y multiplicando y dividiendo por 2 para completar la diferencial: = ( ) = − − ∫ ∫ 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 sec tan secx x x dx u du Integrando = + = + +1 2 12 1 2 1 2 u C u C Si sustituimos el valor de u, queda: = +sec 2x C sen x dx xcos 2 ∫ cos cos cos cos cos 2 x x x x x x dx = = ∫ sen sen= ∫ x x x dx cos cos 1 Como tan cos x x x = sen ; sec cos x x = 1 , tenemos: = ∫ tan secx x dx Integrando = +sec x C EJEMPLO 6 csc sec cot A A A A = = ( ° − ) = + 1 90 1 sen 05_Calculo_Integral.indd 57 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com 58 Cálculo integral Desarrollo de algunas operaciones algebraicas en el integrando sec tanx x+( )∫ 2 Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto, tenemos: = + +( ) = + ∫ sec sec tan tan sec sec tan 2 2 2 2 2 x x x x dx x dx x x dx ++ ∫∫∫ tan 2 x dx Como tan sec2 2 1x x= − Integrando la primera y la segunda integral, y sustituyendo la identidad en la última: = + + −( ) = + + − ∫ ∫ tan sec sec tan sec sec x x x dx x x x dx dx 2 1 2 2 2∫∫ Integrando = + + − + = + − + tan sec tan tan sec x x x x C x x x C 2 2 2 EJEMPLO 7 sen sen A A A A A A cos tan cos cot = = Integrar las siguientes expresiones: a) 3 3 1cos x dx−( )∫ u x u x x du x dx x dx = − ( ) = − ( ) = = −( )( )∫ 3 1 3 1 3 3 3 3 1 3cos Sustituyendo = ∫ cos udu Integrando = +sen u C Si sustituimos el valor de u, tenemos: = −( ) +sen 3 1x C EJEMPLOS 8 05_Calculo_Integral.indd 58 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 59 b) sen 2 3 x dx∫ u x u x x du x dx = ( ) = ( ) = 2 3 2 3 2 3 Multiplicamos y dividimos el integrando por 2 3 = = ∫∫1 2 2 3 2 3 3 2 sen senx dx u du Integrando: = − +3 2 cos u C Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = − +3 2 2 3 cos x C c) sen 3x dx∫ u x u x x du x dx = ( ) = ( ) = 3 3 3 Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = ( ) = ∫ ∫ 1 3 3 3 1 3 sen sen x dx u du Integrando = − +1 3 cos u C Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = − +1 3 3cos x C d) sen 2 x x dxcos∫ u x u x x du x x dx = ( ) = ( ) = − sen sen cos Sustituyendo en u du2∫ y multiplicamos y dividimos el integrando por -1. 05_Calculo_Integral.indd 59 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com 60 Cálculo integral Integrando = − +u C 3 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = − +1 3 3sen x C e) x x dxsen 2∫ u x u x x du x xdx = 2 2 2 ( ) = ( ) = Multiplicamos y dividimos el integrando por 2: = ( ) = ∫ ∫ 1 2 2 1 2 x x dx u du sen sen Integrando = − 1 2 cos u du Si sustituimos el valor de u, queda: = − +1 2 2cos x C En el curso de cálculo diferencial se estableció que: sen sen 2 2x x= ( ) Estas expresiones son diferentes a sen x 2 , pero todas ellas tienen validez, como pudiste observar en los ejemplos anteriores. f) cot 2 y dy∫ Como cot csc2 2 1y y= − Sustituyendo en el integrando: = −( ) = − ∫ ∫∫ csc csc 2 2 1y dy y dy dy Integrando = − − +cot y y C g) dx xsec 3 1−( ) ∫ Como cos sec x x = 1 u du u n Cn n = + + + ∫ 1 1 05_Calculo_Integral.indd 60 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 61 sec tan tan sec cos cot 2 2 2 2 2 2 1 1 1 A A A A A A − = − = − = Sustituyendo en el integrando = −( ) = − ( ) = − ( ) = ∫ cos 3 1 3 1 3 1 3 x dx u x u x x du x dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = −( )( ) = ∫ ∫ 1 3 3 1 3 1 3 cos cos x dx u du Integrando = +1 3 sen u C Si sustituimos el valor de u, tenemos: = −( ) +1 3 3 1sen x C h) cos cos 3 3 3 3 2 2x x dx x x dx sen sen∫ ∫= − u x u x x du x x dx = ( ) = ( ) = ( ) sen sen 3 3 3 3csc Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = ( ) = − − ∫ ∫ 1 3 3 3 3 1 3 2 2 sen x x dx u du cos Integrando = − + = − + = − + − − 1 3 1 3 1 3 1 1 u C u C u C Si sustituimos el valor de u tenemos: = − + 1 3 3sen x C 05_Calculo_Integral.indd 61 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com 62 Cálculo integral i) −∫ 3 22 dx xsen Como csc x x = 1 sen Elevamos al cuadrado ambos miembros: csc 2 2 1x x = sen Sustituimos en el integrando: = − = ( ) = ( ) = ∫ 3 2 2 2 2 2csc x dx u x u x x du x dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2: = − ( ) = − ∫ ∫ 3 2 2 2 3 2 2 2 csc csc x dx u du Integrando = − −( ) + = + 3 2 3 2 cot cot u C u C Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = +3 2 2cot x C j) tan cos 5 52 x dx x ∫ Como sec cos x x = 1 Elevamos al cuadrado ambos miembros: sec cos 2 2 1x x = Si sustituimos en el integrando, obtenemos: = ∫ tan sec5 52x x dx tan tan sec u x u x x du x x dx = = = 5 5 5 52 ( ) ( ) ( ) cos sec cos sec sec cos A A A A A A = = = 1 1 1 05_Calculo_Integral.indd 62 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 63 Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5: = ( ) = ∫ ∫ 1 5 5 5 5 1 5 2tan secx x dx u du Integrando = +1 5 5 2u C Si sustituimos el valor de u, tenemos: = ( ) + = + 1 5 5 2 1 10 5 2 2 tan tan x C x C k) dx x5 5+ ∫ cos Multiplicamos el integrando por el conjugado del denominador: = + + − = − ∫ 1 5 5 5 5 5 5 5 5 cos cos cos c x x x dx oos cos cos cos cos x x x x x dx 5 5 5 5 5 5 25 25 2 +( ) −( ) = − − ∫ ∫ Factorizando = −( ) −( )∫ 5 1 25 1 2 cos cos x x dx Como sen 2 21x x= − cos Sustituimos en el integrando y reducimos 5 25 : = −∫1 5 1 2 cos x x dx sen Separamos en dos integrales: = − = − ∫∫1 5 1 1 5 1 5 1 1 5 2 2 2 sen sen sen se x dx x x dx x dx x cos cos nn senx x dx1 ∫∫ Como csc ; cot cos ; csc2 2 1 1= = = sen sen senx x x x x x 05_Calculo_Integral.indd 63 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com 64 Cálculo integral Sustituimos en los integrados: = − ∫∫1 5 1 5 2csc cot cscx dx x x dx Integrando = − − −( ) + = − + + 1 5 1 5 1 5 1 5 cot csc cot csc x x C x x C l) 5 12 dx x xcos tan + ∫ Como sec cos x x = 1 Elevamos al cuadrado ambos miembros: sec cos 2 2 1x x = Sustituimos en el integrando: = + = +( ) = +( ) ∫ ∫ − 5 1 5 1 5 1 2 2 1 2 sec tan sec tan tan x x dx x x dx x 11 2 2sec x dx∫ u x u x x du x x dx = + ( ) = + ( ) = tan tan sec 1 1 2 = −∫5 1 2u du Integrando = +5 1 2 1 2u C Sustituyendo el valor de u, queda: = + +10 1tan x C m) sec 4 x dx∫ Como sec sec sec4 2 2x x x= = ∫ sec sec2 2x x dx Además, sec tan2 21x x= + 05_Calculo_Integral.indd 64 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 65 Sustituimos en el integrando: = +( ) = +( ) = ∫ ∫ 1 2 2 2 2 2 2 tan sec sec tan sec sec x x dx x x x dx x dxx x x dx∫ ∫+ tan sec2 2 u x u x x du x x dx = ( ) = ( ) = tan tan sec 2 Integramos la primera integral y realizamos la sustitución en la segunda: = + ∫tan x u du2 Integrando = + +tan x u C 3 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = + +tan tanx x C1 3 3 n) sen sen sen3 2x dx x x dx∫ ∫= Como sen 2 21x x= − cos Sustituimos en el integrando: = −( ) = − = − ∫ ∫ sen sen sen sen sen x x dx x x x dx x dx x 1 2 2 cos cos ccos 2 x dx∫∫ u x u x x du x x dx = ( ) = ( ) = − cos cos sen Integramos la primera integral y hacemos el cambio de variable en la segunda integral: =− − −( ) = − + ∫ ∫ cos cos x u du x u du 2 2 Integrando = − + +cos x u C1 3 3 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = − + +cos cosx x C1 3 3 05_Calculo_Integral.indd 65 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com 66 Cálculo integral o) csc cot5 5x x dx∫ u x u x x du x dx = ( ) = ( ) = 5 5 5 Multiplicamos y dividimos el integrando entre 5 = ( ) = ∫ ∫ 1 5 5 5 5 1 5 5 csc cot csc cot x x dx u u du Integrando = − +1 5 csc u C Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = − +1 5 5csc x C p) tan sec2 23 5x x dx−( )∫ = −∫ ∫tan sec2 23 5x dx x dx Como tan sec2 2 1x x= − , entonces tan sec2 23 3 1x x= − Sustituimos en el primer integrando: = −( ) − ∫∫ sec sec2 23 1 5x dx x dx u x w x u x x = = ( ) = 3 5 3 w x x du x dx dw x dx ( ) = ( ) = ( ) = 5 3 5 Multiplicamos y dividimos el primer integrando entre 3 y el último entre 5: = ( ) − − ( )∫∫∫1 3 3 3 1 5 5 52 2sec secx dx dx x dx Hacemos los cambios de variable: = − − ∫∫∫1 3 1 5 2 2sec secu du dx w dw Integramos = − − +1 3 1 5 tan tanu x w C Sustituimos el valor de u y el valor de w para obtener: = − − +1 3 3 1 5 5tan tanx x x C 05_Calculo_Integral.indd 66 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 67 q) tan cos 6 62 x x dx∫ Como sec cos x x = 1 , entonces sec cos 6 1 6 x x = Elevamos al cuadrado ambos miembros: sec cos 2 2 6 1 6 x x = Sustituimos en el integrando: = ∫ tan sec6 62x x dx u x u x x du x x dx = ( ) = ( ) = ( ) tan tan sec 6 6 6 62 Multiplicamos y dividimos entre 6: = ( ) = ∫ 1 6 6 6 6 1 6 2tan secx x dx u du Integrando: = +1 6 2 2u C Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = +1 12 62tan x C r) sec tanx x dx−( )∫ 2 Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto: = − +( )∫ sec sec tan tan2 22x x x x dx Como tan sec2 2 1x x= − Sustituimos en el integrando: = − + −( ) = − − ∫ sec sec tan sec sec sec tan 2 2 2 2 1 2 2 x x x x dx x x x 11 2 22 ( ) = − − ∫ ∫∫∫ dx x dx x x dx dxsec sec tan Integrando = − − +2 2tan secx x x C Factorizamos el número 2 en el primer y segundo términos: = −( ) − +2 tan secx x x C 05_Calculo_Integral.indd 67 07/04/13 12:19 www.full-ebook.com 68 Cálculo integral s) dx x1 + ∫ sen Multiplicamos el integrando por su conjugando del denominador: = + − − = − +( ) ∫ 1 1 1 1 1 1 1 sen sen sen sen sen x x x dx x x −−( ) = − − ∫ ∫ sen sen sen x dx x x dx 1 1 2 Como 1 2 2− =sen x xcos Sustituimos en el integrando: = − = − ∫ ∫∫ 1 1 2 2 2 sen sen x x dx x dx x dx cos cos cos Como sec cos x x = 1 ; cos cos cos2 x x x= Sustituimos en los integrandos: = − ∫∫ sec cos cos 2 1x dx x x x dx sen Como sen x x x x xcos tan ; sec cos = = 1 Sustituimos el segundo de los integrandos: = − ∫∫ sec tan sec2 x dx x x dx Integrando: = − +tan secx x C Para que evalúes tus conocimientos, revisa los conceptos clave estudiados en este capítulo, que se enlistan a continuación, ¿sabes a qué se refieren? Si tienes dudas, ¡estúdialos nuevamente! Lo que debes saber • Integrales inmediatas • Identidad pitagórica • Identidad trigonométrica recíproca 05_Calculo_Integral.indd 68 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 69 Ejercicios de repaso 1. Calcula las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas. a) sen 4 y y dycos∫ Solución: 1 5 5sen y C+ b) sec 2 2 y y dy∫ Solución: tan y C+ c) 6 3 dx x ∫ Solución: − +32x C d) cos sen2 5 5y y dy∫ Solución: − +1 15 53cos y C e) 3 senx x dx2∫ Solución: − +3 2 2cos x C 05_Calculo_Integral.indd 69 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com 70 Cálculo integral f) 7 2tan x dx∫ Solución: 7 7tan x x C− + g) dy y3 5+( ) ∫ Solución: − +( ) +1 4 3 4y C h) cos 4x dx∫ Solución: 1 4 4sen x C+ i) x dx−∫ 1 3 Solución: 3 2 23 x C+ j) dx x 3 ∫ Solución: − +1 2 2x C k) sec 2 2x dx∫ Solución: 1 2 2tan x C+ 05_Calculo_Integral.indd 70 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 71 l) 3 2 8 3 2y y dy−∫ Solución: 9 16 2 8 2 82 23y y C−( ) − + m) cos 4 3 3y y dysen∫ Solución: − +1 5 35cos y C n) sen 3 y y dycos∫ Solución: 1 4 4sen y C+ o) 2 3 2 −( )∫ y dy Solución: 4 7 4 7 y y y C− + + p) 5 2tan y dy∫ Solución: 5 5tan y y C− + q) tan 2 3 1x dx−( )∫ Solución: 1 3 3 1tan x x C−( ) − + 05_Calculo_Integral.indd 71 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com 72 Cálculo integral r) 1 3 2 +( )∫ y dy Solución: y y y C+ + + 4 7 2 7 s) x x dx3 4cos∫ Solución: 1 4 4sen x C+ t) sen 2 3 3x x dxcos∫ Solución: 1 9 33sen x C+ u) tan sec5 22 2x x dx∫ Solución: 1 12 2 6 tan x C( ) + v) 5 22 dx x xcos tan − ∫ Solución: 10 2 1 2tan x C−( ) + w) tan 2 2y dy∫ Solución: 1 2 2tan y y C− + 05_Calculo_Integral.indd 72 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 73 x) tan∫ 4 x dx Solución: 1 3 3tan tanx x x C− + + y) 1 2−( )∫ x x dx Solución: 2 3 4 5 2 7 2 3x x x x x x C− + + z) 2 3 +∫ x x dx Solución: − − +1 1 2x x C aa) sec 2 5x dx∫ Solución: 1 5 5tan x C+ ab) csc 2 3 5+( )∫ x dx Solución: − +( ) +1 5 3 5cot x C ac) 2 52 dy ysen ∫ Solución: − +2 5 5cot y C 05_Calculo_Integral.indd 73 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com 74 Cálculo integral ad) sen 3 2 2y y dycos( )∫ Solución: 1 8 24sen y C+ ae) tan sec2 23 3x x dx−( )∫ Solución: − +x C af) 3 2 −∫ cos x xsen Solución: − + +3 cot cscx x C ag) 1 2sen y dy∫ Solución: − +cot y C ah) csc cot3 4 3 4 x x dx∫ Solución: − +4 3 3 4 csc x C 2. Para cada una de las siguientes integrales indica cuál de los procedimientos vistos en el capítulo aplicarías para resolverla. a) tan 2 ax dx∫ Solución: Sustituir el integrando por una identidad pitagórica. 05_Calculo_Integral.indd 74 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas 75 b) dy ysen − ∫ 3 Solución: Multiplicar el integrando por su conjugado. c) −∫ cos1 2 3 3x x dxsen Solución: El integrando es el producto de una potencia trigonométrica por su diferencial. d) dx axcos 2 ∫ Solución: El integrando se sustituye por una identidad trigonométrica recíproca. e) sec tan2 5y y dy+∫ Solución: El integrando es el producto de una potencia trigonométrica por su diferencial. 05_Calculo_Integral.indd 75 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com 76 Cálculo integral 3. Calcula las siguientes integrales: a) sen 5 54 3x x dxcos∫ Solución: 3 35 5 52 3cos cosx x C+ b) 2 52tan x dx∫ Solución: 2 5 5 2tan x x C− + c) −∫ dy bysen 2 Solución: 1 b by Ccot + d) tan cos sec x x x dx − ∫ 1 Solución: 2 1sec x C− + e) 2 3 dx x xsec sen ∫ Solución: − +csc 2 x C 05_Calculo_Integral.indd 76 07/04/13 12:20 www.full-ebook.com Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas CAPÍTULO 6 Introducción En este capítulo analizaremos las últimas fórmulas básicas de integración. Con esto daremos por terminado el estudio de las integrales inmediatas. Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas du a u u a C du a u a u a C du u u 2 2 2 2 2 1 − = + + = + − ∫ ∫ arc sen arc tan aa a u a C 2 1= +∫ arc sec Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas inversas a) Integrar: dx x9 2− ∫ Para aplicar la fórmula du a u u a C 2 2− = +∫ arc sen , es necesario identificar los valores de a2, a, u2, u y calcular u(x) y du (x). EJEMPLOS 1 u x u x u x x du x dx 2 2= = ( ) = ( ) = a a 2 9 3 = = 06_Calculo_Integral.indd 77 07/04/13 12:24 www.full-ebook.com 78 Cálculo integral El integrando está completo porque incluye la función multiplicadapor su diferencial. De este modo, podemos aplicar la fórmula de integración citada. dx x du a u9 2 2 2− = − ∫ ∫ Integramos: = +arc sen u a C Al sustituir los valores de a y de u: = +arc sen x C 3 b) dx x3 4 2+ ∫ Para aplicar la fórmula du a u a u a C2 2 1 + = +∫ arc tan se identifican los valores de a2, a, u2, u y se calculan u(x) y du(x). a a 2 3 3 = = u x u x u x x du x dx 2 24 2 2 2 = = ( ) = ( ) = Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir entre 2. Con este procedimiento no se altera el valor del integrando porque se está multiplicando por 1: = + ∫1 2 2 3 4 2 dx x Sustituimos en el integrando: = + ∫1 2 2 2 du a u Integramos: = + 1 2 1 a u a Carc tan Con los valores de a y de u, tenemos: 1 6 3 2 3 3 arc tan x C+ a b c d ac bd = 06_Calculo_Integral.indd 78 07/04/13 12:24 www.full-ebook.com Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 79 c) 3 22x dx + ∫ Identificamos a2, a, u2, u y calculamos u (x) y du(x) a a 2 2 2 = = u x u x 2 2= = u x x du x dx ( ) = ( ) = Sustituimos en el integrando: = + ∫3 2 2duu a Integramos: = +3 1 a u a Carc tan Con los valores de a y u, tenemos: = +3 2 2 2 2 arc tan x C Estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las fórmulas de integra- ción. En el segundo de ellos únicamente fue necesario completar su diferencial. En otros casos, es necesario aplicar alguno de los procedimientos que se citan a conti- nuación. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes x x dx+ − ∫ 4 9 2 Separamos en dos integrales: x x dx x dx 9 4 92 2− + − ∫ ∫ EJEMPLO 2 06_Calculo_Integral.indd 79 07/04/13 12:24 www.full-ebook.com 80 Cálculo integral u x u x x du x x dx = − ( ) = − ( ) = − 9 9 2 2 2 Multiplicamos y dividimos entre (−2) la primera integral: = − −( ) −( ) + − −∫ ∫1 2 9 2 4 9 2 1 2 2 x x dx dx x Para el resultado de la segunda integral, tomamos el del primer ejemplo de este apartado: = − + +−∫1 2 4 3 1 2u du x Carc sen Integramos: = − + +1 2 1 2 4 3 1 2u x Carc sen Con el valor de u, tenemos: = − −( ) + +9 4 3 2 1 2x x Carc sen Este resultado se puede expresar en la forma siguiente: = − − + +9 4 3 2x x Carc sen El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ax bx C2 + +bx , esté dentro o fuera de un radical de índice 2. Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax bx2 + . La integral resultante puede ser cualquiera de las formas siguientes: du u a du a u du u a du u 2 2 2 2 2 2 2 ± − ∫ ∫ ∫ ∫ ± 06_Calculo_Integral.indd 80 07/04/13 12:24 www.full-ebook.com Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 81 Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad cuando el integrando incluye funciones cuadráticas. En el curso de aritmética y álgebra apren- diste que para completar un cuadrado debes sumar a la expresión el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. x bx c x bx b b c2 2 2 2 2 2 + + = + + − + Observa que para conservar la igualdad hemos sumado y restado b2 2( ) . 6 4 82 dx x x− + ∫ Al completar el cuadrado del denominador, se tiene: x x x x x 2 2 2 4 8 4 4 4 8 2 4 − + = − +( ) − + = −( ) + EJEMPLO 3 El tercer término del trinomio se obtuvo con la mitad de b al cuadrado 42 2 4 2 2( ) = = . Recuerda que la factorización del trinomio cuadrado perfecto es un binomio forma- do por la raíz del primer término, el signo del segundo y la raíz del tercero, elevado al cuadrado. = −( ) + ∫6 2 42 dx x u x u x u x x du x dx 2 22 2 2 = −( ) = − ( ) = − ( ) = a a 2 4 2 = = Sustituimos en el integrando: = + ∫6 2 2duu a Integramos: = +6 1 a u a Carc tan a b c d ad bc = 06_Calculo_Integral.indd 81 07/04/13 12:24 www.full-ebook.com 82 Cálculo integral Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es negativo Con los valores de a y u, tenemos: = − + = − + = − 6 1 2 2 2 6 2 2 2 3 arc tan arc tan arc tan x C x C x 22 2 + C EJEMPLO 4 dx x x3 2− ∫ Si se completa el cuadrado del denominador tenemos: 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 x x x x x x − = − −( ) = − − + − = − − − 2 2 3 2 3 2 x 22 Observa el signo menos que precede a los corchetes. = − − 3 2 3 2 2 2 x a a 2 2 3 2 3 2 = = u x u x u x x du x dx 2 2 3 2 3 2 3 2 = − = − ( ) = − ( ) = EJEMPLO 5 a am n mn( ) = 06_Calculo_Integral.indd 82 07/04/13 12:25 www.full-ebook.com Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 83 Sustituimos en el integrando: dx x du a u3 2 3 2 2 2 2 2 − − = − ∫ ∫ Integramos: = +arc sen u a C Con los valores de a y u, tenemos: = − + = − + = −( arc sen arc sen arc sen x C x C x 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3)) ( ) + = −( ) + 2 3 2 3 3 C x Carc sen x x x2 8 92 − + ∫ Factorizamos la expresión 2 82x x− antes de completar el cuadrado. 2 8 9 2 4 9 2 4 4 4 9 2 2 2 x x x x x x − + = −( ) + = − + −( ) + Observa que el factor 2 afecta toda la expresión que está entre paréntesis: = − +( ) − ( ) +2 4 4 2 4 92x x EJEMPLO 6 Cómo completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad 06_Calculo_Integral.indd 83 07/04/13 12:25 www.full-ebook.com 84 Cálculo integral Factorizamos el trinomio y sumamos: = −( ) +2 2 1 2x Sustituimos en el integrando: = −( ) + ∫ dx x2 2 12 u x u x u x x du x dx 2 22 2 2 2 2 2 2 = −( ) = −( ) ( ) = −( ) ( ) = a a 2 1 1 = = Multiplicamos y dividimos en el integrando entre 2 = −( ) + ∫1 2 2 2 2 1 2 dx x Sustituimos en el integrando: = + ∫1 2 2 2 du u a Integramos: = + 1 2 1 a u a Carc tan Con el valor de u y con el de a, tenemos: = −( ) + = −( ) + 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 arc tan arc tan x C x C 06_Calculo_Integral.indd 84 07/04/13 12:25 www.full-ebook.com Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 85 Integra: a) dx x9 16 2− ∫ a a 2 9 3 = = u x u x u x x du x dx 2 216 4 4 4 = = ( ) = ( ) = Multiplicamos y dividimos el integrando entre 4: = − ∫1 4 4 9 16 2 dx x Sustituimos en el integrando: = − ∫1 4 2 2 du a u Integramos: = +1 4 arc sen u a C Con los valores de a y u, tenemos: = +1 4 4 3 arc sen x C b) dy y y 2 16− ∫ a a 2 16 4 = = u y u y u y y du y dy 2 2= = ( ) = ( ) = Sustituimos en el integrando: = − =∫ du u u a2 2 EJEMPLOS 7 06_Calculo_Integral.indd 85 07/04/13 12:25 www.full-ebook.com 86 Cálculo integral Integramos: = +1 a u a Carc sec Con los valores de a y u, tenemos: = +1 4 4 arc sec y C c) dx y25 4 2− ∫ a a 2 25 5 = = u y u y u y dy du y dy 2 24 2 2 2 = = ( ) = ( ) = Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2: = + ∫1 2 2 25 4 2 dx y Sustituimos en el integrando: = + ∫1 2 2 2 du a u Integramos: = + 1 2 1 a u a Carc tan Con los valores de a y u, tenemos: = + 1 2 1 5 2 5 arc tan y C = +1 10 2 5 arc tan y C 06_Calculo_Integral.indd 86 07/04/13 12:25 www.full-ebook.com Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas 87 d) ydy y5 2 4+ ∫ a a 2 5 5 = = u y u y u y y du y y dy 2 4 2 2 2 2 2 2 2 = = ( ) = ( ) = Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2 2 . = + ∫1 2 2 2 2 5 2 4 y dy y Sustituimos en el integrando: = + ∫1 2 2 2 2 du a u Integramos: = + 1 2 2 1 a u a Carc tan Con los valores de a y u, tenemos: = + = + 1 2
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